2. Quan hệ giữa hình học và đại số của số phức trong các giáo trình toán ở bậc
2.2. Phân tích giáo trình [B]
v x y
. Số phức z = z1 + z2 biểu diễn bởi vectơ v
có tọa độ là x1 + x2 và y1 + y2. Như vậy v = +v1 v2
.
Tương tự, số phức z’ = z1 – z2 biểu diễn bởi vectơ v'
có tọa độ là x1 – x2 và y1 – y2. Như vậy v '= −v1 v2
Gọi M1, M2 lần lượt là tọa vị của số phức z1 và z2. Ta lần lượt dựng v1
và v2 sao cho v 1 =OM v1, 2 =OM2
. Khi đó, vectơ tổng của v1
và v2
chính là vectơ biểu diễn số phức z1 + z2, còn vectơ M M2 1
biểu diễn cho số phức z1 – z2. Suy ra, độ dài của vectơ M M1 2
là môđun của số phức z1 – z2. Kết quả này được sử dụng như
một yếu tố kỹ thuật cho KNV Tquỹ tích “Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức”.
“Ví dụ 5: Tìm quỹ tích những điểm z thỏa mãn z i+ + − =z i 5”.
Giải.“Gọi I là tọa vị của i, H là tọa vị của (-i), M là tọa vị của z, vectơ IM
biểu diễn số phức z – i. Vecto HM
biểu diễn số phức z - (-i) = z + i.
Vậy z i+ =HM z i; − =IM . Khi đó z i+ + − =z i 5 được viết là HM + IM =5. Do H và I cố định nên quỹ tích của M là một elip nhận I và H làm hai tiêu điểm.” ([A], trang 14)
Bài toán có thể được giải bằng công cụ đại số : Gọi z = x + iy (x, y là số thực). Khi đó, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 (1 ) ( 1) 5 (1 ) ( 1) 5 (1 ) 5 ( 1) 100 84 525 10 ( 1) 25 4 25 4 0 5 ( 1) 5 10 1 5 21 ( ) ( ) 2 2 25 25 4 4 z i z i x y i x y i x y x y x y x y x y x y y y x y x y y + + − = ⇔ + + + + − = ⇔ + + + + − = ⇔ + + = − + − + = + − = − ⇔ ⇔ − ≤ ≤ + − ≤ + = ⇔ − ≤ ≤
Vậy tập hợp điểm M là elip có phương trình : 2 2 2 2 1 5 21 ( ) ( ) 2 2 x + y =
Mặc dù lời giải thứ hai không có trong [A] nhưng mục đích chúng tôi đưa ra lời giải này là nhằm làm nổi rõ sự ưu việt của lời giải thứ nhất.
“Ví dụ 6. Tìm trong mặt phẳng phức những điểm z thỏa mãn bất đẳng thức z−z0 <ε
trong đó ε là một số thực dương cho trước, z0là số phức cho trước.
Gọi M0 là tọa vị của z0, M là tọa vị của z. Có thể viết bất đẳng thức đã là M0M < ε. M0
cố định. Vậy quỹ tích những điểm M thỏa mãn M0M < ε là hình tròn tâm M0 bán kính
ε
Hình tròn này được gọi là ε -lân cận của điểm z0.
Tương tự, tập hợp những điểm z thỏa mãn bất đẳng thức kép r< −z z0 <R trong đó z0
là số phức cố định, r và R là hai số dương cho trước, là một hình vành khăn tâm tại z0 và bán kính lần lượt là r và R”. ([A], trang 14).
Như vậy, đối với KNV Tquỹ tích, kỹ thuật được ưu tiên trong [A] là dùng biểu diễn hình học.
Ý nghĩa hình học của phép nhân hai số phức được trình bày tường minh : “Ta biết rằng nếu z = z1 . z2 thì Argz = Argz1 + Argz2 và z = z1.z2 . Giả sử M, M1, M2theo thứ tự là tọa vị của z, z1, z2.
Gọi ϕ1 là một giá trị của Argz1, do các đẳng thức trên ta thấy muốn được điểm M ta phải quay điểm M2 quanh gốc O một góc bằng ϕ1, sau đó thực hiện một phép vị tự tâm O, hệ số vị tự là OM1 = z1 ”. ([A], trang 15).
Trích đoạn trên cho thấy, về phương diện hình học, phép nhân hai số phức xác định một phép đồng dạng - hợp thành của một phép quay và một phép vị tự cùng tâm. Nếu một trong hai số phức có môđun bằng 1 thì phép nhân tương ứng với một phép quay. Đặc biệt, phép nhân với đơn vị ảo cho ta một phép quay có tâm O và góc quay là
2
π
.
