Qua các pha thực nghiệm, chúng tôi ghi nhận được rằng trong nhận thức của học sinh đã xuất hiện mối quan hệ giữa phép nhân hai số phức dưới dạng đại số với phép đồng dạng là hợp thành của một phép vị tự và một phép quay cùng tâm.
Phần lớn học sinh đã tiếp cận được ý nghĩa hình học của phép nhân hai số phức. Đồng thời họ đã biết vận dụng ý nghĩa này như một công cụ đặc biệt để giải quyết bài toán tìm ảnh của một điểm qua phép đồng dạng đã được đặt ra trong tình huống.
KẾT LUẬN CHUNG
Việc phân tích đồng thời đối tượng số phức ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức cần giảng dạy cũng như các kết quả thu được từ thực nghiệm đã cho phép chúng tôi trả lời các câu hỏi nghiên cứu được đặt ra ở phần đầu. Cụ thể, các kết quả thu được của chúng tôi gồm có:
- Trong chương 1, việc tìm hiểu một vài nét về sự hình thành, phát triển của khái niệm số phức và phân tích một số giáo trình toán ở bậc đại học cho chúng tôi thấy được vai trò và mối quan hệ giữa hai cách tiếp cận số phức bằng đại số và hình học. Đặc biệt là mối quan hệ giữa phép nhân hai số phức với phép hợp thành của một phép vị tự và một phép quay cùng tâm. Trong mối quan hệ đó, việc biểu diễn hình học một số phức bởi một điểm trên mặt phẳng phức đóng vai trò liên kết. - Trong chương 2, khi nghiên cứu mối quan hệ thể chế về đối tượng số phức trong SGK ở Việt Nam, chúng tôi nhận thấy kiến thức cần giảng dạy về số phức chủ yếu được tiếp cận theo quan điểm đại số. Tiếp cận hình học tuy có được quan tâm nhưng chưa đầy đủ, mối quan hệ giữa phép nhân với phép đồng dạng không được nhấn mạnh. Trong khi đó thể chế dạy học ở Pháp lại rất chú trọng đến dạng hình học của nó.
- Trong chương 3, chúng tôi xây dựng một tình huống dạy học nhằm tạo cơ hội cho học sinh tiếp cận ý nghĩa hình học của phép nhân số phức, làm nổi rõ mối quan hệ giữa hai dạng đại số và dạng hình học của số phức.
Chúng tôi mong muốn xây dựng một tình huống dạy học cho phép hình thành ý nghĩa hình học của các phép toán trên số phức thỏa mãn những đặc trưng khoa học luận của nó, không cần phải qua các bước trung gian. Để làm được điều này cần phải có một nghiên cứu đầy đủ hơn về mối liên hệ giữa Đại số và Hình học đối với số phức. Tuy nhiên do hạn chế về tư liệu và thời gian, chúng tôi chưa thể thực hiện được mong muốn đó. Đây là những hạn chế của đề tài đồng thời là hướng nghiên cứu mới có thể gợi ra từ luận văn này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[ 1 ] Lê Thị Hoài Châu (2008), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông, Trường ĐHSP TP.Hồ Chí Minh.
[ 2 ] Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2003), Đềtài nghiên cứu khoa học cấp bộ “Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn Toán, TP. Hồ Chí Minh.
[ 3 ] Annie Bessot, Claude Comiti (Đại học Joseph Fourrier – Grenoble I), Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những vấn đề cơ bản của Didactic Toán, NXB Đại học quốc gia TP.Hồ Chí Minh.
[ 4 ] Văn Như Cương (chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Bài tập hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục.
[ 5 ] Nguyễn Thị Duyên (2009), Dạy học số phức ở trường phổ thông, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh.
[ 6 ] Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng (2008), Bài tập giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục.
[ 7 ] Nguyễn Văn Đông, Số phức, giáo trình dành cho sinh viên sư phạm, Trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh.
