Chơng 6. Lý Thuyết Trờng Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 105 Nếu F là trờng chất lỏng thì thông lợng chính là lợng chất lỏng đi qua mặt cong S theo hớng pháp vectơ n trong một đơn vị thời gian. Cho trờng vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z}. Trờng vô hớng div F = z Z y Y x X + + (6.4.2) gọi là divergence (nguồn) của trờng vectơ F . Ví dụ Cho trờng vectơ F = {xy, yz, zx} và điểm A(1, 1, -1) Ta có div F = y + z + x và div F (A) = 1 + 1 - 1 = 2 Định lý Cho F , G là các trờng vectơ và u là trờng vô hớng. Divergence có các tính chất sau đây. 1. div ( F + G ) = div F + div G 2. div (u F ) = u div F + < grad u, F > Chứng minh Suy ra từ định nghĩa (6.4.2) và các tính chất của đạo hàm riêng. Giả sử là miền đóng nằm gọn trong miền D và có biên là mặt cong kín S trơn từng mảnh, định hớng theo pháp vectơ ngoài n . Khi đó công thức Ostrogradski đợc viết lại ở dạng vectơ nh sau. >< S dS, nF = dVdivF (6.4.3) Chọn là hình cầu đóng tâm A, bán kính . Từ công thức (6.4.3) và định lý về trị trung bình của tích phân bội ba suy ra. div F(A) = >< S 0 dS, V 1 lim nF (6.4.4) Theo công thức trên, nguồn của trờng vectơ F tại điểm A là lợng chất lỏng đi ra từ điểm A theo hớng của trờng vectơ F. Cho trờng vectơ (D, F ) và điểm A D. Nếu div F(A) > 0 thì điểm A gọi là điểm nguồn. Nếu div F(A) < 0 thì điểm A gọi là điểm thủng. Ví dụ Cho trờng vectơ F = {xy, yz, zx} Ta có div F = y + z + x div F(1, 0, 0) = 1 > 0 điểm (1, 0, 0) là điểm nguồn div F(-1, 0, 0) = -1 < 0 điểm (-1, 0, 0) là điểm thủng n S Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Giỏo trỡnh phõn tớch kh nng vn dng cu to phng thc s dng toỏn t divergence . Chơng 6. Lý Thuyết Trờng Trang 106 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Đ5. Hoàn lu Cho trờng vectơ (D, F ) và đờng cong kín, trơn từng khúc, nằm gọn trong miền D, định hớng theo vectơ tiếp xúc T. Tích phân đờng loại hai K = >< ds, TF = ++ ZdzYdyXdx (3.5.1) gọi là hoàn lu của trờng vectơ F dọc theo đờng cong kín . Nếu F là trờng chất lỏng thì hoàn lu là công dịch chuyển một đơn vị khối lợng chất lỏng dọc theo đờng cong theo hớng vectơ T. Cho trờng vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z}. Trờng vectơ rot F = z Y y Z i + x Z z X j + y X x Y k (6.5.2) gọi là rotation (xoáy) của trờng vectơ F . Ví dụ Cho trờng vectơ F = {xy, yz, zx} và điểm A(1, 0, -1) Ta có rot F = {z, x, y} và rot F (A) = {-1, 1, 0} Định lý Cho F , G là các trờng vectơ và u là trờng vô hớng. Rotation có các tính chất sau đây. 1. rot ( F + G ) = rot F + rot G 2. rot (u F ) = u rot F + [ grad u, F ] Chứng minh Suy ra từ định nghĩa (6.5.2) và các tính chất của đạo hàm riêng. Giả sử S là mặt cong trơn từng mảnh, nằm gọn trong miền D, định hớng theo pháp vectơ n và có biên là đờng cong kín trơn từng khúc, định hớng theo vectơ tiếp xúc T phù hợp với hớng pháp vectơ n . Khi đó công thức Stokes viết lại ở dạng vectơ nh sau. >< ds, TF = >< S dS, nrotF (6.5.3) Chọn S là nửa mặt cầu tâm A, bán kính . Từ công thức (6.5.3) và định lý về trị trung bình của tích phân mặt loại hai suy ra. < rot F , n >(A) = >< ds, S 1 lim 0 TF (6.5.4) Theo công thức trên, cờng độ của trờng vectơ rot F theo hớng pháp vectơ n tại điểm A là công tự quay của điểm A theo hớng trục quay n . Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 6. Lý Thuyết Trờng Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 107 Cho trờng vectơ (D, F ) và điểm A D. Nếu < rot F, n >(A) > 0 thì điểm A gọi là điểm xoáy thuận. Nếu < rot F, n >(A) < 0 thì điểm A gọi là điểm xoáy nghịch. Ví dụ Cho trờng vectơ F = {xy, yz, zx} và n = {x, y, z} Ta có rot F = {z, x, y} và < rot F, n > = zx + xy + yz < rot F, n > (1, 0, 1) = 1 > 0 điểm (1, 0, 1) là điểm xoáy thuận < rot F, n > (1, 0, -1) = -1 < 0 điểm (1, 0, -1) là điểm xoáy nghịch Định lý Cho trờng vectơ <D, F > và điểm A D. 1. Max | < rot F, n >(A) | = | rot F(A) | đạt đợc khi và chỉ khi n // rot F 2. Min | < rot F, n >(A) | = 0 đạt đợc khi và chỉ khi n rot F Chứng