3.1.4.1. Biến didactic và biến tình huống
Biến tình huống
Biến V1: Cách thức làm việc
Có 3 cách làm việc có thể được tổ chức là: làm việc cá nhân, làm việc theo nhóm và làm việc tập thể.
Với bài toán 1, chúng tôi muốn các em là việc theo nhóm để các em bộc lộ biểu hiện cá nhân với kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức xác định hàm số”
Trong cả 3 bài toán còn lại, chúng tôi cho học sinh làm việc nhóm với mong đợi nhiều ý kiến khác nhau xuất hiện, tranh luận giữa các thành viên trong nhóm buộc các em thấy được sự khác biệt giữa các kết quả. Đây là điều kiện cần và đủ để bốn bước dạy học MHH của chúng tôi được diễn ra một cách thuận lợi.
Biến didactic
Biến V2: Tương quan hàm số có xuất hiện hay không?
Trong các bài toán của mình chúng tôi lựa chọn giá trị của biến là: tương quan hàm xuất hiện không xuất hiện- lựa chọn này phù hợp với mục đích thực nghiệm ban đầu của chúng tôi “Dạy học MHH các bài toán thực tiễn khi tương quan hàm chưa được cho sẵn”. Điều này buộc học sinh phải đi tìm mô hình hàm số rồi mới tìm biểu thức xác định hàm số.
Biến V3: có cho biết trước dạng của hàm số hay không?
Biến này nhận một trong 2 giá trị:
− Giá trị V4a: Cho biết trước dạng của hàm số (chẳng hạn cho biết trước là hàm đa thức (bậc 1, bậc 2…), hàm mũ, hàm lượng giác, . . . )
− Giá trị V4b: Không cho biết trước dạng của hàm số.
Để thực hiện các bước dạy học MHH nên bắt buộc chúng tôi lựa chọn giá trị V4b: Không cho biết trước dạng của hàm số.
Biến V4: Số lượng các giá trị (x f xi; ( )i )của hàm số được cho trước.
−Giá trị V4a: Số lượng các điểm (x f xi; ( )i )được khảo sát không quá hai điểm.
− Giá trị V4b: Số lượng các điểm (x f xi; ( )i )được khảo sát không quá ba điểm.
− Giá trị V4c: Số lượng các điểm (x f xi; ( )i )được khảo sát nhiều hơn ba điểm.
Số lượng giá trị cho trong bảng được xem là ít nếu chỉ có từ 2 đến 3 giá trị. Điều này tạo thuận lợi cho việc gọi dạng tổng quát của hàm số có chứa các hệ số chưa biết (chẳng hạny=ax b+ ,y=ax2+bx+c) rồi sau đó lập hệ phương trình để giải tìm các hệ số chưa biết này.
Số lượng giá trị của hàm số cho trước được xem là nhiều nếu có từ 4 giá trị trở lên.Số lượng nhiều gây khó khăn cho việc lập hệ phương trình rồi hệ tìm các hệ số chưa biết đó.
Khi biến V4 này nhận giá trị V4.a thì chiến lược xây dựng hàm tuyến tính bậc nhất chiếm ưu thế.Khi biến V4 nhận giá trị V4.b thì chiến lược xây dựng hàm tuyến tính và chiến lược xây dựng xây dựng hàm bậc hai đều có khả năng xuất hiện. Trong bài toán 2 chúng tôi chọn giá trị V4.b. Còn đối với giá trị V4.c thì chúng tôi nghĩ rằng cả hai chiến lược hàm bậc nhất và bậc hai đều không có khả năng xuất hiện.
Biến V5: giá trị x0 cần tính f(x0) là số nguyên hay số thập phân?
− Giá trị V5a: giá trị x0là số nguyên.
− Giá trị V5b: giá trị x0là số thập phân.
Nếu giá trị 𝑥0 là số nguyên thì CLđồthị sẽ có cơ hội xuất hiện nhiều hơn và chiếm ưu thế.
