Các bài toán được giải theo quy trình 4 bước theo ý tưởng của Đề-các được [8] trình bày thành các phần sau:
Những bài toán trong nhà trường
Gồm 4 ví dụ nhưng chỉ Ví dụ 3 được [8] giải bằng GTHPT:
“Một người bán hai loại lạc. Một loại giá 90 xu một kg. Loại kia giá 60 xu một kg. Người đó muốn có 50 kg lạc hỗn hợp giá 72 xu một kg. Hỏi phải trộn mỗi loại lạc bao nhiêu kg?”
Hệ thu được sau khi “phiên dịch” là 50
90 60 72.50 3600 x y x y với x, y lần
lượt là trọng lượng mỗi loại lạc.
Với mỗi PT, [8] đều có dẫn dắt rõ ràng, ví dụ “ta viết giá tiền hỗn hợp bằng hai cách: 90x + 60y = 72.50”. Điều này là một điểm khác so với [1]. Viết theo hai cách, nghĩa là phải biết viết:
- Giá tiền của hỗn hợp là 90x + 60y (*)
- Vì hỗn hợp có 50 kg, giá mỗi kg là 72 xu nên giá tiền của hỗn hợp là 72.50.
(*) chính là biểu thức đại số bắt buộc phải biết viết.
Một điều đặc biệt so với [1] là [8] đưa ra các ví dụ giống như dạng toán năng suất nhưng lại có yêu cầu ngược lại và tiến hành giải bài toán bằng cách lập PT năng suất tổng:
Ví dụ 1/60: “Một vòi nước chảy đầy bể trong 15 phút, một vòi khác chảy đầy bể trong 20 phút và vòi thứ ba chảy đầy bể trong 30 phút. Nếu cả ba vòi cùng chảy thì trong bao lâu sẽ đầy bể nước?”
Ví dụ 2/61: “Tôm có thể hoàn thành một công việc trong 3 giờ, còn Đích trong 4 giờ và Gary trong 6 giờ. Nếu cùng làm thì họ có thể hoàn thành công việc trong bao lâu?”
Các thí dụ hình học
Ví dụ 1/65 được [8] xem là giải bằng GTHPT, thực ra đây là một bài toán hình học phẳng được giải bằng cách lập hệ trục tọa độ Oxy:
“Đoạn thẳng AB và hai cung tròn AC và BC tạo thành một tam giác cong. Tâm của một đường tròn tại điểm A, tâm của đường tròn kia tại điểm B và mỗi đường tròn đó đi qua tâm của đường tròn kia. Hãy nội tiếp trong tam giác cong đó một đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác đó.” (tr. 66).
Với cách chọn A là gốc hệ trục tọa độ, Ox là trục AB, Oy vuông góc AB. Đoạn AB có độ dài a. Gọi I(x, y) là tọa độ tâm đường tròn cần dựng. (x, y) là
nghiệm hệ phương trình 2 2 2 a x y a x y = = − + . Trong đó PT 2 2
y= −a x +y có được là nhờ bán kính đường tròn được thể hiện bằng hai cách khác nhau. (Nếu kéo dài IA cắt cung BC tại điểm tiếp xúc D thì ta có AD = a và do đó, R = AD – IA, IA được tính bằng định lí Pitago có 2 cạnh góc vuông là x, y. Với cách chọn hệ trục trên thì y > 0 và R = y do đường tròn cần dựng tiếp xúc Ox).
Ví dụ này cho thấy sự phong phú của các bài toán được giải bằng GTHPT, không chỉ gồm các dạng như [1] trình bày và không phải lúc nào cũng yêu cầu tìm hai đại lượng.
Thí dụ trong vật lí
“Một quả cầu sắt thả nổi trên mặt thủy ngân đựng trong một cái chậu. Nước được đổ từ trên xuống và dần dần phủ kín quả cầu. Quả cầu sẽ chìm xuống, nổi lên hay vẫn ở độ sâu ban đầu?” (tr. 72).
