PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ AN Năm học 20162017 Môn TOÁN, lớp 9 Đề chính thức Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1 : (3 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 +1 và 6p2+1 cũng là số nguyên tố. Bài 2 (5 điểm) a) Cho CMR: x=y hoặc y = z hoặc x =z hoặc x2y2z2=1. b) Cho abc = 1 và a + b + c = . Tính giá trị của M = (a2016 1)(b20161 )(c20161). Bài 3( 5điểm) a) Cho a, b là các số thực dương: Chứng minh b) Cho a , b là các số dương thỏa . Chứng minh Bài4 ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Chứng minh rằng: Bài 5 : (4 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho góc MAN = 450. Xác định vị trí cuả M, N để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn nhất
PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ AN ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN Năm học 2016-2017 Môn TỐN, lớp Thời gian làm bài:150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Đề thức Bài : (3 điểm) Tìm tất số nguyên tố p để 4p2 +1 6p2+1 số nguyên tố Bài (5 điểm) a) Cho xy + yz + xz + = = CMR: x=y y = z x =z x2y2z2=1 y z x b) Cho abc = a + b + c = 1 + + a b c Tính giá trị M = (a2016 -1)(b2016-1 )(c2016-1) Bài 3( 5điểm) a) Cho a, b số thực dương: Chứng minh ( a + b) + a+b ≥ 2a b + 2b a 2 b) Cho a , b số dương thỏa a2 + 2b ≤ 3c2 Chứng minh + ≥ a b c Bài4 ( điểm ) Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM CN vng góc với Chứng minh rằng: cot gB + cot C ≥ Bài : (4 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh CD lấy điểm N cho góc MAN = 450 Xác định vị trí cuả M, N để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN Năm học 2016-2017 Mơn TỐN, lớp Bài (3đ) Nhận xét: p số nguyên tố 4p2+ > 6p2+ > (0.5 đ) 2 Đặt x = 4p + = 5p - (p - 1)(p + 1) y = 6p2+ suy 4y = 25p2– (p - 2)(p + 2) (0.5 đ) Khi đó: - Nếu p chia cho dư dư (p - 1)(p + 1) chia hết cho Suy x chia hết cho mà x > suy x không số nguyên tố (0.5 đ) - p chia cho dư dư (p - 2)(p + 2) chia hết cho Suy 4y chia hết cho mà UCLN(4, 5) = suy y chia hết cho mà y > Suy y không số nguyên tố (0.5 đ) Vậy p chia hết cho 5, mà p nguyên tố suy p = (0.5 đ) Thử p =5 x =101, y =151 số nguyên tố Đáp số p =5 (0.5 đ) Bài (5 đ) a) (2.5 đ Ta có : xy + yz + 1 1 y−z ⇔ x+ = y + ⇔ x-y = − = = y y z z y yz z x− y z−x Tương tự ta có: y-z= ; z-x = xy xz ( x − y )( y − z )( z − x ) Suy (x-y)(y-z)(z-x) = x2 y2 z ⇔ (x-y)(y-z)(z-x)(x2y2z2-1) = ⇔ x=y y=z z=ô x2y2z2=1 (ĐPCM) b) (2.5 đ ) Vì : a + b + c = 1 ab + ac + bc + + nên suy a + b + c = a b c abc Suy a + b + c = ab + ac + bc (1) ( abc= ) Vì abc = nên abc – = (2) Suy : abc – + a + b + c – ab – ac – bc = ⇔( a – ) ( b – ) ( c – ) = ⇔ a = b = c = Thay a = b =1 c = M nhận giá trị Bài 3: ( điểm) a ) (3,0 đ) (0.5đ) (0.5 đ) (0.5 đ) (0.5 đ) (0.5 đ) ( 0,25 đ) ( 0,25 đ ( 0,25 đ) ( 0,25 đ) ( 0,75 đ ) ( 0,25đ ) ( 0,5 đ ) 1 1 Ta có : a − ÷ ≥ 0; b − ÷ ≥ 2 2 ⇒ a− a + ∀ a, b > (0,5đ) 1 ≥ 0; b − b + ≥ 4 (0,5đ) 1 ⇒ (a − a + ) + (b − b + ) ≥ ∀ a , b > 4 ⇒ a+b+ ≥ a+ b >0 (*) (0,5đ) Mặt khác: a + b ≥ ab > 1 Suy ( a + b ) ( a + b ) + ≥ ab 2 ⇒ ( a + b) + (**) ( a+ b ( a + b) ) (0,5đ) (0,5đ) ≥ 2a b + 2b a (0,5đ) b) (2.0 đ) ( 1) ⇔ ( a+ 2b) ( b+ 2a) ≥ 9ab a b a + 2b ⇔ 2a2 − 4ab + 2b2 ≥ ⇔ 2( a − b) ≥ ( đúng) Ta có: + ≥ a+2b ≤ 3( a2 + 2b2 ) 0, đ ( 2) ⇔ ( a + 2b) ≤ 3( a2 + 2b2 ) ⇔ 2a2 − 4ab+ 2b2 ≥ ⇔ 2( a − b) ≥ ( đúng) 0, đ Từ (1) (2) suy 1đ 9 + ≥ ≥ ≥ ( a2 + 2b2 ≤ 3c2 ) 2 a b a + 2b ( a + 2b ) c A Bài (3đ) ) N M G Gọi AH chiều cao tam giác ABC Ta có cotgB = BH /AH cotgC = CH /AH C B H (0.5đ) BC BC BG + CG BG.CG S BCG = = ≥ = (1) AH AH BC 2.S ABC 2.S ABC S ABC Mà G trọng tâm tam giác ABC nên S BCG = S ABC (2) Từ (1) (2) suy cotB + cot C ≥ 2 cotgB + cotg C = (1.0 đ) (0.5đ) (0.5đ) Dấu xãy BG =CG hay BM = CN hay tam giác ABC cân A Bài ( đ ) Chứng minh chu vi tam giác CMN = ( 1đ) A Áp dụng BĐT cô si : MN = CM + CN ≥ 2CM CN = SCMN ( 0.75d ) CM + CN ≥ CM CN = 2 SCMN ( 0.75d ) Suyra = MN + CM + CN ≥ ( + 2 ) SCMN ( 0.5d ) Suyra SCMN ≤ 3+ 2 Dấu xãy CM = CN = - (0.5đ) B M ( 0.5d ) D (0.5đ) N C ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN Năm học 2016-2017 Mơn TỐN, lớp Bài (3đ) Nhận xét: p số nguyên tố 4p2+ > 6p2+ > (0.5 đ) 2 Đặt x =... (**) ( a+ b ( a + b) ) (0,5đ) (0,5đ) ≥ 2a b + 2b a (0,5đ) b) (2.0 đ) ( 1) ⇔ ( a+ 2b) ( b+ 2a) ≥ 9ab a b a + 2b ⇔ 2a2 − 4ab + 2b2 ≥ ⇔ 2( a − b) ≥ ( đúng) Ta có: + ≥ a+2b ≤ 3( a2 + 2b2 ) 0, đ (... 2) ⇔ ( a + 2b) ≤ 3( a2 + 2b2 ) ⇔ 2a2 − 4ab+ 2b2 ≥ ⇔ 2( a − b) ≥ ( đúng) 0, đ Từ (1) (2) suy 1đ 9 + ≥ ≥ ≥ ( a2 + 2b2 ≤ 3c2 ) 2 a b a + 2b ( a + 2b ) c A Bài (3đ) ) N M G Gọi AH chiều cao tam giác