Phương pháp Palm

Ta dùng phương pháp Palm để xét tính dừng của một số mô hình di động, vì nó hỗ trợ tốt để thực hiện liên hệ các giá trị trung bình theo thời gian với các giá trị trung bình theo sự kiện. Các giá trị trung bình theo thời gian thu được bằng cách lấy mẫu hệ thống tại các thời điểm bất kỳ; điều này tương ứng với phân bố dừng theo thời gian. Trung bình theo sự kiện thu được bằng cách lấy mẫu hệ thống khi xảy ra chuyển trạng thái. Phân bố thu được theo cách này được gọi là phân bố Palm hay phân bố dừng theo sự kiện. Lý thuyết và chi tiết của phương pháp tính Palm được tìm thấy ở [35]. Ở đây xin tóm tắt một số khái niệm và công thức của phương pháp Palm mà ta sử dụng.

 Tính dừng

Phương pháp Palm áp dụng cho các quá trình dừng. Giả sử, ta quan sát đầu ra của một quá trình mô phỏng được coi là mẫu của một quá trình ngẫu nhiên St. Quá trình này là dừng nếu với bất kỳ n, bất kỳ chuỗi thời gian t1 < t2< …<tn và bất kỳ độ dịch thời gian u, phân bố cùng nhau của (Stu

1 ,St u

2 ,..., t u

n

S  ) là độc lập với u. Nói khác, quá trình này không thay đổi thống kê mà nó đã có.

Trong thực tiễn, tính dừng thường xảy ra nếu ta đặt thời gian mô phỏng đủ dài.

 Trung bình theo thời gian

Xem Xt là kết quả ra của mô phỏng. Nếu Xt là dừng thì phân bố của Xt là độc lập với t; nó được gọi là phân bố dừng theo thời gian của X.

Nếu Xt là quá trình ergodic, cho bất kỳ hàm hữu hạn , ta có thể ước lượng E((Xt)) bởi (cho rằng thời gian t rời rạc):

E((Xt)) ≈   T t t X T 1 ) ( 1  (3.1)

khi T lớn. Một phát biểu tương đương cho tập W bất kỳ:

P(Xt W) ≈ khoảng thời gian mà Xt thuộc tập W (3.2) Nói khác, phân bố dừng theo thời gian của Xt có thể được ước lượng bởi trung bình theo thời gian.

 Chuyển trạng thái chọn lọc, xử lý điểm và cường độ

Xét một tập hợp các chuyển trạng thái chọn lọc của mô phỏng với giả thiết mô phỏng đạt tới chế độ dừng. Một chuỗi các thời điểm ngẫu nhiên Tn là những thời điểm mà St đạt tới một tập con nào đó thuộc không gian trạng thái, hoặc tại đó thực hiện một chuyển trạng thái từ trạng thái s sang trạng thái s’, với (s,s’) thuộc tập con đó. Ví dụ,

 Tn nZlà một chuỗi các thời điểm tại đó ta tới được điểm định hướng (nghĩa là M(t) = Next(t)). Tn được gọi là xử lý điểm.

Vì mô phỏng là trong chế độ dừng nên ta tưởng tượng rằng ở thời điểm 0, mô phỏng đã chạy được một khoảng thời gian nào đó. Vì xử lý điểm của những chuyển trạng thái chọn lọc được xác định theo chuyển trạng thái của trạng thái mô phỏng St

nên nó cũng là dừng. Để thuận tiện và theo thông lệ, ta đưa ra quy ước:

T0 ≤ 0 < T1 (3.3) Nói khác, T0 là thời điểm cuối xảy ra chuyển trạng thái trước thời điểm 0 và T1là thời điểm tiếp của chuyển trạng thái được bắt đầu từ 0.

Cường độ λ của xử lý điểm của các trạng thái chọn lọc được định nghĩa là số lần chuyển trạng thái được kỳ vọng xảy ra trong một đơn vị thời gian. Cho rằng không thể có hai chuyển trạng thái xảy ra ở cùng một thời điểm. Trong miền thời gian rời rạc, λ

bằng với xác suất để có một chuyển trạng thái ở một thời điểm bất kỳ:

λ = P(T0 = 0) (3.4)

Trong miền thời gian liên tục, cường độ λ được xác định là số lần chuyển trạng thái

N(t,t+τ) trong thời khoảng nào đó [t,t+τ] thoả mãn:

E(N(t,t+τ)) = λτ (3.5)

 Kỳ vọng Palm và xác suất Palm

Gọi Y là kết quả ra ngẫu nhiên nào đó của mô phỏng, giả thiết rằng là khả tích (chẳng hạn đóng và bị chặn). Ta định nghĩa kỳ vọng Et

(Y) là kỳ vọng có điều kiện: Et(Y) = E(Y | một chuyển trạng thái xảy ra ở thời điểm t) (3.6) Nếu Y = Xt với Xt và mô phỏng là dừng cùng nhau, Et(Xt) không phụ thuộc vào t. Với t

= 0, nó được gọi là kỳ vọng Palm.

E0(X0) = E(X0 | một chuyển trạng thái xảy ra ở thời điểm 0) (3.7) Xác suất Palm được định nghĩa một cách tương tự, đó là:

P0(X0  W) = P(X0  W | một chuyển trạng thái xảy ra ở thời điểm 0) (3.8) Chú ý rằng P0(T0= 0) = 1, có nghĩa là xác suất Palm ứng với T0 = 0.

Trung bình theo sự kiện (trung bình của các thời điểm xảy ra sự kiện)

Nếu mô phỏng là quá trình ergodic thì ta có: E0(X0)    N n Tn X N 1 1 (3.9) với N lớn. Một phát biểu tương đương là:

Pt(Xt  W) = P0(X0  W) ≈ phần của chuyển trạng thái mà Xt thuộc W (3.10)

 Các công thức Palm khác

Có nhiều công thức Palm khác. Một công thức phổ biến là công thức của Little:

λR = N, với R là kỳ vọng Palm của thời gian khách hàng qua một hệ thống, λ là cường độ khách hàng đến và N là kỳ vọng dừng của số khách hàng trong hệ thống.