Thực nghiệm được triển khai vào khoảng cuối tháng 8/2012 trong một lớp 12 của trường THPT Thuận Mỹ, huyện Châu Thành, tỉnh Long An.
Dữ liệu thu được qua thực nghiệm gồm có : Lời giải của 5 nhóm được trình bày trên các áp-phích, một số giấy nháp của học sinh, ghi âm hai buổi làm việc của các nhóm, ghi hình quá trình thực nghiệm.
BUỔI THỨ NHẤT
Pha 1
Bài toán 1 : Trong mặt phẳng phức Oxy, cho điểm M biểu diễn số phức
zM = 2 + 2 3i. Hãy tìm số phức zM’ được biểu diễn bởi điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép đồng dạng F (O, 1
2, 2
π
).
Các em hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách giải khác nhau
Bảng 3.2. Bảng tóm tắt kết quả trong pha 1
Nhóm Chiến lược Kết quả
1 CLvt và CLmđ-arg Tính đúng số phức zM’. 2 CLvt và CLmđ-arg Tính đúng số phức zM’ 3 CLg-h Tính đúng số phức zM’ 4 hc hv CL , CLvt , CLmđ-arg, CLg-h Tính đúng số phức zM’ 5 hc hv CL , CLvt Tính đúng số phức zM’
Trong pha 1, hầu hết các nhóm đều cho ra kết quả đúng theo các chiến lược đã dự kiến. Trong đó, không có nhóm nào sử dụng CLbttd, CLpn và CLptdt. Chiến lược CLvt được ưu tiên nhiều hơn. Điều này có thể được giải thích là do trước khi tiến hành thực nghiệm chúng tôi có dành một tiết học để ôn tập lại các kiến thức về phép quay và phép vị tự.
1. HS1: Tìm gì trước đây?
2. HS2: Phải có tọa độ điểm M chứ? 3. HS1: À, là 2 và 2 3.
4. HS3: Phần thực và phần ảo số phức chứ gì? ……
15. HS1: Tiếp tục tìm ảnh của M’’ qua phép quay. 16. HS2: Tính vô nháp đi.
18. HS3: Tức là OM’’ = OM’ và OM’’ vuông góc OM’ đúng không? (Xem thêm biên bản nhóm 2, đoạn 1- 39, phụ lục 3)
Bên cạnh đó, có 3/5 nhóm học sinh sử dụng CLmđ-arg đã cho thấy sự ảnh hưởng của biến V4 với giá trị điểm M là điểm biểu diễn số phức z. Như vậy, ý nghĩa hình học của khái niệm số phức được học sinh vận dụng khá tốt và học sinh đã có những hiểu biết ban đầu về sự tương ứng giữa các khái niệm trong số phức với việc tìm ảnh của một điểm qua phép quay.
45. HS3: Số phức có gì liên quan không? 46. HS1: Dùng argumen đi.
47. HS4: Argumen thì liên quan gì? Không hiểu bạn muốn nói gì nữa.
48. HS1: Tìm argumen và môđun trước rồi viết số phức dưới dạng lượng giác là được rồi còn gì nữa.
(Xem thêm biên bản nhóm 2, đoạn 41 – 67, phụ lục 3)
Có 2/5 nhóm sử dụng chiến lược hc hv
Trong chiến lược “hình vẽ”, cả hai nhóm chỉ dựa vào hình biểu diễn các điểm M và M’’ trên mặt phẳng phức để tìm tọa độ điểm M’ mà không trình bày cụ thể các bước làm. Tuy có nhóm chưa chỉ ra được số phức zM’ (có thể do học sinh không cẩn thận hoặc do áp lực về thời gian) nhưng nhìn chung mục đích của pha 1 đã đạt được.
Kết thúc pha 1 là phần trình bày của học sinh về chiến lược của nhóm (xem biên bản nhóm 2, đoạn 80 – 94, phụ lục 3) và phần thể chế hóa của GV.
Pha 2
Bài toán 2 : Trong mặt phẳng phức Oxy, cho điểm M biểu diễn số phức zM = 3 + i. Hãy tìm số phức zM’ được biểu diễn bởi điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép đồng dạng F(O, 2,
3
π
− ).
