Trên đây, ta đã trình bày tổng quát một số khái niệm và công thức của phương pháp Palm. Sau đây, ta áp dụng vào mô hình di động hành trình ngẫu nhiên RTMM (Random Trip Mobility Model - RTMM). Trong từng trường hợp cụ thể của RTMM, ta sẽ kèm theo các kết quả để làm rõ hơn phần ta trình bày.
RTMM được đề xuất như là mô hình di động tổng quát, trong đó gồm rất nhiều mô hình riêng biệt như RWPMM và RWM, vì chúng phù hợp với nhiều kịch bản trong thực tế. Tất cả các mô hình đề xuất đều trải qua trạng thái không ổn định khi bắt đầu mô phỏng. Phân bố xác suất của sự di chuyển của các node đặc trưng thay đổi theo thời gian, và cuối cùng hội tụ đến trạng thái ổn định, được biết trong lý thuyết xác suất là
phân bố dừng. Sự hội tụ theo thời gian này thay đổi trong một dải rộng, phụ thuộc các tham số của mô hình di động và không dự đoán trước được.
Phân bố xác suất của sự di chuyển của MN trong tất cả các mô hình này đặc trưng thay đổi theo thời gian và sau cùng hội tụ đến một “trạng thái ổn định” (nghĩa là phân bố dừng). Giao thức thực hiện trong giai đoạn (phase) chuyển trạng thái và trong trạng thái ổn định có thể khác nhau. Điều này lý giải cho sự quan tâm lấy mẫu trạng thái di động của node lúc khởi phát và vì vậy mô phỏng sự di động của node là hoàn hảo, nghĩa là ổn định trong suốt quá trình mô phỏng. Ta sẽ mô tả sự thực hiện lấy mẫu cho RTMM. Các giá trị tiêu chí thực hiện mà ta quan tâm gồm nhiều tính chất truyền thông của node và sự tiến triển của chúng theo thời gian. Các kết qủa khác nhau giữa trạng thái chuyển trạng thái và trạng thái ổn định (đặc tính di động lúc đầu và khi ổn định); trạng thái chuyển trạng thái có thể kéo dài hơn (theo yêu cầu thể hiện đặc tính trong khi mô phỏng) nếu như trạng thái ban đầu không ổn định; các kết quả đó ảnh hưởng đến các giá trị của tiêu chí khi thực hiện định tuyến.
Sau đây, ta thảo luận về RTMM tổng quát dưới góc độ phương pháp Palm.
Mô hình di động tổng quát
Xét mô hình di động tổng quát với những định nghĩa sau:
Miền A là một tập con đóng, bị chặn, kết nối của R2 hoặc R3 (không nhất thiết phải lồi).
P là tập các đường đi của A. Một đường đi là một ánh xạ liên tục: [0,1]→A có đạo hàm liên tục, loại trừ các điểm không tồn tại đạo hàm (điều này là cần thiết để định nghĩa vận tốc).
Với p P, p(0) là điểm xuất phát của đường đi p, p(1) là đích của đường đi p, và
Luật chọn hành trình: Một hành trình là sự tổ hợp giữa một đường đi và một
khoảng thời gian mà MN di chuyển trên đường đi đó, hay là sự kết hợp giữa một đường đi và vận tốc mà MN di chuyển trên đường đi đó. Vị trí M(t) của MN ở thời điểm t được định nghĩa như sau:
Xét tập hợp TnR thoả mãn: T0 ≤ 0 < T1 < T2 <... (n là số nguyên). Tập Tnlà tập các thời điểm chuyển trạng thái của hành trình. Thì Sn:= Tn+1- Tn là khoảng thời gian di chuyển của hành trình thứ n. Tại thời điểm chuyển trạng thái Tn của hành trình, MN sẽ chọn đường đi Pn: [0,1]→A của hành trình thứ n. Vị trí của MN ở thời điểm t được xác định bởi:
M(t) = Pn( n n S T t ) , với Tn ≤ t ≤ Tn+1 (3.11) Cụ thể, vị trí của MN ở điểm đầu hành trình là M(Tn) = Pn(0) và điểm cuối hành trình là M(Tn+1) = Pn(1) (Luật chọn hành trình bị ràng buộc để chọn đường Pn
cho Pn(1) = Pn+1(0) với mọi n). Đặt U(t) = (t - Tn)/Snlà tỷ số thời gian đã trôi qua trên toàn thời gian của hành trình thứ n. Thì ta có M(t) = P(t)(U(t)), với P(t)
= Pn, Tn ≤ t < Tn+1.
