Bài tập dạng này sẽ liên quan đến:
- Biểu diễn sự thay đổi về các cấp độ năng lực toán học ở các dạng nhận thức đƣợc, những dạng thay đổi cơ bản và áp dụng những dạng thay đổi vào thực tiễn.
30
- Suy luận về các mối quan hệ: Các mối quan hệ có thể biểu diễn dƣới dạng khác nhau (kí hiệu, đại số, đồ thị, bảng và hình học). Các biểu diễn này nhằm vào các mục đích khác nhau và có tính chất khác nhau. Việc dịch chuyển giữa các biểu diễn này thƣờng liên quan đến nhiệm vụ và tình huống cần giải quyết.
Bài 2.1: ĐỊA Y
Kết quả của sự nóng dần lên của trái đất là băng tan trên các dòng sông bị đóng băng. Mƣời hai năm sau khi băng tan, những thực vật nhỏ, đƣợc gọi là Địa y, bắt đầu phát triển trên đá. Mỗi nhóm Địa y phát triển trên một khoảng đất hình tròn. Mối quan hệ giữa đƣờng kính d, tính bằng mi-li-mét (mm), của hình tròn và tuổi t của Địa y có thể biểu diễn tƣơng đối theo công thức: d 7 t 12, t 12, với d là đƣờng kính của nhóm Địa y, đơn vị mi-li-mét (mm), t là số năm sau khi băng tan.
Câu hỏi 2.1.1: Em hãy sử dụng công thức trên để tính đƣờng kính của một nhóm Địa y, sau 16 năm khi băng tan. Em hãy trình bày lời giải của mình.
Đáp án: 14 mm.
Câu hỏi 2.1.2: An đo đƣờng kính của một số nhóm Địa y và thấy có số đo là 35 mm.
Đối với kết quả trên thì băng đã tan cách đó bao nhiêu năm? Trình bày tính toán của em.
Đáp án: 37 năm.
Hai câu hỏi trong bài tập này đều thuộc cấp độ 1 của khung đánh giá PISA. Mục đích câu hỏi là kiểm tra khả năng áp dụng công thức của HS khi cho các dữ kiện của bài toán, đánh giá năng lực chế biến thông tin toán học.
Trong quá trình đánh giá HS, chúng tôi nhận thấy một số lỗi của HS mắc phải khi trả lời các câu hỏi trên: Thay các giá trị đúng vào công thức nhƣng kết quả không đúng hoặc thiếu chƣa kịp viết kết quả, hay khi thực hiện kết quả của HS không thu gọn lại. Nguyên nhân chủ yếu của các lỗi trên là HS vẫn còn yếu trong kỹ năng tính toán, trình bày, các em còn yếu kỹ năng biểu diễn.
Bài 2.2: CHUYỂN ĐỔI TIỀN TỆ
Linh là HS một trƣờng chuyên nghiệp ở Hà Nội. Linh dự định đến nƣớc Pháp thực tập khoảng 3 tháng theo chƣơng trình học bổng của Đại sứ quán Pháp tại Hà Nội.
31
Vì thế, cô ấy cần đổi tiền từ Việt Nam đồng (VNĐ) sang đồng Ơrô (EUR) trƣớc khi sang Pháp.
Câu hỏi 2.2.1: Linh thấy rằng tỉ lệ chuyển đổi giữa Việt Nam đồng và đồng Ơ- rô nhƣ sau: 01 EUR = 23.000 VNĐ. Linh cần đổi 100 triệu VNĐ theo tỷ lệ trên sang đồng Ơ-rô. Hãy ƣớc chừng số tiền theo Ơ-rô mà Linh nhận đƣợc ?
Đáp án: Khoảng 4347 EUR
Câu hỏi 2.2.2: Khi trở lại Hà Nội sau 3 tháng thực tập, Linh còn lại 2100 EUR. Cô ấy lại đổi ngƣợc lại về VNĐ, lƣu ý rằng tỉ lệ chuyển đổi tiền lúc đó đã thay đổi nhƣ sau: 01 EUR = 23.350 VNĐ. Linh sẽ nhận đƣợc bao nhiêu VNĐ theo tỉ lệ này?