Các em hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách giải khác nhau
Bảng 3.3. Bảng tóm tắt kết quả trong pha 2
Nhóm Chiến lược Kết quả
1 CLvt Tính đúng số phức zM’.
2 CLvt Tính đúng số phức zM’
3 tgd
hv
CL Kết quả tính toán sai
4 CLvt Tính đúng số phức zM’
5 CLvt Tính đúng số phức zM’
Từ bảng thống kê cho thấy đa số các nhóm (trừ nhóm 3) chỉ sử dụng một chiến lược CLvtđể tìm số phức zM’.
Như vậy, sự thay đổi biến V5 từ số đo argumen nhận giá trị đúng (ở pha 1) sang giá trị gần đúng (ở pha 3) là một thách thức đối với các chiến lược CLg-h và CLmđ-arg.
Các nhóm cũng đã nhận ra sự trở ngại đó và đối với họ trong trường hợp này thì CLvt là lựa chọn tối ưu nhất. Riêng nhóm 3, các em sử dụng chiến lược tgd
hv
CL và
do sai sót trong tính toán nên kết quả tìm được không chính xác.
Mặc dù không có nhóm nào trình bày CLmđ-argnhưng qua giấy nháp và file ghi âm chúng tôi nhận thấy có 3/5 nhóm đã thảo luận về chiến lược này :
141. HS4: Chuyển về dạng lượng giác trước nè nhưng mà argumen sao tính? 142. HS1: Dùng công thức đi. 143. HS3: 3 os 10 1 sin 10 c ϕ ϕ = =
sao tìm ϕ được. (HS vừa nói vừa ghi vào nháp)
….
148. HS2: Hay là mình lấy máy tính bấm đi. 149. HS4: Ừ hén, ra số lẻ vầy nè.
150. HS3: Mình làm tròn đi, 180được mà. 151. HS1: Lấy 180 cộng thêm 600
. …
156. HS1: Số phức z’ = 2 10(cos 420 + isin420) .( HS vừa nói vừa ghi vào nháp)
158. HS3: Phải đổi chứ, mà đổi sao?
Khó khăn của học sinh là không thể tính đúng được giá trị argumen của số phức M’’, có 2/5 nhóm sử dụng số gần đúng nhưng nhận thấy không trùng khớp với kết quả đã tìm được nên dừng lại.
162. HS1: Nhưng sao đổi ra dạng đại số được. 163. HS5: Ra số lẻ rồi sao được.
164. HS3: Ra số thập phân chứ số lẻ gì. 165. HS2: Đâu giống kết quả trên đâu. 166. HS1: Có sai số rồi.
167. HS4: Thôi chắc không làm cách này được đâu
(Xem thêm biên bản nhóm 2, đoạn 141 – 171, phụ lục 3)
Sau phần trình bày cách giải của hai nhóm đại diện ( nhóm 1 với CLvt ; nhóm 3 với CLhv), vấn đáp của các nhóm và thể chế hóa của giáo viên thì nhóm 3 đã nhận ra được sai sót của nhóm mình. Cả 5 nhóm đều có chung một kết luận đó là CLvt
khá dài dòng và gặp khó khăn khi cosin của góc quay không tính được giá trị đúng. Tương tự, CLmđ-arg không sử dụng được vì không tính được giá trị đúng của argumen số phức zM’’. BUỔI THỨ HAI Pha 3 Bài toán 3 : 3.1. Viết dạng đại số của số phức a/ w1 = 1( os i sin ) 2 c 2 2 π + π b/ w2 = 2[ os(- ) i sin( )] 3 3 c π + −π 3.2 Thực hiện phép tính a/ (2 + 2 3i).w1 b/ (3 + i).w2
Pha 3 diễn ra nhanh chóng với việc giải quyết hai kiểu nhiệm vụ quen thuộc và khá đơn giản đối với học sinh : viết dạng đại số của số phức và thực hiện phép nhân hai số phức dưới dạng đại số. Tất cả các nhóm đều có kết quả đúng.
Đáng chú ý nhất là sau khi thực hiện xong phép nhân hai số phức một số nhóm đã nhận xét được mối quan hệ giữa các câu hỏi ở pha 1, pha 2 với pha 3.
193. HS5: Hai số này thấy quen quen. 194. HS1: Kết quả ở câu 1 và câu 2 nè. 195. HS5: Để mình xem lại.
196. HS3: Ờ, y chang.
( Xem thêm biên bản nhóm 2, đoạn 188 – 205, phụ lục 3) Pha 4
Bài toán 4 : Trong mặt phẳng phức Oxy, cho ba số phức zA = 2 - i, zB = 3 + 4i , zC = 2 + 3i có điểm biểu diễn là ba đỉnh của tam giác ABC. Tìm các số phức zA’, zB’, zC’ được biểu diễn bởi các đỉnh của tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép đồng dạng F(O, 2,
6
π
).
