I. CÁC CÔNG THỨC CẦN THIẾT
2.Các phương pháp xác định độ võng và góc xoay
a) Phương pháp tích phân không định hạn
Lấy tích phân lần thứ nhât (7-2) ta được phương trình cùa góc xoay (p •M.
cp = y
■ ~ ỉ EJ,-dz + c (7-3)
Tích phân lần thứ hai (7-3) ta được phương trình của đường đàn hồi, hay phươna trình độ võng Y(Z)
y<0 = J(-JdM^ d z + C dz + D EJX (7-4)
Trong đó c , D là hai hang số tích phân, được xác định từ điều kiện biên
b) Phương pháp tải trọng giả tạo (hay phương pháp đồ toán)
* Mục đích: Áp dụng phương pháp mặt cắt để tìm độ võng y(z) và góc xoay y ’(z) * Nội dung của phương pháp
Nếu ta đặt tải trọng giả tạo qgt = y" trên một dầm nào đó thì điều kiện biên phải thỏa mãn điều kiện sau:
- Nếu tại dầm thực có y' = 0 thì trên dầm giả tạo có Qgt = 0 - Nếu tại dầm thực có y" = 0 thì trên dầm giả tạo có Mgt = 0
- Nếu trên dầm thực có y" 0, y' * 0 thì trên dầm giả tạo có Mgt * 0 và Qgt * 0
Với điều kiện đó ta có thể chọn các dầm giả tạo tương ứng với một số dầm thực như trong bảng 1.
Bảng 1
Dâm thực Dầm giả tạo
\ B A B ì í y = 0, y ’ * 0 y = 0, y ’ * 0 Â í Mg| = 0, Qot & 0 Mgl = 0, Qg, ^ 0 1|a b A B Ị y = y ’ = 0 y * 0 , y ’ * 0 Mgt = 0- Qgi = 0 Mgl * 0, QgI * 0 A c B A c b| I y = 0 y = 0 y ’ * 0 y * 0 y ’ * 0 y V O 1 K Mg, = 0 Mgl = 0 Mp * 0 Qgt * 0 Qg, * 0 Qgl * 0 ị\ c B A C D BI ị y ’ = y=c 1 0 y ^ 0, y = 0 y * 0 y = 0 , y V 0 y ’ * 0 I Mgt = 0 MgI * 0 Mgl = 0 M?, * Qg. = 0 Qs, * 0 Qg, * 0 Qp , 1 0 0
Bước 1:
- Vẽ biểu đồ mô men uốn của dầm thực: - Đăt tải trong giả tao qgt = ---—
E J X
Bước 2:
- Chọn dầm giả tạo (theo bảng 1)
_ M , ,, >
- Đặt tải trọng giả tạo qgt = - — — lên dâm giả tạo E JX
+ Nếu mô men uốn M x > 0 thì chiều tải trọng qgt hướng xuống. + Nếu mô men uốn M x < 0 thì chiều tải trọng qot hướng lên.
Bước 3:
- Áp dụng phương pháp mặt cắt.
+ Tìm mô men giả tạo Mgt trên dầm giả tạo đó chính là độ võng: Mgt = y(z) + Tìm lực cắt giả tạo, trên dầm giả tạo, đó chính là góc xoay y ’: Qgt = y ’(z)
+ Diện tích các đường biểu diễn qgt với trục oy và oz là Q ; tọa độ trọng tâm tương ứng các hình là zc; thể hiện ở bảng 2
* T h ứ tự tính toán:
Bảng 2
c) Phương pháp thông số ban đầu (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
* Mục đích của phương pháp thông số ban đầu là: Ta đã biết độ võng, góc xoay ở đoạn thứ n là yn(z). v ấ n đề tìm độ võng và góc xoay ở đoạn thứ n + 1 là yn+i(z) (hình 7-2) theo công thức:
Yn+lfz) - Yn(z) A y(z)
Ớ đoạn thứ n ta đã b i ế t : Độ võng, góc xoay mô men uốn, lực cắt, tải trọng phân bố và đạo hàm của tải trọng phân bố: yn(z); y ’n(z); M n(z); Qn(Z); qn(z) ; q'n(z) .
ủ n g với z = a (mặt cắt tiếp giáp giữa đoạn n và n + 1 có sự thay đổi về độ võng sóc xoay, mô men uốn, lực cắt,tải trọng phân bố, và đạo hàm của tải trọng phân bố: ủ y
Hình 7-2
* Phương trình đường đàn hồi viết cho đoạn thứ n + 1. Khi độ cứng chống uốn EJX= c o n s t:
A A • / \ AM ( z - a ) 2 AQ ( z - a ) 3
y n+i(2) = y n (z ) + Aya + Ay a X (z - a ) ---^ --- --- Aqa( z - a ) 4 Aq'a( z - a ) 5
4! E l 5!EJV (7-8)
Phương trình đường đàn hồi viết cho đoạn thứ n h ấ t :
= y + y ' x z M 0 x z 2 Q 0 x z 3 q ọ x z 4 q ỏ x z 5
(z) ° ° 2 !E JX 3!EJX 4 !E J X 5!EJX+ ... (7-9) 3. Hệ siêu tĩnh
- Định nghĩa: Hệ siêu tĩnh là hệ mà ta sử dụng phương trình cân bằng tĩnh học, không đủ để giải các thành phần nội lực và phản lực nên ta thêm phương trình biến dạng mới giải được.
