Bộ đề thi học kì 2 môn toán lớp 11 có lời giải

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ – Năm học 2010 – 2011 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số I Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau: a) lim 2n3 + 3n + n + 2n + b) lim x →0 x +1 −1 x Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m để hàm số sau liên tục điểm x = 1:  x2 − x  f ( x ) =  x − x   x = m Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = x cos x b) y = ( x − 2) x + Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cạnh a Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) B, ta lấy điểm M cho MB = 2a Gọi I trung điểm BC a) (1,0 điểm) Chứng minh AI ⊥ (MBC) b) (1,0 điểm) Tính góc hợp đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC) c) (1,0 điểm) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI) II Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần sau: Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình sau có nghiệm: 5x − 3x + x3 − = Câu 6a: (2 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = x − 3x − x + a) Giải bất phương trình: y  b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm có hồnh độ Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình sau có nghiệm: x − 19 x − 30 = Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = x + x + x − a) Giải bất phương trình: y  b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến có hệ số góc ––––––––––––––––––––Hết––––––––––––––––––– Họ tên thí sinh: SBD : Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 CÂU Ý a) b) ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011 MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ NỘI DUNG 2+ + 2n + 3n + n n3 I = lim = lim n3 + n + 1+ + n n3 I=2 x +1 −1 = lim x →0 x x lim x →0 = lim x →0 x +1 +1 = ( x ) 0,25 x ( x − 1) = lim x = x →1 x →1 x →1 x −1 f(x) liên tục x =  lim f ( x) = f (1)  m = 0,50 0,25 x →1 a) y = x cos x  y ' = x cos x − x s inx b) y = ( x − 2) x +  y ' = x + + a) 0,50 0,50 f(1) = m y' = 0,50 0,50 x +1 +1 lim f ( x ) = lim ĐIỂM 1,00 ( x − 2) x 0,50 x2 + 2x2 − 2x + 0,50 x2 + M H 0,25 I B C A Tam giác ABC cạnh a , IB = IC = b) c) a  AI ⊥ BC BM ⊥ (ABC)  BM ⊥AI Từ (1) (2) ta có AI ⊥ (MBC) BM ⊥ (ABC)  BI hình chiếu MI (ABC) MB =4  ( MI ,( ABC ) ) = MIB, tan MIB = IB AI ⊥(MBC) (cmt) nên (MAI) ⊥ (MBC) MI = (MAI )  (MBC)  BH ⊥ MI  BH ⊥ (MAI ) (1) 0,25 (2) 0,25 0,25 0,50 0,50 0,25 0,25 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 5a 6a a) b)  d(B,(MAI )) = BH 0,25 1 1 17 2a 17 = + = + =  BH = 2 17 BH MB BI 4a a 4a 0,25 Với PT: x − x + x − = , đặt f ( x ) = 5x − 3x + x − f(0) = –5, f(1) =  f(0).f(1) <  Phuơng trình cho có nghiệm thuộc (0; 1) y = f ( x ) = x − 3x − x +  y = 3x − x − 0,25 y '   x − x −   x  (−;1)  (3; +) 0,50 x =  y = −6 0,25 k = f ' (1) = −12 Với PT: x − 19 x − 30 = đặt f(x) = x − 19 x − 30 = f(–2) = 0, f(–3) =  phương trình có nghiệm x = –2 x = –3 f(5) = –30, f(6) = 72  f(5).f(6) < nên c0  (5;6) nghiệm PT 0,25 0,25 0,25 0,25 Rõ ràng c0  −2, c0  −3 , PT cho bậc nên PT có ba nghiệm thực 0,25 y = f ( x) = x3 + x + x −  y ' = 3x + x + 0,25 y '   3x + x +  0,25  3x + x −   5  x   −; −   (1; + ) 3  0,25 3 6b a) b) 0,50 0,50 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = –12x + 5b 0,50 0,25 0,25 Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm  y '( x ) =  x0 =  3x + x0 + =  3x + x0 − =   x = −  Với x0 =  y0 = −2  PTTT : y = x − 2 0,25 0,25 0,25 230 175 0,25  PTTT : y = x + Với x0 = −  y0 = − 27 27 ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ – Năm học 2010 – 2011 Đề số Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút I Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau: a) lim x →3 x x −3 + x − 15 b) lim x →1 x +3 −2 x −1 Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục x = –1:  x2 − x −  x  −1 f (x) =  x +  x = a + Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = ( x + x )(5 − 3x ) b) y = sin x + x Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA ⊥ (ABCD) a) Chứng minh BD ⊥ SC b) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC) c) Cho SA = a Tính góc SC mặt phẳng (ABCD) II Phần riêng Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình sau có nghiệm: x5 − x2 − 2x −1 = Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y = −2 x + x + 5x − có đồ thị (C) y +  a) Giải bất phương trình: b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0 = −1 Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình sau có hai nghiệm: 4x4 + 2x2 − x − = Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x ( x + 1) có đồ thị (C) a) Giải bất phương trình: y  b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 5x Hết Họ tên thí sinh: SBD : ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011 MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ CÂU Ý a) NỘI DUNG lim x −3 x →3 x + x − 15 1 = lim = x →3 x + b) lim x →1 = lim 0,50 0,50 x +3 −2 x −1 = lim x →1 ( x − 1) ( x + + 1) x −1 x +3 +2 f(1) = a +1 x →1 x −3 x →3 ( x − 3)( x + 5) = lim ĐIỂM = 0,50 0,50 0,25 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 ( x + 1)( x − 2) = lim( x − 2) = −1 x →1 x →1 x →1 x +1 f(x) liên tục x =  lim f ( x) = f (1)  a + = −1  a = −2 lim f ( x ) = lim x →1 a) b) 0,50 0,25 y = ( x + x )(5 − 3x )  y = −3 x − x + x + x 0,50  y ' = −12 x − x + 10 x + 0,50 y = sin x + x  y ' = a) cos x + 2 sin x + x 0,50 S 0,25 B A O D b) c) C ABCD hình vng nên AC ⊥ BD (1) SA ⊥ (ABCD)  SA ⊥ BD (2) Từ (1) (2)  BD ⊥ (SAC)  BD ⊥ SC BC ⊥ AB (ABCD hình vng) (3) SA ⊥ (ABCD)  SA ⊥ BC (4) Từ (3) (4)  BC ⊥ (SAB)  (SAB) ⊥ (SBC) SA ⊥ (ABCD)  hình chiếu SC (ABCD) AC Góc SC mặt phẳng (ABCD) SCA 5a 6a a) b) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a SA  tan ( SC,( ABCD) ) = tan SCA = = = AC a 0,25  SCA = 30 0,25 Đặt f ( x ) = x − x − x −  f ( x) liên tục R f(0) = –1, f(2) = 23  f(0).f(1) <  f ( x) = có nghiệm thuộc (0; 1) 0,25 y = −2 x + x + 5x −  y = −6 x + x + 0,25 BPT y +   −12 x + x + 16   3x − x −  0,25  4  x   −1;  3  0,50 0,50 0,25 y = −2 x + x + 5x − x = −  y = −9 0,25  y (−1) = −3  PTTT: y = −3x − 12 0,25 0,50 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 Đặt f ( x ) = x + x − x −  f ( x) liên tục R 5b 6b a) b) 0,25 f (−1) = 4, f (0) = −3 f (−1) f (0)   PT có nghiệm c1  (−1;0) 0,25 f (0) = −3, f (1) =  f (0) f (1)   PT có nghiệm c2  (0;1) 0,25 c1  c2  PT có nghiệm khoảng (–1; 1) 0,25 y = x ( x + 1)  y = x + x  y ' = 3x + x 0,25 BPT y '   x + x  0,25    x  − ; 0   Vì tiếp tuyến song song với d: y = 5x nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 0,50 0,25 Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm  x0 = y '( x0 ) =  3x + x0 =  3x + x0 − =   x = −  Với x0 =  y0 =  PTTT: y = 5x − 2 175 50 Với x0 = −  y0 = −  PTTT: y = x + 27 27 Đề số 0,25 0,25 0,25 ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ – Năm học 2010 – 2011 Mơn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút I Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau: a) lim 2n3 + n2 + − 3n b) lim + x →1 2x − x −1 Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục điểm x = 0:  x + 2a x  f ( x) =   x + x + x  Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = (4 x + x )(3x − x ) b) y = (2 + sin2 x )3 Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M, N trung điểm SA SC a) Chứng minh AC ⊥ SD b) Chứng minh MN ⊥ (SBD) c) Cho AB = SA = a Tính cosin góc (SBC) (ABCD) II Phần riêng Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với m: m( x − 1)3 ( x + 2) + x + = Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3x − có đồ thị (C) y = a) Giải phương trình: b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0 = Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với m: (m2 + m + 1) x + x − = Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = ( x − 1)( x + 1) có đồ thị (C) a) Giải bất phương trình: f ( x )  b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) giao điểm (C) với trục hoành Hết Họ tên thí sinh: SBD : ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011 MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ Câu Nội dung Ý a) lim = − b) 2n + n + − 3n3 + n n3 −3 n3 Điểm 2+ = lim 0,50 0,50  lim( x − 1) =  x →1+ Nhận xét được:  lim(2 x − 3) = −1  +  x →1 +  x →  x −  2x − Kết luận: lim = − + x →1 x − 0,75 0,25  x + 2a x  f ( x) =   x + x + x  • lim+ f ( x ) = f (0) = 0,50 • lim− f ( x ) = lim( x + 2a) = 2a − 0,25 x →0 x →0 x →0 • f(x) liên tục x =  2a =  a = a) y = (4 x + x )(3x − x )  y = −28 x − 14 x + 12 x + x 0,25 0,50 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 b)  y ' = −196 x − 84 x + 36 x + 12 x 0,50 y = (2 + sin2 x )3  y ' = 3(2 + sin 2 x )2 sin x.cos x 0,50  y ' = 6(2 + sin x ).sin x 0,50 0,25 a) b) c) ABCD hình vng  AC⊥BD (1) S.ABCD chóp nên SO⊥(ABCD)  SO ⊥ AC (2) Từ (1) (2)  AC ⊥ (SBD)  AC ⊥ SD Từ giả thiết M, N trung điểm cạnh SA, SC nên MN // AC (3) AC ⊥ (SBD) (4) Từ (3) (4)  MN ⊥ (SBD) Vì S.ABCD hình chóp tứ giác AB = SA = a nên SBC cạnh a Gọi K trung điểm BC  OK ⊥ BC SK ⊥ BC   = ( (SBC ),( ABCD) ) = SKO Tam giác vng SOK có OK = 6a a) a a , SK = 2 5b 0,25 0,25 0,25 Gọi f ( x ) = m( x − 1)3 ( x + 2) + x +  f ( x) liên tục R f(1) = 5, f(–2) = –1  f(–2).f(1) <  PT f ( x) = có nghiệm c  (−2;1), m  R 0,25 y = x − 3x −  y = x − x 0,25 y =  x − x =  ( x + 1)(2 x − x − 1) = 0,25 1− 1+ ; x= 2 Tại x =  y0 = −6, k = y (1) = −2 Phương trình tiếp tuyến y = −2 x −  x = −1; x = b) 0,25 0,50 0,50 0,25 a OK = =  cos  = cos SKO = SK a 3 5a 0,50 Gọi f ( x ) = (m + m + 1) x + x −  f ( x) liên tục R 0,50 0,25 0,50 0,50 0,50 0,25  1 f(0) = –2, f(1) = m + m + =  m +  +   f(0).f(1) < 2  Kết luận phương trình f ( x) = cho có nghiệm c  (0;1), m 0,50 0,25 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 6b a) b) y = f ( x ) = ( x − 1)( x + 1)  f ( x ) = x + x − x −  f ( x ) = 3x + x − 1  BPT f ( x )   x + x −   x  (−; −1)   ; +  3  Tìm giao điêm ( C ) với Ox A (–1; 0) B(1; 0) Tại A (–1; 0): k = f (−1) =  PTTT: y = (trục Ox) Tại B(1; 0): k2 = f (1) =  PTTT: y = x − 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25 ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ – Năm học 2010 – 2011 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số I Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau: a) lim x →1 3x − x − b) lim x3 − x →3− x +3 x −3 Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 = :  x − 3x −  f ( x) =  x − 3  x  x = Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau: 2x − a) y = b) y = (1 + cot x )2 x −2 Câu 4: (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với Gọi H chân đường cao vẽ từ A tam giác ACD a) Chứng minh: CD ⊥ BH b) Gọi K chân đường cao vẽ từ A tam giác ABH Chứng minh AK ⊥ (BCD) c) Cho AB = AC = AD = a Tính cosin góc (BCD) (ACD) II Phần riêng Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình sau có nghiệm: cos2 x − x = Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = − x − 3x + x + 2011 có đồ thị (C) a) Giải bất phương trình: f ( x )  b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình sau có hai nghiệm nằm khoảng (−1; 2) : (m2 + 1) x − x − = Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x2 + x + có đồ thị (C) x −1 a) Giải phương trình: y = b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung Hết Họ tên thí sinh: SBD : ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011 MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ Câu Ý a) Nội dung lim 3x − x − = lim 3x + x →1 x b) + x +1 = + x + 1) x →3 x +3 = − x −3  x − 3x −  f ( x) =  x − 3  0,50 0,50  lim( x − 3) =  x →3−  Viết ba ý  x → 3−  x −   lim( x + 3) =   x →3− Kết luận lim− ( x − 1)(3 x + 1) x →1 ( x − 1)( x x −1 x →1 = lim Điểm 0,75 0,25 x  x = 2 ( x − 2)(2 x + 1) x − 3x − 2x + lim f ( x ) = lim = lim = = lim x →2 x →2 x →2 x →2 2x − 2 2( x − 2) 0,25 Tập xác định D = R Tính f(2) = Kết luận hàm số không liên tục x = a) b) y= 2x − −1  y' = x −2 ( x − 2)2  −1  y = (1 + cot x )2  y = 2(1 + cot x )   = −2(1 + cot x )(1 + cot x )  sin x  0,50 0,25 0,50 0,50 10 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 = lim( x − x + 12) = 12 0,50 x →0 b) lim x →+ ( x + − x ) = lim x →+ 0,50 x +1 + x =0 f (1) = 0,50 lim+ f ( x ) = lim+ x →1 x →1 3x ² − x − = lim(3 x + 1) = x →1+ x −1 lim f ( x ) = lim(2 x + 3) = − x →1− x →1 (1) 0,25 (2) 0,25 (3) 0,25 Từ (1), (2), (3)  hàm số không liên tục x = a) b) 0,25 y= x −1  y' = 2x + (2 x + 102 0,50 y= x2 + x − 2x2 + 2x +  y' = 2x + (2 x + 1)2 0,50 0,25 a) Tam giác ABC đều, M  BC , MB = MC  AM ⊥ BC (1) 0,25 SAC = SAB ( c.g.c )  SBC cân S  SM ⊥ BC (2) 0,25 Từ (1) (2) suy BC ⊥ (SAM) 0,25 b) (SBC)  (ABC) = BC, SM ⊥ BC ( cmt ) , AM ⊥ BC 0,50  ((SBC ),( ABC )) = SMA 0,25 a SA , SA = a ( gt )  tan SMA = =2 AM Vì BC ⊥ (SAM)  (SBC) ⊥ (SAM) (SBC)  (SAM) = SM, AH  (SAM), AH ⊥ SM  AH ⊥ (SBC) AM = c)  d( A,(SBC)) = AH, 0,25 0,25 0,25 0,25 3a2 1 SA AM =a = 2+  AH =  AH = 2 AH SA AM SA + AM 3a 3a2 + 2 3a2 0,25 16 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 5a 6a a) Gọi f ( x ) = x + x + x −  f ( x) liên tục R 0,25 f(–1) = 2, f(0) = –3  f(–1).f(0) <  PT f ( x) = có nghiệm c1  (−1; 0) 0,25 f(0) = –3, f(1) =  f (0) f (1)   PT f ( x) = có nghiệm c2  (0;1) 0,25 Mà c1  c2  PT f ( x) = có nhát hai nghiệm thuộc khoảng (−1;1) 0,25 y= x −3  y' = x+4 ( x + 4)2  y" = b) −14 0,50 ( x + 4)3 y = x − 3x  y ' = 3x − x  k = f (1) = −3 0,50 x0 = 1, y0 = −2, k = −3  PTTT : y = −3 x + 0,50 x − x + = (*) Gọi f ( x ) = x − x +  f ( x) liên tục R 5b 6b 0,50 a) f(–2) = –1, f(0) =  f (−2) f (0)   c1  (−2; 0) nghiệm (*) 0,25 f(0) = 1, f(1) = –1  f (0) f (1)   c2  (0;1) nghiệm (*) 0,25 f (1) = −1, f (2) =  f (1) f (2)   c3  (1;2) nghiệm (*) 0,25 Dễ thấy c1 , c2 , c3 phân biệt nên PT (*) có ba nghiệm phân biệt 0,25 y = x.cos x  y ' = cos x − x sin x  y " = − sinx − sinx − x cos x  y " = − x cos x 0,50 2(cos x − y ) + x( y + y) = 2(cos x − cos x + x sin x ) + x(−2sin x − x cos x + x cos x ) = 0,25 = x sin x − x sin x = b) Giao điểm ( C ) với Oy A(0; 1) 0,25 0,25 y = f ( x ) = x − 3x +  y ' = f ( x ) = x − 0,25 k = f (0) = −3 0,25 Vậy phương trình tiếp tuyến A(0; 1) y = −3x + 0,25 ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ – Năm học 2010 – 2011 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số I Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau: x + 3x − x →−1 x +1 a) lim b) lim x →+ ( x2 + x + − x ) Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 = :  2( x − 2)  f ( x ) =  x ² − 3x +  2 x  x = 17 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau: 2x2 − a) y = x −2 b) y = cos − x2 Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, đường cao SO = a Gọi I trung điểm SO a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) (SCD) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SD II Phần riêng Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình : x − x = có nghiệm thuộc (1; 2) Câu 6a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y = cot x Chứng minh rằng: y + y + = 3x + b) Cho hàm số