3.3.2.1.Câu hỏi 1
Câu 1. Lớp 9A có 30 học sinh và lớp 9B có 40 học sinh. Nếu hai lớp cùng làm chung một công việc là trồng hoa trong vườn trường thì hoàn thành trong 12 giờ.
Hỏi nếu làm riêng thì mỗi lớp mất bao nhiêu giờ để hoàn thành công việc đó biết rằng năng suất bình quân của mỗi học sinh là như nhau?
- Biến
V11qthuoc: Mức độ quen thuộc của bài toán (biến tình huống)
Các giá trị có thể của biến:
+ bài toán có dạng thường gặp trong SGK, SBT. + bài toán có dạng ngoài chương trình được học.
Chúng tôi chọn bài toán năng suất quen thuộc, dạng toán làm chung - làm riêng. Đây là một dạng trọng tâm trong các bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình, được trình bày trong 1 tiết học riêng biệt.
V12Dkien: Độ “tường minh” của dữ kiện (biến didactic) Các giá trị có thể của biến:
+ Dữ kiện được cho rõ ràng, trực tiếp. Nhìn vào có thể lập được các PT chỉ nhờ nắm các công thức, quan hệ cơ bản.
+ Dữ kiện được cho “ẩn đi dấu hiệu của 1 PT”. Phải tiến hành suy luận từ dữ kiện mới lập được các PT.
Ở dạng toán năng suất, khó khăn hơn là việc lập phương trình thứ hai ngoài phương trình năng suất tổng. Để lập được phương trình này thì phải biết mối liên hệ “Tỉ số năng suất giữa hai lớp bằng tỉ số hai sỉ số lớp” hoặc với năng suất bình quân của các học sinh là như nhau nên “số ngày làm việc sẽ tỉ lệ nghịch với số học sinh”. Chúng tôi chọn dữ kiện này nhằm đánh giá khả năng suy luận, rút ra từ đề toán yếu tố cần thiết để lập PT, hay đánh giá kĩ năng mô hình hóa toán học từ 1 tình huống thực tế.
V13nsbq: sĩ số hai lớp và năng suất bình quân (biến didactic)
Các giá trị có thể của biến:
+ không cho sĩ số hai lớp và không đưa vào khái niệm năng suất bình quân.
Chúng tôi chọn biến này nhằm đánh giá khả năng giải toán của học sinh trong sự tương giao giữa phương pháp đại số và phương pháp số học.
- Chiến lược
Shpt: hệ phương trình
Chiến lược này có thể theo các hướng sau:
Shpt1:
+ Gọi ẩn trực tiếp.
+ Tính năng suất mỗi lớp.
+ Lập HPT bằng cách tính tổng năng suất và so sánh năng suất của hai lớp.
Shpt2:
+ Gọi ẩn trực tiếp.
+ So sánh 2 ẩn được PT thứ nhất. + Lập PT thứ hai là PT năng suất tổng.
Shpt3:
+ Gọi ẩn gián tiếp, là năng suất mỗi lớp.
+ lập HPT bằng cách so sánh 2 năng suất và tính tổng năng suất.
Spt: phương trình
Chiến lược phương trình này có thể theo 2 hướng:
Spt1: gọi ẩn số là số ngày hoàn thành công việc một mình của lớp thứ nhất. Sau đó tính năng suất của lớp này, và suy ra năng suất của lớp kia nhờ vào dữ kiện bài toán rồi lập PT năng suất tổng.
Spt2: gọi ẩn là số ngày hoàn thành công việc một mình của lớp thứ nhất và suy ra số ngày làm việc của lớp thứ hai nhờ vào dữ kiện của bài toán và lập PT năng suất tổng.
Đối với chiến lược PT và HPT thì khái niệm năng suất là cơ sở lí thuyết.
Snsuat: năng suất
Khái niệm năng suất với định nghĩa của nó là cơ sở để giải toán. Nó vừa là lý thuyết, vừa là kĩ thuật để giải BT.
+ gọi ẩn là năng suất của mỗi HS.
+Tính năng suất của mỗi lớp và cả hai lớp.