[ 8 ] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện (2007), Hình học 11, NXB Giáo dục. [ 9 ] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện (2007), Sách giáo viên Hình học 11, NXB Giáo dục.
[ 10 ] Lê Thị Huyền (2011), Số phức và ý nghĩa hình học trong dạy học ở chương trình phổ thông, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh.
[ 11 ] Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh (2007),
[ 12 ] Nguyễn Mộng Hy (2004), Các phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo dục.
[ 13 ] Nguyễn Bá Kim (chủ biên), Đinh Nho Chương (1994), Phương pháp dạy học môn Toán- phần 2: Những nội dung cơ bản, NXB Giáo dục.
[ 14 ] B.A. Fukxo, B.A. Sabat, Trần Gia Lịch, Ngô Văn Lược, Lê Văn Thành dịch (1969), Hàm biến phức và ứng dụng, NXB khoa học Hà Nội.
[ 15 ] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Trần Nam Dũng, Đinh Công Hướng, Nguyễn Đăng Phất, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh (2009), Biến phức định lý và áp dụng, Trường ĐH Khoa học tự nhiên- ĐH quốc gia Hà Nội.
[ 16 ] Phan Bá Ngọc (1996), Hàm biến phức và phép biến đổi Laplaxaơ, NXB Giáo dục.
[ 17 ] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2008), Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục.
[ 18 ] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2008), Sách giáo viên giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục.
[ 19 ] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Văn Như Cương (chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục.
[ 20 ] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Văn Như Cương (chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Sách giáo viên Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục.
[ 21 ] Nguyễn Thế Thạch (chủ biên), Đoàn Quỳnh, Nguyễn Hải Châu, Nguyễn Tiến Tài, Văn Như Cương, Nguyễn Chí Thành, Nguyễn Huy Đoan, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Nguyễn Mộng Hy, Cấn Văn Tuất, Bùi Văn Nghị, Trần Vui, Trần Văn Luông, Phạm Đức Quang (2008), Hướng dẫn thực hiện chương trình, sách giáo khoa môn Toán (Tài liệu dùng trong các lớp tập huấn bồi dưỡng giáo viên cốt cán thực hiện chương trình và sách giáo khoa lớp 12), NXB Giáo dục.
[ 22 ] Nguyễn Thủy Thanh (2006), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
[ 23 ] Chu Trọng Thanh (chủ biên), Trần Trung (2010), Cơ sở toán học hiện đại của kiến thức phổ thông, NXB Giáo dục Việt Nam.
[ 24 ] Nguyễn Cảnh Toàn (chủ biên) (2001), Từ điển thuật ngữ toán học, NXB từ điển bách khoa Hà Nội.
[ 25 ] Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học, NXB Giáo dục.
Tiếng nước ngoài
[ 26 ] Titu Andresscu, Dorin Andrica (2001), Complex Numbers from A to..Z, ..
PHỤ LỤC
1. Phụ lục 1: Phiếu câu hỏi thực nghiệm. Phiếu câu hỏi 1
Thông báo Một phép đồng dạng F có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O (với O là gốc tọa độ) tỉ số k ( k > 0) và phép quay tâm O góc quay ϕ
được kí hiệu là F(O, k, ϕ).
Bài toán 1
Trong mặt phẳng phức Oxy, cho điểm M biểu diễn số phức zM = 2 + 2 3i. Hãy tìm số phức zM’ được biểu diễn bởi điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép đồng dạng F (O, 1
2, 2
π
). Các em hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách giải khác nhau.
Phiếu câu hỏi 2
Bài toán 2
Trong mặt phẳng phức Oxy, cho điểm M biểu diễn số phức zM = 3 + i. Hãy tìm số phức zM’ được biểu diễn bởi điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép đồng dạng F(O, 2,
3
π
− ). Các em hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách giải khác nhau.