Với sự tăng lên đáng kể số lượng điểm cần tìm ảnh qua phép đồng dạng ( , , )
F O k ϕ cộng thêm sự ràng buộc về thời gian “giải bài toán trong thời gian ngắn
nhất” (do pha 4 được tổ chức dưới dạng một cuộc thi tài giữa các nhóm) sẽ gây ra nhiều trở ngại cho CLvt. Ngoài ra, do pha 3 đã làm tốt vai trò cầu nối cho nên khả năng để học sinh hình thành chiến lược CLpn là rất cao.
Kết quả thực nghiệm đã cho thấy có 3/5 nhóm đã hình thành CLpn ngay từ những phút đầu tiên, hai nhóm còn lại tuy lúc đầu sử dụng CLvt nhưng sau đó cũng đã chuyển sang CLpn. Chẳng hạn nhóm 5 đã thảo luận:
HS1: Chia nhau ra tính đi, mỗi đứa một điểm. HS4: Tính theo cách nào?
HS1: Giống 2 câu lúc sáng đó. HS2: Vậy thì lâu lắm đó. HS im lặng trong một lúc.
HS3: Sao mình không dùng phép nhân. HS1: Là sao? HS3: ( , 2, ) 6 F O π tức là số phức w = 2( os i sin ) 6 6 c π + π đúng không. HS4: A, mình đổi ra dạng đại số rồi thực hiện phép nhân.
HS2: Vậy 2 bạn làm vô đi.
HS3: Tính phụ đi cho nhanh lấy giải thưởng chứ.
HS1: Để mình tính cách kia so sánh thử coi đúng vậy hông. HS4: Bạn rảnh quá.
…
HS3: Xong rồi, nộp cô đi. HS5: Có 2 nhóm nộp trước rồi.
HS4: Nè, Minh tính xong chưa, giống không? HS1: Thôi không tính nữa. Dù sao cũng thua rồi. Pha 5
Bài toán 5 : Trong mặt phẳng Oxy, cho zM là số phức được biểu diễn bởi điểm M nằm trên đường tròn (C) có tâm I(0; 2) và bán kính R = 2. Tìm tập hợp điểm M’ biểu diễn số phức zM’ thỏa zM’ = ( 3−i z). M?
Học sinh tiếp xúc với một KNV khá được ưu tiên trong thể chế đó là Tquỹ tích.
Tuy nhiên, điều kiện cho trước của bài toán trong pha này có đôi chút khác lạ so với điều kiện thường gặp trong Tquỹ tích (điều kiện thường chứa môđun, argumen, số phức liên hợp,..). Trong trường hợp này, các kỹ thuật đại số gặp nhiều bất lợi. Điều chúng tôi mong chờ là học sinh sẽ thoát khỏi các mô hình quen thuộc trong Tquỹ tích và vận dụng được các kết quả đã tìm được sau pha 4 để hình thành CLhh.
Quả thật, kết quả thực nghiệm không ngoài mong đợi của chúng tôi. Sau một vài phút đầu còn bối rối, HS các nhóm đã kịp thời nhận ra mối quan hệ giữa phép nhân số phức với phép đồng dạng. Cả 5/5 nhóm đều sử dụng CLhh. Tuy còn có sự khác biệt nhỏ trong lời giải các nhóm như có nhóm chỉ kết luận tập hợp điểm M’ là đường tròn ảnh của (C) qua F(O, 2,
6
π
) mà không chỉ rõ tâm và bán kính, có nhóm lúc đầu còn lúng túng trong việc tính bán kính nhưng nhìn chung học sinh đã phát hiện và vận dụng rất tốt mối quan hệ đó. (Xem thêm biên bản nhóm 2, đoạn 219 - 249, phụ lục 3).
Pha 6
giữa phép nhân số phức với phép đồng dạng và phần thể chế hóa của giáo viên nhằm giúp học sinh hiểu được mối quan hệ đó. Đây cũng là lúc học sinh trả lời được câu hỏi “Nghĩa hình học của phép nhân số phức là gì?” (Xem thêm biên bản nhóm 2, đoạn 250 – 262, phụ lục 3).