Với thực nghiệm được thiết kế, chúng tôi tiến hành tại lớp 12T1 (30 học sinh) trường Trung học phổ thông Nguyễn Thông (tỉnh Long An) vào ngày 20 tháng 9 năm 2014. Dữ liệu thu được bao gồm phiếu làm bài của 5 nhóm, hình vẽ do học sinh làm
việc trên phần mềm Geogebra dưới dạng file ggb và file ảnh kèm theo file ghi âm và một số giấy nháp của học sinh.
3.1.6.1. Những ghi nhận tổng quát trong quá trình thực nghiệm Buổi thứ nhất
Gồm pha 1 và phần giới thiệu của giáo viên về phần mềm Geogebra.
Trong pha 1 (pha làm việc cá nhân của học sinh), chúng tôi ghi nhận được những kết quả đáng chú ý trong bảng sau:
Bảng 4.1. Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 1
Bài toán 1a Bài toán 1b
Nhóm 1 CLTB
(Chiến lược trung bình)
CLđồthị
(Chiến lược đồ thị)
Nhóm 2 CLTB
(Chiến lược trung bình)
CLđồthị → RCLhàmbậcnhất
(Chiến lược ngoài dự kiến)
Nhóm 3 CLTB
(Chiến lược trung bình)
Chỉ đưa ra câu trả lời mà không dùng lập luận chính xác.
Nhóm 4 CLTB
(Chiến lược trung bình)
CLđồthị → RCLhàmbậcnhất
(Chiến lược hàm bậc nhất)
Nhóm 5 CLTB
(Chiến lược trung bình)
CLđồthị
(Chiến lược đồ thị)
Các câu trả lời của nhóm 1, 3, 4, 5 trong pha 1 đều theo các chiến lược dự kiến. Chỉ có nhóm 2 là nhóm đưa ra câu trả lời chính xác nhưng nằm ngoài các chiến lược mà chúng tôi dự đoán ban đầu. Chúng tôi sẽ làm rõ chiến lược này trong phần Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm. Tuy nhiên, với bảng kết quả thu được thì tỉ lệ các nhóm không tìm ra biểu thức hàm số đã chiếm tỉ lệ khá cao: 3/5 (60%). Điều này chứng tỏ rằng, kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức xác định hàm số” khá mới lạ đối với học sinh.
Buổi thứ hai
Pha thứ 2:
Kết quả thống kê lời giải của học sinh đối với bài toán 2 được thể hiện trong bảng 4.2 như sau:
Bảng 4.2. Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 2 Số lượng nhóm Tỷ lệ CLđườngthẳng →RCLhàmbậcnhất (Chọn đa thức tuyến tính) 1 20% CLđườngcong →RCLhàmbậchai (Chọn đa thức bậc hai) 3 60%
Không xác định được quỹ đạo
cũng như công thức hàm số 1 20%
Tổng cộng 5 100%
Trong pha hai này, các nhóm làm việc rất tích cực để sử dụng phần mềm Geogebra trong việc phác thảo đường cong của quả bóng cũng như trả lời cho câu 2c “Bóng có đi vào rổ hay không”. Tuy nhiên, chỉ có một nhóm (nhóm 5) không đưa ra được câu trả lời. Lý do, các em đã sử dụng mô hình Vật Lý để giải quyết. Dù chúng tôi đã hạn chế các yếu tố trong môi trường Vật Lý để các em không nghĩ đến chiến lược này.Tuy nhiên, nhóm 5 vẫn không thoát khỏi sự ảnh hưởng sâu sắc của mô hình Vật Lý.