Phiếu câu hỏi 3
Bài toán 3 3.1 Viết dạng đại số của số phức a/ w1 = 1( os i sin ) 2 c 2 2 π + π b/ w2 = 2[ os(- ) i sin( )] 3 3 c π + −π 3.2 Thực hiện phép tính a/ (2 + 2 3i).w1 b/ (3 + i).w2
Phiếu câu hỏi 4 Bài toán 4
Trong mặt phẳng phức Oxy, cho ba số phức zA = 2 - i, zB = 3 + 4i , zC = 2 + 3i có điểm biểu diễn là ba đỉnh của tam giác ABC. Tìm các số phức zA’, zB’, zC’ được biểu diễn bởi các đỉnh của tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép đồng dạng F(O, 2,
6
π
).
Phiếu câu hỏi 5 Bài toán 5
Trong mặt phẳng Oxy, cho zM là số phức được biểu diễn bởi điểm M nằm trên đường tròn (C) có tâm I(0; 2) và bán kính R = 2. Tìm tập hợp điểm M’ biểu diễn số phức zM’ thỏa zM’ = ( 3−i z). M?
2. Phụ lục 2 : Phiếu làm bài của học sinh.
Pha 1 và pha 2
Pha 4
Pha 5
3. Phụ lục 3 : BIÊN BẢN NHÓM 2
PHA 1
1. HS1: Tìm gì trước đây?
2. HS2: Phải có tọa độ điểm M chứ? 3. HS1: À, là 2 và 2 3.
4. HS3: Phần thực và phần ảo số phức chứ gì? 5. HS1: Ừ, nó đó.
6. HS1: Ê, bạn Hiền ghi nha, chữ bạn dễ đọc hơn. 7. HS2: Ghi sao nè?
8. HS3: Ghi như vầy đi: “M có tọa độ (2, 2 3) là điểm biểu diễn số phức zM = 2 + 2 3i. Còn điểm M’ ( x, y) là điểm biểu diễn số phức z’ = x + iy.”
(HS ghi vào phiếu làm bài)
9. HS4: Tìm ảnh của M qua phép vị tự trước đúng không? Công thức phép vị tự là sao? Vectơ hả?
10.HS2: Mình biết, để mình ghi nhá “ '' 1 2
OM= OM
” ( HS ghi vào phiếu làm bài).
11.HS5: M’’ là gì?
12. HS2: Tớ chưa ghi xong mà tài lanh quá. “ M’’ là ảnh của M qua V(O, 1 2)
”
13. HS2: Tính đi.
14.HS1: Có tọa độ là (1, 3).
15. HS1: Tiếp tục tìm ảnh của M’’ qua phép quay. 16.HS2: Tính vô nháp cái đã.
17.HS4: Dùng định nghĩa phép quay đi.
18.HS3: Tức là OM’’ = OM’ và OM’’ vuông góc OM’ đúng không? 19.HS5: Công thức tính độ dài sao mậy?
20.HS1: Căn bậc 2 của hoành độ bình phương cộng tung độ bình phương đó. 21.HS4: Hai vectơ vuông góc thì tích vô hướng vuông góc phải hôn?
22.HS1: Tích vô hướng mà vuông góc cái gì, bằng 0. 23.HS4: Hihi, tớ nhầm, sorry.
24.HS1: Mỗi người tự tính ra nháp đi coi giống nhau không?
(Các HS tính ra nháp)
25.HS1: Ra rồi nè, ( - 3, 1). Mấy bạn tính xong chưa? 26.HS6: Ra hai điểm M’ lận mà.
27.HS7: Tớ cũng vậy.
28.HS2: Tớ tính chưa xong, không biết.
29.HS3: Tớ cũng ra hai điểm M’, sao bạn ra được 1 điểm vậy? 30.HS4: Thì vẽ hình nhận M’ có hoành độ âm, đúng không mậy? 31.HS1: Ừ, M’ nằm ở góc phần tư thứ hai mà.
32.HS6: Ừ, quên mất.
33.HS7: Quay theo chiều dương chứ gì. Rồi hiểu rồi. 34.HS1: Nhanh lên ghi vô đi, thống nhất vậy nhé. 35.HS2: Đọc tớ ghi đi.