+ Giải tìm ẩn nhờ PT: năng suất * thời gian = khối lượng công việc. + Suy ra từ ẩn, thời gian hoàn thành công việc của mỗi lớp nhờ PT trên.
Ssohoc: Số học
Dữ kiện “năng suất mỗi học sinh là như nhau” và “năng suất tỉ lệ nghịch với thời gian lao động” làm cơ sở cho chiến lược này.
Ảnh hưởng của biến lên chiến lược
Biến và giá trị của biến Chiến lược ưu tiên V11qthuoc: dạng toán năng suất có mặt
trong SGK Shpt, Spt
V12Dkien: dữ kiện được cho “ẩn đi dấu hiệu của 1 PT”, đòi hỏi suy luận mới lập được PT.
Shpt, Spt, Ssohoc
V13nsbq: nêu sĩ số của 2 lớp và năng
suất bình quân như nhau. Snsuat, Ssohoc
- Các lời giải có thể quan sát được.
Ba bảng liên tiếp sau chúng tôi gộp chung thành bảng sau.
Bảng 3.1- Các lời giải có thể cho câu hỏi 1
Chiến lược Các lời giải có thể xảy ra và giải thích của lời giải.
Hệ phương trình
Shpt1
Sa1: Gọi x, y (h, x, y > 0) là t/gian mỗi lớp 9A, 9B làm riêng xong công việc. Trong 1h, lớp 9A làm được 1/x công việc, lớp 9B làm được 1/y công việc. Cả hai lớp làm được 1/12 công việc. Nên ta có PT
1 1 1 12
x y (1). Do lớp 9A có 30 HS, lớp 9B có 40 HS và năng suất mỗi HS như nhau nên ta có PT 1 3 1
4
x y (2). Giải hệ ta có x = 28, y = 21.
Sa2: HS cũng lập được PT (1) như trên nhưng do có thể do nhầm lẫn từ dữ kiện “năng suất mỗi học sinh như nhau” nên lập PT (2) là
1 1
x y
Sa3: HS cũng lập được PT (1) như trên nhưng PT (2) không lập được hoặc PT (2) chỉ là một cách kết hợp nào đó các điều kiện còn lại của bài toán.
Shpt2
Sa4: HS cũng lập được PT (1) như trên. Thay vì đi so sánh 2 năng suất như lời giải Sa1, HS đi so sánh số ngày làm việc riêng của 2 lớp dựa trên những điều kiện còn lại của bài toán, PT (2) là 4
3
x y
Shpt3
Sa5: Gọi x, y phần việc của lớp 9A, 9B làm trong 1 h. Từ điều kiện bài toán, ta có 2 PT x + y = 1
12và 3 4
x y
Đối với chiến lược phương trình:
Chiến lược Các lời giải có thể và giải thích của lời giải.
Phương trình
Spt1
Sb1: Gọi x (h) là số ngày làm riêng xong công việc của lớp 9A, x > 0. Trong 1h, lớp 9A làm được 1
x công việc. Do lớp 9A có 30 HS và lớp 9B có 40 HS, vì năng suất mỗi HS như nhau nên ta có trong 1h, lớp
9B làm được 4 1
3 x công việc. Suy ra ta có PT: 1 4 1 1
3 12
x x (*)
Spt2
Sb2: Gọi x (h) là thời gian làm riêng xong công việc của lớp 9A, x > 0. Do lớp 9A có 30 HS và lớp 9B có 40 HS, vì năng suất mỗi HS như nhau nên ta có thời gian làm riêng xong công việc của lớp 9B là
3 4x. Trong 1h, lớp 9A làm được 1 x công việc. Lớp 9B làm được 1 3 4x
công việc. Cả hai lớp làm được 1
12. Suy ra PT (*)
Sb3: Gọi x (h) là thời gian làm riêng xong công việc của lớp 9A, x > 0. Suy ra 12 - x (h) là thời gian làm riêng xong công việc của lớp 9B. Suy ra PT lập được là 1 1 1
12 12
x x
. Ở đây HS nhầm lẫn khi suy ra
thời gian làm riêng của lớp 9B nhưng lại lập đúng PT theo những gì đã gọi.