Nếu giá trị 𝑥0 là số thập phân buộc học sinh phải dùng CL biểu thức xác định của hàm số vì sử dụng CLđồthị sẽ không đưa ra kết quả chính xác.
3.4.1.2. Các chiến lược và cái có thể quan sát được
Bài toán 1
CLTB (chiến lược trung bình): tính vận tốc trung bình trên từng đoạn đường và coi đó là vận tốc tức thời vì với các khoảng thời gian là rất nhỏ thì vận tốc trung bình trên đoạn đường bất kỳ có thể xem là vận tốc tức thời tại thời điểm ở giữa đoạn đường ấy.
Đoạn đường AB BC
Độ dài đoạn đường (dm) 0,32 0,96 Vận tốc trung bình (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(dm/s) 1,6 4,8
Vận tốc tức thời (dm/s) 1,6 4,8
CLTL (chiến lược tỉ lệ): xem vận tốc trung bình và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.Tìm vận tốc trung bình tại thời đểm 0,1 giây và coi đó là vận tốc tức thời tại thời điểm đó
0,1 0, 2 0,8 ? 1, 6 a a → ⇒ = = →
Tương tự đối với việc tính vận tốc tức thời tại thời điểm t=0,3 giây 0,3 0, 4 3, 6 ? 4,8 b b → ⇒ = = →
Từ đó, bảng vận tốc tức thời tại hai thời điểm 0,1 và 0,3 giây là Thời điểm t (s) 0,1 0,3
Vận tốc tức thời 0,8 3,6
b) Để đưa ra nhận xét về chuyển động này, ta cần phải biết được vận tốc của vật là không đổi (𝑦 =𝑏 ) hay biến thiên theo hàm bậc nhất 𝑦 =𝑎𝑥. Nếu vận tốc của vật không đổi thì chuyển động của vật là chuyển động thẳng đều, nhưng nếu như vận tốccủa vật biến thiên theo đồ thị của đường thẳng đi qua gốc tọa độ thì chuyển động của vật là chuyển động thẳng biến đổi đều. Chúng tôi dự đoán có các chiến lược sau:
CLđồthị: biểu diễn hai điểm 𝑀1(0,1; 1,6) và 𝑀2(0,3; 4,8)trên mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng qua hai điểm này. Quan sát đường thẳng vừa vẽ và đưa ra nhận xét
Như vậy, dựa vào đồ thị thì học sinh có thể dự đoán được sự phụ thuộc của vận tốc theo thời gian là hàm bậc nhất vì đồ thị là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.Nghĩa là vận tốc tăng đều theo thời gian. Kết luận đây là chuyển động thẳng nhanh dần đều.
Với CLđồthịviệc tính vận tốc tức thời tại thời điểm 𝑡 = 0,3005 giây sẽ được tiến hành như sau:
− Kéo dài đồ thị về bên phải và lấy một điểm M có hoành độ 0.3005 trên đồ thị
− Tìm tung độ bằng cách kẻ một đường ngang qua M cắt trục tung tại
K. Bằng cách đếm đơn vị trên đồ thị thì sẽ được tung độ của K. Giá trị tung độ này là giá trị dự đoán vận tốc tức thời của xe tại thời điểm 0,35s.
CLhàmbậcnhất( chiến lược hàm bậc nhất): chiến lược này có nội dung như sau:
− Tính hệ số góc của các đường thẳng M1M2. Đường thẳng M1M2
− Đường thẳng đi qua hai điểm 𝑀1𝑀2(hệ số góc 𝑘 = 16 và qua điểm
𝑀1(0,1; 1,6)) có dạng:
𝑦 −1,6 = 16(𝑥 −0,1)⇒ 𝑦 = 16𝑥
Dựa vào công thức hàm số, ta thấy rằng đây là hàm số bậc nhất 𝑦=𝑎𝑥 (đồ thị hàm số này đi qua gốc tọa độ 𝑂(0,0),𝑣à 𝑎 > 0)nghĩa là vận tốc tăng đều theo thời gian. Vậy, chuyển động của vật là chuyển động thẳng nhanh dần đều.
Từ đó,ta tính được vận tốc tức thời của xe tại thời điểm 0,305s bằng cách cho
𝑡= 0,305thì y = 16 × 0,3005 = 4,88 (dm/s).
Bài toán 2
Các chiến lược chúng tôi dự kiến có thể xảy ra
a) Các em có thể có hai chiến lược để mô phỏng đường đi của quả bóng CLđườngthẳng: từ thời điểm được ném đến khi chạm đất quả bóng đi qua hai vị trí (0,5; 2,005) và (1,96; 0) nên quỹ đạo của quả bóng sẽ là một đường thẳng đi qua hai điểm trên.
CLđườngcong: với chiến lược này điểm (0; 1,83) sẽ được bổ sung. Chính vì vậy, quỹ đạo của quả bóng sẽ là một đường cong.
b) Với câu hỏi của bài toán đặt ra buộc học sinh phải quy trình mô hình hoá thể hiện ở chỗ xác định các đại lượng quan trọng trong việc khảo sátchuyển động của quả bóng: thời gian, độ cao. Trong đó các em phải xác định được độ cao h(m) của quả bóng là hàm số theo thời gian t(s).
CLhàmbậcnhất:Đồ thị của hàm số cần tìm đi qua hai điểm nên biểu thức xác định hàm số là một đa thức tuyến tính dạng:
( ) ,( 0)
h t =at b a+ ≠ . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Dựa vào các dữ kiện của bài toán ta có bảng giá trị sau:
Thời gian (s) 0,5 0,96
Độ cao của quả bóng (m) 2,005 0
Từ bảng giá trị trên ta nhận thấy độ cao của quả bóng là hàm số bậc nhất theo thời gian.
Giả sử t (giây) là thời gian chuyển động của quả bóng, khi đó độ cao h (m) của quả bóng là hàm số bậc nhất theo quãng đường đi: h t( )=at b a+ ,( ≠0)
Với hai điểm đã cho ta có hệ phương trình sau: 4,385 2, 005 0,96 0 4,385 4,184 a b a b a b − + = + = = − ⇒ = Vậy hàm số cần tìm có dạng: 4,358 4,184 y= − x+ Ta có đồ thị sau
Kết luận: quả bóng không bay vào rổ mà cứ bay thẳng lên trời. Nghĩa là cầu thủ ném phạt không thành công.
Nhìn lại thực tế đề bài là quả bóng chạm đất sau 0,96(s) chứ không phải bay thẳng lên trời học sinh sẽ nhận thấy chiến lược của mình bộc lộ khuyết điểm và chuyển sang mô hình hàm bậc hai.
CLđồthị: học sinh dựa vào phần phác thảo đường đi của quả bóng, bổ sung thêm một điểm là (4,21; 3,05). Dựa vào hình vẽ và đưa ra nhận xét:
Từ hình vẽ trên học sinh đưa ra nhận xét là bóng không đi vào rổ.
CLhàmbậchai: Chọn đa thức bậc hai h t( )=at2+ +bt c a,( ≠0)làm biểu thức của hàm số. Trong chiến lược này học sinh sẽ chọn thêm một điểm là thời điểm bắt đầu ném bóng, điểm này có tọa độ (0;1,83).
Lời giải có thể quan sát tương ứng với chiến lược: Dựa vào các dữ kiện của bài toán ta có bảng giá trị sau:
Thời gian (s) 0,5 0,96 0
Độ cao của quả bóng (m) 2,005 0 1,83
Độ cao h (m) của quả bóng là hàm số bậc hai theo thời gian t (s).Hàm số có dạng:
( )= 2+ + ,( ≠0)
h t at bt c a
Với ba điểm của bảng giá trị ta có hệ phương trình sau:
1,83 0, 25 0, 5 2, 005 0, 9216 0, 96 0 c a b c a b c = + + = + + =
Giải hệ phương trình trên ta được:
4, 9 2,8 1,83 a b c ≈ − ≈ =
Ta được hàm số như sau: 2
4,9 2,8 1,83
y= − x + x+
Độ cao cực đại của quả bóng đạt được chính là GTLN của hàm số 2
4,9 2,8 1,83
Ta có: ymax =2, 23tại 2
7
x= (giây) so sánh với độ cao của cột rổh=3, 05 ta thấy rằng bóng không bay vào rổ. Nghĩa là cầu thủ ném phạt không thành công.
