Đề chọn HSG lớp 9 trường THCS mỹ chánh huyện phù mỹ bình định

5 31 0
Đề chọn HSG lớp 9   trường THCS mỹ chánh  huyện phù mỹ   bình định

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

PHÒNG GDĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH Năm học: 20162017 Môn : TOÁN 9 Thời gian làm bài :150 phút (Không kể thời gian phát đề ) Bài 1.(4,0 điểm) a Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn (20172017 +1) chia hết cho n3 + 2015n. b Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn 2x2 + x = 3y2 + y. Chứng minh x – y; 2x +2y +1 và 3x + 3y +1 đều là các số chính phương. Bài 2. (4,0 điểm) a Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn Chứng minh bất đẳng thức: b Tìm nghiệm nguyên của phương trình: Bài 3 (4,0 điểm) : a Cho a +b + c = 0 và a, b,c đều khác 0. Rút gọn biểu thức: A = b Tính giá trị của biểu thức: P = tại x = . Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a Chứng minh rằng: Tam giác đồng dạng với tam giác ; b Chứng minh rằng : c Cho biết AH = k.HD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + 1. d Chứng minh rằng: . Bài 5.(2,0 điểm) Giải phương trình:

PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2016-2017 Đề đề nghị Mơn : TỐN Thời gian làm :150 phút (Không kể thời gian phát đề ) Bài 1.(4,0 điểm) a/ Chứng minh không tồn số nguyên n thỏa mãn (20172017 +1) chia hết cho n3 + 2015n b/ Cho x, y số nguyên thỏa mãn 2x2 + x = 3y2 + y Chứng minh x – y; 2x +2y +1 3x + 3y +1 số phương Bài (4,0 điểm) 1 1 Chứng minh bất đẳng thức: + − < a b c abc a/ Cho số dương a,b,c thoả mãn a + b + c = b/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x − 25 = y ( y + 6) Bài (4,0 điểm) : a/ Cho a +b + c = a, b,c khác Rút gọn biểu thức: ab bc ca + + A= 2 2 a +b −c b +c −a c + a − b2 b/ Tính giá trị biểu thức: P= x + x + 5x + − x − 2x − 7x + 3 x = + + 34 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt H a/ Chứng minh rằng: Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ; S AEF = cos A S ABC b/ Chứng minh : S DEF = ( − cos A − cos B − cos C ) S ABC c/ Cho biết AH = k.HD Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + d/ Chứng minh rằng: 2 HA HB HC + + ≥ BC AC AB Bài 5.(2,0 điểm) Giải phương trình: + = x+3 x+4 PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH BAI Bài (4,0điểm) Bài (4,0điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP CẤP HUYỆN Năm học 2016– 2017 - Mơn : Tốn NỘI DUNG ĐIỂM a/ (2,0điểm) Giả sử tồn số nguyên n thỏa mãn (20172017 +1) chia hết cho n3 +2015n Ta có : n3 + 2015n = (n3 – n) + 2016n = n(n -1)(n +1)+2016n Vì n -1, n, n+1 ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho Suy n(n-1)(n +1) M 3; mà 2016M nên (n3 + 2015n) M3 (1) 2017 Mặt khác: 2017 + = (2016 + 1)2017 +1 chia cho dư ( 2016 M3) (2) Từ (1) (2) dẫn đến điều giả sử vô lý, tức khơng có số ngun thỏa mãn điều kiện toán cho b/ (2,0điểm) Từ : 2x2 + x = 3y2 + y (1) => 2x2 – 2y2 + x – y = y2 => (x- y)(2x + 2y + 1) = y2 (2) 2 Mặt khác từ (1) ta có: 3x – 3y + x – y = x  ( x –y)( 3x +3y +1) = x2 =>(x –y)2( 2x + 2y +1)(3x +3y +1) = x2y2 => ( 2x + 2y +1)(3x +3y +1) số phương (3) Gọi ( 2x + 2y +1; 3x +3y +1) = d => ( 2x + 2y +1) M d; (3x +3y +1) M d => (3x +3y +1) - ( 2x + 2y +1) = (x + y) M d => 2(x +y) M d =>( 2x + 2y +1) - 2(x +y) = Md nên d = => ( 2x + 2y +1; 3x +3y +1) = (4) Từ (3) (4) => 2x + 2y +1 3x +3y +1 số phương Lại có từ (2) =>(x- y)(2x + 2y + 1) số phương  x- y số phương Vậy 2x2 + x = 3y2 + y x –y; 2x +2y +1 3x + 3y +1đều số phương a/(2,0điểm) ( a + b − c) ≥ ⇒ a + b + c − 2(ac + bc − ab) ≥ ⇒ ac + bc − ab ≤ ⇒ ac + bc − ab (a + b + c ) = × < ⇒ < (do a, b, c > 0) 2 abc abc 1 1 + − < a b c abc b/ (2,0điểm) Từ x − 25 = y ( y + 6) Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 Để ý