Luật khởi đầu mặc định: tại thời điểm t = 0, vị trí khởi đầu, đường đi, vị trí trên đường đi và thời gian còn lại cho đến thời điểm chuyển trạng thái tiếp theo được rút ra thông qua luật khởi đầu mặc định. Theo luật này, thời điểm 0 là thời điểm chuyển trạng thái đầu tiên (T0= 0), một đường đi và một khoảng thời gian hành trình (và do đó là vận tốc) được chọn theo luật.
Lấy ví dụ mô hình bản đồ không gian sử dụng các định nghĩa trên để định tính nó: A là một biểu đồ biểu diễn các đường phố trong một thành phố; tập hợp các đường đi được tạo thành từ tất cả các đường đi ngắn nhất giữa hai điểm giao nhau bất kỳ trong thành phố (biểu diễn bởi các điểm giao nhau trong biểu đồ). Khởi đầu, một MN chọn một đường đi tuân theo luật khởi đầu của mô hình và đi theo đường đi đó. Ở điểm cuối
của hành trình (chính là điểm giao nhau), MN chọn một đường đi khác tuân theo luật chọn hành trình. Đường đi mới có điểm xuất phát chính là điểm kết thúc của đường đi liền trước.
Riêng trường hợp đặc biệt RWPMM bị giới hạn, ta đưa ra các miền con Al, Al A. Các MN di chuyển trong A nhưng điểm kết thúc hành trình phải thuộc Al. Với bản đồ không gian, thì chỉ có duy nhất một miền con Al (nghĩa là l = 1) là tập hợp của các điểm giao nhau trong bản đồ không gian.
Cho rằng luật chọn hành trình là một biến đổi của chuỗi Markov, nghĩa là có một chuỗi các phase In nhận các giá trị trong không gian trạng thái I. Luật chọn hành trình chỉ ra rằng ở thời điểm chuyển trạng thái Tn, các đường đi Pn và khoảng thời gian hành trình Sn khi cho trước phaseInvà vị trí di động Mn := M(Tn) là độc lập với n và với quá khứ. Trường hợp đơn giản, một phase tương ứng là đang trong trạng thái di chuyển (mo) hoặc tạm dừng (pa); trong những trường hợp phức tạp hơn, một phase có thể được sử dụng để mô hình hoá các hành trình trong thành phố hoặc giữa các thành phố.
Giả sử In là chuỗi Markov. Vị trí node Mn+1 (ở điểm cuối cùng của của hành trình thứ n, Tn+1) được giả sử là độc lập với tất cả các phase trước, trừ phase In.
Trạng thái di động ở thời điểm t là Z(t) := (I(t),P(t),S(t),U(t)) đủ để miêu tả trọn vẹn tiến trình tiếp theo của trạng thái di động. Hơn nữa, bất kỳ mô hình RTMM đều có phân bố dừng theo thời gian duy nhất nếu và chỉ nếu giá trị trung bình của khoảng thời gian hành trình ở những lần chuyển trạng thái là hữu hạn.
Để thấy rõ bản chất của các mô hình di động mà ta sẽ áp dụng, ta thêm các giả thiết hỗ trợ sau đây:
(H1) Luật chọn hành trình phụ thuộc chỉ vị trí di động hiện tại Mn và trạng thái của chuỗi Markov In. In chỉ phụ thuộc trạng thái liền trước In-1. Chính xác hơn, phase In được xác định trên một vài tập đếm được I; giá trị của nó thay đổi tại các thời
điểm chuyển trạng thái. Như vậy, phase ở thời điểm Tnlà In = i, và vị trí di động là Mn = m ở thời điểm Tn, đường đi Pn và khoảng thời gian hành trình Sn được vẽ một cách độc lập với tất cả các thời điểm trong quá khứ, ngoại trừ thời điểm Tn, với phân bố phụ thuộc vào m và i chứ không phụ thuộc vào n; giá trị mới của chuỗi In+1 chỉ phụ thuộc vào giá trị i.
(H2) Một trong những điều sau là đúng:
(H2a) (i) Phân bố của vị trí Mn+1 ở thời điểm Tn+1 chỉ phụ thuộc vào phaseIn mà không phụ thuộc vào n.
(ii) Chuỗi các phase In có tập hợp các phase chuyển trạng thái I* I2 cũng như phân bố vị trí Mn+1 chỉ phụ thuộc In;
(H2b) Phân bố vị trí Mn ở thời điểm Tn không phụ thuộc n, Mn độc lập với In, và (Sn,In+1) chỉ phụ thuộc vào In.
(H3) Chuỗi Markov Inlà truy hồi dương. Có nghĩa, điều này là đúng nếu I là hữu hạn và đồ thị của chuỗi In là kết nối với nhau.