Với EN là ký hiệu sách bài tập Giải tích lớp 12 ban nâng cao.
a) Phân tích chương I
Trong phần này, chúng tôi xin tập trung phân tích vào những nội dung về hàm số có liên quan đến dạy học MHH hay những vấn đề có liên quan đến thực tiễn.
Chương này gồm các bài học sau:
Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cực trị của hàm số.
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tiệm cận.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Chúng tôi xin bắt đầu bằng một ví dụ trong bài “Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số”. Theo chúng tôi, ví dụ này là “sự xuất hiện lần đầu tiên” của kiểu nhiệm vụ tìm biểu thức xác định hàm số cùng với sự hiện diện của quá trình MHH.
Ví dụ 3: (MN, tr.20)
“Một hộp không nắp được làm từ một mảnh cáctông theo mẫu hình 1.4. Hộp đáy là một hình vuông cạnh x (cm), đường cao h (cm) và có thể tích là 500 cm3
. Hãy biễu diễn h theo x.
Tìm diện tích S(x) của mảnh các-tông theo x. Tìm giá trị của x sao cho S(x) nhỏ nhất.”(MN, tr.20) Sách giáo khoa đưa ra bài giải như sau. “Thể tích của hộp là Thể tích của hộp là 2. 500 V =x h= (cm3). Do đó 500, x>0 2 h x =
Diện tích của mảnh các tông dùng làm hộp là
2 ( ) 4 S x =x + hx Từ a) ta có 2000 2 ( ) S x x x = + , x>0
Ta tìm x>0 sao cho S x( ) đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0,+∞). Ta có
3 2000 2( 1000) '( ) 2 2 x 2 S x x x x − = − = '( ) 0 10 S x = ⇔ =x
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (0,+∞) hàm số S đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x=10. Vậy muốn tốn ít nguyên liệu nhất, ta lấy độ dài cạnh đáy hình hộp chữ nhật là x=10 (cm).”(M, tr,20, 21)
Như vậy, ví dụ trên đáp ứng được mục tiêu đề ra của thể chế là cho học sinh thấy được toán học nói chung và hàm số nói riêng có liên quan đến thực tế.
Bên cạnh đó, chúng tôi thấy hiện diện các bước để tìm ra biểu thức xác định hàm số như sau:
Bước 1: Xác định biến, điều kiện của biến.
Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập được công thức hàm số (Cụ thể trong bài toán này là dựa vào công thức thể tích của hình hộp)
Bước 3: Lập công thức hàm số 𝑦 =𝑓(𝑥); tìm GTLN của hàm số và trả lời cho bài toán thực tế.
Nhìn chung, thể chế đã chỉ ra các bước thực hiện để tìm ra biểu thức hàm số. Hay nói đúng hơn vấn đề MHH trong dạy học hàm số đã có mặt được trong ví dụ này. Tuy nhiên, các bước của quá trình MHH không được làm rõ. Cụ thể, bước 1 của quá trình MHH không được hiện diện một cách rõ ràng và đúng nghĩa vì học sinh không cần tìm bất kỳ mô hình trung gian nào. Và bước kiểm tra lại tính đúng đắn của mô hình toán học cũng không được tìm thấy.
Các kiểu nhiệm vụ có liên quan đến vấn đề MHH
KNV TN1: Tìm biểu thức xác định y= f x( ) rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số y= f x( )
KNV TN2: “Tính tốc độ tăng trưởng dân số vào một thời điểm” KNV TN3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai 2
y=ax + +bx c
KNV TN4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai =𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+
𝑑 .
KNV TN5: Tìm hàm phân thức 𝑦=𝑐𝑥+𝑑𝑎𝑥3 và tìm giá trị của biến để hàm số đạt GTLN (GTLN)
KNV TN1: Tìm biểu thức xác định y= f x( ) rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số y= f x( ) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Như vậy, với cách giải của sách MN đề xuất ở trên chúng tôi tìm thấy hai yếu tố của kiểu nhiệm vụ TN1
Kĩ thuật 𝝉𝟏:
+ Tìm đại lượng chưa biết dựa vào các dữ kiện của bài toán. + Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng.
+ Dựa vào công thức tính diện tích hình hộp thiết lập hàm số: 2
( ) 4
S x =x + hx
+ Trả lời cho bài toán thực tế.