Đối với chiến lược năng suất và chiến lược số học:
Chiến lược Các lời giải có thể và giải thích của lời giải
Năng
suất Snsuat
Sc: Gọi x (công việc/h) là năng suất của mỗi học sinh. Suy ra Năng suất của lớp 9A là 30x; lớp 9B là 40x; cả hai lớp là 70x
Vì hai lớp hoàn thành công việc trong 12 giờ nên 12.70x = 1, suy ra x =
1
840Do đó, thời gian làm riêng của 2 lớp: 1/30x = 28h; 1/40x = 21h.
Nếu không gọi x tường minh và suy luận thì có thể xem lời giải này là lời giải số học.
Số học Ssohoc
Sd: Ta có 30 + 40 = 70 người làm một công việc trong 12 h. Do năng suất bình quân mỗi học sinh đều như nhau nên lớp 9A sẽ làm trong 70.12
30 = 28 h và lớp 9B làm trong 70.12
3.3.2.2.Câu hỏi 2
Câu 2. Gần Tết nguyên đán, hai chị em An và Xuân mua hoa ra chợ bán lại kiếm tiền phụ giúp gia đình. Mỗi loại hoa đều được hai chị em bán cùng giá. An bán được 25 bó hoa cúc và 17 bó vạn thọ, lãi được 91000 đồng. Xuân bán được 19 bó hoa cúc và 13 bó vạn thọ, lãi được 69000 đồng. Hỏi hai chị em đã thu được bao nhiêu tiền lãi từ hoa cúc và bao nhiêu tiền lãi từ hoa vạn thọ?
- Biến
V21thucte: bài toán dạng này dù không có mặt trong sách giáo khoa nhưng lại là một thực tế quen thuộc, đặc biệt ở vùng quê chúng tôi làm thực nghiệm. Người dân khi Tết gần kề thường đi đến các vùng trồng hoa mua hoa với giá sỉ và đem bán lẻ tại các chợ xa trung tâm. Việc bán hoa này thường mang lại chút tiền lãi cho người bán nhưng đôi khi cũng bị lỗ vì lượng hoa về nhiều.
Bài toán thực tế là dạng toán được giải bằng cách lập HPT.
V22yêucâu: Ở bài này chúng tôi yêu cầu tìm lãi thu được từ việc bán hoa cúc và hoa vạn thọ trong toàn bộ hoa bán được. Việc gọi ẩn là hai đại lượng này sẽ gây khó khăn cho việc lập HPT cũng như việc kết luận đáp án của BT.
Với lựa chọn 2 biến trên, chiến lược hệ phương trình được ưu tiên. - Chiến lược
SHPT: hệ phương trình:
Chiến lược này có thể theo các hướng sau:
SHPT1: ẩn trực tiếp
+ gọi ẩn trực tiếp là tiền lãi từ hoa cúc và tiền lãi từ hoa vạn thọ. + suy ra tiền lãi từ 1 bó hoa cúc, từ 1 bó hoa vạn thọ.
+ lập HPT.
+ gọi ẩn là tiền lãi từ 1 bó hoa cúc và 1 bó hoa vạn thọ. + Lập HPT
+ Tính số tiền lãi từ hoa cúc và hoa vạn thọ bằng công thức: Số tiền lãi = số tiền lãi từ 1 bó * số bó.
SPT: phương trình
+ gọi ẩn là số tiền lãi từ 1 loại hoa.
+ suy ra số lãi từ hoa còn lại bằng tổng tiền lãi trừ đi ẩn. + Suy ra số tiền lãi từ 1 bó hoa, cho cả 2 loại.
+Lập PT từ 1 trong 2 điều kiện: số tiền lãi từ An hoặc Xuân. +Giải nghiệm PT và kiểm tra lại điều kiện chưa sử dụng. +Kết luận.
Rõ ràng chiến lược phương trình này tốn nhiều công sức, chúng tôi dự đoán nó ít có khả năng xảy ra.
- Các lời giải có thể xảy ra:
Bảng sau trình bày các lời giải có thể, các lời giải này chưa tính đến việc đặt điều kiện cho ẩn và ứng xử của HS khi nghiệm âm xảy ra.