Đáp án: 46.700.000 đồng.
Câu hỏi 2.2.3: Trong thời gian 3 tháng, tỉ lệ chuyển đổi đã thay đổi từ 23.000 đồng thành 23.350 VNĐ đổi 01 EUR. Với tỉ lệ thay đổi nhƣ vậy, Linh có lợi không? Hãy giải thích cho câu trả lời của em?
Đáp án: Có, vì khi Linh về Hà Nội, giá trị của đồng Ơ-rô đã hơn 350 đồng so với lúc Linh ở Hà Nội đi, nên số tiền mà Linh mang đƣợc về Hà Nội sẽ nhiều hơn số tiền thực tế mà Linh có đƣợc nếu theo tỷ lệ 23.000 đồng/01 Ơ-rô.
Hai câu hỏi đầu trong bài tập này đều thuộc cấp độ 1, câu hỏi số 3 yêu cầu mức độ 2 của khung đánh giá PISA. Mục đích câu hỏi là kiểm tra khả năng áp dụng công thức của HS khi cho các dữ kiện của bài toán, đánh giá năng lực chế biến thông tin toán học, đồng thời HS phải có năng lực vận dụng Toán vào giải quyết vấn đề thực tiễn. HS phải thấy đƣợc mối liên hệ 2 chiều khi thực hiện bài toán, và hai câu hỏi đầu là thực hiện 2 bài toán ngƣợc của nhau.
Trong quá trình đánh giá HS, chúng tôi nhận thấy một số lỗi của HS mắc phải khi trả lời các câu hỏi trên: Không có đơn vị tính toán ở 2 câu hỏi đầu tiên và không giải thích rõ ràng trong đáp án câu hỏi số 3 xem vì sao Linh có lợi.
Bài 2.3: CHUYẾN BAY TRONG KHÔNG GIAN
Trạm không gian MIR của nƣớc Nga đã duy trì một quỹ đạo trong suốt 15 năm và bay quanh Trái đất đƣợc 86500 lần trong thời gian nó bay trong vũ trụ. Lần dừng lại lâu nhất của một nhà du hành vũ trụ tại MIR là khoảng 680 ngày.
32
Câu hỏi 2.3.1:Nhà du hành bay quanh trái đất khoảng bao nhiêu lần?
A. 110 B. 1100 C. 11000 D. 110000
Đáp án: B. 1100
Cấp độ câu hỏi này ở mức độ 2, mục đích kiểm tra năng lực tính toán, tƣ duy lôgic khi thực hiện bài toán. HS phải biết cách tính toán, đồng thời phải hiểu chữ “khoảng” là lấy kết quả gần đúng nhƣ sau: Trong 15 năm có khoảng 5478 ngày, mỗi ngày MIR bay quanh trái đất khoảng 16 lần. Từ đó tính đƣợc khoảng số lần nhà du hành vũ trụ bay quanh trái đất trong 680 ngày.
Câu hỏi 2.3.2: MIR là một trạm nghiên cứu đƣợc phóng lên vũ trụ hoạt động vào ngày 19/2/1986. Đến ngày 19/4/1986, nó bay đƣợc khoảng bao nhiêu lần quanh trái đất ?
Đáp án: Khoảng 960 lần.
Trong quá trình đánh giá HS, chúng tôi nhận thấy HS hay mắc lỗi tính toán sai về thời gian (từ 19/2 đến 19/4 năm 1986 chỉ có 60 ngày do tháng 2 có 28 ngày và tháng 3 có 31 ngày). Câu hỏi yêu cầu HS phải tích hợp đƣợc kiến thức thực tế cuộc sống và kết hợp với trình bày Toán học để giải quyết vấn đề.
Bài 2.4: PHANH
Quãng đƣờng tƣơng đối để có thể dừng một chiếc xe đang đi (quãng đƣờng dừng xe) là tổng hợp của: Quãng đƣờng xe đi từ thời gian ngƣời lái xe bắt đầu nhấn phanh đến khi phanh bắt đầu hoạt động (quãng đƣờng phản xạ) và quãng đƣờng xe đi trong thời gian phanh hoạt động (quãng đƣờng phanh).