Trong pha 3, Chúng tôi thống kê lại chiến lược của các nhóm sử dụng để giải quyết các bài toán được phát ra trong phiếu số 3 trong bảng 4.3 dưới đây:
Bảng 4.3. Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 3
Bài toán 3a Bài toán 3b Bài toán 3c
Nhóm 1
CLhàmbậchai
(Chiến lược tìm hàm số bậc hai theo mô hình Vật Lý)
Biễu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ→vẽ đường thẳng đi qua 3 điểm nhưng vẫn không bổ sung điểm (0; 0) CLHàmbậcnhất Nhóm 2 CLhàmbậcnhất (Chiến lược tìm hàm số bậc nhất)
Biễu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ→vẽ đường thẳng
đi qua 3 điểm bổ sung điểm (0; 0) CLhàmbậcba (Chiến lược tìm biểu thức bậc 3) Nhóm 3 CLhàmbậchai (Chiến lược tìm hàm số bậc hai theo mô hình
Vật Lý)
Biễu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ→vẽ đường thẳng
đi qua 3 điểm
CLhàmbậcba (Chiến lược tìm biểu thức bậc 3) Nhóm 4 CLhàmbậchai (Chiến lược tìm hàm số bậc hai)
Biễu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ →vẽ đường thẳng
đi qua 3 điểm
CLhàmbậcba (Chiến lược tìm biểu thức bậc 3) Nhóm 5 CLhàmbậcnhất (Chiến lược tìm hàm số bậc nhất)
Biễu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ→vẽ đường thẳng
đi qua 3 điểm
CLhàmbậcba
(Chiến lược tìm biểu thức bậc 3)
Kết thúc pha 3, chúng tôi tiến hành pha 4 như là pha kiểm tra lại sự tiến triển trong nhận thức của học sinh đối với kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức xác định hàm số” cũng như các bước của quá trình MHH. Kết quả được ghi nhận theo bảng sau:
Bảng 4.4. Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 4
Bài toán 4a Bài toán 4b
Nhóm 1 CLđườngcong1
CLhàmbậcba→RCLhàmbậcbốn
(Chiến lược tìm biểu thức bậc 4)
Nhóm 2
CLđườngcong1→RCLđườngcong2
(bổ sung thêm điểm (0, 1) tương ứng với giá cổ phiếu lúc 12 giờ và tìm lại đường cong mô tả giá cổ phiếu từ 12 giờ đến 4 giờ)
CLhàmbậcbốn
(Chiến lược tìm biểu thức bậc 4)
Nhóm 3
CLđườnggấpkhúc
(Biễu diễn các điểm giả thiết cho trên mặt phẳng tọa độ →nối các điểm bằng các đoạn thẳng để được đường gấp khúc mô tả giá cổ phiếu)
CLtrựcgiác
(Dựa vào “đường gấp khúc” trong câu 4a để đưa
ra câu trả lời)
Nhóm 4 CLđườngcong1→RCLđườngcong2
CLhàmbậcbốn
(Chiến lược tìm biểu thức bậc 4)
Nhóm 5 CLđườngcong1→RCLđườngcong2
CLhàmbậcbốn
(Chiến lược tìm biểu thức bậc 4)
3.1.6.2. Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm
Sự có mặt của quá trình MHH trong dạy học hàm số
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm với mục đích dạy học MHH kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức xác định hàm số”. Với học sinh vấn đề này hoàn toàn mới lạ. Sau đây chúng tôi sẽ phân tích rõ các bước của quá trình MHH trong từng bài toán cụ thể.
Với bài toán 1, chúng tôi muốn tạo thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với kiểu nhiệm vụ mới “Tìm biểu thức xác định hàm số”. Chính vì vậy, bốn bước của quá trình MHH chưa thật sự đầy đủ.
Câu 1a như là một bước trung gian để tìm ra hai điểm (0,1; 1,6) và (0,3; 4,8) đây là bài toán tìm vận tốc tức thời rất quen thuộc trong Vật lý. Tất cả 5 nhóm đều sử dụng CLtrungbình. Theochúng tôi kết quả này hoàn toàn hợp lý vì quy ước “với các khoảng thời gian là rất nhỏ thì vận tốc trung bình trên đoạn đường bất kỳ có thể xem là vận tốc tức thời tại thời điểm ở giữa đoạn đường ấy”các em đã được biết đến trong vật lý 10. Với vai trò này, thì câu 1a như là bước 1 của quy trình mô hình hoá thể hiện ở chỗ xác định các đại lượng quan trọng trong việc khảo sát một chuyển động là thời gian, vận tốc, quãng đường. Các bước hai, ba, bốn lần xuất hiện khá rõ ràng:
Xem vận tốc là hàm số của thời gian, quãng đường là hàm số của thời gian, đặt ra nhiệm vụ phải tính toán xem vận tốc là hàm bậc mấy của thời gian, quãng đường là hàm bậc mấy của thời gian là bước 2 của quy trình mô hình hoá. Bước này phát biểu lại bài toán thực tế bằng ngôn ngữ của toán học.
Việc khôi phục hàm số bằng CLđồthị hay CLhàmbậcnhất đi đến nhận xét vận tốc tăng đều thể hiện việc đưa ra một kết luận đối với một hiện tượng Vật lí chính là bước 3 của quá quy trình mô hình hoá. Bước này dùng các công cụ của toán học để giải quyết bài toán vừa được phát biểu theo ngôn ngữ của toán học.
Tuy nhiên, việc nhận ra CLđồthị cho kết quả chưa chính xác khi tìm vận tốc tức thời tại thời điểm 𝑡= 0,3005 giây và buộc chuyển sang dùng CLhàmbậcnhất chính là bước 4 của quy trình mô hình hoá toán học.
Trong pha 2, 3, 4 các bước của quá trình MHH xuất hiện đầy đủ. Qua các lời giải của các nhóm, chúng tôi nhận thấy học sinh đã thực hiện các bước như sau:
Bước 1: chọn lọc các dữ kiện cần thiết, các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng ta phải tuân theo. (được thực hiện thông qua yêu cầu mô tả lại “chuyển động của vật” hay “giá của cổ phiếu” bằng phần mềm Geogebra)
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước hai. (lập hệ phương trình bật nhất để tìm các hệ số của 𝑓(𝑥), chứng minh một điểm không thuộc đồ thị của hàm số, hay tìm GTLN của hàm số)
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Xác địnhmức độ phù hợp của mô hình và kết quả của tính toán với vấn đề thực tế.
Sau đây, chúng tôi xin thống kê sự xuất hiện các bước trong quá trình MHH trong từng bài toán:
Bảng 4.5. Bảng thống kê các bước của quá trình MHH trong các bài toán thực nghiệm Bài Toán
Các bước MHH 1 2 3 4
Bước 1
Ngầm ẩn
Tường minh Tường minh Tường minh
Bước 2
Tường minh
Bước 3 Bước 4
Như vậy, vấn đề MHH đã xuất hiện trong việc giải quyết bốn bài toán thực nghiệm của chúng tôi. Đồng thời, các bước của quá trình này cũng hiện diện trong cá nhân học sinh thông qua pha tranh luận để đi đến thể chế hóa của giáo viên ở cuối buổi học.Sau đây là đoạn đối thoại của giáo viên với các học sinh trong lớp:
Gv : các em hãy cho Cô biết nhận xét của mình về bốn bài toán vừa giải xong? Cả về nội dung và cách làm ?
Im lặng…
Gv : Cô gợi ý, Về nội dung cách cho bài toán giống hay khác các bài toán em từng gặp trong SGK?
Hs1 : Dạ thưa Cô, hình như trong sách bài tập tụi em có gặp một số bài Toán có nội dung không hoàn toàn là môn Toán nhưng trong đó đọc lên là biết dùng Toán để giải vì giả thiết của nó có xuất hiện các biểu thức Toán.
Gv : thế những bài Toán Cô cho như thế nào ?
