2.2.1.1. Dạy học mô hình hóa
Trong sách giáo khoa Toán ở Mỹ cụ thể là quyển Calculus mà chúng tôi lựa chọn nghiên cứu, việc MHH Toán học được đề cập từ ban đầu ngay khi hàm số cũng như các hệ thống biểu đạt hàm số được định nghĩa.
Theo M:
“Mô hình hóa toán học là sự mô tả (thông thường bằng quan hệ hàm hay một phương trình) của các hiện tượng thực tế như kích cỡ dân số, nhu cầu của một sản phẩm, tốc độ rơi của một vật….Mục
đích của việc mô hình hóa là hiểu các hiện tượng và có thể phán đoán về động thái của chúng trong tương lai”
(M, tr.24)
Các bước của quá trình MHH toán học được M trình bày như sau:
(M, tr.24)
Mô hình trên có thể được diễn giải như sau:
Bước 1: Đưa vào mô hình trung gian sau đó là mô hình toán học bằng cách nhận diện và gọi tên các biến độc lập và biến phụ thuộc sao cho đơn giản được hiện tượng và đủ để xử lý bằng công cụ toán học.
Bước 2:Sau khi có mô hình toán học thì dùng các công cụ toán học để giải quyết vấn đề và đưa ra được kết luận trong toán học.
Bước 3:Từ kết luận trong toán học đưa ra kết luận về vấn đề thực tiễn ban đầu.
Bước 4: Kiểm tra lại dự đoán bằng cách đối chiếu lại với các dữ kiện được cho trong bài toán thực tế.
Đồng thời M cũng khẳng định câu trả lời cho bài toán thực tế mang tính chất gần đúng. Bên cạnh đó các hàm số mà tương quan hàm của nó tuân theo các hiện tượng của thực tế cũng được M đưa vào.
2.2.1.2. Một số hàm số được sách giáo khoa Mỹ lựa chọn trong việc dạy học mô hình hóa
a. Hàm tuyến tính: y=mx b m+ ( ≠0)
Gọi y là hàm tuyến tính của x thì đồ thị của hàm số là một đường thẳng. Khi đó, hàm số có dạng y=mx b m+ ( ≠0)(trong đó m là hệ số góc hay độ dốc của đường thẳng và b tung độ chắn).
Tính chất: hàm tuyến tính tăng (hoặc giảm) theo tốc độ là một hằng số. Ví dụ 1:
“Hình vẽ 2 là đồ thị của hàm tuyến tính f x( )=3x−2 và bảng giá trị của một số điểm tiêu biểu. Ta thấy rằng, khi x tăng 0,1 thì giá trị của f(x) tăng 0.3. Vì thế giá trị của f(x) tăng gấp 3 lần giá trị tăng của x. Chính vì vậy, độ dốc của đồ thị f x( )=3x−2,ở đây là 3, có thể được hiểu như là tỉ số thay đổi của biến y trong mối tương quan với biến x” (M, tr.25)
Sau khi đưa ra biểu thức và đặc trưng của hàm tuyến tính, M đưa ra ví dụ về một bài tập MHH cần sử dụng kiến thức về hàm tuyến tính để giải quyết.
Ví dụ 2:
“Bảng dưới đây nêu ra hàm lượng trung bình của Cacbon dioxit trong không khí tại thành phố Mauna Loa Observatory từ năm 1980 đến 2002 (đơn vị:ppm hay 1/1000000). Dùng dữ liệu của bảng 1 để tìm một mô hình cho biểu thị hàm lượng Cacbon dioxit
Sau đó, dùng kết quả trên để ước lượng hàm lượng CO2 của thành phố vào năm 1987 và dự đoán hàm lượng CO2 của thành phố vào năm 2010. Hãy cho biết, vào thời điểm nào thì hàm lượng CO2 của thành phố vượt quá 400 (ppm) ”
(M, tr.26)
Bài toán được giải quyết như sau:
− Biểu diễn các điểm đã cho lên mặt phẳng tọa độ.
“Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ, khi đó trục t đại diện cho thời gian (được tính bằng năm), và trục C đại diện cho hàm lượng của khí CO2 (được tính bằng 1/1000000, ppm)”
− Nhìn hình vẽ dự đoán hình dạng mà các điểm tạo thành và tìm hàm số đi qua các điểm.
“Ta thấy rằng các điểm đã cho gần như nằm trên một đường thẳng, vì thế một cách tự nhiên ta dùng mô hình hàm tuyến tính trong trường hợp này” (M, tr.27).