y = có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(2; –7) 1− x Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình: x17 = x11 + có nghiệm Câu 6b: (2,0 điểm) x −3 Chứng minh rằng: y = ( y − 1)y x+4 3x + b) Cho hàm số y = có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vng 1− x góc với đường thẳng d: 2x + 2y − = a) Cho hàm số y = Hết Họ tên thí sinh: SBD : ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011 MƠN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ Câu Nội dung Ý a) x + 3x − ( x + 1)(2 x + x − 1) = lim x →−1 x →−1 x +1 x +1 lim = lim (2 x + x − 1) = b) lim x →+ ( x →−1 ) x + x + − x = lim x →+ x +1 x2 + x + + x Điểm 0,50 0,50 0,50 18 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 = lim x →+ 2( x − 2) = lim =2 x → ( x − 1)( x − 2) x −1 f(2) = (2) Từ (1) (2) ta suy f(x) liên tục x = 2 lim f ( x ) = lim x →2 1 x = 1 1+ + +1 x x2 1+ a) b) y= x →2 0,50 (1) 2x2 − x − 8x +  y' = x −2 ( x − 2)2 y = cos − x  y ' = x sin − x − 2x2 0,50 0,25 0,25 0,50 0,50 0,25 a) b) Gọi M, N lân lượt trung điểm CD CB S.ABCD hình chóp tứ giác nên có: OM ⊥ CD, SM ⊥ CD  CD ⊥ (SOM) Vẽ OK ⊥ SM  OK ⊥ CD  OK ⊥(SCD) (*) I trung điểm SO, H trung điểm SK  IH // OK  IH ⊥ (SCD) (**) OK Từ (*) (**) ta suy IH = 1 a a = + =  OK =  d (I ,(SCD )) = IH = 2 2 OK OM SO 3a SMC = SNC (c.c.c)  MQ ⊥ SC  NQ ⊥ SC 0,25 0,25 0,25 (SCD)  (SCB) = SC  ((SCD),(SCB)) = MQN 0,25 SM = OM + SO2 = a2 + 3a2 = 4a2 1 1 4a2 = + = + =  MQ = SMC : MQ MS MC 4a2 a2 4a2 0,25 MQ2 + NQ2 − MN = −  MQN = 120 MQ.NQ AC ⊥ BD, AC ⊥SO  (SBD) (do SO⊥(ABCD)) AC⊥(SBD) Trong SOD hạ OP ⊥ SD có OP⊥ AC  cos MQN = c) 0,25 0,25 0,50 19 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 5a 6a a) b) 5b 6b a) 1 1 a 30 = + = + =  d ( AC , BD ) = OP = 2 OP SO OD 3a 2a 6a Gọi f ( x ) = x − x − liên tục R f (−1) = 1, f (0) = −1  f (−1) f (0)   phương trình dã cho có nghiệm thuộc (–1; 0) y = cot x  y = − sin x y + y + = − + cot 2 x + 2 sin x 0,50 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 = −2(1 + cot 2 x ) + cot 2 x + 0,25 = −2 − cot 2 x + cot 2 x + = 3x + y=  y = 1− x ( x − 1)2 0,25 k = y (2) =  PTTT: y = x − 15 0,25 Gọi f ( x ) = x17 − x11 −  f ( x) liên tục R 0,25 f(0) = –1, f (2) = 217 − 211 − = 211(26 − 1) −   f (0) f (2)   phương trình cho có nghiệm x −3 −14 y=  y" =  y' = x+4 ( x + 4) ( x + 4)3 0,50 y = 49 = 0,50 0,25 98 ( x + 4) ( x + 4)4  x −  −14 −7 −14 98 ( y − 1)y =  − 1 = = 3 x + ( x + 4) ( x + 4)4  x +  ( x + 4) 0,25 0,25 (*) 0,25 (**) 0,25 Tử (*) (**) ta suy ra: y = ( y − 1)y b) Vì tiếp tuyến vng góc với d: 2x + 2y − = nên tiếp tuyến có hệ số góc k = Gọi ( x ; y0 ) toạ độ tiếp điểm f ( x0 ) = k   x = −1 =  ( x0 − 1)2 =   ( x0 − 1)  x0 = 0,25 0,25 0,25 Với x0 = −1  y0 = −1  PTTT : y = x 0,25 Với x0 =  y0 = −5  PTTT : y = x − 0,25 Đề số ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ – Năm học 2010 – 2011 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút I Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau: 20 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 x2 − 4x + x →3 x −3 a) lim b) lim x →− ( ) x2 + + x −1 Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 = :  x³ − x² + 2x −  x  f ( x) =  x −1  x = 4 Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = tan 4x − cos x b) y = ( x2 + + x ) 10 Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a; SA ⊥ (ABCD), SA = a Gọi M N hình chiếu điểm A đường thẳng SB SD a) Chứng minh MN // BD SC ⊥ (AMN) b) Gọi K giao điểm SC với mp (AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc c) Tính góc đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) II Phần riêng Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình x − x + x − = có hai nghiệm thuộc khoảng (–1; 1) Câu 