1. Số phức trong chương trình và SGK Giải tích 12 Việt Nam
1.5. Về các tổ chức toán học liên quan số phức
Trước hết, ta nhắc lại các KNV cho phép gắn kết số phức với biểu diễn hình học của nó, phép nhân với phép biến hình ở bậc đại học. Đó là KNV : Tquỹ tích,
Tquay, Tynhh và Thàm. Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, hai KNV Thàm và Tquay không tồn tại trong [V].
KNV Tquỹ tích “Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức” xuất hiện tường minh trong [V] và nhận được sự ưu tiên của thể chế. Để khẳng định nhận xét này, chúng tôi xin trích dẫn lại bảng thống kê các KNV từ luận văn của tác giả Lê Thị Huyền.
Bảng 2.1. Bảng thống kê các KNV liên quan số phức ([10], trang 76)
Kiểu nhiệm vụ Số lần xuất hiện trong SGK Số lần xuất hiện trong SBT
Biểu diễn số phức trong mặt phẳng 9 0
Xác định số phức 16 14
Chứng minh hệ thức liên quan số phức 18 18 Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức 12 16
Tìm căn bậc hai của số phức 5 3
Giải phương trình 22 19
Tìm dạng lượng giác của số phức 21 8
Tính lũy thừa bậc cao 3 0
Biểu diễn sinnϕ, cosnϕ qua sin , cosϕ ϕ 3 0
Từ việc phân tích những KNV trên, tác giả đã chỉ ra rằng : ý nghĩa hình học của số phức chỉ được đề cập qua Tbiểudiễn “Biểu diễn số phức trong mặt phẳng” và Tquỹtích . Nói cách khác, hai KNV Tbiểudiễn và Tquỹtích đã thể hiện sự tương quan giữa dạng đại số với dạng hình học của số phức. Những KNV khác chỉ thiên về dạng đại số và các thao tác tính toán trong đại số.
Mặc dù ý tưởng đề tài của chúng tôi xuất phát từ sự tiếp nối các công trình đã có về số phức, điển hình là luận văn của tác giả Lê Thị Huyền5 nhưng mục đích nghiên cứu của hai luận văn là khác nhau. Do đó, để trả lời cho câu hỏi CH1 thì phân tích của tác giả Lê Thị Huyền là chưa đủ. Điều đó dẫn dắt chúng tôi đến với việc xem xét thêm SBT bởi vì hệ thống bài tập trong đó sẽ góp phần làm phong phú và đa dạng cho các bài tập ở SGK. Vì vậy, ở bảng thống kê trên, chúng tôi có bổ sung thêm một cột về số lượng bài tập xuất hiện trong SBT của từng KNV. Quan trọng hơn, chúng tôi đã tìm thấy một vài KNV có chức năng gắn kết giữa Đại số và Hình học.
• Txdsp: Xác định số phức z biết điểm biểu diễn của nó trên mặt phẳng phức
τ : Kỹ thuật dùng tọa độ điểm
- Tìm tọa độ (a, b) của điểm biểu diễn số phức z. - Số phức z = a + bi.
θ : Biểu diễn hình học của số phức.
« 3. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức biết rằng một đỉnh biểu diễn số i. » ([V], trang 189).
Giải. « Giả sử ABCDEF là các đỉnh của lục giác đều. Điểm A biểu diễn số i.
Điểm F có tọa độ (cos ;sin ) ( 3 1; )
6 6 2 2
π π =
nên F biểu diễn số phức 3 1 2 +2i. E đối xứng với F qua trục Ox nên E biểu diễn số phức 3 1
2 −2i.
5Luận văn của tác giả Nguyễn Thị Duyên chỉ nêu những tổ chức toán học về số phức trong SGK cơ bản nên chúng tôi không tham khảo luận văn này trong phần phân tích ở chương hai.
B đối xứng với E qua gốc tọa độ O nên B biểu diễn số phức 3 1 2 2i
− + .
C đối xứng với F qua O nên C biểu diễn số phức 3 1 2 2i
− − .
D đối xứng với A qua O nên D biểu diễn số -i.” ([18], trang 229). Nhận xét :
- KNV đơn giản, kỹ thuật giải rõ ràng và dễ sử dụng. Cùng với Tbiểudiễn, các KNV
này cho phép khẳng định mối quan hệ hai chiều giữa số phức và điểm.