HS ghi vào phiếu làm bài: M’ là ảnh của M’’ qua Q(O, 900
0 0 2 2 '' ' '' ' ( '', ') 90 ''. ' 90 4(1) 3 0 3 OM OM OM OM OM OM OM OM x y x y x y = = ⇒ ⇒ = = + = ⇒ + = → = − 2 (1)↔4y = → =4 y 1,y= − → = −1 x 3,x= 3(loại) '( 3,1) M ⇒ −
36.HS6: Không giải thích tại sao loại hả? 37.HS2: Ghi vô luôn “(vì 0
90 ,x 1) ϕ = + < ”. 38.HS1: Vẽ hình kế bên đi, minh họa chứ. 39.HS5: Ủa sao mình ghi góc 900 không vậy,
2
π
mà. 40.HS2: Kệ đi, cũng vậy thôi mà.
41.HS4: Kiếm cách khác đi.
42.HS7: Năm lớp 11 có giải bằng cách nào nữa không ta? 43.HS4: Lâu quá không nhớ nữa. Có ai nhớ không?
HS im lặng một lúc
44.HS2: Đọc lại đề xem nè.
45. HS3: Số phức có gì liên quan không? 46.HS1: Dùng argumen đi.
47.HS4: Argumen thì liên quan gì? Không hiểu bạn muốn nói gì nữa.
48.HS1: Tìm argumen và môđun trước rồi viết số phức dưới dạng lượng giác là được rồi còn gì nữa.
49. HS7: Môđun bằng nhau đúng không? 50.HS4: Sao bằng?
51.HS1: Nhìn vô hình đi, quay 900thì độ dài đâu thay đổi đâu. 52.HS4: Điểm M’’ giữ nguyên hả?
54. HS2: Argumen của M’ là góc này hả? (vừa hỏi vừa chỉ vào hình)
55.HS1: Đúng, góc này sẽ bằng 900 cộng với góc nhỏ bên này nè. 56.HS4: Góc này (tức là argumen của số phức zM’’) tìm sao đây? 57.HS6: Chuyển điểm M’’ về dạng lượng giác đi.
58.HS1: Được rồi nè, M’’(1, 3) chính là số phức 1 + 3i, có môđun bằng 2 và argumen bằng
3
π
. Suy ra được dạng lượng giác của nó liền. 59.HS3: Lấy góc này 600
cộng thêm 900thì được góc bên kia là 1500
. 60.HS1: 1500đổi ra radian đi.
61.HS6: Không để độ được hả? 62.HS1: Tính theo rađian mới đúng. 63.HS2: Bấm máy tính cho chắc. 64.HS7: Là 5
6
π
.
65.HS4: Viết dạng lượng giác đi
HS viết ra nháp : ' 2( os5 i sin5 ) 6 6
z = c π + π
66.HS2:Vậy là xong rồi.
67.HS1: Chuyển về dạng đại số trở lại chứ. 68.HS2: Ghi vào nha.
69.HS7: Thì ghi đi.
HS ghi vào phiếu làm bài
0 0 ''(1, 3) '' 2(cos i sin ) 3 3 90 ( ', Ox) 150 5 5 3 1 ' 2( os i sin ) 2( ) 3 6 6 2 2 M z OM z c i i π π ϕ π π ⇒ = + = → = → = + = − + = − +
70.HS2: Xong 2 cách. Còn cách nào nữa không? 71.HS7: Sao nhóm bên kia viết nhiều thế?
HS im lặng, tiếp tục suy nghĩ
73.HS5: Này, nếu không tính được argumen của số phức zM’’ thì sao nhỉ? 74.HS4: Thì không tính ra được góc giữa OM’ và Ox chứ sao?
75.HS5: Vậy làm sao?
76.HS2: Thì không làm cách đó, làm cách khác? 77.HS5: Cách nào? Nghĩ ra chưa?
78.HS1: Thôi bó tay, hết biết rồi. 79.HS2: Nộp bài cho cô luôn à.