Công nghệ 𝜽𝑵𝟏: +Công thức tính diện tích hình hộp 2 4 S =a + ah +Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số
KNV TN2: “Tính tốc độ tăng trưởng dân số vào một thời điểm”
Ví dụ 1 (Bài tập 10, Sách MN tr.9)
“Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được tính bởi công thức
26 10 ( ) 5 t f t t + = + (f(t)được tính bằng nghìn người)
Tính số dân của thị trấn vào năm 1980 và năm 1995.
Xem flà một hàm số xác định trên nửa khoảng 0;+∞). Tính f t'( ) và xét chiều biến thiên của hàm số f trên nửa khoảng 0;+∞).
Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm) Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn.
Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người/năm” (MN tr.9)
Kĩ thuật 𝝉𝑵𝑵:
+Tốc độ tăng trưởng dân số chính là đạo hàm của của hàm số f (với hàm f là hàm số biểu thị cho số dân).
Công nghệ 𝜽𝑵𝑵:
“Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn” (MN, tr.9) KNV TN3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai 2
y=ax + +bx c .
Ví dụ: ( Bài tập 67, MN, tr. 58)
“Một tạp chí được bán với giá 20 nghìn một cuốn. Chi phí cho xuất bản là x cuốn tạp chí (bao gồm lương cán bộ, công nhân viên, giấy in,…) được cho bởi
2
( ) 0, 0001 0, 2 10000
C x = x − x+
C(x) được tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. 10. a)Tính tổng chi phí T(x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí.
b)Tỉ số M x( ) T x( )
x
= được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Tính M(x) theo x và số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình thấp nhất. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
20. Các khoản thu bao gồm tiền bán tạp chí và 90 triệu đồng nhận được quảng cáo và sự trợ giúp cho báo chí. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết.
a)Chứng minh rằng số tiền lãi khi in x cuốn tạp chí là 2
( ) 0, 0001 1, 8 1000
L x = − x + x−
b)Hỏi in bao nhiêu cuốn thì có lãi?
c)In bao nhiêu cuốn thì lãi nhiều nhất? Tính số tiền lãi đó” (MN, tr. 58)
Kĩ thuật 𝝉𝑵𝑵:
+ Tìm công thức của hàm số bậc hai, hay chứng minh công thức hàm số bậc hai đã cho là phù hợp với hiện tượng đang xét (nếu đề bài yêu cầu).
+Dựa vào kỹ thuật tìm GTLN (GTNN) của hàm số để tìm GTLN (GTNN) của hàm số đang xét.
+ Đưa ra kết luận cho bài toán thực tế.
Công nghệ 𝜽𝑵𝑵:Định ng hĩa GTLN, GTNN của hàm số
KNV TN4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai =𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+
𝑐𝑥+𝑑 . Kĩ thuật 𝝉𝑵𝑵:
+Dựa vào kỹ thuật tìm GTLN (GTNN) của hàm số để tìm GTLN (GTNN) của hàm số đang xét.
+ Đưa ra kết luận cho bài toán thực tế.
Công nghệ 𝜽𝑵𝑵: Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số
KNV TN5: Tìm hàm phân thức 𝒚=𝒄𝒙+𝒅𝒂𝒙𝑵 và tìm giá trị của biến để hàm số đạt GTLN (GTLN)
Ví dụ (Bài tập 25, MN, tr.23)
“Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc dòng nước là 6km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v(km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức
3 ( )
E v =cv t
Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.”
(MN, tr.23)
Sách Giáo viên nâng cao đã gợi ý cách giải như sau:
“Vận tốc của cá khi bơi ngược dòng là 𝑣 −6 (km/h). Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách 300km là
𝑡=𝑣−6300(giờ)
Năng lượng tiêu hao để cá vượt khoảng cách đó là
𝐸(𝑣) =𝑐𝑣3 300 𝑣 −6 = 300𝑐. 𝑣3 𝑣 −6(𝑗𝑗𝑗),𝑣> 6 𝐸′(𝑣) = 600𝑐𝑣2 𝑣 −9 (𝑣 −6)2 𝐸′(𝑣) = 0⇔ 𝑣= 9;𝑣= 0 (𝑙𝑙ạ𝑖 𝑑𝑙 𝑣> 6) Bảng biến thiên
Như vậy, để ít tiêu hao năng lượng nhất, cá phải bơi với vận tốc (khi nước đứng yên là.” (GN, tr.47)
Từ lời giải của sách giáo viên, chúng tôi đưa ra kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ trên như sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Kĩ thuật 𝝉𝑵𝑵:
+Dựa vào các dữ kiện của bài toán tìm hàm số 𝒚=𝒄𝒙+𝒅𝒂𝒙𝑵. +Tính đạo hàm 𝑦′.
+ Cho 𝑦′ = 0tìm các điểm tới hạn.
+ Lập bảng biến thiên tìm 𝑥để tại đó hàm số hàm số đạt GTLN (hay GTNN). + Trả lời cho bài toán thực tế.
Công nghệ 𝜽𝑵𝑵: Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số
♦ Nhận xét:
Qua phân tích trên, chúng tôi thấy rằng:
− Sách MN có xuất hiện kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức xác định hàm số” (kiểu nhiệm vụ TN1). Đây là kiểu nhiệm vụ duy nhất có liên quan đến vấn đề MHH cũng như tìm biểu thức giải tích của hàm số.
− Các kiểu nhiệm vụ trong sách MN và EN khá đa dạng. Có nhiều kiểu nhiệm vụ được đặt ra rất gần với những yêu cầu thực tiễn như: tính tốc độ tăng trưởng dân số, tính số lượng sản phẩm cần sản xuất để lợi nhuận cao nhất. Tuy nhiên, đây cũng là những bài toán với mô hình toán học sẵn có hoặc công thức tổng quát của hàm số đã được cho trước.
Bảng 2.1. Các TCTH liên quan đến MHH dạy học hàm số ở chương I sách MN và sách EN Số lượng bài trong MC Số lượng bài trong EC Tổng số bài tập về hàm số trong MC và EC Tỷ lệ TN1: Tìm biểu thức xác định y= f x( ) rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số ( ) y= f x 1 4 162 3,08% Kiểu nhiệm vụ TN2: Tính tốc độ tăng trưởng dân số vào một thời điểm. 1 1 162 1,23% TN3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai 2 y=ax + +bx c 3 0 162 1,851% TN4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai =𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑 . 0 1 162 0,617% TN5:Tìm hàm phân thức 𝑦 =𝑐𝑥+𝑑𝑎𝑥3 và tìm giá trị của biến để hàm số đạt GTLN (GTLN) 1 1 162 1,23% b) Phân tích chương II
MN trình bày chương II. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit theo cấu trúc như sau: 1.Lũy thừa với số mũ hữu tỉ 2.Lũy thừa với số mũ thực 3.Logarit 4.Số e và logarit tự nhiên 5.Hàm số mũ và hàm số logarit 6.Hàm số lũy thừa 7.Phương trình mũ và phương trình logarit8.Hệ PT mũ và logarit 9.BPT mũ và logarit .
Trong phần này, chúng tôi xin tập trung phân tích một số nội dung sau:
- Lũy thừa với số mũ thực.
- Số e và logarit tự nhiên.
Theo cách trình bày của sách MN thì “Lũy thừa với số mũ thực” chỉ là sự mở rộng của lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Điều chúng tôi quan tâm trong bài này là “Công thức lãi kép”, vì từ công thức này cho phép học sinh giải quyết một số bài toán thực tế liên quan đến lãi suất đầu tư.
Công thức này được xây dựng như sau:
“Gửi tiền vào ngân hàng, ngoài thể thức lãi đơn (tức là tiền lãi của kỳ trước không được tính vào vốn của kì kế tiếp nếu đến kì hạn, người gửi không rút lãi ra), còn có thể thức lãi kép theo định kì. Theo thể thức này, nếu đến kỳ hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vố n của kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền A với lãi suất r mỗi kì thì dễ thấy sau N kì số tiền người ấy thu được cả vốn lẫn lãi là:
(1 )N
C= A +r (1)
(Có thể chứng minh bằng quy nạp theo N)” (MN, tr.80)
Sau khi đưa công thức (1) vào thì MN đưa vào một số ví dụ để áp dụng công thức trên.
Ví dụ 3.
