... b i toán NE2 B i tập chơng Giải b i toán Cauchy 2u u = a2 t x ut=0 = xex 2u u = a2 + 3xt2 t x ut=0 = sinx u u =a + xe-t t x ut=0 = cosx 2u u = a2 + te-x t x ut=0 = sinx Giáo Trình Toán Chuyên ... ur =2 = x2 - xy + u (2, ) = A + Bsin u(1, ) = sin3 u(1, ) = cos4 u(R, ) = Giải b i toán Dirichlet hình v nh khăn 20 u = với (r, ) [1, 2] ì [0, 2] v u(1, ) = A, u (2, ) = B 21 u = với (r, ) [1, 2] ... toán Dirichlet hình tròn 15 u = với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] 16 u = với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] 17 u = với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] 18 u = với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] 19 u = với (r, ) [0, R] ì [0, 2] ...
... vị phức i -i R2 + z R2 g() = 2R (e - e ) = v F() = 2i i i z Ta có I(z) = Res[f, z] + Res[f, 0] = 2( z R ) R + = -2iz iz iz Suy nghiệm b i toán u(z) = Re(-2iz) = 2y B i toán DE1b Cho miền ... 2 (8.6. 12) Định lý Cho h m g, h C1([0, 2] , 3) thoả m n g(0) = g (2) , h(0) = h (2) Chuỗi h m (8.6.11) với hệ số ak , bk , ck v dk xác định từ hệ phơng trình (8.6. 12) l nghiệm v ổn định b i toán ... Đ7 B i toán Dirichlet hình chữ nhật B i toán DE2a Cho miền D = [0, l] ì [0, d] v h m ga C([0, l], 3) Tìm h m u C(D, 3) thoả m n phơng trình Laplace u = 2u u + = với (x, y) D0 x2 y2 (8.7.1)...
... y r r 2u 2u u u 2u 2u = cos2 cossin + cossin + sin2 + sin2 r r r r r r x2 r 2u 2u u u 2u 2u = sin + cossin cossin + cos + cos r r r r r r y2 r Suy biểu thức toạ độ cực toán tử Laplace ... v o công thức (8.4.7) suy nghiệm b i toán 2 + u(x, t) = e ( n +1) t sin(2n + 1)x n =0 (2n + 1) l ak = x(1 x) sin kxdx = k = 2n k = 2n + Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 141 d o o c m C m o ... 2( -1) k e ( k ) t e t 2 k(4 k 1) Suy nghiệm b i toán u(x, t) = xe-t + + k =1 ) với k ( * ) 2( -1) k e ( k) t e t sin kx k(4 k 1) Nhận xét Bằng cách kéo d i liên tục, công thức sử dụng...
... a x2 e d / 4a t 2u x = x 4a x2 h(t ) 4a x3 e d + / 8a t x2 u x h(0) 4a t x = e 3 /2 t 2a t 2a t 3 /2 s= x 2a t , u(x, t) = + x e x2 h(t ) 4a / e d t x2 4a dh(t ) x2 h(t ... 2a Theo công thức (8.3 .2) ta có u(x, 0) = Đổi biến tích phân (8.3 .2) x x2 h(t ) / e a d t h( t x2 4a e d = a2 uxx x2 )e s ds 2 4a s 2a t Suy u(0, t) = h(t) Tính v ổn định suy từ ... e d 2a t 2 (8 .2. 2) Định lý Cho h m f C(H, 3) B(D, 3) v g C(D, 3) B(D, 3) B i toán CP1 có nghiệm v ổn định xác định theo công thức (8 .2. 2) 2u u = a2 + 3t2 v u(x, 0) = sinx t x H...
... tính cấp sau 2u 2u 2u + - 16u = +2 xy x y 2u 2u 2u u u -2 + +9 -9 + 9u = 2 xy x y x y 2u 2u 2u u - 2sinx - cos2x + sinx =0 xy y x y 2u 2u 2u u u +3 + -4 =0 +7 xy x y x y Lập b i toán phơng trình ... x ut=0 = 0, 19 2u 2u = a2 t x ut=0 = xcosx, 20 2u 2u = a2 + bshx t x ut=0 = 0, 21 2u 2u = a2 + tcosx t x ut=0 = sinx, 22 2u 2u = a2 t x ut=0 = 0, 23 2u 2u u + = a2 t t x ut=0 = g(x), u = ... u t t=0 = 2x 13 2u 2u = a2 + te-x t x ut=0 = sinx, u t t=0 = x, u(0, t) = 14 2u 2u = a2 + tsinx t x ut=0 = xcosx, 15 2u 2u = a2 + xsinx t x ut=0 = cosx, u t t=0 = 3x2, 16 2u 2u = a2 + xcosx t...
