Nếu F là trường chất lỏng thì thông lượng chính là lượng chất lỏng đi qua mặt cong S theo hướng pháp vectơ n trong một đơn vị thời gian.. • Giả sử Ω là miền đóng nằm gọn trong miền D và
Trang 1Nếu F là trường chất lỏng thì thông lượng chính là lượng chất lỏng đi qua mặt cong S theo hướng pháp vectơ n
trong một đơn vị thời gian
• Cho trường vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z} Trường vô hướng
div F =
z
Z y
Y x
X
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
(6.4.2)
gọi là divergence (nguồn) của trường vectơ F
Ví dụ Cho trường vectơ F = {xy, yz, zx} và điểm A(1, 1, -1)
Ta có
div F = y + z + x và div F(A) = 1 + 1 - 1 = 2
Định lý Cho F, G là các trường vectơ và u là trường vô hướng Divergence có các tính
chất sau đây
1 div (F + G) = div F + div G
2 div (u F) = u div F + <grad u, F>
Chứng minh
Suy ra từ định nghĩa (6.4.2) và các tính chất của đạo hàm riêng
• Giả sử Ω là miền đóng nằm gọn trong miền D và có biên là mặt cong kín S trơn từng
mảnh, định hướng theo pháp vectơ ngoài n Khi đó công thức Ostrogradski được viết lại
ở dạng vectơ như sau
S
dS
, n
Ω
dV
Chọn Ω là hình cầu đóng tâm A, bán kính ε Từ công thức (6.4.3) và định lý về trị trung bình của tích phân bội ba suy ra
div F(A) = ∫∫< >
→
V
1
Theo công thức trên, nguồn của trường vectơ F tại điểm A là lượng chất lỏng đi ra từ
điểm A theo hướng của trường vectơ F
• Cho trường vectơ (D, F ) và điểm A ∈ D Nếu div F(A) > 0 thì điểm A gọi là điểm
nguồn Nếu div F(A) < 0 thì điểm A gọi là điểm thủng
Ví dụ Cho trường vectơ F = {xy, yz, zx}
Ta có div F = y + z + x
div F(1, 0, 0) = 1 > 0 điểm (1, 0, 0) là điểm nguồn
div F(-1, 0, 0) = -1 < 0 điểm (-1, 0, 0) là điểm thủng
Γ
n
S
Trang 2Đ5 Hoàn lưu
• Cho trường vectơ (D, F ) và đường cong Γ kín, trơn từng khúc, nằm gọn trong miền D,
định hướng theo vectơ tiếp xúc T Tích phân đường loại hai
K = ∫ Γ
>
<F , T ds = ∫
Γ
+ +Ydy Zdz
gọi là hoàn lưu của trường vectơ F dọc theo đường cong kín Γ
Nếu F là trường chất lỏng thì hoàn lưu là công
dịch chuyển một đơn vị khối lượng chất lỏng dọc
theo đường cong Γ theo hướng vectơ T
• Cho trường vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z} Trường vectơ
∂
∂
ư
∂
∂
z
Y y
Z
∂
∂
ư
∂
∂
x
Z z
X
∂
∂
ư
∂
∂
y
X x
Y
gọi là rotation (xoáy) của trường vectơ F
Ví dụ Cho trường vectơ F = {xy, yz, zx} và điểm A(1, 0, -1)
Ta có
rot F = {z, x, y} và rot F(A) = {-1, 1, 0}
Định lý Cho F, G là các trường vectơ và u là trường vô hướng Rotation có các tính chất
sau đây
1 rot (F + G) = rot F + rot G
2 rot (u F) = u rot F + [grad u, F]
Chứng minh
Suy ra từ định nghĩa (6.5.2) và các tính chất của đạo hàm riêng
• Giả sử S là mặt cong trơn từng mảnh, nằm gọn trong miền D, định hướng theo pháp
vectơ n và có biên là đường cong kín Γ trơn từng khúc, định hướng theo vectơ tiếp xúc T
phù hợp với hướng pháp vectơ n Khi đó công thức Stokes viết lại ở dạng vectơ như sau
∫ Γ
>
<F , T ds = ∫∫< >
S
dS
, n
Chọn S là nửa mặt cầu tâm A, bán kính ε Từ công thức (6.5.3) và định lý về trị trung
bình của tích phân mặt loại hai suy ra
< rot F, n >(A) = ∫
Γ
→
S
1 lim
Theo công thức trên, cường độ của trường vectơ rot F theo hướng pháp vectơ n tại điểm
A là công tự quay của điểm A theo hướng trục quay n
Γ
Trang 3• Cho trường vectơ (D, F ) và điểm A ∈ D Nếu < rot F, n >(A) > 0 thì điểm A gọi là
điểm xoáy thuận Nếu < rot F, n >(A) < 0 thì điểm A gọi là điểm xoáy nghịch
Ví dụ Cho trường vectơ F = {xy, yz, zx} và n = {x, y, z}
Ta có rot F = {z, x, y} và < rot F, n > = zx + xy + yz