Rõ ràng đề bài không có gợi ý gì cho phép nghĩ đến việc lập HPT. Có vẻ chỉ có người am hiểu vật lí mới giải được. Để “phiên dịch” bài toán này, [8] đã trình bày những kiến thức vật lí liên quan và phân tích định tính một cách kĩ lưỡng, sau đó là lời giải bằng GTHPT, chính là phân tích định lượng của bài toán:
“Giả sử v là thể tích (cho trước) của quả cầu. Gọi x là phần thể tích của quả cầu nằm trên mức phân cách 2 chất lỏng, y là phần thể tích của quả cầu nằm dưới mức phân cách của hai chất lỏng. Ta có thể tích quả cầu được biểu diễn bằng 2 cách: x + y = v. Theo định luật Ác-si-mét ta có tổng các lực được biểu diễn bằng 2 cách: ax + by = cv; với a, b, c lần lượt là tỉ trọng của chất lỏng nằm trên, thủy ngân và sắt. b = 13,60; c = 7,84. Khi chưa đổ nước vào chậu, chất lỏng ở trên chính là không khí, tức a = 0. Giải hệ, ta có x = 0,423v. Khi đổ nước vào chậu, nước có tỉ trọng a = 1, nghiệm thu được x = 0, 457v. Ta có 0,423v < 0,457v. Vậy sau khi đổ nước vào chậu thì quả cầu nổi lên so với mức ban đầu. (trích trang 73 – 75)”.
Việc giải bài toán thực tế trên không chỉ đơn giản là chọn ẩn, lập HPT mà xa hơn là khả năng mô hình hóa toán học 1 tình huống thực tế. Như vậy, một vấn đề mới xuất hiện đó là: GTHPT có thể đem đến thuận lợi gì cho “dạy học bằng mô hình hóa và bằng mô hình hóa” không?
Theo [12], trang 171: “Một cách tổng quát hơn, việc tăng cường các bài toán thực tiễn trong dạy học toán còn ngầm nhắm tới một mục tiêu xa hơn, quan trọng hơn và mấu chốt hơn của dạy học toán, đó là dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa”.Theo đó, [12] lấy 1 ví dụ về dạy học mô hình hóaliên quan đến HPT bậc nhất, hai ẩn số: định nghĩa HPT bậc nhất, hai ẩn số trình bày cách giải HPT này
giải các bài toán luyện tập trong đó có các bài toán thực tiễn. Như vậy, theo những phân tích đã có, GTHPT ngầm chứa việc dạy học mô hình hóa. Đồng thời, theo [23], trang 66: “sự có mặt của bài toán được cho bằng lời thể hiện mong muốn
cho học sinh bắt đầu những thực hành thực sự về mô hình hóa đại số”. Từ đây ta thấy, qua GTHPT ta có cơ hội để hướng đến vấn đề mô hình hóa toán học.
Câu hỏi đặt ra: Trong thể chế, gắn với GTHPT vấn đề mô hình hóa8
có được đặt ra và ở mức độ nào?
Thí dụ về “một bài toán nát óc”9
Các ví dụ về hình học và vật lí trên, kèm với bài toán “nát óc” này được [8] phân tích và đưa ra lời giải theo lược đồ Đề-các, nhằm mục đích nêu bật được vai trò quan trọng của cách giải “bằng đại số”.
Những “thí dụ rắc rối”
Ở các ví dụ này, ta thấy sự có mặt của một hướng dẫn trong [1], đó là “…Thông thường ở mỗi bài toán ta đưa ra bao nhiêu ẩn, cần thiết lập bấy nhiêu PT. Cũng có trường hợp ngoại lệ: ta đưa thêm ẩn phụ vào và sau đó khử được ẩn đó đi…”(tr. 112). Với [8] những ví dụ này giúp giải quyết các câu hỏi sau: Bài toán đặt ra “có thỏa mãn được điều kiện hay không? Ta có đủ điều kiện để tìm ẩn hay không? Hay là ta có quá ít điều kiện? Và cũng có thể, ngược lại, điều kiện có nhiều đến mức nẩy ra các vấn đề liệu chúng có thể được thỏa mãn cả hay không?”(tr. 78).
Chẳng hạn, Ví dụ 1 trang 72:
“Có một người đi dạo chơi trong 5 giờ, lúc đầu người đó đi trên một con đường bằng phẳng, sau đó thì leo lên núi và cuối cùng thì theo lối cũ quay trở lại địa điểm xuất phát. Tốc độ của người đi dạo chơi đó là 4 km một giờ trên quãng đường bằng phẳng, 3 km một giờ khi leo lên núi và 6 km một giờ khi xuống núi. Tìm đoạn đường mà người đó đã đi qua.”
Theo [8], thoạt tiên bài toán “có lẽ còn thiếu dữ kiện”. Tuy nhiên, với việc gọi x là khoảng cách đã đi và về, thêm y là chiều dài đoạn đường dốc. PT lập được
8 Xem thêm [12], trang 170
2 2 5 4 3 6 4 x x y y y y
triệt tiêu y, cho ra x = 20. [8] đưa ra nhận xét “việc giải bài toán đòi hỏi chỉ cần đưa vào một ẩn số. Rốt cuộc lại mới rõ rằng bài toán không phải là không xác định”. Sau đó, [8] đưa ra lí do cho sự xác định của bài toán bằng cách đổi số của bài toán sang chữ và kết quả: vì 4 là trung bình điều hòa của 3 và 6 nên y triệt tiêu được.