“Theo thể thức lãi kép, một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng.
a) Nếu theo kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm thì sau 2 năm người đó thu được một số tiền là
10(1 + 0,0756)2≈11,569 (triệu đồng)
b)Nếu theo kì hạn 3 tháng với lãi suất 1,65% quý thì sau hai năm người đó thu được số tiền là
10(1 + 0,0165)8(triệu đồng)” (MN, tr.80)
Như vậy, công thức lãi kép trên được đưa ra nhằm giải quyết bài toán thực tế là tính tiền lãi huy động vốn đồng thời đặt tiền đề cho việc hình thành công thức lãi kép liên tục S =AeNr(*)
Các công thức trên được đưa vào với mục đích giải quyết một số hiện tượng tăng trưởng của tự nhiên và xã hội. Sách MN khẳng định:
“Nhiều hiện tượng tăng trưởng (hoặc suy giảm) của tự nhiên và xã hội, chẳng hạn sự tăng dân số, cũng được tính theo công thức (*). Vì vậy, công thức (*) được gọi là công thức tăng trưởng mũ.” (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(MN, tr.96)
Như vậy, sách MN có tính đến những ứng dụng thực tế của hàm số mũ bằng việc đưa ra một số công thức để giải quyết các bài toán thực tế.Tuy nhiên, việc làm này làm mất đi bản chất của bài toán MHH vì bước 1 của quá trình này sẽ được thay bằng việc áp dụng công thức có sẵn.
Sau đó, nhiều ví dụ cho việc áp dụng công thức (*) được đưa vào. Ví dụ 2.
“Sự tăng dân số được ước tính theo công thức (*), trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là 1,32%, năm 1998 dân số thế giới vào khoảng 5926,5 triệu người. Khi đó, dự đoán dân số thế giới năm 2008 (10 năm sau) sẽ là
10.0,1132
5926, 5.e ≈6762, 8 (triệu người)” (MN,tr.83)
Các tổ chức toán học:
Trong sách MN và EN, chúng tôi thấy xuất hiện khá đa dạng hình thức bài tập gồm có các kiểu nhiệm vụ sau:
KNV TN6: “Tìm số tiền thu được sau n năm khi gửi số tiền A với lãi suất không đổi a% ”.
KNV TN7: “Tìm dân số của một quốc gia tại thời điểm trong tương lai”.
KNV TN8: “Tìm biểu thức hàm số mũ và tìm giá trị của hàm số tại giá trị 𝑥0”.
KNV TN6: “Tìm số tiền thu được sau n năm khi gửi số tiền A với lãi suất không đổi a% ”.
Ví dụ (Bài tập 17, MN, tr.81)
“Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 5 năm là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).” (MN, tr.81)
Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là:
+ Đề bài yêu cầu rõ là sử dụng công thức lãi kép để giải quyết bài toán.
+ Kết quả của bài toán là số gần đúng nên đề bài yêu cầu rõ số các chữ số làm tròn. + Đây là dạng toán buộc phải sử dụng máy tính bỏ túi để giải quyết.
Kĩ thuật 𝝉𝑵𝑵:
+ Sử dụng công thức lãi kép C= A(1+r)N.
+ Thay A: tiền gửi ban đầu, r: lãi suất định kỳ, N: số kì.
+ Kết luận số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau N năm.
Công nghệ 𝜽𝑵𝑵:
Công thức lãi kép:
(1 )N
C =A +r
KNV TN7: “Tìm dân số của một quốc gia tại thời điểm trong tương lai”.
Ví dụ 1(EN, tr.75)
“Tỉ lệ tăng dân số hằng năm của In-đô-nê-xi-a là 1,5%. Năm 1998, dân số của nước này là 212942000 người. Hỏi dân số của In-đô-nê-xi-a vào năm 2006?”
(EN, tr.75)
Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ Đề bài không yêu cầu là sử dụng công thức tăng trưởng mũ để giải quyết bài toán.
+ Kết quả của bài toán buộc phải là con số đúng.
Kĩ thuật 𝝉𝑵𝑵:
+ Sử dụng công thức tăng trưởng mũ.
+ Thay A: dân số tại thời điểm hiện tại, r: tỉ lệ gia tăng dân số không đổi, N: thời gian xét (tính từ thời điểm hiện tại đến mốc thời điểm trong tương lai).
+ Kết luận dân số sau N năm.
Công nghệ 𝜽𝑵𝑵:
Công thức tăng trưởng mũ:
Nr S =Ae
KNV TN8: “Tìm biểu thức hàm số mũ và tìm giá trị của hàm số tại giá