Bảng 3.2 – Các lời giải có thể của câu hỏi 1
Chiến lược Các lời giải có thể và giải thích của lời giải
Hệ phương trình
SHPT1
Saa1: Gọi x là tiền lãi thu được từ hoa cúc,
y là tiền lãi thu được từ hoa vạn thọ. Điều kiện: x, y > 0. Suy ra số tiền lãi từ 1 bó hoa cúc là 44 x , từ 1 bó hoa vạn thọ 30 x Ta có HPT 2544 1730 91000 19 13 69000 44 30 x y x y + = + = . Nghiệm x = 220000 và y = - 60000.
Saa2: Gọi x là tiền lãi thu được từ hoa cúc, y là tiền lãi thu được từ hoa vạn thọ. Điều kiện: x, y > 0. Theo đề bài ta có hệ phương trình
25 17 91000 19 13 69000 x y x y + = + =
Giải hệ ta được x = 5000, y = - 2000. Vậy lãi từ hoa cúc là 5000 đồng và lãi (lỗ) từ hoa vạn thọ là – 2000 (2000) đồng.
ở lời giải này, HS đồng nhất tiền lãi từ hoa cúc (tổng số) với tiền lãi từ 1 bó hoa cúc, tượng tự đối với hoa vạn thọ.
Saa3: tương tự như Saa2, tuy nhiên HS sẽ để ý đến việc tổng số tiền lãi là 160000 nên sẽ kết luận lại tuy nhiên vẫn không sửa ẩn.
Vậy lãi từ hoa cúc là (25 + 19).5000 = 220000 đồng. Lỗ từ hoa vạn thọ (17 +13) . 2000 = 60000 đồng.
SHPT2
Saa4: Gọi x là tiền lãi thu được từ 1 bó hoa cúc, y là tiền lãi thu được từ 1 bó hoa vạn thọ. Điều kiện: x, y > 0. Theo đề bài ta có hệ phương
trình 25 17 91000 19 13 69000 x y x y + = + = Giải hệ ta được x = 5000, y = - 2000 Vậy lãi từ hoa cúc là (25 + 19).5000 = 220000 đồng. Lỗ từ hoa vạn thọ (17 +13) . 2000 = 60000 đồng.
Phương trình SPT
Sbb: Gọi x là số tiền lãi từ hoa cúc, x > 0. Suy ra tiền lãi từ hoa vạn thọ là 16000 – x. Do Tiền lãi từ 1 bó hoa cúc là
44
x , 1 bó hoa vạn thọ là
160000 30
x
.Từ số tiền lại của An, ta có PT:
160000
25 17 91000
44 30
x x Suy ra x = 220000. Nghiệm này thỏa mãn PT 19 13160000 69000
44 30
x x
Chúng tôi phân tích thêm phần sau vì bài toán này ngoài mục đích kiểm chứng RE1 về chọn ẩn “đề hỏi gì thì gọi đó là ẩn” thì còn để kiểm chứng RE2 về việc đặt điều kiện, cách chọn nghiệm phù hợp điều kiện. Lựa chọn của bài toán:
• Chúng tôi chọn giá trị y của nghiệm hệ phương trình lập được là âm. Lựa chọn này cho phép chúng tôi tìm hiểu:
- Ứng xử của HS khi gặp trường hợp nghiệm âm.
- Hoặc khi “số tiền lãi là âm” có thể được HS hiểu là “tiền lỗ”. Như vậy, nếu HS đã đặt điều kiện ẩn số là dương nhưng nhận thấy “nghiệm âm” này là chấp nhận được thì HS có quay lại chỉnh sửa việc đặt điều kiện? Hay không quan tâm đến việc kiểm tra lại nghiệm so với điều kiện?
• Trong trường hợp HS chọn ẩn trực tiếp (nghiệm đúng RE1), với lời giải Saa2: nghiệm hệ thu được x = 5000 và y = - 2000. Liệu học sinh sẽ kết luận ngay số tiền lãi từ hoa cúc là 5000, và từ hoa vạn thọ là – 2000 hay suy nghĩ lại đề toán, vì đề cho tiền lãi là nhiều hơn?