minh Suy ra từ tính chất của tích vô hớng. Theo kết quả trên thì cờng độ xoáy có trị tuyệt đối lớn nhất theo hớng đồng phơng với vectơ rot F và có trị tuyệt đối bé nhất theo hớng vuông góc với vectơ rot F. Đ6. Toán tử Hamilton Vectơ tợng trng = x i + y j + z k (6.6.1) với x , y và z tơng ứng là phép lấy đạo hàm riêng theo các biến x, y, và z gọi là toán tử Hamilton . Tác động toán tử Hamilton một lần chúng ta nhận đợc các trờng grad , div và rot đ nói ở các mục trên nh sau. 1. Tích của vectơ với trờng vô hớng u là trờng vectơ grad u u = ( x i + y j + z k )u = x u i + y u j + z u k (6.6.2) 2. Tích vô hớng của vectơ với trờng vectơ F là trờng vô hớng div F F = ( x i + y j + z k )(X i + Y j + Z k ) = x X + y Y + z Z (6.6.3) 3. Tích có hớng của vectơ với trờng vectơ F là trờng vectơ rot F Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 6. Lý Thuyết Trờng Trang 108 Giáo Trình Toán Chuyên Đề ìF = ( x i + y j + z k ) ì (X i + Y j + Z k ) = z Y y Z i + x Z z X j + y X x Y k (6.6.4) Tác động toán tử Hamilton hai lần chúng ta nhận đợc các toán tử vi phân cấp hai. 4. Với mọi trờng vô hớng (D, u) thuộc lớp C 2 div ( grad u) = div ( x u i + y u j + z u k ) = 2 2 x u + 2 2 y u + 2 2 z u = u (6.6.5) Toán tử = 2 2 x i + 2 2 y j + 2 2 z k gọi là toán tử Laplace . Tức là u = div ( grad u) = (u) = 2 u 5. Với mọi trờng vô hớng (D, u) thuộc lớp C 2 rot ( grad u) = rot ( x u i + y u j + z u k ) = 0 (6.6.6) Tức là rot ( grad u) = ìu = 0 6. Với mọi trờng vectơ (D, F ) thuộc lớp C 2 div ( rot F ) = div z Y y Z i + x Z z X j + k y X x Y = 0 (6.6.7) Tức là div ( rot F ) = ( ì F ) = 0 7. Với mọi trờng vectơ (D, F ) thuộc lớp C 2 rot ( rot F ) = rot z Y y Z i + x Z z X j + k y X x Y = grad (div F ) - F (6.6.8) Đ7. Trờng thế Trờng vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z} gọi là trờng thế nếu có trờng vô hớng (D, u) sao cho F = grad u. Tức là X = x u Y = y u Z = z u (6.7.1) Hàm u gọi là hàm thế vị của trờng vectơ F . Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 6. Lý Thuyết Trờng Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 109 Từ định nghĩa suy ra nếu trờng vectơ F là trờng thế thì rot F = rot (grad u) = 0 (6.7.2) Chúng ta sẽ chứng minh rằng điều ngợc lại cũng đúng. Định lý Trờng vectơ (D, F ) là trờng thế khi và chỉ khi rot F = 0 Chứng minh Điều kiện cần suy ra từ công thức (6.7.2). Chúng ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử rot F = 0 Khi đó với mọi đờng cong kín, trơn từng khúc và nằm gọn trong miền D. ++ ZdzYdyXdx = >< S dS, nFrot = 0 với S là mặt cong trơn từng mảnh, nằm gọn trong miền D và có biên định hớng theo pháp vectơ n là đờng cong . Suy ra với mọi A, M D tích phân ++ AM ZdzYdyXdx không phụ thuộc vào đờng lấy tích phân. Cố định điểm A D và đặt u(M) = ++ AM ZdzYdyXdx với M D Do các hàm X, Y, Z có đạo hàm riêng liên tục nên hàm u có đạo hàm riêng liên tục trên miền D. Kiểm tra trực tiếp ta có grad u = F Từ đó suy ra trờng vectơ F là trờng thế và hàm u là hàm thế vị của nó. Từ các kết quả ở trên suy ra ý nghĩa cơ học của trờng thế nh sau. 1. Trong trờng thế không có điểm xoáy rot F = 0 2. Hoàn lu dọc theo đờng cong kín nằm gọn trong miền D luôn bằng không. K = >< ds, TF = >< S dS, nFrot = 0 (6.7.3) 3. Công dịch chuyển bằng thế vị điểm cuối trừ đi thế vị điểm đầu. >< MN ds,TF = ++ MN ZdzYdyXdx = MN du = u(N) - u(M) (6.7.4) u(N) u(M) Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . . 108 Giáo Trình Toán Chuyên Đề ìF = ( x i + y j + z k ) ì (X i + Y j + Z k ) = z Y y Z i + x Z z X j + y X x Y k (6.6.4) Tác động toán tử. V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Giỏo trỡnh phõn tớch kh nng vn dng cu to phng thc s dng toỏn t divergence . Chơng 6. Lý Thuyết Trờng Trang 106 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Đ5. Hoàn lu Cho trờng vectơ (D, F ) và đờng cong. Đ6. Toán tử Hamilton Vectơ tợng trng = x i + y j + z k (6.6.1) với x , y và z tơng ứng là phép lấy đạo hàm riêng theo các biến x, y, và z gọi là toán tử Hamilton .