• Tđườngtròn : Chứng minh bốn điểm biểu diễn các số phức cho trước cùng
nằm trên một đường tròn
Có 5 kỹ thuật giải KNV này.
1
τ : Kỹ thuật dùng tích vô hướng hai vectơ.
- Tìm các số phức biểu diễn các vectơ tạo bởi bốn điểm đã cho. - Tìm thương của từng cặp số phức vừa tìm được.
- Nếu thương là số thuần ảo thì hai vectơ tương ứng vuông góc nhau.
1
θ : Biểu diễn hình học số phức, phép toán trên số phức, khái niệm và định lí tứ giác nội tiếp đường tròn, tính chất “Các vectơ u u , '
theo thứ tự biểu diễn số phức z, z’. Nếu u ≠0
thì u u , '
vuông góc nhau khi và chỉ khi z'
z là số thuần ảo.”
“4.9. Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số -1 + i, - 1 - i, 2i, 2 - 2i. Tìm các số z1, z2, z3, z4 theo thứ tự biểu diễn các vectơ
, , , AC AD BC BD . Tính 1 3 2 4 ,z z
z z và từ đó suy ra A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tâm đường tròn đó biểu diễn số phức nào?
Giải. AC
biểu diễn số phức z1 = 1 + i, AD
biểu diễn số phức z2 = 3 – 3i. Do 1 2 1 3 3 3 z i i z i + = = − nên AC AD. =0 BC
biểu diễn số phức z3 = 1 + 3i, BD
biểu diễn số phức z4 = 3 – i. Do 3 4 1 3 3 z i i z i + = = − nên BC BD. =0 .
Vậy CD là một đường kính của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D ; Tâm đường tròn đó là trung điểm của CD nên nó biểu diễn số 2 (2 2 ) 1
2
i+ − i =
.” ([6], trang 190).
2
τ : Kỹ thuật dùng argumen.
- Tìm những số phức biểu diễn các vectơ tạo bởi bốn điểm đã cho. - Tìm thương của từng cặp số phức vừa tìm được
- Tìm argumen của hai số phức thương.
- Nếu hai argumen bằng nhau thì hai góc lượng giác tương ứng bằng nhau (hoặc sai khác k2 ,π k∈)
2
θ : Biểu diễn hình học số phức, phép toán trên số phức, khái niệm và định lí tứ giác nội tiếp đường tròn, tính chất “M, M’ là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z, z’. Argumen của số phức z'
z là số đo góc lượng giác (OM, OM’) (sai khác k2 ,π k∈)”.
3
τ : Kỹ thuật dự đoán tâm đường tròn. - Biểu diễn các điểm lên mặt phẳng phức. - Dự đoán tâm đường tròn cần tìm.
- Kiểm nghiệm tâm cách đều bốn điểm đã cho.
3
θ : Biểu diễn hình học số phức, khái niệm và định lí tứ giác nội tiếp đường tròn.
4
τ : Kỹ thuật dùng phương trình đường tròn. - Tìm tọa độ của bốn điểm đã cho.
- Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ba trong bốn điểm đó. - Chứng minh điểm còn lại nằm trên đường tròn.
“4.33. Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 4 (3+ + 3) , 2 (3i + + 3) ,1 3 , 3i + i +i. Chứng minh bốn điểm đó cùng nằm trên một đường tròn.
Giải. Chỉ cần chứng minh các góc lượng giác (CA, CB), (DA, DB) có số đo bằng nhau (sai khác kπ,k∈). Ta có CA
biểu diễn số phức 3+ 3i, CB
biểu diễn số phức 1+ 3i nên số đo góc (CA, CB) là một argumen của 1 3
3 3
i i
+
(1+ 3 )(3i − 3 )i =2 3( 3+i). Ta có DA
biểu diễn số phức 1 (2+ + 3)i, DB
biểu diễn số phức − + +1 (2 3)i nên số đo góc (DA, DB) là một argumen của 1 (2 3)
1 (2 3) i i − + + + + cũng là một argumen của [ 1 (2− + + 3) ].[1 (2i − + 3) ]i =2( 3+2)( 3+i).