6a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số f ( x ) = x + x − x − Chứng minh rằng: f (1) + f (−1) = −6 f (0) − x + x2 b) Cho hàm số y = có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(2; 4) x −1 Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình x − 10 x + 100 = có nghiệm âm Câu 6b: (2,0 điểm) x2 + 2x + Chứng minh rằng: y.y − = y 2 − x + x2 b) Cho hàm số y = có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến có hệ x −1 số góc k = –1 a) Cho hàm số y = Hết Họ tên thí sinh: SBD : ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011 MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 21 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 Câu Ý a) Nội dung Điểm x2 − 4x + ( x − 3)( x − 1) = lim x →3 x →3 x −3 x −3 lim 0,50 = lim( x − 1) = 0,50 x →3 b) lim x →− ( ) x →− = lim x →− 2x x + + x − = lim x 1+ x2 0,50 − x +1 1 − 1+ −1+ x x −1 0,50 ( x − 1)( x + 2) x →1 x −1 lim f ( x ) = lim x →1 0,25 = lim( x + 2) = 0,25 f(1) =  hàm số không liên tục x = 0,25 0,25 x →1 a) b) y = tan x − cos x  y ' = y= ( x2 + + x ) 10 cos2 x + sin x 0.50  y ' = 10  x + + x    9  x  + 1    x +1  0,25 10 10  x + + x    y' =  0,25 x +1 a) SAD = SAB , AN ⊥ SD, AM ⊥ SB  SN SM =  MN SD SB BD SC.AN = ( AC − AS ) AN = ( AD + AB − AS ) AN = AD.AN + AB.AN − AS.AN = ( AD − AS ) AN = SD.AN =  SC ⊥ AN SC.AM = ( AC − AS ) AM = ( AD + AB − AS ) AM = AD.AM + AB.AM − AS.AM = ( AB − AS ) AM = SD.AM =  SB ⊥ AM 0,25 0,25 0,25 22 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 b) c) Vậy SC ⊥ ( AMN ) 0,25 SA ⊥ ( ABCD)  SA ⊥ BD, AC ⊥ BD  BD ⊥ (SAC)  BD ⊥ AK  (SAC) 0,50 AK  ( AMN ) ,MN // BD  MN ⊥ AK 0,50 SA ⊥ ( ABCD)  AC hình chiếu SC (ABCD)  ( SC ,( ABCD ) ) = SCA 0,50 tan SCA = 5a 6a a) SA a = =  ( SC,( ABCD) ) = 450 AC a Gọi f ( x ) = 3x − x + x −  f ( x) liên tục R 0,25 f(–1) = 5, f(0) = –1  f(–1).f(0) <  f ( x) = có nghiệm c1  (−1;0) 0,25 f0) = –1, f(1) =  f (0) f (1)   f ( x) = có nghiệm c2  (0;1) 0,25 c1  c2  phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng ( –1; 1) 0,25 f ( x ) = x + x − x −  f ( x ) = 5x + 3x − 2, f (1) = 6, f (−1) = 6, f (0) = −2 0,50 Vậy: f (1) + f (−1) = −6 f (0) b) 5b y= 0,50 − x + x2 x2 − 2x −1  y' =  k = f (2) = −1 x −1 ( x − 1)2 0,50 x0 = 2, y0 = 4, k = −1  PTTT : y = − x + 0,50 Gọi f ( x ) = x − 10 x + 100  f ( x) liên tục R 0,25 f(0) = 100, f (−10) = −105 + 104 + 100 = −9.104 + 100   f (0) f (−10)  6b 0,50 0,50  phương trình có nghiệm âm c  (−10;0) 0,25 a) y = x +  y =  y.y1 = ( x + x + 2).1 − = ( x + 1)2 = y2 (đpcm) 0,50 b) − x + x2 x2 − 2x − y=  y' = x −1 ( x − 1)2 0,25 Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm  y ( x0 ) =  x02 − x0 − ( x0 − 1)2 x = = −1  x02 − x0 =    x0 = 0,25 Nếu x0 =  y0 = −2  PTTT : y = − x − 0,25 Nếu x0 =  y0 =  PTTT : y = − x + 0,25 Đề số ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ – Năm học 2010 – 2011 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút I Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau: 23 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 a) lim 2x2 + x − b) lim 3x + x x →+ x →2 x +2 −2 x2 − Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 = : x +1  f ( x) =    x ² − 3x x  x  Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau: x2 − 2x + 2x + Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, tâm O Cạnh SA = a SA ⊥ (ABCD) Gọi E, F hình chiếu vng góc A lên cạnh SB SD a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD) b) Chứng minh (AEF) ⊥ (SAC) c) Tính tan  với  góc cạnh SC với (ABCD) a) y = sin(cos x) b) y = II Phần riêng Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình x − x − = có hai nghiệm phân biệt thuộc (–1; 2) Câu 6a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y = cos3 x Tính