Hs2 : Nó có nội dung cũng không phải là môn Toán, nhưng tụi em không biết dùng Toán để giải quyết, tưởng phải dùng môn Vật lý thưa Cô ?
Hs1 : Tụi em thường phải dùng Vật Lý để như bài toán 1, 2, 3 mà thấy dùng không được, không đủ dữ kiện nên chuyển sang phương án dùng Toán. Mà phải bỏ hết những dữ kiện thừa của Vật lý ra như bài toán 2 ?
Hs2 : không có, đôi khi phải bổ sung vào như bài toán 3, 4 đó Cô. Không bổ sung thêm dữ kiện thì không làm được, mà có làm cũng k ra được kết quả đúng.
Gv : Như vậy, việc làm các em đang nói là bước 1 của cách giải quyết các bài Toán Cô cho. Thế đã xong chưa ?
Hs2 : dạ chưa. Còn phải biễu diễn chúng và nhận xét, xem chọn biến ra sao ? Như bài 1, 2, 3 chọn biến là thời gian hàm số là quãng đường hay độ cao. Còn bài 4 biến cũng là thời gian nhưng hàm số là giá của cổ phiếu. Mỗi bài khác nhau hết. Rồi còn phải gọi dạng của hàm số.
Gv : đúng rồi. Mỗi bài khác nhau, các em phải biết xác định lại bài toán này trong toán học như thế nào. Sau đó tìm ra biểu thức xác định hàm số. Rồi các em còn làm gì nữa không ?
Hs : còn phải áp dụng toán để trả lời câu hỏi nữa Cô. Mà chưa biết có chính xác hay không nữa, phải nhìn lại đề bài như bài nhóm em giải tìm ra hàm số sai nên tính vị trí âm mà vị trí chuyển động của vật không âm được nên phải kiểm tra lại. Hơi khó Cô ơi.
Gv : À Đúng rồi, sau khi có được hàm số, các em phải tìm cách trả lời cho bài toán thực tế. Thế phải nhìn lại thực tế, xem nó có đúng không. Đôi khi kết quả không phù hợp, ta phải điều chỉnh lại. Hoặc xem lại quá trình tính toán, hoặc xem lại các dữ kiện đủ chưa.
Hs (giơ tay phát biểu) : vậy có quá nhiều bước cô ơi, em tính tới 4 bước đó Cô.
Gv : cười ! đúng rồi, để giải quyết các bài toán kiểu như vầy ta phải trải qua 4 bước. Đó là quá trình MHH toán học […]
Sự hình thành và tiến triển của kĩ thuật tìm biểu thức xác định hàm số.
Theo chúng tôi, sự hình thành và tiến triển kĩ thuật tìm biểu thức xác định hàm số được thể hiện qua tỉ lệ các nhóm sử dụng đúng chiến lược và tìm được hàm số phù hợp với đề bài.Nếu như với bài toán 1 chỉ có 2/5 (40%) nhóm sử dụng CLhàmbậcnhất thì qua bài toán 2, 3 đã có 3/5 (60%) nhóm sử dụng CLhàmbậchai và CLhàmbậcba. Riêng đối với bài toán 4, có đến 4/5 (80%) nhóm sử dụng CLhàmbậcbốn nhưng có một nhóm do bất cẩn trong quá trình tính toán nên đưa ra kết quả không chính xác và hạn chế về thời gian nên nhóm này không có cơ hội điều chỉnh sự sai sót.
Pha 1. Các em gặp khó khăn trong việc vẽ đồ thị hàm số vì số cho tương đối lẻ. Tuy vậy, các nhóm vẫn cố sử dụng chiến lược này và vẽ đi vẽ lại nhiều lần.
“Nhóm 1 cố gắng sử dụng CLđồthị để giải quyết nhưng không thành công” Nhóm 5, là nhóm làm việc khá hiệu quả các em đã chuyển từ CLđồthị sang CLhàmbậcnhất
Riêng nhóm 2, chúng tôi tìm thấy một sự khác biệt trong lời giải. Chiến lược các em đưa ra nằm ngoài dự đoán của chúng tôi.
