Mặc dù GTHPT là 1 trong 5 mục tiêu của chương nhưng phần “kiến thức” chỉ trình bày phương pháp giải hệ hai PT hai ẩn bằng phương pháp thế và biểu diễn hình học tập nghiệm PT bậc nhất hai ẩn.
Các bước của quy trình GTHPT được tìm thấy trong phần “phương pháp”, nó là phương pháp để giải một bài toán được đưa ra nhằm hướng dẫn học sinh giải HPT bằng phương pháp thế. Cụ thể, với bài toán ví dụ ([17], trang 134):
Tại quán cà phê của 1 trường học, một nhóm học sinh dùng 3 ly cà phê và 2 ly nước cam trả 46,50 franc. Một nhóm khác dùng 4 ly cà phê và 1 ly nước cam trả 42 franc. Hỏi giá của 1 ly cà phê và 1 ly nước cam là bao nhiêu?
Bảng 2.1 – Lời giải bài toán chứa quy trình GTHPT trong thể chế Pháp. Phương pháp (méthode) Soạn thảo (rédaction)
Chọn hai ẩn
“phiên dịch” dữ kiện của bài toán sang các PT Biểu diễn một trong hai ẩn theo ẩn còn lại bằng cách dùng 1 trong 2 PT
Sau đó thế ẩn này vào PT còn lại
Gọi x là giá 1 ly cà phê, y là giá 1 ly nước cam. 3 2 46, 50 (1) 4 42 (2) x y x y
Trong PT (2), ta biểu diễn y theo x: y = 42 – 4x (3)
Ta thay y bởi 42 – 4x trong PT (1): 3x +
10 On pourra s’appuyer dans toute cette partie sur des activités déjà pratiqués dans les classes antérieures notamment celles de tests par substitution de valeurs numériques à des letters [18, tr.83]
Giải PT một ẩn đạt được
Tính ẩn còn lại
Kết luận
Ta có thể kiểm tra kết quả tìm được
2(42 – 4x) = 46,50 Những PT sau có cùng nghiệm 3x + 84 – 8x = 46,50 … - 5x = - 37,50 x = 7,50 Theo PT (3), y = 42 – 4. 7,50 = 12
Vậy 1 ly cà phê giá 7,50 franc và 1 ly nước cam giá 12 franc.
Ta có thể kiểm tra (7,50; 12) đúng là nghiệm bài toán: 3.7,50 + 2.12 = 46,50
4.7,50 + 12 = 42
Như vậy, ở đây ta không thấy một chỉ dẫn lý thuyết rõ ràng, riêng biệt cho phương pháp GTHPT với HPT nói chung mà chỉ có phương pháp này gắn với HPT bậc nhất hai ẩn, điều này khác với phương pháp “giải toán bằng cách lập PT” được trình bày trong [19].
Trong [19], Chương 8 “équations”, mục “méthodes”, phần 2 “giải toán bằng cách lập PT” (résoudre un problème en le mettant en équation) (trang 129) nêu 1 ví dụ và phương pháp giải (gồm phần phương pháp và phần soạn thảo như trên nhưng chúng tôi chỉ trình bày phương pháp):
- Chọn 1 ẩn. Thông thường đó là số cần tìm. Xác định những điều kiện liên quan đến ẩn.
- “phiên dịch” tất cả các dữ kiện của đề toán theo x.
- Giải PT.
- Kết luận.
- Ta có thể kiểm tra kết quả bằng cách quay lại bài toán.
Việc [17] không trình bày phần lí thuyết của GTHPT, có thể thể chế Pháp xem GTHPT kế thừa từ GTPT.
Với việc phương pháp GTHPT không được trình bày riêng biệt mà gắn với phương pháp để giải một ví dụ nhằm hướng dẫn cho học sinh cách giải HPT bằng pháp thế, chúng tôi đặt ra vấn đề: Có phải các bài toán và cách giải chúng bằng cách đưa về hai PT là động cơ để xuất hiện hệ hai PT tuyến tính một ẩn?
Để trả lời cho câu hỏi này chúng tôi quay lại phần mở đầu “vượt chướng ngại vật”. Mở đầu (trang 130) là một câu đố của Alexandra dành cho Richard, được chia làm 2 cảnh (scène) gọi là hồi I và hồi II (acte I, II).
Hồi I: các ẩn xuất hiện trong cảnh
Tôi chọn hai số. Nếu ta thêm vào số thứ hai hai lần số thứ nhất ta được – 3. Bạn có thể tìm được hai số này? Sau khi suy nghĩ, Richard trả lời: không thể tìm được hai số này chỉ với dữ kiện như vậy.
Để hướng dẫn học sinh [17] đã đưa ra những chỉ dẫn và yêu cầu sau:
“…Gọi x là số thứ nhất được Alexandra chọn và y là số thứ hai. Viết PT “phiên dịch” dữ kiện Alexandra đưa ra”.
Đáp án đưa ra bởi [18]: 2x + y = - 3 (1) Sau đó [17] yêu cầu học sinh:
- tìm năm cặp số thỏa mãn (1)
- viết y theo x từ (1): y = - 2x – 3
- xét hàm số f: x - 2x – 3, vẽ đồ thị của chúng và tìm mối liên hệ giữa đồ thị vừa vẽ và các nghiệm của PT (1)
Alexandra nhận ra mình quên đưa dữ kiện:
Nếu tôi lấy số thứ nhất trừ hai lần số thứ hai thì được – 4.
Cùng với những hướng dẫn và yêu cầu như ở hồi I, học sinh sẽ có được PT x – 2y = - 4 hay y = x + 2 và hàm số g: x x + 2 cùng đồ thị của nó.
Sau đó [17] hướng dẫn học sinh tìm cặp số mà Alexandra đưa ra bằng phương pháp đồ thị và phương pháp thế. Qua hoạt động trên ta thấy rằng HPT tuyến tính xuất hiện do nhu cầu giải quyết bài toán thực tế (1 câu đố) mà GTHPT là một bước trung gian. Ngoài ra, trong phần “vượt chướng ngại vật”, còn có 5 bài tập dạng bài toán thực tế đưa về HPT để giải trước khi bước sang phần “kiến thức”, chẳng hạn 2 bài toán sau:
1) Lịch sử cái cân (bài 4)
Như vậy GTHPT xuất hiện một cách tự nhiên, là phương pháp để giải các bài toán thực tế dựa trên những kiến thức cũ đã học nhưng đồng thời cũng là công cụ để làm xuất hiện hệ hai PT hai ẩn – mục đích của bài học.
Mặc dù không được trình bày về mặt lý thuyết nhưng qua mục phương pháp và bài giải trong [18], ta có thể rút ra được các bước của phương pháp GTHPT như sau:
- Chọn hai ẩn
- “phiên dịch” những dữ kiện của bài toán bằng hai PT
- Giải hệ hai PT
- Kết luận
- Kiểm tra lại kết quả tìm được