y b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = 3x + giao điểm (C) với trục 1− x hồnh Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình x + x − = có hai nghiệm Câu 6b: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y = x − x Chứng minh rằng: y3 y + = b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = 2x −1 điểm có tung độ x −2 Hết Họ tên thí sinh: SBD : ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011 MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM 24 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 a) lim 2x + x −1 3x + x x →+ = b) = lim x →+ 0,50 lim 0,50 x +2 −2 x −4 x →2 = lim = lim x →+ x →+ ( x + 2) ( x −2 ( x − )( x + ) ( x + + 2) x+2 +2 ) =0 x →1 a) b) 0,50 x →1 1 =− x →1+ x →1 x − x f ( x) không liên tục x =1 y = sin(cos x)  y ' = − sin x.cos(cos x) lim f ( x ) = lim+ y= = 0,25 2 x − 2x +  y' = 2x + 0,50 0,50 x +1 x   f ( x) =  x    x ² − 3x lim− f ( x ) = lim− ( x + 1) = f (1) = 2 1 − x x2 3+ x 2+ 0,25 0,50 ( x − 2)( x + 1) − x2 − 2x + x − 2x + 0,25 ( x + 1) x −8 ( x + 1) x2 − 2x + 0,25 a) b) c) Vì SA ⊥ ( ABCD)  SA ⊥ BC, BC ⊥ AB  BC ⊥ (SAB) SA ⊥ ( ABCD)  SA ⊥ CD, CD ⊥ AD  CD ⊥ (SAD) SA ⊥ ( ABCD), SA = a , tam giác SAB, SAD vuông cân  FE đường trung bình tam giác SBD  FE BD BD ⊥ AC  FE ⊥ AC, SA ⊥ ( ABCD)  BD ⊥ SA  FE ⊥ SA FE ⊥ (SAC), FE  ( AEF)  (SAC) ⊥ ( AEF) 0,50 0,50 SA ⊥ ( ABCD) nên AC hình chiếu SC (ABCD)   = SCA 0,50 0,25 0,50 0,25 25 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 SA a = =   = 450 AC a 2 Gọi f ( x ) = x − x −  f ( x) liên tục R f(0) = –1, f(2) = 25  f (0) f (2)  nên PT có nghiệm  tan  = 5a 6a a) b) 0,25 c1  ( 0;2 ) 0,25 f(–1) = 1, f(0) = –1  f(–1).f(0) < nên PT có nghiệm c2  (−1; 0) 0,25 c1  c2  PT có hai nghiệm thực thuộc khoảng (–1; 2) 0,25 y = cos3 x  y ' = −3 cos2 x.sin x  y ' = − (sin x + sin x ) y " = − ( cos3 x + cos x )  1 Giao (C) với Ox A  0; −  3  y' = ( x − 1)  k = f ' ( 0) = 0.50 0.50 0,25 0,50 Phương trình tiếp tuyến (C) A y = x − Gọi f ( x ) = x + x −  f ( x) liên tục R 5b 0,50 f(0) = –2, f(1) =  f(0).f(1) <  PT có nghiệm c1  ( 0;1) 0,25 0,25 0,25 f(–1) = 1, f(0) = –2  f (−1) f (0)  6b a)  PT có nghiệm c2  ( −1; ) 0,25 Dễ thấy c1  c2  phương trình cho có hai nghiệm thực 0,25 y = 2x − x2  y ' = 1− x 2x − x2  y' = 1− x y − y − (1 − x )y − y − (1 − x )2 −2 x + x − + x − x −1 y = = = = y2 y3 y3 y  y y "+ = y b) −1 + = −1 + = (đpcm) y3 2x −1 (C) x −2 2x −1 y =1 =  x − = x −  x =  A(0; 1) x −1 −3 y' =  k = f ( 0) = − ( x − 2) 0,25 0,50 0,25 y= Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − x + 0,50 0,25 0,25 26 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ – Năm học 2010 – 2011 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút Đề số 10 I Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau: a) lim x2 − 4x + x →1 x b) lim − 3x + x →0 2x + −1 x + 3x Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 = : 1 − x −  f ( x) =  − x  1 x  x = Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = − 2x + x2 x2 − b) y = + tan x Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a , SD= a SA ⊥ (ABCD) Gọi M, N trung điểm SA SB a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng b) Tính góc hợp mặt phẳng (SCD) (ABCD) c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND) II Phần riêng Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình (1 − m2 ) x − 3x − = ln có nghiệm với m Câu 6a: (2,0 điểm)   a) Cho hàm số y = x sin x Tính y    2 b) Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình x cos x + x sin x + = có nghiệm thuộc khoảng (0; ) Câu 6b: (2,0 điểm)   a) Cho hàm số y = sin4 x + cos4 x Tính y    2 b) Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: x + 2y − = 27 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 