Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GDĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH Năm học: 20162017 Môn : TOÁN 9 Thời gian làm bài :150 phút (Không kể thời gian phát đề ) Bài 1.(4,0 điểm) a Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn (20172017 +1) chia hết cho n3 + 2015n. b Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn 2x2 + x = 3y2 + y. Chứng minh x – y; 2x +2y +1 và 3x + 3y +1 đều là các số chính phương. Bài 2. (4,0 điểm) a Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn Chứng minh bất đẳng thức: b Tìm nghiệm nguyên của phương trình: Bài 3 (4,0 điểm) : a Cho a +b + c = 0 và a, b,c đều khác 0. Rút gọn biểu thức: A = b Tính giá trị của biểu thức: P = tại x = . Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a Chứng minh rằng: Tam giác đồng dạng với tam giác ; b Chứng minh rằng : c Cho biết AH = k.HD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + 1. d Chứng minh rằng: . Bài 5.(2,0 điểm) Giải phương trình:
PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2016-2017 Đề đề nghị Mơn : TỐN Thời gian làm :150 phút (Không kể thời gian phát đề ) Bài 1.(4,0 điểm) a/ Chứng minh không tồn số nguyên n thỏa mãn (20172017 +1) chia hết cho n3 + 2015n b/ Cho x, y số nguyên thỏa mãn 2x2 + x = 3y2 + y Chứng minh x – y; 2x +2y +1 3x + 3y +1 số phương Bài (4,0 điểm) 1 1 Chứng minh bất đẳng thức: + − < a b c abc a/ Cho số dương a,b,c thoả mãn a + b + c = b/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x − 25 = y ( y + 6) Bài (4,0 điểm) : a/ Cho a +b + c = a, b,c khác Rút gọn biểu thức: ab bc ca + + A= 2 2 a +b −c b +c −a c + a − b2 b/ Tính giá trị biểu thức: P= x + x + 5x + − x − 2x − 7x + 3 x = + + 34 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt H a/ Chứng minh rằng: Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ; S AEF = cos A S ABC b/ Chứng minh : S DEF = ( − cos A − cos B − cos C ) S ABC c/ Cho biết AH = k.HD Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + d/ Chứng minh rằng: 2 HA HB HC + + ≥ BC AC AB Bài 5.(2,0 điểm) Giải phương trình: + = x+3 x+4 PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH BAI Bài (4,0điểm) Bài (4,0điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP CẤP HUYỆN Năm học 2016– 2017 - Mơn : Tốn NỘI DUNG ĐIỂM a/ (2,0điểm) Giả sử tồn số nguyên n thỏa mãn (20172017 +1) chia hết cho n3 +2015n Ta có : n3 + 2015n = (n3 – n) + 2016n = n(n -1)(n +1)+2016n Vì n -1, n, n+1 ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho Suy n(n-1)(n +1) M 3; mà 2016M nên (n3 + 2015n) M3 (1) 2017 Mặt khác: 2017 + = (2016 + 1)2017 +1 chia cho dư ( 2016 M3) (2) Từ (1) (2) dẫn đến điều giả sử vô lý, tức khơng có số ngun thỏa mãn điều kiện toán cho b/ (2,0điểm) Từ : 2x2 + x = 3y2 + y (1) => 2x2 – 2y2 + x – y = y2 => (x- y)(2x + 2y + 1) = y2 (2) 2 Mặt khác từ (1) ta có: 3x – 3y + x – y = x ( x –y)( 3x +3y +1) = x2 =>(x –y)2( 2x + 2y +1)(3x +3y +1) = x2y2 => ( 2x + 2y +1)(3x +3y +1) số phương (3) Gọi ( 2x + 2y +1; 3x +3y +1) = d => ( 2x + 2y +1) M d; (3x +3y +1) M d => (3x +3y +1) - ( 2x + 2y +1) = (x + y) M d => 2(x +y) M d =>( 2x + 2y +1) - 2(x +y) = Md nên d = => ( 2x + 2y +1; 3x +3y +1) = (4) Từ (3) (4) => 2x + 2y +1 3x +3y +1 số phương Lại có từ (2) =>(x- y)(2x + 2y + 1) số phương x- y số phương Vậy 2x2 + x = 3y2 + y x –y; 2x +2y +1 3x + 3y +1đều số phương a/(2,0điểm) ( a + b − c) ≥ ⇒ a + b + c − 2(ac + bc − ab) ≥ ⇒ ac + bc − ab ≤ ⇒ ac + bc − ab (a + b + c ) = × < ⇒ < (do a, b, c > 0) 2 abc abc 1 1 + − < a b c abc b/ (2,0điểm) Từ x − 25 = y ( y + 6) Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 Để ý phương trình chứa