“Tọa vị của iz2 được suy từ tọa vị của z2bằng phép quay quanh gốc O một góc bằng 2
π
” ([A], trang 16).
Khái niệm phép nhân đã giảm đi sự bí ẩn nhờ việc gắn kết nó với những phép biến hình trong hình học phẳng. Ngược lại, phép nhân trong số phức có thể được dùng để giải một số bài toán liên quan đến các phép biến hình, chẳng hạn, bài toán nằm trong KNV Tquay “Tìm công thức biểu diễn phép quay trục tọa độ” được
trình bày dưới đây. Việc sử dụng số phức tỏ ra hiệu quả và đơn giản hơn so với việc chỉ sử dụng kiến thức thuần túy hình học (xem [12], trang 91).
“Ví dụ 7. Trong hệ tọa độ xOy, điểm M có tọa độ (x, y). Quay hệ xOy một góc α tới vị trí mới là XOY. Gọi (X, Y) là tọa độ của M trong hệ trục mới. Hãy tìm liên hệ giữa (X, Y) và (x, y).
Gọi N là ảnh của M trong phép quay quanh gốc O một góc (-α ). Ta chú ý rằng tọa độ của N trong hệ cũ chính là tọa độ (X, Y) của M trong hệ mới.
M là tọa vị của z = x + iy. N là tọa vị của z’ = X + iY.
Tọa vị của z suy ra từ tọa vị của z’ bởi một phép quay quanh gốc O một góc α , nghĩa là z bằng tích của z’ với số phức có môđun bằng 1, có argumen bằng α, nghĩa là:
'( os i sin ) ( )( os i sin ).
z=z c α+ α = X +iY c α+ α
So sánh phần thực và phần ảo ở hai vế, ta được : cos Y sin ; sin cos . x X y X Y α α α α = − = +
Đó chính là công thức biểu diễn phép quay trục tọa độ.” ([A], trang 15).
Mối liên hệ mật thiết giữa phép biến hình với phép nhân số phức tiếp tục được khẳng định qua một bài toán thuộc phạm vi hình học – chúng tôi gọi là KNV Tynhh “Sử dụng ý nghĩa hình học của phép nhân để giải bài toán hình học phẳng” :
“Ví dụ 8. Chứng minh rằng : nếu ta dựng trên các cạnh của một tứ giác bất kỳ ABCD những tam giác vuông cân AMB, BNC, CPD, DQA thì các đoạn thẳng MP và NQ bằng nhau và vuông góc nhau” .
Giải. “Gọi α β γ δ, , , , , , ,m n p qlà những số phức có tọa vị lần lượt là A, B, C, D, M, N, P, Q.
Vì tam giác MAB vuông cân tại M nên vectơ MA
biểu diễn số phức (α−m) được suy ra từ vectơ MB
biểu diễn số phức (β −m) bằng phép quay một góc 2
π
.
Vậy α− =m i(β−m). Giải ra ta được
1 i m i α β− = − . Tương tự ; ; 1 1 1 i i i n p q i i i β γ− γ δ− δ α− = = = − − − .
Suy ra n q− =i m( − p) Mà vectơ PM
biểu diễn số phức (m - p). Vectơ QN
biểu diễn số phức (n – q). Điều đó chứng tỏ QN được suy ra từ PM bằng một phép quay một góc 2 π . Vậy NQ = MP và NQ vuông góc MP” ([A], trang 17).
Ví dụ trên đã làm nổi bật ý nghĩa hình học của phép toán z’ – a = i(z – a). Đó là phép quay tâm A góc quay
2
π với A là tọa vị của số phức a. Tổng quát hơn,
phép toán z’ – a = p.(z –a ) xác định một phép quay có tâm A góc quay α , với A
là tọa vị của số phức a và góc quay α là một argumen của số phức p. Để có sự giải thích thỏa đáng cho phép chia hai số phức 1
2
z
z thì ta cần phải xây dựng mô hình thể hiện nghĩa hình học cho phép toán tìm số phức nghịch đảo
1 z bởi vì 1 1 2 2 1 . z z
z = z . Chúng tôi tìm thấy điều này trong bài “Phép nghịch đảo w = 1
z” của chương “Phép biến hình bảo giác”.