Sơ đồ trong hình 2.1 dạng xoắn ốc dƣới đây cho biết quãng đƣờng dừng xe trên lý thuyết trong điều kiện phanh tốt (hệ thống cảnh báo ngƣời lái tốt, hệ thống phanh và lốp tốt nhất, đƣờng khô nhẵn) và tỉ lệ phụ thuộc của quãng đƣờng dừng xe vào vận tốc.
33
Hình 2.1: Sơ đồ thể hiện mối quan hệ giữa vận tốc – thời gian và quãng đƣờng
Câu hỏi 2.4.1: Nếu một chiếc xe đang đi với vận tốc 110 km/giờ, quãng đƣờng xe đi đƣợc trong thời gian phản xạ của lái xe là bao nhiêu?
Đáp án: 22,9 mét.
Câu hỏi 2.4.2: Nếu xe đi với vận tốc 110 km/giờ, quãng đƣờng dừng xe là bao nhiêu?
Đáp án: 101 mét.
Câu hỏi 2.4.3: Nếu xe đi với vận tốc 110 km/giờ, thời gian để chiếc xe dừng hẳn là bao lâu?
Đáp án: 5,84 giây.
Câu hỏi 2.4.4: Nếu xe đi với vận tốc 110 km/giờ, quãng đƣờng xe đi đƣợc trong khi phanh đang hoạt động là bao nhiêu?
Đáp án: 78,1 mét.
Câu hỏi 2.4.5: Một ngƣời lái xe thứ hai, cũng di chuyển trong điều kiện tốt nhất, khoảng dừng xe của cô trên tổng quãng đƣờng là 70,7 mét. Vận tốc mà xe đang đi trƣớc khi phanh hoạt động là bao nhiêu?
34
Câu hỏi trong bài toán này ở mức độ 2. Mục đích câu hỏi là kiểm tra kỹ năng đọc thông tin từ đồ thị, biểu đồ. Trong quá trình đánh giá, chúng tôi thấy có khoảng 24% HS vẫn còn mắc nhiều lỗi sai khi đọc thông tin trong hình vẽ trên, hay trong câu hỏi 2.4.4 HS không tìm ra kết quả 78,1 mét là do thực hiện phép trừ và định nghĩa quãng đƣờng trong biểu đồ.
Bài 2.5: DI CHUYỂN TRÊN BĂNG CHUYỀN
Hình 2.2 là một bức ảnh về băng chuyền dành cho ngƣời đi bộ. Hai đồ thị “khoảng cách-thời gian” dƣới đây biểu thị “đi bộ trên băng chuyền” và “đi bộ trên mặt đất cạnh băng chuyền”.
Hình 2.2: Di chuyển trên băng chuyền và đồ thị thời gian – khoảng cách tới điểm đầu băng chuyền
Câu hỏi 2.5.1: Ở hai đồ thị này, giả thiết rằng vận tốc đi bộ của hai ngƣời là nhƣ nhau. Hãy vẽ đồ thị biểu diễn quan hệ khoảng cách theo thời gian của một ngƣời đứng yên trên băng chuyền.
Câu hỏi trên ở cấp độ 2, mục đích câu hỏi là gợi khả năng áp dụng công thức của HS, kiểm tra kỹ năng suy luận lôgic và năng lực vận dụng Toán học để giải quyết tình huống thực tiễn. Để trả lời câu hỏi này HS cần thấy mối quan hệ giữa các hàm bậc nhất, đồng thời phải biết cách đọc đƣợc đồ thị.
- Có 3 chuyển động thẳng đều.
- Ký hiệu S = st, Q = qt, R = rt; với s, q, r theo thứ tự là vận tốc của ngƣời đứng yên trên băng chuyền; đi bộ trên mặt đất; đi bộ trên băng chuyền và S, Q, R là các khoảng cách tƣơng ứng đi đƣợc trong thời gian t.