... i toán x+2t x +2t t x +2 x x sin d + 2d + d 2( t )d + (t - )sin(t - ) t 2 t x x t x = sinxcos2t + 2xt + x x xt + (t - )sin(t - ) với (x, t) 3+ì 3+ 2 Nhận xét Phơng pháp sửdụng ... k = 2n k * 8l xdx = ak = x(l x) sin k = 2n + v bk = với k l (2n + 1) Suy nghiệm b i toán 8l + (2n + 1) n =0 cos (2 n + 1)a (2 n + 1) t sin x l l Đ8 B i toán hỗn hợp không B i toán HH1b ... giải b i toán giả Cauchy khác Đ7 B i toán hỗn hợp B i toán HH1a Cho miền D = [0, l], H = D ì [0, T] v h m g, h C(D, 3) Tìm h m u C(H, 3) thoả m n phơng trình truyền sóng 2u 2u = a2 với (x, t)...
... m u C2(H, 3) Kiểm tra trực tiếp (x, t) H, v 2v v 2u = a2 = a2 = t t t x t x t x D, u(x, 0) = 2v v u (x, 0) = g(x), (x, 0) = a2 (x, 0) t t x Tính v ổn định nghiệm suy từ b i toán CH1a ... 3), g C2(D, 3) v h C1(D, 3) B i toán CH1 có nghiệm v ổn định xác định theo công thức (7.5 .2) 2u 2u = a2 + 2xe-t với (x, t) ì 3+ t x u (x, 0) = 2x u(x, 0) = cosx, t Theo công thức (7.5 .2) có ... t 2u u = a[h(x + at) + h(x - at)] = a t x u (x, 0) = h(x) x D, u(x, 0) = 0, t Nếu ui l nghiệm b i toán 2u 2u u = a2 , u(x, 0) = 0, (x, 0) = hi t t x 2u u u u = u1 - u2 l nghiệm b i toán...
... hình chiếu lực quán tính cung M1M2 lên trục Ou x2 P3 = - (x) x1 2u dx t Theo nguyên lý cân lực P1 + P2 + P3 = suy x2 2u 2u T(x) x + F(x, t ) (x) t dx = x1 Do x1, x2 l tuỳ ý nên (x, ... phơng trình 2u 2u u 2u = a2( + + ) + f(x, y, z, t) t x z y (7 .2. 2) gọi l phơng trình truyền nhiệt không gian ba chiều Trong trờng hợp nguồn nhiệt : f(M, t) = 0, phơng trình (7 .2. 2) l phơng trình ... chiếu lực căng cung M1M2 lên trục Ou x2 2u P1 = T (x) dx x x1 Gọi F(x, t) l mật độ ngoại lực tác động v P2 l hình chiếu ngoại lực cung M1M2 lên trục Ou x2 F(x, t )dx P2 = x1 Gọi (x) l mật độ...
... parabole z = x2 + y2 v z d F = {x, y, z} qua mặt cong kín z = x2 + y2, z e F = {x3, y3, z3} qua mặt cong kín x2 + y2 + z2 = f F = {xy2, x2y, z} qua mặt cong kín z = - x2 - y2 v z Tính ho ... {xy, yz, zx} v A(1, 1, 2) b F = {xy2, yz2, zx2} v A( -2, 0, 1) c F = {xyz, x + y + z, xy + yz + zx} v A(0, 1, 2) Tìm Rotation trờng vectơ F điểm A sau a F = {x2y, y2z, z2x} v A (2, -1, 1) b F = {yz, ... [0, /2] b F = {xy, yz, zx} theo đoạn thẳng nối hai điểm A(a, 1, 1) v B (2, 4, 8) c F = {-y, x, 0} theo đờng cong kín (x - 2) 2 + y2 = v z = d F = {x3, y3, z3} theo đờng cong kín x2 + y2 + z2 = v...