Hết Họ tên thí sinh: SBD : ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ – Năm học 2010 – 2011 Mơn TOÁN Lớp 11 Đề số 10 Thời gian làm 90 phút NỘI DUNG ĐIỂM I Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau: a) lim x2 − 4x + =0 − 3x + 2x + −1 2x 2 = lim = lim = b) lim x →0 x + x x →0 x ( x + 3) ( x + + 1) x →0 ( x + 3) x + x →1 x 1,0 1,0 Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 = : 1 − x −  f ( x) =  − x  1 lim f ( x ) = lim 2(2 − x ) = lim (2 − x ) (1 + x − ) x →2 + x − Vậy hàm số liên tục x = Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau: x →2 a) y = x →2 − 2x + x2 x2 − x  x = = = f(2) −2 x − x +  y = ( x − 1)2 0,50 0,50 0,50 + tan2 x  b) y = + tan x  y = 0,50 + tan x Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a , SD= a SA ⊥ (ABCD) Gọi M, N trung điểm SA SB 0,25 a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng 0,25 28 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 SA ⊥ AB SA ⊥ ( ABCD )    tam giác SAB, SAD vuông A SA ⊥ AD  BC ⊥ AB  BC ⊥ SB  SBC vuông B  BC ⊥ SA  CD ⊥ AD  CD ⊥ SD  SDC vng D  CD ⊥ SA b) Tính góc hợp mặt phẳng (SCD) (ABCD) (SCD)  ( ABCD) = CD AD  ( ABCD), AD ⊥ CD , SD  (SCD), SD ⊥ CD AD a 21 = = SD a 7 c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND)  AB ⊥ SA  AB ⊥ (SAD), MN AB  MN ⊥ (SAD)   AB ⊥ AD  ( MND) ⊥ (SAD), ( MND)  (SAD) = DM , SH ⊥ DM  SH ⊥ ( MND)  d (S,( MND)) = SH ( (SCD),( ABCD)) = SDA; cos SDA = SA2 = SD − AD = 7a2 − 3a2 = 4a2  MA = SA AD a = a  tan SMH = = = AM a 0,25 0,25 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25  AMH = 600 SHM : SHM = 900  SH = SM sin SMH = a 0,25 II- Phần riêng (3 điểm) Theo chương trình chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình (1 − m2 ) x − 3x − = ln có nghiệm với m Gọi f(x) = (1 − m2 ) x − 3x −  f(x) liên tục R f(0) = –1, f(–1) = m +  f (−1) f (0)   phương trình cho có nghiệm thuộc (–1; 0) Câu 6a: (2,0 điểm)   a) Cho hàm số y = x sin x Tính y    2 y ' = sin x + x cos x  y " = cos x + sin x − x sin x     y "  = − 2 0,25 0,50 0,25 0,50 0,50 b) Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x =  y0 = 0,25 y = x − x  k = y (1) = Phương trình tiếp tuyến y = 2x + Theo chương trình Nâng cao 0,50 0,25 29 Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591 Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình x cos x + x sin x + = có nghiệm thuộc khoảng (0; ) 0,25 Gọi f ( x ) = x cos x + x sin x +  f ( x) liên tục R f (0) = 1, f ( ) = − +   f (0) f ( )   phương trình cho có nghiệm thuộc ( 0;  ) 0,50 0,25 Câu 6b: (2,0 điểm)   a) Cho hàm số y = sin4 x + cos4 x Tính y    2 1 cos x Viết lại y = − sin 2 x  y = − cos x  y ' = sin x  y " = 4 16 64   1  y "  = cos 2 = 64   64 0,75 0,25 b) Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: x + 2y − = d : y = − x +  hệ số góc tiếp tuyến k = 2 y = x − x 0,25 Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm  x03 − x0 =  x03 − x0 − =  x0 = 0,50  y0 =  phương trình tiếp tuyến y = 2x + 0,25 30 ... 5x − 2 175 50 Với x0 = −  y0 = −  PTTT: y = x + 27 27 Đề số 0 ,25 0 ,25 0 ,25 ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ – Năm học 20 10 – 20 11 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút I Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2, 0 điểm)... (1) 0 ,25 (2) 0 ,25 (3) 0 ,25 Từ (1), (2) , (3)  hàm số không liên tục x = a) b) 0 ,25 y= x −1  y' = 2x + (2 x + 1 02 0,50 y= x2 + x − 2x2 + 2x +  y' = 2x + (2 x + 1 )2 0,50 0 ,25 a) Tam giác ABC đều,... ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 20 10 – 20 11 MƠN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ Câu Ý a) Nội dung lim x ? ?2 x − 3x + x − 2x − = lim x ? ?2 b) lim x →+ ( x − 1)( x − 2) = lim x ? ?2 ( x − 2) ( x x −1