Bài toán 3 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Thời điểm (giây)
1 2 3
Vị trí (mét) 4 2 0
Với ba điểm (1; 4); (2; 2) và (3; 0) thì chiến lược cơ sở đối với bài toán này là CLhàmbậcnhất: với chiến lược này học sinh sẽ viết phương trình đường thẳng đi qua hai trong ba điểm trên. Sau đó, kiểm tra sự thẳng hàng của ba điểm này và kết luận ba điểm này thẳng hàng sau đó tính vị trí của vật tại các thời điểm được yêu cầu.
Lời giải có thể quan sát tương ứng với chiến lược:
− Hàm số cần tìm đi qua hai điểm (1; 4); (2; 2) có dạng:
( )= + ,( ≠0)
x t at b a
− Thay tọa độ hai điểm này vào biểu thức trên và giải hệ phương trình ta được:
a = -2, b = 6
− Do đó biểu thức hàm vị trí của vật theo thời gian t đi qua hai điểm có dạng:
( )= − +2 6
x t t
− Thay điểm (3; 0) vào biểu thức hàm số trên ta thấy rằng ba điểm
(1; 4); (2; 2) và (3; 0). Vậy hàm vị trí của vật là: x t( )= − +2t 6
Từ đó, ta lập được bảng số liệu sau: Thời điểm
(s)
1,95 2,35 2,95
Sang câu hỏi 3b
Với dữ kiện ban đầu, học sinh biểu diễn trên phần mềm và mô tả được quỹ đạo chuyển động của vật là một đường thẳng
Tuy nhiên, với câu hỏi tiếp theo dự đoán vị trí xa nhất của vật trong 3 giây đầu tiên. Kết quả sẽ là 6m tại vị trí 0 giây.Điều này mâu thuẩn với giả thiết là “vật chuyển động không vận tốc ban đầu”.Từ đây, học sinh sẽ biểu diễn thêm điểm (0; 0) trên mặt phẳng tọa độ. Với công cụ mới thiết lập “Đường cong qua 4 điểm”. Học sinh mô tả được quỹ đạo chuyển động của vật như sau:
Dựa vào quỹ đạo chuyển động của vật, học sinh dự đoán được vị trí xa nhất của vật sau khi chuyển động trong 3 giây đầu tiên là 4 (m).
Như vậy, môi trường tin học cho phép học sinh nhận ra hàm tuyến tính chưa phù hợp, và với quỹ đạo trên học sinh nhận ra hàm mô tả chuyển động này là hàm bậc ba.
3c) CLhàmbậcnhất bộc lộ khiếm khuyết đối với câu 3c
Thời điểm (s) 0 0,5 1 2 2,35 2,95 3,3
Vị trí (m) 6 5 4 2 1,3 0,1 -0,6
Tên vị trí A B C D E F G
Quãng đường (m) AC=2 CE=2,7 EF=1,2 Không
tính được
Thời gian (s) 1 1,35 0,6 Không (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
tính được
Vận tốc trung bình (m/s) 2 2 2 Không
tính được Như vậy, CLhàmbậcnhất bộc lộ khiếm khuyết vì hai lý do:
Thứ nhất, vị trí của vật tại một thời điểm bất kỳ của một vật trong chuyển động không thể là một số âm.
Thứ hai, vật chuyển động không vận tốc đầu nghĩa là tại thời điểm 0 giây khi xuất phát vị trí của vật cũng là 0 mét. Nhưng trong trường hợp này tại thời điểm 0 giây vị trí của vật là 6 m. Điều này mâu thuẩn dữ kiện đề bài cho.
Đến đây, học sinh buộc phải thay đổi chiến lược ban đầu và phải tìm lại công thức hàm số xác định vị trí của vật.