< rot F, n > (1, 0, 1) = 1 > 0 điểm (1, 0, 1) là điểm xoáy thuận
< rot F, n > (1, 0, -1) = -1 < 0 điểm (1, 0, -1) là điểm xoáy nghịch
Định lý Cho trường vectơ <D, F > và điểm A ∈ D
1 Max | < rot F, n >(A) | = | rot F(A) | đạt được khi và chỉ khi n // rot F
2 Min | < rot F, n >(A) | = 0 đạt được khi và chỉ khi n ⊥ rot F
Chứng minh
• Theo kết quả trên thì cường độ xoáy có trị tuyệt đối lớn nhất theo hướng đồng phương
với vectơ rot F và có trị tuyệt đối bé nhất theo hướng vuông góc với vectơ rot F
Đ6 Toán tử Hamilton
• Vectơ tượng trưng
∇ = x
∂
∂ i +
y
∂
∂ j +
z
∂
∂ k
(6.6.1)
với x
∂
∂ , y
∂
∂
và z
∂
∂ tương ứng là phép lấy đạo hàm riêng theo các biến x, y, và z gọi là
toán tử Hamilton
• Tác động toán tử Hamilton một lần chúng ta nhận được các trường grad, div và rot đ~
nói ở các mục trên như sau
1 Tích của vectơ ∇ với trường vô hướng u là trường vectơ grad u
∇u = (
x
∂
∂ i +
y
∂
∂ j +
z
∂
∂ k)u =
x
u
∂
∂ i +
y
u
∂
∂ j +
z
u
∂
2 Tích vô hướng của vectơ ∇ với trường vectơ F là trường vô hướng div F
∇F = (
x
∂
∂ i +
y
∂
∂ j +
z
∂
∂ k)(Xi + Yj + Zk) =
x
X
∂
∂ + y
Y
∂
∂ + z
Z
∂
∂
(6.6.3)
3 Tích có hướng của vectơ ∇ với trường vectơ F là trường vectơ rot F
Trang 4∇ìF = (
x
∂
∂ i +
y
∂
∂ j +
z
∂
∂ k) ì (Xi + Yj + Zk)
∂
∂
ư
∂
∂
z
Y y
Z
∂
∂
ư
∂
∂
x
Z z
X
∂
∂
ư
∂
∂
y
X x
Y
• Tác động toán tử Hamilton hai lần chúng ta nhận được các toán tử vi phân cấp hai
4 Với mọi trường vô hướng (D, u) thuộc lớp C2
div (grad u) = div (
x
u
∂
∂
i +
y
u
∂
∂
j +
z
u
∂
∂
k) =
2
2
x
u
∂
∂ +
2
2
y
u
∂
∂ +
2
2
z
u
∂
∂ = ∆u (6.6.5) Toán tử
∆ =
2
2
x
∂
∂ i +
2
2
y
∂
∂ j +
2
2
z
∂
∂ k
gọi là toán tử Laplace
Tức là ∆u = div (grad u) = ∇(∇u) = ∇2u
5 Với mọi trường vô hướng (D, u) thuộc lớp C2
rot (grad u) = rot (
x
u
∂
∂ i +
y
u
∂
∂ j +
z
u
∂
Tức là rot (grad u) = ∇ì∇u = 0
6 Với mọi trường vectơ (D, F ) thuộc lớp C2
div (rot F) = div
∂
∂
ư
∂
∂
z
Y y
Z
∂
∂
ư
∂
∂
x
Z z
X
j +
∂
∂
ư
∂
∂
k
y
X x
Y
= 0 (6.6.7)
Tức là div (rot F) = ∇(∇ ì F) = 0
7 Với mọi trường vectơ (D, F ) thuộc lớp C2
rot (rot F) = rot
∂
∂
ư
∂
∂
z
Y y
∂
∂
ư
∂
∂
x
Z z
∂
∂
ư
∂
y
X x
Y
Đ7 Trường thế
• Trường vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z} gọi là trường thế nếu có trường vô hướng
(D, u) sao cho F = grad u Tức là
X = x
u
∂
∂
Y = y
u
∂
∂
Z = z
u
∂
∂
(6.7.1)
Trang 5Từ định nghĩa suy ra nếu trường vectơ F là trường thế thì
Chúng ta sẽ chứng minh rằng điều ngược lại cũng đúng
Định lý Trường vectơ (D, F ) là trường thế khi và chỉ khi rot F = 0
Chứng minh
Điều kiện cần suy ra từ công thức (6.7.2) Chúng ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử rot F = 0
Khi đó với mọi đường cong Γ kín, trơn từng khúc và nằm gọn trong miền D
∫ Γ
+ +Ydy Zdz
S
dS ,n F
với S là mặt cong trơn từng mảnh, nằm gọn trong miền D và có biên định hướng theo
pháp vectơ n là đường cong Γ
Suy ra với mọi A, M ∈ D tích phân
AM
Zdz Ydy Xdx
không phụ thuộc vào đường lấy tích phân
Cố định điểm A ∈ D và đặt
AM
Zdz Ydy
Do các hàm X, Y, Z có đạo hàm riêng liên tục nên hàm u có đạo hàm riêng liên tục trên miền D Kiểm tra trực tiếp ta có
grad u = F
Từ đó suy ra trường vectơ F là trường thế và hàm u là hàm thế vị của nó
• Từ các kết quả ở trên suy ra ý nghĩa cơ học của trường thế như sau
1 Trong trường thế không có điểm xoáy
rot F = 0
2 Hoàn lưu dọc theo đường cong kín nằm gọn trong miền D luôn bằng không
K = ∫ Γ
>
<F , T ds = ∫∫< >
S
dS ,n F
3 Công dịch chuyển bằng thế vị điểm cuối trừ đi thế vị điểm đầu
MN
ds
, T
MN
Zdz Ydy
MN
du = u(N) - u(M) (6.7.4)
u(N) u(M)