ẩn số x với số mũ , ta hạn chế giải với x số tự nhiên Khi đó: y+3+x ≥ y+3-x Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn Suy số ( y+3+x ) (y+3-x) tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn , số số ( y+3+x ) (y+3-x) số chẵn Ta có cách phân tích - 16 tích số chẵn sau 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ - 16 = (-2) = (-4) = (-8) thừa số đầu giá trị (y+3+x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta có x= , y= Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta có x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta có x= , y= -6 Vì phương trình cho có nghiệm ( x,y) = ( ±5, ) ; ( ±5, −6 ) ; ( ±4, −3) Bài (4,0điểm) ab bc ca 1 3 + + =− − − = − Vậy A = − −2ab −2bc −2ca 2 2 b/ (2,0điểm) Ta có: x ( − 1) = ( + + 4)( − 1) = − = Suy x = x + ⇒ 2x = (x +1)3 hay x3 = 3x2 + 3x + 3x + 3x + + x + 5x + − Do P = = 3x + 3x + − 2x − 7x + 4(x + 1) − (x − 2) = (vì x = + Bài (6,0điểm) x +1 − x−2 0,25đ ( 0,25đ 0,25đ a/ (2,0điểm) Từ a + b + c = suy a + b = - c Bình phương hai vế ta a2 + b2 + 2ab = c2 nên a2 + b2 - c2 = - 2ab Tương tự : b2 + c2 - a2 = - 2bc c2 + a2 - b2 = - 2ac Do đó: A = 0,25đ = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ x + 8x + − = x − 4x + 2(x + 1) − 2x − = =2 x−2 x−2 + > 2) Vậy P =2 x = + + 0,5đ 0,5đ 0,25đ a/(1,5 điểm) 0,25đ A 0,25đ E F 0,5đ H 0,5đ B D C b/(1,0 điểm) AE SCDE S BDF Tam giác ABE vuông E nên cosA = = cos B , = cos C Tương tự câu a/ AB S ABC S ABC AF Tam F nên2 cosA =2 − Sgiác SCDE vuông SDEF S ABC − S AEF BDF − ACF = = − cos A − cos B − cos CAC Từ suy S ABC S ABC 2 C ) S ABC AF Suy S DEF = ( − cos A − cos B − cos AE ⇒ ∆AEF : ∆ABC (c.g c) Suy = AB AC c/ (1,5 điểm) * Từ ∆AEF : ∆ABC suy 0,5đ 0,5đ S AEF AE = ÷ = cos A S ABC AB AD AD AD ,tanC = Suy tanB.tanC = BD CD BD.CD 2 Vì AH = k.HD ⇒ AD = AH + HD = ( k + 1) HD nên AD = ( k + 1) HD (1) 0,25đ HD ( k + 1) Do tanB.tanC = BD.CD 0,25đ Ta có: tanB = Lại có ∆DHB : ∆DCA( g.g ) nên (2) DB HD = ⇒ DB.DC = HD AD AD DC (3) 0,25đ 0,25đ Từ (1), (2), (3) suy ra: HD ( k + 1) HD ( k + 1) HD ( k + 1) = = = k + tanB.tanC = AD.HD AD HD ( k + 1) 2 0,5đ d/ (2,0 điểm) HC CE HC.HB CE.HB S HBC = ⇒ = = AC CF AC AB CF AB S ABC HB.HA S HAB HA.HC S HAC = = Tương tự: ; Do đó: AC.BC S ABC AB.BC S ABC HC.HB HB.HA HA.HC S HBC + S HCA + S HAB =1 + + = S ABC AC AB AC.BC AB.BC Ta chứng minh được: (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) (*) Từ ∆AFC : ∆HEC ⇒ 0,5đ 0,25đ 0,5đ Áp dụng (*) ta có: HA HB HC HA.HB HB.HC HC.HA + + + + ÷ ≥ ÷ = 3.1 = BC AC AB BC.BA CA.CB AB AC HA HB HC + + ≥ Suy BC AC AB 0,5đ 0,25đ Bài Đk: x > - Khi phương trình cho tương đương với (2,0điểm) − ÷ ÷+ − x + ÷ ÷= x + 4− 4− x + 11 x + 11 x+3 + x+4 =0⇔ + =0 2+ 2+ ( x + 3) + ÷ ( x + 4) + ÷ x+3 x+4 x + x+4 Vì x > - nên + ( x + 3) + ÷ ( x + 4) + ÷ x+3 x+4 11 Do 4x + 11 = ⇔ x = − thỏa mãn điều kiện 11 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = − 4 0,5đ 0,5đ >0 0,5đ 0,25đ 0,25đ *Ghi chú:- Mọi cách giải khác lập luận chặt chẽ đạt điểm tối đa cho nội dung tương ứng ...PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH BAI Bài (4,0điểm) Bài (4,0điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP CẤP HUYỆN Năm học 2016– 2017 - Mơn : Tốn NỘI DUNG ĐIỂM... =>(x- y)(2x + 2y + 1) số phương x- y số phương Vậy 2x2 + x = 3y2 + y x –y; 2x +2y +1 3x + 3y +1đều số phương a/(2,0điểm) ( a + b − c) ≥ ⇒ a + b + c − 2(ac + bc − ab) ≥ ⇒ ac + bc − ab ≤ ⇒ ac +... x = + Bài (6,0điểm) x +1 − x−2 0,25đ ( 0,25đ 0,25đ a/ (2,0điểm) Từ a + b + c = suy a + b = - c Bình phương hai vế ta a2 + b2 + 2ab = c2 nên a2 + b2 - c2 = - 2ab Tương tự : b2 + c2 - a2 = - 2bc