Sự phản hồi của môi trường tin học trong câu 3b cho phép học sinh chuyển sang dùng hàm bậc ba để mô tả cho chuyển động đã cho
+ CLhàmbậcba: dùng hàm bậc ba 3 2 ( ) 0
y=at +bt + +ct d a≠ là hàm vị trí của chuyển động.
Lời giải có thể quan sát tương ứng với chiến lược:
− Từ các dữ kiện đề bài cho, học sinh lập ra bảng giá trị sau:
Thời gian (t) 0 1 2 3
Vị trí (m) 0 4 2 0
− Giả sử t (giây) là thời gian chuyển động của chất điểm khi đó vị trí y (mét) của vật là hàm đa thức bậc 3 theo t: 3 2 ( )
0
y=at +bt + +ct d a≠
0 4 8 4 2 2 27 9 3 0 d a b c d a b c d a b c d = + + + = + + + = + + + =
Giải hệ phương trình ta được
1 6 9 0 a b c d = = − = =
− Vậy ta được hàm số sau: 3 2
6 9
y= −x x + x
Từ hàm vị trí tìm được thì:
− Các bảng số liệu tìm được ở câu a và b lần lượt là
Thời điểm (s) 1,95 2,35 2,95 Vị trí (m) 2,149875 0,992875 0,007375 Bảng a Thời điểm (s) 0 0,5 1 2 2,35 2,95 3,3 Vị trí (m) 0 3,125 4 2 0,992875 0,007375 0,297 Tên vị trí A B C D E F G
Đoạn đường (m) AC=4 CE=3,007125 EF=0,9855 FG=0,289625
Thời gian (s) 1 1,35 0,6 0,35
Vận tốc trung bình (m/s)
4 2,2275 1,6425 0,8275
Bảng b (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
− Vận tốc của vật thay đổi trên từng đoạn đường nên chuyển động của vật là chuyển động biến đổi.
− Giá trị lớn nhất của hàm số trong khoảng [0;3, 5] ta được ymax =4 tại x=1.Từ đó, trả lời được trong 3,5 giây đầu tiên thì tại thời điểm 1 giây vị trí chuyển động xa nhất của vật là 4 (m).
Bài toán 4
a. Dùng phần mềm Geogebra, mô tả lại sự thay đổi giá của cổ phiếu theo thời gian từ 12 giờ đến 4 giờ chiều.
+ CLđườnggấpkhúc:học sinh biểu diễn các điểm giả thiết cho lên mặt phẳng tọa độ. Sau đó, vẽ đường gấp khúc nối liền các điểm này.
+ CLđườngcong1: học sinh biểu diễn các điểm giả thiết cho lên mặt phẳng tọa độ. Sau đó, dùng nút lệnh “đường cong qua 4 điểm” để vẽ đường cong mô tả theo yêu cầu bài toán.
+ CLđườngcong2:
Với chiến lược này học sinh cần phải tìm lại đúng mô hình toán học của bài toán thực tế. Cụ thể là bổ sung thời điểm 12 giờ với giá 1 nghìn đồng tương ứng với điểm
(0; 1). Bảng giá trị sẽ như sau:
Thời điểm 0 1 2 3 4
Giá cổ phiếu
(đơn vị nghìn đồng) 1 1279≈6, 58(3) 73 12,1(6)
6 ≈ 13,75 13 4, (3)
3 ≈
Sau đó, học sinh biễu diễn các điểm giả thiết cho lên mặt phẳng tọa độ. Sau đó, dùng nút lệnh “đường cong qua 4 điểm” để vẽ đường cong mô tả theo yêu cầu bài toán.
+ CLhàm bậc ba : hàm bậc ba 3 2 ( ) 0
y=at +bt + +ct d a≠
Với chiến lược này, học sinh sẽ dựa vào 4 điểm trong bảng số liệu thiết lập nên hàm số bậc ba để biễu diễn sự phụ thuộc giá cổ phiếu theo thời gian t.