1. Số phức trong chương trình và SGK Giải tích 12 Việt Nam
1.2. Về số phức và các khái niệm liên quan
Tương tự giáo trình [A], sự xuất hiện số phức trong [V] gắn liền với việc tìm nghiệm của phương trình bậc hai. [V] đã trình bày cách xây dựng tập hợp số phức không thực sự chặt chẽ về mặt toán học vì mục tiêu chính của chương trình chỉ là giúp học sinh hiểu được nhu cầu mở rộng tập số thực thành tập số phức. Theo quan điểm trình bày của [V] ta hiểu số phức là phần tử của trường đại số mở rộng của trường số thựcthu được bằng cách ghép thêm vào nghiệm i của phương trình x2 + 1 = 0. Khi đó, số phức được định nghĩa dưới dạng một biểu thức đại số a + ib với a, b là các số thực và i thỏa mãn điều kiện i2 = -1. Khái niệm số phức định nghĩa như vậy chỉ mang tính mô tả, các kí hiệu “+”, “bi”, “i2
” cho đến lúc này chưa được định nghĩa. Cách trình bày của [V] khiến người ta hiểu ba ký hiệu trên theo cách đã được thiết lập trong .
Các khái niệm khác như số phức liên hợp, số phức đối và môđun của số phức đều được định nghĩa bằng đại số.
“Số phức liên hợp của z = a + bi (a b, ∈) là a – bi và được kí hiệu bởi z” ([V], trang 186)
“Với mỗi số phức z = a + bi (a b, ∈), nếu kí hiệu số phức –a – bi là -z thì ta có z + ( - z) = (- z) + z = 0. Số -z được gọi là số đối của số phức z.” ([V], trang 183). “Môđun của số phức z = a+ bi (a b, ∈) là số thực không âm 2 2
a +b và được kí hiệu là z .” ([V], trang 187).
1.3. Về các phép toán trên số phức
các số phức được thực hiện tương tự như phép cộng, trừ những đa thức một biến trong số thực.
Trước khi định nghĩa phép nhân hai số phức, [V] đã thực hiện phép nhân một cách hình thức hai biểu thức a + bi, a’ + b’i (a, b, a’, b’ ∈) và thay i2 = -1.
“ 2
(a+bi a)( '+b i' )=aa'+bb'i +(ab'+a b i' ) =aa'-bb'+(ab'+a'b)i” ([V], trang 185) Ở đây, [V] dựa vào phép nhân các biểu thức đã quen thuộc đối với học sinh để định nghĩa phép nhân hai số phức. Có thể do sự quen thuộc trong tính toán với các biểu thức như thế mà học sinh dễ chấp nhận định nghĩa này. Từ định nghĩa phép cộng và phép nhân số phức chỉ có thể giải thích được dấu cộng và nhân trong biểu thức a + bi chính là phép cộng và phép nhân những số thực. Nghĩa hình học của phép nhân trong mối liên hệ với phép đồng dạng chưa được lý giải.
Phép chia số phức được thực hiện nhờ phép nhân và tính chất quen thuộc của phân số “ ' '.
.
z z z
z = z z ”.
Tóm lại, trong [V], bốn phép toán cơ bản trên số phức gồm phép cộng, trừ, nhân, và chia đều được tiếp cận trên phương diện đại số.
1.4. Về các dạng biểu diễn số phức và vai trò của chúng
Định nghĩa số phức cho thấy mỗi số phức được mô tả gồm hai thành phần là phần thực và phần ảo. Từ đây có thể suy ra mỗi số phức được đặc trưng bởi một bộ gồm hai số thực có thứ tự. Đặc trưng này được thể hiện khá rõ qua định nghĩa hai số phức bằng nhau.
“Hai số phức z = a + bi ( ,a b∈R), z’ = a’ + b’i (a b', '∈R) gọi là bằng nhau nếu a = a’, b = b’.” ([V], trang 182).
Ta biết rằng giữa tập hợp những cặp số thực có thứ tự (a, b) và tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Đề-các vuông góc có thể xác lập phép tương ứng đơn trị một – một. Do đó, mỗi số phức a + bi có thể đặt tương ứng với một điểm M(a, b) và ngược lại. Phân tích trong chương 1 cho thấy đây chính là cơ sở cho việc thiết lập biểu diễn hình học của số phức.
“Đối với các số phức, ta hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức z = a + ib ( ,a b∈R) được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a, b).
Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a, b) biểu diễn một số phức z = a + ib. Ta còn viết M(a + ib) hay M(z).” ([V], trang 182)
Qua việc biểu diễn hình học số phức bởi một điểm trên mặt phẳng tọa độ, [V] đã hình thành ở học sinh hình ảnh trực quan về số phức, số phức đối và số phức liên hợp vốn được định nghĩa hình thức bởi những biểu thức đại số.
Ý nghĩa hình học của phép cộng và trừ hai số phức được trình bày tường minh thông qua các phép toán về vectơ.
“Trong mặt phẳng phức, ta đã coi điểm M có tọa độ (a, b) biểu diễn số phức z = a + bi. Ta cũng coi mỗi vectơ u
có tọa độ (a, b) biểu diễn số phức z = a + bi. Khi đó ta nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa là vectơ OM
biểu diễn số phức đó. Dễ thấy rằng, nếu , 'u u
theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’ thì '
u u +
biểu diễn số phức z + z’ '
u u −
biểu diễn số phức z – z’. ” ([V], trang 184).
[V] đã cung cấp một cách biểu diễn khác cho số phức là biểu diễn dưới dạng vectơ. Cơ sở của việc biểu diễn này, như đã trình bày, là sự tương ứng giữa các đối tượng z= + ↔a ib ( , )a b ↔M a b( , )↔OM a b( , ).
Sự liên kết giữa số phức với vectơ tiếp tục được khẳng định qua ví dụ bên dưới :
“Ví dụ 5. Trong mặt phẳng phức, nếu điểm M biểu diễn số phức z, điểm M’ biểu diễn số phức z’ ( M khác M’) thì trung điểm P của đoạn MM’ biểu diễn số phức 1( ')
2 z+z . Điểu đó suy ra từ hệ thức 1( ') 2 OP= OM +OM .” ([V], trang 185).
Chúng tôi đặc biệt chú ý đến hoạt động H3 – một hoạt động thể hiện ý nghĩa hình học cho phép nhân số thực với số phức.
“Nếu vectơ u
biểu diễn số phức z thì vectơ ku
(k∈R) biểu diễn số phức nào? Vì sao?” ([V], trang 185).
“ Nếu vectơ u
biểu diễn số phức z thì vectơ ku
((k∈R) biểu diễn số phức kz. Điều đó suy ra từ : nếu z = a + bi (a b, ∈R) thì k.z = ka + kbi, còn tọa độ của u
là (a, b) và tọa độ của k. u
Nghĩa hình học của phép nhân số phức chưa được làm rõ. Tuy nhiên, một bài tập đố vui trong [V] đã phác họa lên hình ảnh của số phức tích và cung cấp một cách dựng hình học số phức này thông qua việc dựng hai tam giác đồng dạng.
“16. Đố vui. Trong mặt phẳng cho các điểm: O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z’≠0 và B’ biểu diễn số phức z.z’. Hai tam giác OAB, OA’B’ có phải là hai tam giác đồng dạng không?” ([V], trang 191). Sau khi định nghĩa khái niệm argumen, [V] thực hiện việc chuyển dạng đại số z = a + bi (a, b ∈R) sang dạng lượng giác z=r(cosϕ+i sin )ϕ với r là môđun,
ϕ là một argumen của số phức z. Kỹ thuật dùng để chuyển đổi giữa hai dạng đại số và lượng giác được trình bày tường minh. Như đã nêu ở chương 1, ưu điểm của dạng lượng giác so với các dạng biểu diễn khác là sự thuận lợi trong việc thực hiện phép nhân, chia, phép nâng lên lũy thừa bậc cao hay phép khai căn.
Để nhân (hoặc chia) hai số phức dưới dạng lượng giác thì ta chỉ cần nhân (hoặc chia) các môđun và lấy tổng (hoặc hiệu) của hai argumen tương ứng của hai số phức đã cho. Phép tính lũy thừa bậc cao và phép khai căn bậc n của số phức được thực hiện nhờ công thức Moivre.
Như vậy, khái niệm số phức trong [V] đã được tiếp cận ở cả hai phương diện: - Trên phương diện đại số : các phép tính số học trên tập số phức được thực hiện tương tự như trong số thực với chú ý i2 = -1.