Gọi A là tọa vị của số phức z. Nếu z <1 thì điểm A nằm bên trong đường tròn đơn vị. Kẻ đường thẳng d vuông góc tia OA tại A cắt đường tròn tại H. Từ điểm H kẻ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia OA tại điểm B biểu diễn số phức t nào đó. Ta có : OA.OB = 1 nên t 1
z
= và Argt = Argz + 2kπ (k là
số nguyên). Suy ra 1
t z
= . Khi đó, điểm biểu diễn số phức w 1 z = đối xứng với N M Q P C B D A Hình 1.1
điểm B qua trục thực Ox. Trong trường hợp z >1 (tức điểm A nằm bên ngoài đường tròn đơn vị), điểm B được xác định bằng cách dựng tiếp tuyến AH với đường tròn và kẻ HB vuông góc OA. Công việc tiếp theo được thực hiện tương tự trường hợp z <1. Điểm B được gọi là điểm đối xứng với A qua đường tròn đơn vị. Như vậy, tọa vị của số phức w 1
z
= có được từ tọa vị của số phức z bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường tròn đơn vị và phép đối xứng qua trục thực. Tuy nhiên, phép đối xứng qua đường tròn đơn vị không được giảng dạy trong chương trình toán bậc trung học phổ thông ở Việt Nam. Vì lẽ đó, chúng tôi sẽ không tiếp tục phân tích về vấn đề này ở những phần sau của luận văn.
Từ những điều đã trình bày, chúng tôi nhận thấy rằng biểu diễn hình học của số phức chính là cầu nối cho phép thiết lập mối liên hệ giữa phép toán trên tập số phức với phép biến hình trong mặt phẳng. Hơn nữa, chính từ mối liên hệ này ta có thể dùng một số phép toán trên số phức để diễn đạt lại các phép biến hình : - Phép tịnh tiến theo vectơ biểu diễn số phức a : z’ = z + a.
- Phép vị tự tâm O hệ số k : z’ = k.z (k là số thực dương). - Phép quay tâm O góc quay
2 π
: z’ = i.z.
- Phép quay tâm O, góc quay là một argumen của p : z’ = p.z với p là số phức có môđun bằng 1.
- Phép đồng dạng (hợp thành của một phép quay tâm O có góc quay là argumen của w và một phép vị tự cùng tâm, hệ số k = w ) : z’ = z.w.
- Phép quay tâm A góc quay α trong đó A là tọa vị của số phức a và α là một argumen của số phức p : z’ – a = p.(z –a ).
- Phép đối xứng qua trục Ox : z'=z.
Mặt khác, nếu gọi E là một tập hợp điểm trên mặt phẳng phức. Mỗi phép biến đổi nêu trên xác định cho ta một quy luật sao cho ứng với mỗi số phức z thuộc E là một số phức z’. Khi đó z’ còn được gọi là một hàm số đơn trị của biến
số phức z trên E, kí hiệu là z’ = f(z), z ∈E. Thực chất một hàm đơn trị của biến phức xác định trên tập E⊂ là một ánh xạ từ E vào .
“Giả sử cho hàm biến phức w=f z z( ), ∈E. Lấy hai mặt phẳng phức xOy (mặt phẳng z) và mặt phẳng uOv (mặt phẳng w). Ứng với mỗi điểm z0∈E hàm w = f(z) xác định điểm w0 = f(z0) trong mặt phẳng w. Cho nên về mặt hình học, hàm w = f(z) xác định một phép biến hình từ mặt phẳng z vào mặt phẳng w.” ([A], trang 29).
Sự gắn kết giữa hàm biến phức với phép biến hình được thể hiện rõ nét qua bài “Phép biến hình tuyến tính w = az + b”. Giả thiết a, b, z là những số phức và a là một số phức khác không, hàm biến phức có dạng w = az + b được gọi là hàm tuyến tính nguyên (hay hàm tuyến tính bậc nhất). Bằng cách viết số phức a dưới dạng mũ ta được w = a e z. iϕ. +b. Từ đó, ta có thể xem hàm w là hàm hợp của ba hàm biến phức : ζ =k z k. ( = a >0);β =eiϕ. (ζ ϕ=Arga); w= +β b. Rõ ràng, hàm w xác định một phép đồng dạng là hợp thành của một phép vị tự, một phép quay và một phép tịnh tiến. Cụ thể hơn, nếu biểu diễn các điểm ζ β, , w trên cùng một mặt phẳng thì điểm ζ =k z. được suy ra từ điểm z bởi một phép vị tự tâm O hệ số k. Điểm i
eϕ
β = ζ nhận được từ điểm ζ bằng một phép quay tâm O góc quay ϕ và cuối cùng điểm w = β+b là ảnh của điểm β qua một phép tịnh tiến xác định bởi
vectơ biểu diễn số phức b.