- Bậc siêu tĩnh của hệ bằng số phương trình biến dạng thêm vào. II. BÀI TẬP CHỌN LỌC
Thí dụ 1.
Cho một dầm đầu ngàm, đầu tự do, chịu lực tập trung p. Chiều dài dầm là / hình 7-3. Tính độ võng và góc xoay lớn nhất. Biết độ cứng EJX = co n st-trên suốt chiều dài dầm (áp dụng phương pháp tích phân bất định).
Giải:
Mô men uốn tại mặt cắt 1-1 có hoành độ z là: Mx(z) = - P(/ - z) (a) Thay (a) vào phương trình (7-2) ta có phương trình vi phân của đường đàn hồi là:
M„ P ( / - z ) y"(z) = - EJ. E JV (b) z r 1 1 Nj CL < ị o í ' / 1 ị y Hình 7-3
Tích phân lần thứ nhất ta được phương trình góc xoay: (p = y ' = p I ■Z ? Z À+ c
EJX EJX
Tích phân lần thứ hai ta được phương trình độ võng: p/ 2 Pz3 n ~ y (1\ = : 1 —-Z — —---I-Cz + D
(z) 2E JX 6EJX Tìm hàng số c và D dựa vào điều kiện biên Khi z = 0 thì góc xoay y' = 0 -> c = 0
độ võng y = 0 —> D = 0
Vậy phương trình góc xoay và độ võng có dạng
p / p 2 (p = y = — . z --- -— .z p I E JX 2EJX - ^ ( 3 - 4 ) 6EJX V
Từ hình 7-3. Ta thấy độ võng và góc xoay lớn nhất tại đầu tự do A của dầm. Thay z = 1 vào biểu thức (e) ta được:
y J ma x = f ma x = 9 m a x = y P/J 3EJX ?ữ (7-10) 2EJ.
Các giá trị đều dương, điều đó chứng tỏ ràng độ võng hướng theo chiều dươna của trục y, và mặt cắt ngang tại đó có góc xoay thuận chiều kim đồng hồ.
T hí dụ 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho một dầm có chiều dài / đặt trên hai gối tựa, chịu lực tập trung p ở giữa. Độ cứne EJX = const trên suôt chiêu dài dâm. Tính độ võng lớn nhất và góc xoay lớn nhất (hình 7-4).
Giải:
Do tính chất đối xứng nên phản lực: Ra = Rb
Mô men uốn Mx tương ứng với hoành độ z tại mặt cắt 1-1 là:
Mv(7ì = —.z với 0 < z < —
2 2
Thay biểu thức M X(Z) vào phương trình vi phân đường đàn hồi:
p
II2
v" = -
(z) EJL 2 E JV-,z Tích phân lần thứ hai ta được phương trình độ võng :
y(z) = --- ^ — .z3 + Cz +- D 12EJX
Hai hàng số c , D được xác định từ điều kiện biên:
Khi z = — thì góc xoay y ' = (p = 0 (vì tính chất đối xứng) Thay vào (a) ta tính hằng số C:
4EJX + c = 0 - > c = p r l ô y(z) = - 12EJ. 3 p l •Z + - --- 16EJV-,z p 2 p/ <p = y ( z ) = — — Z +■ z --- II2 //ì/í/i 7-ự (a) (b)
Khi z = 0 thì độ võng tại A bằng không, ta tìm được D = 0 Vậy ta có phương trình độ võng và góc xoay là:
(7- 4a) 4 E JX 16EJX
Độ võng lớn nhất tại giữa dầm, tương ứng với điểm đặt lực tập trung: z = —
--- — ( - ) 3 + - ^ - 12REJX 2 32EJ„ p / 3
Ymax 48EJX
Góc xoay lón nhất, tương ứng với z = 0 nghĩa là tại gối tựa A:
(7- 4b)
<Pn _Pr_
Cho một dầm đặt trên hai gối tựa, có chiều dài /, chịu tải trọng phân bố đều q. Độ cứng của dầm EJX = const trên suốt chiều dài dầm. Hãy tính độ võng và góc R< xoay lớn nhất hình 7-5. Thí dụ 3. y Giải: Do tính chất đối xứng nên phản lực Hình 7-5 Ra = R b = y
Phương trình của mô men uốn tại mặt cắt ngang 1-1 có hoành độ z là: q/ q z2
XU) 2 2
Thay (a) vào (7-2) ta được phương trình vi phân của đường đàn hồi: y"(z ) = _ i _ (/.Z - Z 2)
2E JX
Tích phân lần một, lần hai ta được phương trình góc xoay và độ võng:
cp = y \z ) = --- — (— - — ) + c (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2 EJX 2 3
q Ịỵ? 2 4
y(z) = ---(— - — ) + Cz + D 2 E JX 6 12 Hằng số c và D được xác định từ điều kiện biên:
Với : z = 1/2 thì góc xoay tại giữa dầm y = 0 ; z = 0 t h ì y = 0 Từ điều kiện đó ta xác định hai hàng số tích phân :
D = 0
/3