phương trình chứa ẩn số x với số mũ , ta hạn chế giải với x số tự nhiên Khi đó: y+3+x ≥ y+3-x Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn Suy số ( y+3+x ) (y+3-x) tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn , số số ( y+3+x ) (y+3-x) số chẵn Ta có cách phân tích - 16 tích số chẵn sau 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ - 16 = (-2) = (-4) = (-8) thừa số đầu giá trị (y+3+x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta có x= , y= Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta có x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta có x= , y= -6 Vì phương trình cho có nghiệm ( x,y) = ( ±5, ) ; ( ±5, −6 ) ; ( ±4, −3) Bài (4,0điểm) ab bc ca 1 3 + + =− − − = − Vậy A = − −2ab −2bc −2ca 2 2 b/ (2,0điểm) Ta có: x ( − 1) = ( + + 4)( − 1) = − = Suy x = x + ⇒ 2x = (x +1)3 hay x3 = 3x2 + 3x + 3x + 3x + + x + 5x + − Do P = = 3x + 3x + − 2x − 7x + 4(x + 1) − (x − 2) = (vì x = + Bài (6,0điểm) x +1 − x−2 0,25đ ( 0,25đ 0,25đ a/ (2,0điểm) Từ a + b + c = suy a + b = - c Bình phương hai vế ta a2 + b2 + 2ab = c2 nên a2 + b2 - c2 = - 2ab Tương tự : b2 + c2 - a2 = - 2bc c2 + a2 - b2 = - 2ac Do đó: A = 0,25đ = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ x + 8x + − = x − 4x + 2(x + 1) − 2x − = =2 x−2 x−2 + > 2) Vậy P =2 x = + + 0,5đ 0,5đ 0,25đ a/(1,5 điểm) 0,25đ A 0,25đ E F 0,5đ H 0,5đ B D C b/(1,0 điểm) AE SCDE S BDF Tam giác ABE vuông E nên cosA = = cos B , = cos C Tương tự câu a/ AB S ABC S ABC AF Tam F nên2 cosA =2 − Sgiác SCDE vuông SDEF S ABC − S AEF BDF − ACF = = − cos A − cos B − cos CAC Từ suy S ABC S ABC 2 C ) S ABC AF Suy S DEF = ( − cos A − cos B − cos AE ⇒ ∆AEF : ∆ABC (c.g c) Suy = AB AC c/ (1,5 điểm) * Từ ∆AEF : ∆ABC suy 0,5đ 0,5đ S AEF  AE  = ÷ = cos A S ABC  AB  AD AD AD ,tanC = Suy tanB.tanC = BD CD BD.CD 2 Vì AH = k.HD ⇒ AD = AH + HD = ( k + 1) HD nên AD = ( k + 1) HD (1) 0,25đ HD ( k + 1) Do tanB.tanC = BD.CD 0,25đ Ta có: tanB = Lại có ∆DHB : ∆DCA( g.g ) nên (2) DB HD = ⇒ DB.DC = HD AD AD DC (3) 0,25đ 0,25đ Từ (1), (2), (3) suy ra: HD ( k + 1) HD ( k + 1) HD ( k + 1) = = = k + tanB.tanC = AD.HD AD HD ( k + 1) 2 0,5đ d/ (2,0 điểm) HC CE HC.HB CE.HB S HBC = ⇒ = = AC CF AC AB CF AB S ABC HB.HA S HAB HA.HC S HAC = = Tương tự: ; Do đó: AC.BC S ABC AB.BC S ABC HC.HB HB.HA HA.HC S HBC + S HCA + S HAB =1 + + = S ABC AC AB AC.BC AB.BC Ta chứng minh được: (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) (*) Từ ∆AFC : ∆HEC ⇒ 0,5đ 0,25đ 0,5đ Áp dụng (*) ta có:  HA HB HC   HA.HB HB.HC HC.HA  + + + +  ÷ ≥  ÷ = 3.1 =  BC AC AB   BC.BA CA.CB AB AC  HA HB HC + + ≥ Suy BC AC AB 0,5đ 0,25đ Bài Đk: x > - Khi phương trình cho tương đương với (2,0điểm)      − ÷ ÷+  − x + ÷ ÷= x +     4− 4− x + 11 x + 11 x+3 + x+4 =0⇔ + =0     2+ 2+ ( x + 3)  + ÷ ( x + 4)  + ÷ x+3 x+4 x + x+4     Vì x > - nên +     ( x + 3)  + ÷ ( x + 4)  + ÷ x+3  x+4    11 Do 4x + 11 = ⇔ x = − thỏa mãn điều kiện  11  Vậy tập nghiệm phương trình là: S = −   4 0,5đ 0,5đ >0 0,5đ 0,25đ 0,25đ *Ghi chú:- Mọi cách giải khác lập luận chặt chẽ đạt điểm tối đa cho nội dung tương ứng ...PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH BAI Bài (4,0điểm) Bài (4,0điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP CẤP HUYỆN Năm học 2016– 2017 - Mơn : Tốn NỘI DUNG ĐIỂM... =>(x- y)(2x + 2y + 1) số phương  x- y số phương Vậy 2x2 + x = 3y2 + y x –y; 2x +2y +1 3x + 3y +1đều số phương a/(2,0điểm) ( a + b − c) ≥ ⇒ a + b + c − 2(ac + bc − ab) ≥ ⇒ ac + bc − ab ≤ ⇒ ac +... x = + Bài (6,0điểm) x +1 − x−2 0,25đ ( 0,25đ 0,25đ a/ (2,0điểm) Từ a + b + c = suy a + b = - c Bình phương hai vế ta a2 + b2 + 2ab = c2 nên a2 + b2 - c2 = - 2ab Tương tự : b2 + c2 - a2 = - 2bc

Ngày đăng: 09/01/2022, 21:47

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan