2.1.1. Mô hình hóa hàm số trong chương trình và SGK Toán lớp 9 và lớp 10
Trong khuôn khổ luận văn của mình chúng tôi tập trung phân tích vấn đề “MHH trong dạy học hàm số ở lớp 12”. Tuy nhiên, muốn tìm hiểu thêm về “cuộc sống” của đối tượng này hàm trong sách giáo khoa Toán lớp 9 và 10, chúng tôi tham khảo phần phân tích các tổ chức toán học liên quan MHH trong dạy học hàm số trong luận văn của Đinh Quốc Khánh. Kiểu nhiệm vụ chúng tôi quan tâm ở đây là “TTBTHS (Tìm biểu thức hàm số)” chiếm tỉ lệ 3/48 (6, 25%)”
Và kèm theo đó là nhận định:
“…Các bài tập có nội dung thực tiễn được đưa vào SGK toán 9 đều được viết dưới dạng một bài toán, việc của học sinh chỉ là giải toán. Không có bài tập nào yêu cầu thực hiện bước 1 và bước 2_ bước chuyển từ hệ thống hay tình huống ngoài toán học vào trong mô hình toán học, điều này cho thấy vấn đề mô hình hóa toán học đã không được tính đến”
(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.41)
Tác giả cũng phân tích kiểu nhiệm vụ “TTBTHS (Tìm biểu thức hàm số)” trong sách giáo khoa toán lớp 10. Và khẳng định
“Các bước trong kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ nói trên đều tương ứng với các bước của quá trình mô hình hóa…đây chính là các bước 1, bước 2 và bước 3 điều này cho thấy vấn đề mô hình hóa có mặt trong dạy-học hàm số ở lớp 10”.(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.47)
Như vậy, vấn đề MHH có mặt trong dạy học hàm số ở lớp 10 nhưng theo chúng tôi nó chưa được quan tâm đúng mực và chưa thể hiện được những mục tiêu mà chương trình đặt ra
“Về thực tiễn, học sinh thấy được rằng: Toán học là môn khoa học trừu tượng, nhưng các vấn đề toán học nói chung cũng như vấn đề hàm số nói riêng lại thường được xuất phát từ việc nghiên cứu các bài toán thực tế.”(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.28)
Nhận xét: chúng tôi thấy rằng có bước tiến triển trong việc dạy học MHH hàm số. Nếu như ở sách giáo khoa Toán lớp 9 “vấn đề mô hình hóa toán học đã không được tính đến” thì sang sách giáo khoa Toán lớp 10 “vấn đề mô hình hóa có mặt…nhưng nó
chưa được quan tâm đúng mực”. Liệu rằng trong chương trình và SGK Toán lớp 12 thì quá trình MHH có được chú trọng hay không? Nếu có thì ở mức độ nào? Những phân tích tiếp theo trong chương này sẽ cho phép chúng tôi giải trả lời câu hỏi trên.
2.1.2. Yêu cầu của chương trình Toán lớp 12 với việc dạy học mô hình hóa
Nhìn lại chương trình Toán 12 Việt Nam, chúng tôi bắt gặp quan điểm quan trọng như sau:
“Mục tiêu đầu tiên của xây dựng chương trình cần đạt được là ý nghĩa, ứng dụng của những kiến thức Toán học vào đời sống, vào việc phục vụ các môn học khác. Do đó cần tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học phải gắn với thực tiễn”
(Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, Bộ Giáo dục và Đào tạo, năm 2006, tr.7) Mục tiêu này cụ thể hóa lại như sau:
+Lựa chọn các kiến thức cơ bản, cập nhật, thiết thực, có hệ thống, theo hướng tinh giảm, phù hợp với trình độ nhân thức của học sinh, thể hiện tính liên môn và tích hợp các nội dung giáo dục, thể hiện vai trò công cụ của môn Toán.
+Tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học toán gắn liền với thực tiễn.
+Tạo điều kiện đẩy mạnh vận dụng các phương pháp dạy học theo hướng tích cực, chủ động, sáng tạo. Rèn luyện cho học sinh khả năng tự học, phát triển năng lực trí tuệ chung.
(GN, tr.4)
Như vậy, trong mục tiêu của chương trình giáo dục phổ thông do Bộ Giáo Dục và Đào Tạo xác định “tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học phải gắn với thực tiễn”hay nói khác hơn đó chính là phải chú trọng dạy MHH.
2.1.3. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách MN và EN
Với EN là ký hiệu sách bài tập Giải tích lớp 12 ban nâng cao.
a) Phân tích chương I
Trong phần này, chúng tôi xin tập trung phân tích vào những nội dung về hàm số có liên quan đến dạy học MHH hay những vấn đề có liên quan đến thực tiễn.
Chương này gồm các bài học sau:
Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cực trị của hàm số.
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tiệm cận.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Chúng tôi xin bắt đầu bằng một ví dụ trong bài “Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số”. Theo chúng tôi, ví dụ này là “sự xuất hiện lần đầu tiên” của kiểu nhiệm vụ tìm biểu thức xác định hàm số cùng với sự hiện diện của quá trình MHH.
Ví dụ 3: (MN, tr.20)
“Một hộp không nắp được làm từ một mảnh cáctông theo mẫu hình 1.4. Hộp đáy là một hình vuông cạnh x (cm), đường cao h (cm) và có thể tích là 500 cm3
. Hãy biễu diễn h theo x.
Tìm diện tích S(x) của mảnh các-tông theo x. Tìm giá trị của x sao cho S(x) nhỏ nhất.”(MN, tr.20) Sách giáo khoa đưa ra bài giải như sau. “Thể tích của hộp là Thể tích của hộp là 2. 500 V =x h= (cm3). Do đó 500, x>0 2 h x =
Diện tích của mảnh các tông dùng làm hộp là
2 ( ) 4 S x =x + hx Từ a) ta có 2000 2 ( ) S x x x = + , x>0
Ta tìm x>0 sao cho S x( ) đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0,+∞). Ta có
3 2000 2( 1000) '( ) 2 2 x 2 S x x x x − = − = '( ) 0 10 S x = ⇔ =x
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (0,+∞) hàm số S đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x=10. Vậy muốn tốn ít nguyên liệu nhất, ta lấy độ dài cạnh đáy hình hộp chữ nhật là x=10 (cm).”(M, tr,20, 21)
Như vậy, ví dụ trên đáp ứng được mục tiêu đề ra của thể chế là cho học sinh thấy được toán học nói chung và hàm số nói riêng có liên quan đến thực tế.
Bên cạnh đó, chúng tôi thấy hiện diện các bước để tìm ra biểu thức xác định hàm số như sau:
Bước 1: Xác định biến, điều kiện của biến.
Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập được công thức hàm số (Cụ thể trong bài toán này là dựa vào công thức thể tích của hình hộp)
Bước 3: Lập công thức hàm số 𝑦 =𝑓(𝑥); tìm GTLN của hàm số và trả lời cho bài toán thực tế.
Nhìn chung, thể chế đã chỉ ra các bước thực hiện để tìm ra biểu thức hàm số. Hay nói đúng hơn vấn đề MHH trong dạy học hàm số đã có mặt được trong ví dụ này. Tuy nhiên, các bước của quá trình MHH không được làm rõ. Cụ thể, bước 1 của quá trình MHH không được hiện diện một cách rõ ràng và đúng nghĩa vì học sinh không cần tìm bất kỳ mô hình trung gian nào. Và bước kiểm tra lại tính đúng đắn của mô hình toán học cũng không được tìm thấy.
Các kiểu nhiệm vụ có liên quan đến vấn đề MHH
KNV TN1: Tìm biểu thức xác định y= f x( ) rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số y= f x( )
KNV TN2: “Tính tốc độ tăng trưởng dân số vào một thời điểm” KNV TN3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai 2
y=ax + +bx c
KNV TN4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai =𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+
𝑑 .
KNV TN5: Tìm hàm phân thức 𝑦=𝑐𝑥+𝑑𝑎𝑥3 và tìm giá trị của biến để hàm số đạt GTLN (GTLN)
KNV TN1: Tìm biểu thức xác định y= f x( ) rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số y= f x( )
Như vậy, với cách giải của sách MN đề xuất ở trên chúng tôi tìm thấy hai yếu tố của kiểu nhiệm vụ TN1
Kĩ thuật 𝝉𝟏:
+ Tìm đại lượng chưa biết dựa vào các dữ kiện của bài toán. + Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng.
+ Dựa vào công thức tính diện tích hình hộp thiết lập hàm số: 2
( ) 4
S x =x + hx
+ Trả lời cho bài toán thực tế.
Công nghệ 𝜽𝑵𝟏: +Công thức tính diện tích hình hộp 2 4 S =a + ah +Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số
KNV TN2: “Tính tốc độ tăng trưởng dân số vào một thời điểm”
Ví dụ 1 (Bài tập 10, Sách MN tr.9)
“Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được tính bởi công thức
26 10 ( ) 5 t f t t + = + (f(t)được tính bằng nghìn người)
Tính số dân của thị trấn vào năm 1980 và năm 1995.
Xem flà một hàm số xác định trên nửa khoảng 0;+∞). Tính f t'( ) và xét chiều biến thiên của hàm số f trên nửa khoảng 0;+∞).
Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm) Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn.
Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người/năm” (MN tr.9)
Kĩ thuật 𝝉𝑵𝑵:
+Tốc độ tăng trưởng dân số chính là đạo hàm của của hàm số f (với hàm f là hàm số biểu thị cho số dân).
Công nghệ 𝜽𝑵𝑵:
“Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn” (MN, tr.9) KNV TN3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai 2
y=ax + +bx c .
Ví dụ: ( Bài tập 67, MN, tr. 58)
“Một tạp chí được bán với giá 20 nghìn một cuốn. Chi phí cho xuất bản là x cuốn tạp chí (bao gồm lương cán bộ, công nhân viên, giấy in,…) được cho bởi
2
( ) 0, 0001 0, 2 10000
C x = x − x+
C(x) được tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. 10. a)Tính tổng chi phí T(x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí.
b)Tỉ số M x( ) T x( )
x
= được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Tính M(x) theo x và số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình thấp nhất.
20. Các khoản thu bao gồm tiền bán tạp chí và 90 triệu đồng nhận được quảng cáo và sự trợ giúp cho báo chí. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết.
a)Chứng minh rằng số tiền lãi khi in x cuốn tạp chí là 2
( ) 0, 0001 1, 8 1000
L x = − x + x−
b)Hỏi in bao nhiêu cuốn thì có lãi?
c)In bao nhiêu cuốn thì lãi nhiều nhất? Tính số tiền lãi đó” (MN, tr. 58)
Kĩ thuật 𝝉𝑵𝑵:
+ Tìm công thức của hàm số bậc hai, hay chứng minh công thức hàm số bậc hai đã cho là phù hợp với hiện tượng đang xét (nếu đề bài yêu cầu).
+Dựa vào kỹ thuật tìm GTLN (GTNN) của hàm số để tìm GTLN (GTNN) của hàm số đang xét.
+ Đưa ra kết luận cho bài toán thực tế.
Công nghệ 𝜽𝑵𝑵:Định ng hĩa GTLN, GTNN của hàm số
KNV TN4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai =𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+
𝑐𝑥+𝑑 . Kĩ thuật 𝝉𝑵𝑵:
+Dựa vào kỹ thuật tìm GTLN (GTNN) của hàm số để tìm GTLN (GTNN) của hàm số đang xét.
+ Đưa ra kết luận cho bài toán thực tế.
Công nghệ 𝜽𝑵𝑵: Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số
KNV TN5: Tìm hàm phân thức 𝒚=𝒄𝒙+𝒅𝒂𝒙𝑵 và tìm giá trị của biến để hàm số đạt GTLN (GTLN)
Ví dụ (Bài tập 25, MN, tr.23)
“Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc dòng nước là 6km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v(km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức
3 ( )
E v =cv t
Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.”
(MN, tr.23)
Sách Giáo viên nâng cao đã gợi ý cách giải như sau:
“Vận tốc của cá khi bơi ngược dòng là 𝑣 −6 (km/h). Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách 300km là
𝑡=𝑣−6300(giờ)
Năng lượng tiêu hao để cá vượt khoảng cách đó là
𝐸(𝑣) =𝑐𝑣3 300 𝑣 −6 = 300𝑐. 𝑣3 𝑣 −6(𝑗𝑗𝑗),𝑣> 6 𝐸′(𝑣) = 600𝑐𝑣2 𝑣 −9 (𝑣 −6)2 𝐸′(𝑣) = 0⇔ 𝑣= 9;𝑣= 0 (𝑙𝑙ạ𝑖 𝑑𝑙 𝑣> 6) Bảng biến thiên
Như vậy, để ít tiêu hao năng lượng nhất, cá phải bơi với vận tốc (khi nước đứng yên là.” (GN, tr.47)
Từ lời giải của sách giáo viên, chúng tôi đưa ra kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ trên như sau:
Kĩ thuật 𝝉𝑵𝑵:
+Dựa vào các dữ kiện của bài toán tìm hàm số 𝒚=𝒄𝒙+𝒅𝒂𝒙𝑵. +Tính đạo hàm 𝑦′.
+ Cho 𝑦′ = 0tìm các điểm tới hạn.
+ Lập bảng biến thiên tìm 𝑥để tại đó hàm số hàm số đạt GTLN (hay GTNN). + Trả lời cho bài toán thực tế.
Công nghệ 𝜽𝑵𝑵: Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số
♦ Nhận xét:
Qua phân tích trên, chúng tôi thấy rằng:
− Sách MN có xuất hiện kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức xác định hàm số” (kiểu nhiệm vụ TN1). Đây là kiểu nhiệm vụ duy nhất có liên quan đến vấn đề MHH cũng như tìm biểu thức giải tích của hàm số.
− Các kiểu nhiệm vụ trong sách MN và EN khá đa dạng. Có nhiều kiểu nhiệm vụ được đặt ra rất gần với những yêu cầu thực tiễn như: tính tốc độ tăng trưởng dân số, tính số lượng sản phẩm cần sản xuất để lợi nhuận cao nhất. Tuy nhiên, đây cũng là những bài toán với mô hình toán học sẵn có hoặc công thức tổng quát của hàm số đã được cho trước.
Bảng 2.1. Các TCTH liên quan đến MHH dạy học hàm số ở chương I sách MN và sách EN Số lượng bài trong MC Số lượng bài trong EC Tổng số bài tập về hàm số trong MC và EC Tỷ lệ TN1: Tìm biểu thức xác định y= f x( ) rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số ( ) y= f x 1 4 162 3,08% Kiểu nhiệm vụ TN2: Tính tốc độ tăng trưởng dân số vào một thời điểm. 1 1 162 1,23% TN3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai 2 y=ax + +bx c 3 0 162 1,851% TN4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai =𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑 . 0 1 162 0,617% TN5:Tìm hàm phân thức 𝑦 =𝑐𝑥+𝑑𝑎𝑥3 và tìm giá trị của biến để hàm số đạt GTLN (GTLN) 1 1 162 1,23% b) Phân tích chương II
MN trình bày chương II. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit theo cấu trúc như sau: 1.Lũy thừa với số mũ hữu tỉ 2.Lũy thừa với số mũ thực 3.Logarit 4.Số e và logarit tự nhiên 5.Hàm số mũ và hàm số logarit 6.Hàm số lũy thừa 7.Phương trình mũ và phương trình logarit8.Hệ PT mũ và logarit 9.BPT mũ và logarit .
Trong phần này, chúng tôi xin tập trung phân tích một số nội dung sau:
- Lũy thừa với số mũ thực.
- Số e và logarit tự nhiên.
Theo cách trình bày của sách MN thì “Lũy thừa với số mũ thực” chỉ là sự mở rộng của lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Điều chúng tôi quan tâm trong bài này là “Công thức lãi kép”, vì từ công thức này cho phép học sinh giải quyết một số bài toán thực tế liên quan đến lãi suất đầu tư.
Công thức này được xây dựng như sau:
“Gửi tiền vào ngân hàng, ngoài thể thức lãi đơn (tức là tiền lãi của kỳ trước không được tính vào vốn của kì kế tiếp nếu đến kì hạn, người gửi không rút lãi ra), còn có thể thức lãi kép theo định kì. Theo thể thức này, nếu đến kỳ hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vố n của kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền A với lãi suất r mỗi kì thì dễ thấy sau N kì số tiền người ấy thu được cả vốn lẫn lãi là:
(1 )N
C= A +r (1)
(Có thể chứng minh bằng quy nạp theo N)” (MN, tr.80)
Sau khi đưa công thức (1) vào thì MN đưa vào một số ví dụ để áp dụng công thức trên.
Ví dụ 3.
“Theo thể thức lãi kép, một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng.
a) Nếu theo kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm thì sau 2 năm người đó thu được một số tiền là
10(1 + 0,0756)2≈11,569 (triệu đồng)
b)Nếu theo kì hạn 3 tháng với lãi suất 1,65% quý thì sau hai năm người đó thu được số tiền là