Câu 1. Lớp 9A có 30 học sinh và lớp 9B có 40 học sinh. Nếu hai lớp cùng làm chung một công việc là trong cây trong vườn trường thì hoàn thành trong 12 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi lớp mất bao nhiêu giờ để hoàn thành công việc đó biết rằng năng suất bình quân của mỗi học sinh là như nhau?
Mục tiêu đặt ra: bài toán này đưa ra nhằm kiểm chứng giả thuyết H1. Đồng thời có thể kiểm chứng RE1 và cả RE2. Phần dữ kiện “Lớp 9A có 30 học sinh và lớp 9B có 40 học sinh” và “năng suất bình quân của mỗi học sinh là như nhau” cho phép lập được 1 PT. Phần dữ kiện này chúng tôi gọi là “ẩn đi dấu hiệu của 1 PT”. Cách cho dữ kiện này khác với các bài toán dạng tương tự trong thể chế nhằm kiểm tra khả năng suy luận từ đề toán của HS để lập PT và xa hơn là kĩ năng mô hình hóa các tình huống thực tế, từ đó kiểm chứng H1.
Bài toán này có thể giải bằng phương pháp số học một cách nhanh chóng, chúng tôi muốn xem ưu thế của GTHPT so với cách giải đại số trong trường hợp này như thế nào? Xem sự ảnh hưởng của thể chế dạy học lên thực hành giải toán của học sinh. Đặc biệt với dạng toán năng suất này, khi tham khảo các tài liệu [10], [11] và dự giờ các tiết dạy thì “điều kiện chặt” luôn được trình bày. Đó là khi gọi ẩn trực tiếp x, y thì ta có x, y > 12 (số ngày làm riêng phải lớn hơn số ngày làm chung). Vì thế lựa chọn bài toán này cũng cho phép chúng tôi kiểm chứng RE1 và RE2.
Lời giải mong đợi: HS gọi ẩn trực tiếp và lập được HPT 1 1 1 12 1 3 1 4 x y x y .
Câu 2. Gần Tết nguyên đán, hai chị em An và Xuân mua hoa ra chợ bán lại kiếm tiền phụ giúp gia đình. Mỗi loại hoa đều được hai chị em bán cùng giá. An bán được 25 bó hoa cúc và 17 bó vạn thọ, lãi được 91000 đồng. Xuân bán được 19 bó hoa cúc và 13 bó vạn thọ, lãi được 69000 đồng. Hỏi hai chị em đã thu được bao nhiêu tiền lãi từ hoa cúc và bao nhiêu tiền lãi từ hoa vạn thọ?15
Mục tiêu đặt ra: bài toán này đưa ra nhằm kiểm chứng H2, đồng thời H1. Yêu cầu tìm hai đại lượng ở câu hỏi của bài toán là một “phá vỡ hợp đồng” nhằm kiểm chứng RE1. Việc gọi ẩn theo quy tắc “đề hỏi gì thì gọi đó là ẩn” sẽ gây nhầm lẫn và khó khăn cho HS khi kết luận đáp án cho bài toán. Đồng thời, từ yêu cầu này cũng kiểm tra xem khả năng suy luận từ dữ kiện toán để đưa ra một cách chọn ẩn khác để lập HPT.
Lựa chọn khác của bài toán là việc bán hoa vạn thọ không đem lại lợi nhuận mà là lỗ. Nghiệm âm sẽ xuất hiện khi lập HPT, điều này không tồn tại trong thể chế. Chúng tôi muốn xem ứng xử của HS khi gặp nghiệm âm, từ đó kiểm chứng RE2.
Lời giải mong đợi: gọi x, y là lãi thu được từ mỗi bó hoa, HPT lập được 25 17 91000 19 13 69000 x y x y
, sau đó tính lãi từ hoa cúc (25+19)x, từ hoa vạn thọ (17+13)y (lỗ).