Như vậy, hàm tuyến tính w = az + b xác định một phép đồng dạng. Phép đồng dạng này biến một hình bất kì thành một hình đồng dạng với nó. Từ đó khi biết trước hai hình đồng dạng ta lại có thể xác định được hàm biến phức tương ứng. Để làm rõ nhận định này, chúng tôi xét một bài toán thuộc KNV Thàm “Tìm hàm biến phức” :
“Ví dụ. Tìm hàm số w = f(z) biến một tam giác vuông cân có các đỉnh tại A( 3 + 2i), B(7 + 2i), C(5 + 4i) thành tam giác vuông cân có các đỉnh tại O1(0), B1(-2i), C1(1 - i). Giải. Vì các tam giác ABC và O1B1C1 đồng dạng nên phép biến hình được thực hiện bởi một hàm bậc nhất w = az + b.
Phép biến hình này có thể phân tích thành tích các phép biến hình liên tiếp sau đây : 1/ Phép tịnh tiến từ A về gốc O, xác định bởi vecơ biểu diễn số phức - 3 – 2i , phép tịnh tiến này được thực hiện bởi hàm ζ = − +z (3 2 )i .
2/ Phép quay quanh gốc O một góc 2 π α = − , ứng với hàm .e i2 π ω ζ= − . 3/ Phép vị tự tâm O, hệ số 1 1 2 1 4 2 O B k AB
= = = , được thực hiện bởi hàm w 1 2ω = . Vậy 1 12 3 w . .( 3 2 ) ( 3 2 ) 1 2 2 2 i i i e− z i z i iz = − − = − − − = − + − .” ([A], trang 64).
Dạng lượng giác của số phức đem lại một công cụ hữu ích cho phép tính lũy thừa và phép khai căn số phức.
“Lũy thừa bậc n của z=r(cosϕ+isin )ϕ có môđun bằng rn
và có argumen bằng nϕ, nghĩa là [ (cosr ϕ+isin )]ϕ n =rn(cosnϕ+isinnϕ)” ([A], trang 12).
Khi r =1, ta được công thức Moivre (cosϕ+isin )ϕ n =cosnϕ+isinnϕ.
Công thức tính và nghĩa hình học của khái niệm căn bậc n của số phức z được trình bày chi tiết trong [A]. Giả sử z=r(cosψ +i sin )ψ thì các giá trị căn bậc
n của z có dạng : n (cos 2k sin 2k )
w r i
n n
ψ + π ψ + π
= + (k∈Z). Gọi các căn bậc n
của z lần lượt là w w0, 1,....,wn−1. Khi đó,
0 1 1 (cos sin ) 2 2 (cos sin ) .... 2( 1) 2( 1) (cos sin ) n n n n w r i n n w r i n n n n w r i n n ψ ψ ψ π ψ π ψ π ψ π − = + + + = + + − + − = +
Suy ra w1 w0.(cos2 isin2 )
n n
π π
= + .
Dựa vào ý nghĩa hình học của phép nhân hai số phức ta dễ nhận ra rằng w1 được suy ra từ w0 bởi phép quay tâm O, góc quay bằng 2
n
π
. Tương tự, w2 nhận được từ w1 qua phép quay tâm O và góc quay 2
n
π
,… Nghĩa là, tọa vị của các số phức wi (i=0, 1,…, n-1) tạo thành đỉnh của một đa giác đều tâm O có n cạnh.
- Khái niệm số phức, các phép toán và khái niệm liên quan được tiếp cận đầy đủ ở cả hai phương diện đại số và hình học.
- Về mặt đại số, số phức là biểu thức x + iy và các quy tắc tính toán đã được xây dựng một cách hình thức theo quy tắc tính toán trên đa thức hệ số thực, biến i, với i không phải là biến thực, cũng không biết là gì, được đặt cho cái tên “đơn vị ảo”. Điều này đem đến sự thuận lợi về mặt thực hành tính toán.
- Về mặt hình học, mỗi số phức được xem như một điểm trên mặt phẳng. Từ đó dẫn đến những dạng biểu diễn khác của số phức gồm biểu diễn số phức dưới dạng một vectơ, dạng lượng giác hay dạng mũ. Cách tiếp cận số phức bằng hình học đem lại nghĩa xác định cho các khái niệm và phép toán trên số phức. Dạng lượng giác và dạng mũ có nhiều thuận lợi khi thực hiện các phép toán nhân, chia, khai căn hay phép tính lũy thừa bậc cao.
- Biểu diễn số phức z có phần thực là x và phần ảo là y bởi một điểm có tọa độ (x, y) chính là cầu nối giữa lý thuyết số phức với hình học. Các phép toán trên số