“[…]Từ đồ thị các điểm cho thấy rằng có một khả năng là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối. Độ dốc-hệ số góc của đường thẳng này là
372, 9 338, 7 34, 2 1, 5545 2002 1980 22 − = ≈ − Và phương trình của nó là: 338, 7 1.5545( 1980) C− = t− Hay 1, 5545 2739, 21(1) C= t−
Phương trình (1) cho ta một hàm tuyến tính có khả năng biểu thị cho hàm lượng khí CO2. Đồ thị của nó được biểu diễn trên hình 5” (M, tr.27)
“Mặc dù mô hình hàm vừa tìm được khá phù hợp với các dữ liệu được cho ban đầu, tuy nhiên nó cung cấp các giá trị hầu như cao hơn hàm lượng CO2 thực tế trong không khí. Một mô hình hàm tốt hơn được tìm bằng một tiến trình khác2
và được gọi là đường thẳng hồi quy …Hệ số góc và tung độ chắn của đường thẳng hồi quy là
1.55192 b=-2734.55 m= Vì thế hàm tuyến tính mới có dạng: ( )2 1.55192 2734.55 C= t−
Đồ thị của hàm tuyến tính mới có dạng:
Như vậy, từ hình 6 ta thấy đồ thị thẳng hồi quy minh họa tốt cho các điểm dữ liệu ban đầu. So sánh với hình 5, ta thấy mô hình này tốt hơn mô hình hàm tuyến tính trước đó”
− Khẳng định tính phù hợp của mô hình mới và trả lời cho bài toán thực tế. “Từ (2) với t=1987, ta dự đoán được hàm lượng CO2 trung bình trong năm 1987 là
( )( ) (1987) 1.55192 1987 2734.55 349.12 C = − ≈ Với t=2010 ta được ( )( ) (2010) 1.55192 2010 2734.55 384.81 C = − ≈
Vì thế ta dự đoán được hàm lượng CO2trung bình vào năm 2010 là 384.8 ppm. Từ (2), ta thấy rằng hàm lượng CO2 vượt quá 400ppm khi
1.55192t−2734.55>0
Giải bất phương trình trên ta được:
3134.55
2019.79 1.55192
t> ≈
2M nêu lên hai cách tìm đường thẳng hồi quy
- Sử dụng máy tính có chức năng vẽ đồ thị và cách dùng phần mềm Maple để tìm đường thẳng tuyến tính. M còn nói thêm phương pháp các máy này dùng là phương pháp hồi quy tuyến tính.
- Phương pháp giải tích thì dùng phương pháp bình phương tối thiểu được trình bày trong chương 14.
Ta dự đoán được rằng hàm lượng CO2 vượt quá 400ppm vào năm 2019. Dự đoán này thì khá rủi ro vì nó liên quan đến khoảng thời điểm khá xa nguồn dữ liệu chúng ta quan sát”(M, tr.28)
Nhận xét:
Qua bài toán trên, M đã thể hiện đầy đủ các bước của quá trình MHH.
Bước 1: Biểu diễn các điểm lên hệ trục và nhận xét về tương quan hàm giữa hàm lượng CO2 và năm tương ứng.
Bước 2: Xác định mô hình toán học là hàm tuyến tính và dùng các công cụ toán học để tìm công thức hàm.
Bước 3: Sau khi tìm được mô hình hàm. Trả lời cho bài toán thực tế.
Bước 4: Đối chiếu đồ thị hàm số vừa tìm được với các thông số được cho ban đầu và rút ra nhận xét “Mô hình hàm vừa tìm được khá phù hợp với các dữ liệu được cho ban đầu, tuy nhiên nó cung cấp các giá trị hầu như cao hơn hàm lượng CO2 thực tế trong không khí”.Từ đó, việc tìm một công thức hàm tuyến tính mới phù hợp hơn với các dữ kiện của bài toán được đặt ra.
Cũng từ đây, trong hệ thống bài tập của mình M chú trọng đưa ra các dạng bài tập gắn với quá trình MHH.
b. Hàm đa thức 1 2
1 2 1 0
( ) n n ...
n n
P x =a x +a −x − + +a x +a x a+
(trong đó: n là số tự nhiên, a a a0; ;1 2;...;an là hằng số và được gọi là hệ số của đa thức)
Tập xác định:R= −∞ +∞( ; )
Bậc của hàm đa thức: n
n=1: ( )P x =mx b+ là một hàm tuyến tính.
n=2: P x( )=ax2+ +bx c hàm bậc hai (trường hợp đặc biệt 2
y=ax được gọi là Parabol).
n=3: P x( )=ax3+bx2 + +cx d hàm bậc ba ….
Tiếp theo, M đưa ra một ví dụ về việc xấp xỉ một hiện tượng vật lý bởi hàm đa thức bậc hai.
“Ví dụ 4. Một quả bóng rơi từ sân thượng của tòa tháp CN Tower, cách mặt đất 450m. Độ cao của quả bóng thu được trong khoảng thời gian cách đều nhau 1 giây được ghi nhận trong bảng 2. Dựa vào đó, hãy dự đoán thời điểm mà quả bóng chạm đất”
(M, tr.29)
Thời điểm (giây) Độ cao (mét) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 450 445 431 408 375 332 279 216 143 61 Sách M đã đưa ra cách giải quyết ví dụ này như sau:
“Cách giải. chúng ta biểu diễn các điểm trong bảng dữ liệu ban đầu trên hệ trục tọa độ như hình 9 và quan sát thấy rằng mô hình của hàm tuyến tính là không phù hợp.
Nhưng khi quan sát các điểm chúng gần như nằm trên một parabol, vì thế chúng ta sẽ thử thay thế bằng mô hình hàm bậc hai. Ta thu được mô hình hàm bậc hai dưới đây:
2
4.90 0.96 449.36 (3)
h= − t + t+
Biễu diễn các điểm được cho trong bảng dữ liệu ban đầu và đồ thị hàm số vừa tìm được trên cùng một hệ trục tọa độ ta thu được hình 10
Nhận xét: mô hình hàm bậc hai thu được cho một kết quả phù hợp với dữ liệu ban đầu. Quả bóng chạm đất khi độ cao h=0, giải phương trình bậc hai:
2 4.90t 0.96t 449.36 0 − + + = Ta được: 9.67 9.47 t t ≈ ≈ −
Do thời gian là đại lương không âm nên ta chấp nhận t≈9.67. Vì vậy, chúng ta dự đoán được rằng quả bóng sẽ chạm đất sau khoảng thời gian 9.7 giây.”
(M, tr.29)
c. Hàm số lũy thừa f x( )=xa
Hàm lũy thừa có dạng ( ) a
f x =x (a: hằng số)
Sau khi đưa ra định nghĩa về hàm lũy thừa, sách M khẳng định hàm số mũ thường được MHH trong các hiện tượng vật lý và hóa học.
Một ví dụ về việc sử dụng hàm số lũy thừa trong việc MHH cho các hiện vật lý được M đưa vào. Cụ thể như sau:
“Ví dụ. bảng dưới đây cho biết khoảng cách trung bình d của một số hành tinh so với mặt trời (lấy đơn vị đo giữa khoảng cách giữa trái đất và mặt trời) và chu kỳ T (số vòng quay trong năm)
Hành tinh d T Sao Thủy Sao Kim Trái Đất Sao Hỏa Sao Mộc Sao Thổ
Sao Thiên Vương Sao Hải Vương
0.387 0.723 1.000 1.523 5.203 9.541 19.190 30.086 0.241 0.651 1.000 1.881 11.861 29.457 84.008 164.784 a. Tìm mô hình tương ứng với dữ liệu cho trong bảng.
b. Định luật 3 của Kepler về sự chuyển động của các hành tinh được phát biểu như sau: “Bình phương chu kỳ quỹ đạo tỷ lệ với lập phương giá trị trung bình giữa khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ hành tinh tới Mặt Trời.
Em có thể làm sáng tỏ cho Định luật của Kepler không?” (M, tr.37)
Đây là một ví dụ để học sinh tự giải.Nhưng qua ví dụ, chúng ta cũng nhận thấy được mô hình của hàm lũy thừa được ứng dụng vào các hiện tượng vật lý như thế nào.
d. Hàm số mũ x
y=a
Sách M định nghĩa hàm số mũ như sau: Hàm số mũ là hàm số có dạng x
y=a (trong đó, a gọi là cơ số và a là hằng số dương)
Sau khi hàm số mũ được định nghĩa, M đưa ra ví dụ về việc sử dụng hàm này trong các bài toán thực tế.Cụ thể, đó là mô hình toán học của sự tăng trưởng dân số tự nhiên.
“Ví dụ. Bằng thống kê, các nhà dân số có bảng dân số thế giới trong thế kỷ 20 như sau:
Năm 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Dân số (triệu
người) 1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6080
Em hãy dự đoán dân số thế giới vào năm 2025.
“Lời giải.Ta có thể mô tả bảng dữ liệu trên mặt phẳng toạ độ bởi những điểm rời rạc như sau:
Dựa vào hình dạng của mà các điểm rời rạc mang lại, ta thấy rằng sự tăng dân số này có xu hương tiếp tục tăng. Và người ta nghiên cứu được nó thường tăng tự nhiên theo hàm số mũ. Do đó, bằng phương pháp xấp xỉ hàm (chủ yếu là phương pháp bình phương bé nhất), chúng ta tìm được công thức cụ thể của hàm số P(t).
(0.008079266).(1.013731)t
P= (4)
Dựa vào (4) ta có thể dự đoán được dân số thế giới vào năm 2025” Nhận xét:
Qua cách trình bày của sách M, chúng thôi nhận thấy:
- Sách giáo khoa của Mỹ chú trọng đến việc dạy học MHH.
- Việc dạy học MHH được gắn liền với một số vấn đề thực tế (hay các ngành khoa học khác) mang tính cấp thiết và tương ứng với từng hàm số cụ thể.
- Các bước của quá trình MHH được thể hiện khá rõ ràng.