Việc đưa vào những thí dụ rắc rối cho phép người đọc rút ra những nhận xét quan trọng khi thực hành GTHPT, việc chọn lựa ẩn, gọi thêm ẩn đôi khi là bước quyết định cho việc giải bài toán.
87 bài tập
Trong 87 bài tập này, có nhiều bài tập mang tính tổng quát, nhằm khái quát hóa những bài toán, ví dụ trước đó. Còn lại, [8] chia các bài toán theo các nhóm như hình phẳng, hình học không gian, “linh tinh” (tìm cân nặng hàng hóa, cước phí máy bay, tiền tệ, thời gian hoàn thành công việc,…),… Đặc biệt, một lượng lớn bài toán cổ lấy ra từ các cuốn sách của các nhà toán học lỗi lạc như Niu-tơn, Ơ-le… Chúng tôi ghi nhận có 14 bài toán được [8] hướng dẫn giải bằng GTHPT. Chẳng hạn các ví dụ sau:
1. La và Lừa thồ hàng nặng hàng trăm cân. Lừa than thân trách phận phàn nàn cùng La: “chỉ cần chất thêm cho tôi 100 cân lấy ở trên lưng anh thì tôi phải thồ nặng gấp đôi anh”. La liền đáp: “Phải, nhưng nếu anh lại trút cho tôi 100 cân trong cái gánh nặng của anh thì tôi lại thồ gấp những ba lần của anh cơ đấy”. Lừa và La mỗi con phải thồ nặng bao nhiêu? (Ơ-le). (bài 17 tr. 86) (linh tinh). HPT được [8] “phiên dịch” là 100 2( 100) 100 3( 100) y x x y với x, y là trọng lượng hàng mà Lừa và La phải thồ.
2. Hai người đưa thư A và B ở cách nhau 59 dặm sáng sáng đi đến gặp nhau. A đi trong 2 giờ được 7 dặm, B đi trong 3 giờ được 8 dặm, B lên đường muộn hơn A
một giờ. Phải tìm xem A phải đi bao nhiêu dặm để gặp được B. (Niu-tơn) ( bài 66 tr. 97) và bài 67 là khái quát của bài 66.
[8] giải bài 67, bài 66:
“Gọi x, y là số dặm A và B phải đi để gặp nhau. Giả sử a là vận tốc của A, b là vận tốc của B, c là khoảng cách thời gian giữa hai người xuất phát và d là khoảng cách giữa hai điểm xuất phát. Ta có hai PT:
x + y = d, x y c a b . Giải hệ ta được x = a bc( d) a b . Thay a = 7/2, b = 8/3, c = 1, d = 59 ta có kết quả cần tìm.
Ta thấy, những bài toán cổ trên với sự thú vị của nó đem đến sức sống cho GTHPT.
Kết luận: Một số nét đặc trưng của các bài toán được giải bằng GTHPT. - Phần lớn các bài toán yêu cầu tìm hai đại lượng và dữ kiện của bài toán cho
phép tách thành 2 phần điều kiện cho phép lập hai phương trình. Điều này phân biệt với các bài toán được giải bằng GTPT.
- Một số bài toán không nêu tường minh đại lượng phải tìm, cần 1 sự phân tích hợp lí mới đưa đến việc lập hệ phương trình để giải. Khả năng mô hình hóa toán học được đòi hỏi ở các bài toán này.
- Có 1 sự đa dạng về các bài toán thuộc 5 dạng, từ các bài toán cổ, các bài toán tìm số đến các bài toán hình học, vật lí khá khó. Để “phiên dịch” được bài toán cần một sự am hiểu nhất định về mọi lĩnh vực.
- Mặc dù giữa [1] và [8] có sự phân chia không giống nhau về các dạng toán nhưng ta thấy chúng không khác nhau mấy về nội dung mà các bài toán đề cập. Những kiến thức cần thiết phải nắm để “phiên dịch” được bài toán thuộc các lĩnh vực toán học, vật lí,… và đời sống thường ngày. Có thể nói, khi thực hành GTHPT, học sinh có thể tiếp xúc với thực tiễn sống động xung quanh mình.
Vì vậy, chúng tôi gọi GTHPT là một phương pháp giải toán gắn liền với thực tiễn. Thật vậy, mục sau sẽ giúp chúng tôi lí giải cho nhận định của mình.
1.4. “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” – một phương pháp giải toán gắn với các “vấn đề thực tiễn”.