35
- Xác định điểm thứ hai của đƣờng thẳng S = st sẽ vẽ đƣợc chính xác đồ thị. Đáp án:
Hình 2.3: Đồ thị thời gian – khoảng cách tới điểm đầu băng chuyền Bài 2.6: VẬN TỐC XE ĐUA
Hình 2.4 cho thấy sự thay đổi vận tốc của một chiếc xe đua dọc theo quãng đƣờng dài 3 km trong chặng đua.
Hình 2.4: Đồ thị thể hiện quãng đƣờng và vận tốc xe đua
Câu hỏi 2.6.1: Ƣớc lƣợng khoảng cách từ điểm đầu của chặng đua tới điểm bắt đầu vào cung đƣờng có đoạn thẳng dài nhất trên cả chặng đua nói trên .
A. 0,5 km. B. 1,5 km. C. 2,3 km. D. 2,6 km.
Đáp án: B. 1,5 km.
Vận tốc
Quãng đƣờng
36
Câu hỏi 2.6.2: Trƣờng hợp có vận tốc thấp nhất ghi nhận đƣợc trong cả chặng đua?
A. Ở điểm đầu chặng đua. B. Ở khoảng cách 0,8 km.
C. Ở khoảng cách 1,3 km. D. Ở nửa vòng đua.
Đáp án: C. 1,3 km.
Câu hỏi 2.6.3: Bạn có thể nói gì về vận tốc của xe khi ở vào khoảng giữa 2,6 km và 2,8 km?
A. Vận tốc của xe vẫn không đổi. B. Vận tốc của xe tăng.
C. Vận tốc của xe giảm. D. Vận tốc của xe không xác định đƣợc từ đồ thị. Đáp án: B. Vận tốc của xe tăng.
Mục đích của bài tập trên là đánh giá kỹ năng đọc bản đồ, năng lực thu nhận thông tin Toán học. HS nhìn vào đồ thị và giải thích đƣợc quan hệ giữa khoảng cách và vận tốc của xe đua trong cả chặng đua; trong đó có một số đoạn đồ thị là đƣờng thẳng và một số đoạn là đƣờng cong; yêu cầu HS đọc thông tin trên đồ thị và chọn lựa phƣơng án trả lời tốt nhất. Mức độ của câu hỏi 2.6.1 là cấp độ 2, câu hỏi 2.6.2 và 2.6.3 là cấp độ 1. 44% HS trả lời sai câu hỏi 2.6.1, khoảng 20% HS trả lời sai câu hỏi 2.6.2 và 2.6.3.
Bài 2.7: LÁI XE
Lam lái xe đi chơi. Trên đƣờng đi, bất ngờ có một con chó chạy ra phía trƣớc đầu xe khiến cô phải đạp mạnh vào chân phanh để tránh. Trong lòng lo ngại, Lam quyết định quay về nhà.
37
Đồ thị 2.5 là bản ghi đơn giản biểu diễn vận tốc của chiếc xe theo thời gian. Câu hỏi 2.7.1: Vận tốc tối đa của chiếc xe trên quãng đƣờng đi là bao nhiêu? Đáp án: 60 km/giờ (không yêu cầu đơn vị).
Câu hỏi 2.7.2: Lam đạp mạnh vào chân phanh để tránh con chó vào lúc mấy giờ?
Đáp án: 9:06 hoặc chín giờ sáu phút.
Câu hỏi 2.7.3: Từ đồ thị em hãy cho biết đoạn đƣờng về nhà của Lam có ngắn hơn quãng đƣờng cô đã đi từ nhà đến nơi xảy ra sự cố với con chó hay không? Hãy giải thích câu trả lời của em.
Đáp án: Câu trả lời dựa theo biểu đồ nêu rõ quãng đƣờng về nhà ngắn hơn. Mục đích của tình huống này là nhằm đánh giá khả năng “đọc” biểu đồ của HS để xác định những thông tin cơ bản nhƣ: vận tốc tối đa, vận tốc trung bình, quãng đƣờng đi đƣợc ứng với biến số là thời gian. Từ đó HS phân tích đƣợc:
- Khi đạp phanh, vận tốc xe giảm xuống rất thấp, sau tăng lên khi nhả phanh - Thời gian Lam đi từ nhà đến nơi xảy ra sự cố và từ đó về nhà đều là 6 phút; Vận tốc trung bình đi từ nhà đến nơi xảy ra sự cố lớn hơn từ đó về nhà.