Chiến lược này hoàn toàn đúng, vì các em đã lập phương trình chuyển động của vật.Và tìm phương trình vận tốc chính là đạo hàm bậc nhất của phương trình chuyển động.chúng tôi ghi nhận được quá trình làm việc của nhóm như sau:
“[…]
Hs1: nhận xét chuyển động mình cần phải biết được phương trình vận tốc của nó kìa? Hs2: vận tốc tại hai thời điểm câu 1 chứng tỏ nó không là hằng số rồi. Đúng không Quý? Hs 3 (Quý): giờ lập phương trình chuyển động:
Hs 1: Có biết gì đâu mà lập? Gia tốc đâu?
Hs 3 (Quý): Có ba điểm kìa. Tui kiểm tra rồi, nó không thẳng hàng. Chỉ còn có kiểu parabol thôi. Trong Lý phương trình chuyển động học tới bậc hai chứ mấy.
Hs 4: Ok, tìm xong lấy đạo hàm. Thay vào tính vận tốc tại 3,005 giây. Nhóm mình giỏi quá![…]”
Pha 2.Các em rất hứng thú khi biểu diễn các dữ kiện trên phần mềm Geogebra.
Ba nhóm dùng mô hình toán học tìm biểu thức hàm số bậc hai đi qua ba điểm, cho kết quả chính xác.
Trong khi hai nhóm còn lại quá phụ thuộc vào mô hình Vật lý nên chưa tìm được kết quả
Từ kết quả trên, chúng tôi nhận thấy rằng học sinh đã bắt đầu quen với kiểu nhiệm vụ tìm biểu thức hàm số.
Pha 3. Kết quả thu được từ bảng 4.3 không nằm ngoài dự đoán của chúng tôi. Các em đã biết tìm biểu thức xác định hàm số, biết tự điều chỉnh chiến lược khi thấy kết quả tìm được không phù hợp với thực tế.
Mặc dù vẫn còn hai nhóm chịu ảnh hưởng của mô hình vật lý, nhưng có một nhóm đã quay lại mô hình toán học. Điều này theo chúng tôi là hoàn toàn hợp lý.
Pha 4. Kết quả thu được khá khả quan khi đa số các nhóm đều biết phân tích dữ kiện đề bài cho và tìm được hàm số chính xác. Đây chính là sự tiến triển trong nhận thức của học sinh qua ba bài toán trước. Qua lời giải của các nhóm, chứng tỏ các em đã vận dụng được kỹ thuật tìm hàm số xấp xỉ thông qua 5 điểm cho trước từ đó mở rộng hơn cho n+1 điểm cho trước.
Pha 5. Là pha tranh luận giữa các nhóm để bảo vệ kết quả của nhóm mình, và nhận xét đúng sai từ phía giáo viên. Cuối cùng giáo viên cho các em làm việc tập thể để thể chế hóa các bước giải các bài toán cũng như kỹ thuật tìm hàm số được đưa ra.
Gv: Cô đã đưa ra nhận xét kết quả của các nhóm. Bây giờ, các em hãy rút ra cách tìm biểu thức hàm số trong các bài toán trên.
Tâm: thưa Cô, theo em bài 1 có hai điểm thì lập được biểu thức hàm bậc nhất. Điều đó đúng vì qua hai điểm ta luôn vẽ được một đường thẳng.
Gv: Đúng rồi. Thế còn bài toán 2, 3 và 4 thì sao?
Sơn: Dạ thưa Cô với bài toán 2 qua 3 điểm thì lập được biểu thức hàm bậc nhất, bài 3 qua 4 điểm lập được biểu thức hàm bậc ba, và bài 4 qua 5 điểm lập được biểu thức hàm bậc 4. Em thấy bậc của