- Trên phương diện hình học : người ta gắn số phức với các vectơ, từ đó giải thích được phép cộng, trừ hai số phức là phép cộng, trừ hai vectơ; tích của số phức và số thực là tích của vectơ với số thực. Việc gắn vectơ vào số phức chỉ là bước trung gian để đưa vào dạng lượng giác, công thức Moivre và phép khai căn. Biểu diễn hình học của số phức chưa được khai thác triệt để. Cụ thể, mối liên hệ giữa số phức với các phép biến hình không được đề cập trong [V].
“Nếu muốn, giáo viên cũng có thể nói thêm cho học sinh giỏi chẳng hạn rằng : vậy phép biến đổi của mặt phẳng phức biến điểm M biểu diễn số phức z thành điểm M’ biểu diễn số phức z’ = -z là phép đối xứng tâm O (gốc tọa độ).
[...] Với học sinh giỏi có thể nói thêm : phép biến đổi của mặt phẳng phức biến điểm M biểu diễn số phức z thành điểm M’ biểu diễn số phức z’ = kz ( k là số thực khác 0 cho trước) là phép vị tự tâm O (gốc tọa độ) với hệ số vị tự k.” ([18], trang 227).
Có lẽ do yêu cầu của chương trình dạy học số phức ở bậc trung học phổ thông nên các tác giả viết SGK đã không trình bày tường minh vấn đề liên quan đến phép biến hình. Tuy vậy, ở một khía cạnh nào đó các tác giả vẫn mong muốn cung cấp những điều này đến học sinh (ít nhất là với đối tượng học sinh giỏi). Điều đó chứng tỏ rằng sự liên hệ giữa phép toán trên số phức với phép biến hình là vấn đề cần được quan tâm.
Mặt khác, theo SGV “ý nghĩa hình học của phép nhân (chia) các số phức được thể hiện rõ ràng nhờ dạng lượng giác của chúng” ([18], trang 249). Tham chiếu vào những phân tích ở chương 1, ta thấy rằng chỉ với dạng lượng giác chưa đủ để giải thích nghĩa hình học cho phép nhân hai số phức mà cốt lõi của vấn đề chính là các phép biến hình. Dạng lượng giác được đề cập trong [V] chỉ giúp khai thác phép nhân số phức ở phương diện tính toán, việc mang lại nghĩa trên phương diện hình học cho khái niệm này chưa thực sự được giải quyết. Mọi cố gắng khai thác quan hệ giữa đối tượng số phức với phép biến hình của các tác giả chỉ được thể hiện trong SGV.
“Về hình học, số phức giúp khảo sát nhiều điều trong mặt phẳng. Ngay ở bậc trung học phổ thông, dùng số phức cũng có thể diễn tả một số vấn đề của hình học sơ cấp trong mặt phẳng, đặc biệt về các phép dời hình, phép đồng dạng trong mặt phẳng [...]. Dễ thấy phép biến đổi của mặt phẳng phức biến điểm M tùy ý biểu diễn số phức z thành điểm M’ biểu diễn số phức z’ sao cho :
1/ z’ = z + β (β là số phức cho trước) là phép tịnh tiến theo vectơ u
biểu diễnβ. 2/ z’ – z0 = α (z – z0) (α là số phức cho trước, α =1, z0 là số phức cho trước) là phép quay tâm A (biểu diễn số phức z0) với góc quay là một acgumen của α . Điều đó suy ra từ: AM' = −z' z0 = α .z−z0 = −z z0 = AM
và khi M khác A, một góc lượng giác tia đầu AM, tia cuối AM’ có số đo là một acgumen của 0
0
'
z z
z−z =α
− .
Từ đó suy ra phép biến đổi xác định z’= α z + β (α =1,β là số phức tùy ý cho trước) là một phép tịnh tiến khi α=1 và là một phép quay khi α ≠1 (vì khi α ≠1 thì
z’= α z + β có thể được viết thành z’ – z0 = α (z – z0) với 0 1
z β
α
=
3/ z’ – z0 = k(z – z0) ( k thực khác 0, z0 là số phức cho trước) là phép vị tự tâm A (biểu diễn z0) với hệ số vị tự k.
Từ đó suy ra phép biến đổi xác định bởi z’ = α z + β (α , β là số phức cho trước, α
khác 0) là một phép tịnh tiến khi α = 1, còn khi α ≠1, nó là hợp thành của một phép quay (với góc quay là một acgumen của α ) với một phép vị tự cùng tâm (với hệ số vị tự là α ), tức là một phép đồng dạng trong mặt phẳng.” ([18], trang 255).