... Tác động toán tử Hamilton hai lần nhận đợc toán tử vi phân cấp hai Với trờng vô hớng (D, u) thuộc lớp C2 div (grad u) = div ( u u u 2u 2u 2u + = u i+ j+ k) = + x y z x y z (6.6.5) Toán tử = x ... toán tử Hamilton Tác động toán tử Hamilton lần nhận đợc trờng grad, div v rot đ nói mục nh sau Tích vectơ với trờng vô hớng u l trờng vectơ grad u u u u u = ( i+ j+ k)u = i+ j+ k (6.6 .2) ... + G) = rot F + rot G rot (u F) = u rot F + [grad u, F] Chứng minh Suy từ định nghĩa (6.5 .2) v tính chất đạo h m riêng Giả sử S l mặt cong trơn mảnh, nằm gọn miền D, định hớng theo pháp vectơ...
... Tác động toán tử Hamilton hai lần nhận đợc toán tử vi phân cấp hai Với trờng vô hớng (D, u) thuộc lớp C2 div (grad u) = div ( u u u 2u 2u 2u + = u i+ j+ k) = + x y z x y z (6.6.5) Toán tử = x ... toán tử Hamilton Tác động toán tử Hamilton lần nhận đợc trờng grad, div v rot đ nói mục nh sau Tích vectơ với trờng vô hớng u l trờng vectơ grad u u u u u = ( i+ j+ k)u = i+ j+ k (6.6 .2) ... + G) = rot F + rot G rot (u F) = u rot F + [grad u, F] Chứng minh Suy từ định nghĩa (6.5 .2) v tính chất đạo h m riêng Giả sử S l mặt cong trơn mảnh, nằm gọn miền D, định hớng theo pháp vectơ...
... b i toán NE2 B i tập chơng Giải b i toán Cauchy 2u u = a2 t x ut=0 = xex 2u u = a2 + 3xt2 t x ut=0 = sinx u u =a + xe-t t x ut=0 = cosx 2u u = a2 + te-x t x ut=0 = sinx Giáo Trình Toán Chuyên ... ur =2 = x2 - xy + u (2, ) = A + Bsin u(1, ) = sin3 u(1, ) = cos4 u(R, ) = Giải b i toán Dirichlet hình v nh khăn 20 u = với (r, ) [1, 2] ì [0, 2] v u(1, ) = A, u (2, ) = B 21 u = với (r, ) [1, 2] ... toán Dirichlet hình tròn 15 u = với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] 16 u = với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] 17 u = với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] 18 u = với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] 19 u = với (r, ) [0, R] ì [0, 2] ...
... vị phức i -i R2 + z R2 g() = 2R (e - e ) = v F() = 2i i i z Ta có I(z) = Res[f, z] + Res[f, 0] = 2( z R ) R + = -2iz iz iz Suy nghiệm b i toán u(z) = Re(-2iz) = 2y B i toán DE1b Cho miền ... 2 (8.6. 12) Định lý Cho h m g, h C1([0, 2] , 3) thoả m n g(0) = g (2) , h(0) = h (2) Chuỗi h m (8.6.11) với hệ số ak , bk , ck v dk xác định từ hệ phơng trình (8.6. 12) l nghiệm v ổn định b i toán ... Đ7 B i toán Dirichlet hình chữ nhật B i toán DE2a Cho miền D = [0, l] ì [0, d] v h m ga C([0, l], 3) Tìm h m u C(D, 3) thoả m n phơng trình Laplace u = 2u u + = với (x, y) D0 x2 y2 (8.7.1)...
... y r r 2u 2u u u 2u 2u = cos2 cossin + cossin + sin2 + sin2 r r r r r r x2 r 2u 2u u u 2u 2u = sin + cossin cossin + cos + cos r r r r r r y2 r Suy biểu thức toạ độ cực toán tử Laplace ... v o công thức (8.4.7) suy nghiệm b i toán 2 + u(x, t) = e ( n +1) t sin(2n + 1)x n =0 (2n + 1) l ak = x(1 x) sin kxdx = k = 2n k = 2n + Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 141 d o o c m C m o ... 2( -1) k e ( k ) t e t 2 k(4 k 1) Suy nghiệm b i toán u(x, t) = xe-t + + k =1 ) với k ( * ) 2( -1) k e ( k) t e t sin kx k(4 k 1) Nhận xét Bằng cách kéo d i liên tục, công thức sử dụng...