80.HS3: Đợi cô gọi rồi nộp, xem kĩ lại đi có sai gì không đó. 81.HS1: Vậy được rồi.
GV yêu cầu các nhóm ngừng làm việc, GV mời đại diện nhóm 4 lên bảng trình bàycác lời giải của nhóm mình.
82.HS5: Trời ơi, nhóm kia nghĩ ra được 4 cách luôn? 83.HS1: Có 2 cách (cách 2 và cách 3) giống mình rồi mà.
84. HS2: Ủa cách 1 ( CLhv) sao không thấy làm gì hết vậy mà cho kết quả luôn á?
85.HS1: Chỉ dựa vào hình vẽ thôi. 86.HS2: Vậy cũng được hả?
87.HS3: Kết quả đúng thì thôi chứ. 88.HS2: Dễ quá ha.
89.HS1: Cách 4 của nhóm 4 cũng chỉ dựa vào góc thôi . 90.HS2: Cũng dài dòng quá.
91.GV: Các em có ý kiến gì về cách giải của nhóm 4 không nào? 92.HS (nhóm 5): Cách 3 (CLmđ-arg) nhóm bạn giải tụi em không hiểu. 93.GV: Nhóm 4 hãy giải thích cho các bạn.
94.HS: “Đầu tiên, điểm nhóm mình viết số phức z’’ dưới dạng lượng giác. Suy ra argumen của nó là 3 π cũng chính là góc ∠xOM''. Góc quay 2 π là 900 nên góc 0 '' ' 90 M OM ∠ = . Do đó góc 0 ' 150 xOM ∠ = là 5 6 π
số phức z’. Cuối cùng nhóm mình chuyển số phức này về dạng đại số thì được kết quả.”
95.GV: Các em còn thắc mắc gì nữa không? 96.HS: Dạ không.
97.GV: Các cách giải còn lại thì sao? Không thắc mắc gì à? 98.HS: Dạ không cô.
GV chỉnh sửa những sai sót trong cách giải của nhóm 4 và trình chiếu các sile đáp án.
PHA 2
99. HS3: Làm giống câu 1 trước đi.
100. HS1: Trình bày vô giấy luôn đi cho lẹ.
101. HS2: Phần đầu ghi giống câu 1 luôn phải hôn? 102. HS4: Khác số chứ giống gì.
103. HS2: Cách trình bày kìa. 104. HS1: Ừ
105. HS3: Để tớ chỉ đạo cho, tất cả nghe lời tớ nhé. 106. HS2: Điểm M có tọa (3, 1) hả?
107. HS3: Chính xác.
108. HS2: Gọi M’’ ra không?
109. HS1: Khỏi đi, ghi công thức vô luôn đi.
HS ghi vào phiếu làm bài: OM''=2OM→M''(6, 2)
110. HS1: Tiếp theo ghi lại công thức phép quay đi, giống bài trước đó.
HS ghi vào phiếu làm bài: '' ' 0
( '', ') 60 OM OM OM OM = = − 111. HS3: Các đồng chí có ai tính ra chưa? 112. HS6: Chưa. 113. HS3: Chậm chạp quá.
114. HS2: Từ từ đã.
115. HS4: OM’’ = 2 10 đó.
116. HS1: Bình phương 2 vế luôn nha.
HS ghi vào phiếu làm bài: x2
+ y2 = 40
117. HS3: OM’’ = OM’ nên ghi lại thành OM’’2 luôn đi, tính ra là x2 + y2, tích vô hướng bằng 6x + 2y.
118. HS2: cos( 3
π
− ) hả? 119. HS1: Ừ
HS ghi vào phiếu làm bài:
2 2 2 40 6 2 os( ) '' 3 x y x y c OM π + = + = −
120. HS4: Quy đồng qua mình được 20 đó.
HS ghi vào phiếu làm bài: 2 2 40(1)
6 2 20 3 10 10 3 x y x y x y y x + = + = → + = → = −