- Mỗi ô ứng với quãng đƣờng 0,2 km. Quãng đƣờng từ nhà đến nơi xảy ra sự cố là 4,7 km và từ đó về nhà là 2,9 km.
HS có thể đƣa ra một vài cách khác để giải thích:
- Đoạn đầu tiên dài hơn quãng đƣờng về nhà vì mất cùng lƣợng thời gian nhƣ nhau nhƣng ở phần đầu cô ấy đi nhanh hơn rất nhiều so với đoạn sau.
- Đoạn đƣờng về nhà của Lam ngắn hơn nhiều vì thời gian cô ấy đi mất ít hơn và cô ấy đi chậm hơn.
Tuy nhiên HS có thể trả lời không chính xác:
- Đoạn đƣờng về nhà của Lam ngắn hơn nhiều vì khi cố ấy nhấn vào chân phanh, cô ấy mới đi hết hơn nửa thời gian.
- Quãng đƣờng về nhà ngắn hơn vì quáng đƣờng về nhà chỉ là 8 ô trong khi quãng đƣờng đi là 9 ô.
38
Bài 2.8: GIẢM THIỂU KHÍ CO2
Rất nhiều nhà khoa học lo sợ rằng mức độ gia tăng của khí CO2 trong bầu khí quyển của chúng ta đang gây ra biến đổi khí hậu. Hình 2.6 là biểu đồ biểu diễn mức phát thải CO2 của một số nƣớc (hoặc vùng) trong năm 1990 (các cột màu sáng), và năm 1998 (các cột màu tối), và tỉ lệ phần trăm thay đổi trong mức phát thải giữa năm 1990 và năm 1998 (các mũi tên có ghi tỉ lệ phần trăm).
Hình 2.6: Biểu đồ thể hiện sự thay đổi mức phát thải khí CO2
Câu hỏi 2.8.1: Em có thể quan sát thấy trên biểu đồ sự gia tăng của mức phát thải khí CO2 ở nƣớc Mỹ từ năm 1990 đến năm 1998 là 11%. Trình bày bằng tính toán để thấy làm thế nào thu đƣợc kết quả 11%.
Đáp án: Dùng đúng phép trừ, và tính toán đúng phần trăm. 6727 – 6049 = 678, 678 .100% 11%
6049 .
Câu hỏi 2.8.2: Bình phân tích biểu đồ và khẳng định rằng đã phát hiện ra một lỗi sai trong phần trăm thay đổi của mức phát thải: “Phần trăm giảm ở Đức (16%) lớn hơn phần trăm giảm của cả khối Liên minh châu Âu (khối EU, 4%). Điều này là không thể, vì Đức là một phần của EU”.
39
Em có đồng tình với Bình khi bạn ấy nói điều này là không thể không? Hãy đƣa ra giải thích cho câu trả lời của em.
Đáp án: Không, các nƣớc khác trong khối EU có thể có sự gia tăng, ví dụ nhƣ Hà Lan, vì thế tổng mức giảm ở EU vẫn có thể nhỏ hơn so với mức giảm ở Đức.
Câu hỏi 2.8.3: Bình và Ánh thảo luận xem nƣớc (hoặc vùng) nào có sự gia tăng khí thải CO2 lớn nhất. Mỗi ngƣời đƣa ra một kết luận khác nhau từ biểu đồ.
Hãy đƣa ra hai câu trả lời “đúng” và giải thích đối với từng câu trả lời.
Đáp án: Hai câu trả lời chỉ ra hai phƣơng pháp tiếp cận toán học (mức tăng tuyệt đối lớn nhất và mức tăng tƣơng đối lớn nhất) và nêu tên các nƣớc Mỹ, nƣớc Úc. Mỹ có mức gia tăng lớn nhất tính theo triệu tấn, và Úc có mức gia tăng lớn nhât theo tỉ lệ phần trăm.
Đây là một bài toán ngoài yêu cầu HS phải hiểu cách tính toán và đọc biểu đồ,