Rõ ràng số này và số 2 3( 3+i)có cùng argumen (sai khác k2 ,π k∈). Chú ý. Có nhiều cách giải khác, chẳng hạn :
1)Vẽ các điểm A, B, C, D, có thể dự đoán tâm đường tròn cần tìm biểu diễn số 3 + 3i (xét các đường trung trực các đoạn AB, CD), kiểm nghiệm nó cách đều A, B, C, D. 2)Có thể đưa bài toán về bài toán hình học giải tích.” ([6], trang 199).
5
τ : Kỹ thuật xác định hình tính của tứ giác có đỉnh là bốn điểm đã cho. - Dựa vào hình tính của tứ giác để tìm tâm của đường tròn.
5
θ : Biểu diễn hình học số phức, các khái niệm và tính chất của tứ giác trong hình học phẳng.
“4.47. Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 1 + 2i, 1+ 3+i,1+ 3−i,1 2− i.Chứng minh rằng ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn. Hỏi tâm đường tròn biểu diễn số phức nào.
Giải. Vì mỗi cặp số 1 + 2i, 1 – 2i và 1+ 3+i,1+ 3−i là cặp số phức liên hợp nên hai điểm A, D, hai điểm B, C đối xứng qua Ox ; phần thực của hai số đầu khác phần thực của hai số sau nên ABCD là một hình thang cân, do đó là một tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm J nằm trên trục đối xứng Ox ; J biểu diễn số thực x sao cho :
1 2 1 3 JA = JB ⇔ − +x i = − +x +i . Từ đó suy ra x = 1” ([6], trang 203). 1 2 3 4 O x 3+ 3 3 1 B A D C y Hình 2.1
Nhận xét :
- Những bài toán trong KNV này vốn thuộc phạm vi hình học, nay chúng được phát biểu bằng ngôn ngữ số phức. Từ đây dẫn đến sự kết nối số phức với nhiều vấn đề trong hình học : bởi vì mỗi số phức là một điểm trên mặt phẳng nên có thể dẫn bài toán về bài toán của hình học giải tích ; nếu xem mỗi số phức là một vectơ thì ta có thể dùng số phức để diễn đạt lại những tính chất trong hình học (như điều kiện để tích vô hướng của hai vectơ bằng 0).
- Yếu tố công nghệ giải thích cho các kỹ thuật giải xuất hiện tường minh trong SBT trong khi đó SGK không đề cập đến. Điều này cho thấy rằng SBT quan tâm nhiều hơn (so với SGK) quan hệ giữa dạng đại số và dạng hình học của số phức. • Trong SBT, dấu vết của Tynhh thể hiện qua hai KNV Tynhh 1 “Chứng minh phép
biến đổi trên mặt phẳng phức là phép quay” và Tynhh2 “Sử dụng ý nghĩa hình học của phép nhân để giải bài toán hình học phẳng”.
• Tynhh 1 : Chứng minh phép biến đổi trên mặt phẳng phức là phép quay
1
τ : Sử dụng các kiến thức về môđun, argumen và định nghĩa phép quay để chứng minh phép biến đổi đã cho là phép quay.
1
θ : Biểu diễn hình học số phức, các phép toán trên số phức, khái niệm và ý nghĩa hình học của môđun, argumen số phức, khái niệm phép quay.
x y 2 1 O -1 -2 A B C D J 1+ 3 Hình 2.2
“4.56. a/ Trong mặt phẳng phức cho điểm A biểu diễn số phức w. Chứng minh rằng phép biến đổi của mặt phẳng phức biến điểm biểu diễn số phức z tùy ý thành điểm biểu diễn số phức z’ sao cho z’ – w = i(z – w) là phép quay tâm A góc quay
2
π” ([6], trang 186).
“Giải. a) M là điểm biểu diễn số phức z, M’ là điểm biểu diễn số phức z’. Khi M trùng với A tức z = ω thì z'=ω nên A biến thành chính nó. Khi M không trùng với A thì
' ' AM = − =z ω i z− =ω AM và một argument của z' i z ω ω − = − là số đo góc lượng
giác (AM, AM’) nên góc này là 2 π
. Từ đó phép biến đổi đang xét là phép quay tâm A, góc quay
2 π
.” ([6], trang 208).
• Tynhh2 : Sử dụng ý nghĩa hình học của phép nhân để giải bài toán hình
học phẳng
2
τ : Sử dụng ý nghĩa hình học của phép nhân để chuyển kết luận hình học về các đẳng thức đại số.
