Cũng giống như trong các chương trước, trong phần này chúng tôi sẽ đưa bài toán cần giải quyết về mô hình hình học Ơclit. Chúng tôi giả sử rằng, mạng đang xét có mật độ nút tương đối dày đặc (ngoại trừ vùng có hố), và với giả thiết này chúng tôi có thể mô hình hóa đường đi ngắn nhất từSđếnDtrong trường hợpS,Dnằm về hai phía của hốHbằngđường gấp khúc nốiS,Dvà các nút trên biên hố(hình 2.13). HốH được biểu diễn bằng một đa giác với các đỉnh là các nút mạng trên biên hố. Để ý rằng số đỉnh của hốH có thể rất lớn và vì vậy, mục đich của chúng tôi là tìm ra một giải pháp để xấp xỉ hốHbởi một đa giácP đơn giản hơn (có ít đỉnh hơn) sao cho hệ số đường đi Ơclit (xem định nghĩa 2.4.1) củaP đối với
H đủ nhỏ, trong khi vẫn đảm bảo chi phí cho việc quảng bá và lưu trữ thông tin của hố là không quá lớn.
Trước khi đi vào mô hình lý thuyết, chúng tôi thấy có một số điểm lưu ý như sau. Trước hết, nếu lấy tiêu chí đảm bảo đường đi ngắn nhất qua 1 hốH, chúng ta chỉ cần xem xét các đa giác xấp xỉ là đa giác lồi. Thứ hai, Ngoài tiêu chí đảm bảo đường đi ngắn đa giác xấp xỉ cũng cần đảm bảo chi phí phát tán và lưu trữ thông tin của nó là nhỏ nhất có thể. Từ hai tiêu chí này, ta thấy rằng số đỉnh của đa giác xấp xỉ đối với các nút nguồn ở gần hố nên lớn và số đỉnh của nút nguồn ở xa hố thì nên nhỏ. Cụ thể hơn, để đảm bảo hệ số đường đi Ơclit không vượt quá một hằng sốα > 1cho trước, nút nguồn gần đích sẽ cần sử dụng một đa