... a x2 e d / 4a t 2u x = x 4a x2 h(t ) 4a x3 e d + / 8a t x2 u x h(0) 4a t x = e 3 /2 t 2a t 2a t 3 /2 s= x 2a t , u(x, t) = + x e x2 h(t ) 4a / e d t x2 4a dh(t ) x2 h(t ... 2a Theo công thức (8.3 .2) ta có u(x, 0) = Đổi biến tích phân (8.3 .2) x x2 h(t ) / e a d t h( t x2 4a e d = a2 uxx x2 )e s ds 2 4a s 2a t Suy u(0, t) = h(t) Tính v ổn định suy từ ... e d 2a t 2 (8 .2. 2) Định lý Cho h m f C(H, 3) B(D, 3) v g C(D, 3) B(D, 3) B i toán CP1 có nghiệm v ổn định xác định theo công thức (8 .2. 2) 2u u = a2 + 3t2 v u(x, 0) = sinx t x H...
... tính cấp sau 2u 2u 2u + - 16u = +2 xy x y 2u 2u 2u u u -2 + +9 -9 + 9u = 2 xy x y x y 2u 2u 2u u - 2sinx - cos2x + sinx =0 xy y x y 2u 2u 2u u u +3 + -4 =0 +7 xy x y x y Lập b i toán phơng trình ... x ut=0 = 0, 19 2u 2u = a2 t x ut=0 = xcosx, 20 2u 2u = a2 + bshx t x ut=0 = 0, 21 2u 2u = a2 + tcosx t x ut=0 = sinx, 22 2u 2u = a2 t x ut=0 = 0, 23 2u 2u u + = a2 t t x ut=0 = g(x), u = ... u t t=0 = 2x 13 2u 2u = a2 + te-x t x ut=0 = sinx, u t t=0 = x, u(0, t) = 14 2u 2u = a2 + tsinx t x ut=0 = xcosx, 15 2u 2u = a2 + xsinx t x ut=0 = cosx, u t t=0 = 3x2, 16 2u 2u = a2 + xcosx t...
... i toán x+2t x +2t t x +2 x x sin d + 2d + d 2( t )d + (t - )sin(t - ) t 2 t x x t x = sinxcos2t + 2xt + x x xt + (t - )sin(t - ) với (x, t) 3+ì 3+ 2 Nhận xét Phơng pháp sửdụng ... k = 2n k * 8l xdx = ak = x(l x) sin k = 2n + v bk = với k l (2n + 1) Suy nghiệm b i toán 8l + (2n + 1) n =0 cos (2 n + 1)a (2 n + 1) t sin x l l Đ8 B i toán hỗn hợp không B i toán HH1b ... giải b i toán giả Cauchy khác Đ7 B i toán hỗn hợp B i toán HH1a Cho miền D = [0, l], H = D ì [0, T] v h m g, h C(D, 3) Tìm h m u C(H, 3) thoả m n phơng trình truyền sóng 2u 2u = a2 với (x, t)...
... m u C2(H, 3) Kiểm tra trực tiếp (x, t) H, v 2v v 2u = a2 = a2 = t t t x t x t x D, u(x, 0) = 2v v u (x, 0) = g(x), (x, 0) = a2 (x, 0) t t x Tính v ổn định nghiệm suy từ b i toán CH1a ... 3), g C2(D, 3) v h C1(D, 3) B i toán CH1 có nghiệm v ổn định xác định theo công thức (7.5 .2) 2u 2u = a2 + 2xe-t với (x, t) ì 3+ t x u (x, 0) = 2x u(x, 0) = cosx, t Theo công thức (7.5 .2) có ... t 2u u = a[h(x + at) + h(x - at)] = a t x u (x, 0) = h(x) x D, u(x, 0) = 0, t Nếu ui l nghiệm b i toán 2u 2u u = a2 , u(x, 0) = 0, (x, 0) = hi t t x 2u u u u = u1 - u2 l nghiệm b i toán...