2
θ : Biểu diễn hình học số phức, ý nghĩa hình học của phép nhân số phức.
“4.56. b/ Giả sử ba điểm A, B, C của tam giác trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số α β γ, , . Gọi P, Q theo thứ tự là tâm các hình vuông dựng bên ngoài ABC trên các cạnh AB, AC và gọi N là trung điêm của BC. Tìm các số phức biểu diễn bởi các vectơ NQ NP ,
rồi chứng minh tam giác NQP là tam giác vuông cân.” ([6], trang 186). Giải.
“Giả sử ta đi dọc chu vi tam giác ABC theo ngược chiều quay kim đồng hồ. Khi đó, Q là ảnh của C qua phép quay tâm là trung
điểm của CA góc quay 2 π
nên nếu kí hiệu q là số phức biểu diễn bởi điểm Q
thì ta có ( ) 2 2 q−γ α+ =i γ −γ α+ Từ đó 1[(1 ) (1 ) ] 2 q= +i γ + −iα . Đổi α thành β, γ thành α , ta suy ra số p . . . . A P B C Q Hình 2.3
biểu diễn bởi P là 1[(1 ) (1 ) ] 2 p= +iα + −i β . Vậy NP biểu diễn số phức : 1 1 ( ) [(1 ) ] 2 2 p− β γ+ = +iα−iβ γ− vàNQ biểu diễn số phức : 1 1 ( ) [(1 ) ] 2 2 q− β γ+ = −iα β γ− +i .Rõ ràng . [(11 ) ] 1[(1 ) ] 2 2 i −iα β γ− +i = +iα−iβ γ− nên suy ra NQ = NP và NP, NQ
vuông góc nhau.” ([6], trang 208).
Nhận xét :
Tynhh1 cho thấy mối liên hệ giữa phép nhân số phức với đơn vị ảo và khái niệm phép quay. Tynhh2 thể hiện vai trò của số phức (cụ thể là ý nghĩa hình học của phép nhân số phức) trong hình học phẳng. Bằng cách biểu diễn những điểm của một hình hình học bởi các số phức ta có thể diễn đạt điều kiện của đề bài có bản chất hình học bởi những đẳng thức đại số và chuyển các kết luận hình học về các đẳng thức đại số. Hai KNV này cho thấy không chỉ có thể ứng dụng số phức vào hình học mà còn dùng kết quả hình học để khảo sát về số phức. Tuy nhiên số lượng bài tập của chúng rất ít, chỉ có một bài trong SBT. Điều này có thể lý giải là do mục tiêu chính của việc dạy học số phức chỉ nhằm hoàn thiện hệ thống các tập hợp số cho học sinh phổ thông nên các vấn đề về ứng dụng của số phức không được chú trọng và dường như chỉ để minh họa.
Bảng 2.2. Bảng thống kê các KNV (bảng này được chúng tôi thiết lập bổ sung)
Kiểu nhiệm vụ
Số lần xuất hiện trong SGK
Số lần xuất hiện trong SBT
Txdsp : Xác định số phức z biết điểm biểu diễn của nó trên mặt phẳng phức
1 4
Tđườngtròn : Chứng minh bốn điểm biểu diễn các số phức cho trước cùng nằm trên một đường tròn
0 3
Tynhh1 : Chứng minh phép biến đổi trên mặt phẳng phức là phép quay
0 1
Tynhh2 : Sử dụng ý nghĩa hình học của phép nhân để giải bài toán hình học phẳng
0 1
Thông qua những ghi nhận và bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ về số phức được trình bày trong SGK và SBT chúng tôi nhận thấy rằng :
- Bên cạnh việc ưu tiên các KNV sử dụng dạng đại số của số phức, thể chế cũng khá chú trọng đến ý nghĩa hình học của số phức. Điều này được thể hiện thông qua bốn KNV : Tbiểu diễn , Txdsp, Tquỹ tích và Tđườngtròn.
- Ý nghĩa hình học các phép toán chưa được quan tâm đúng mức và mối liên hệ giữa phép toán trên số phức với phép biến hình rất mờ nhạt.
2. Số phức trong sách Mathematiques 12 ème 2.1. Về số phức và các khái niệm liên quan