a Lấy cạnh AB của tam giác ABC làm đường kính vẽ vòng tròn cắt cạnh AC và cạnh BC tại điểm D và điểm E.. Đoạn DE chia diện tích tam giác ABC thành hai phần bằng nhau và hợp với đường thẳ
Trang 1TRƯỜNG THCS YÊN LẠC
Kỳ thi khảo sát đội tuyển HSG
Năm học 2008-2009
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP IX
Ngày thi 10 tháng 4 năm 2009 Thời gian làm bài 150 phút
ĐỀ BÀI:
Câu 1 a) Tìm tất cả các số nguyên x và y thoả mãn phương trình: 4 2
b) Giả sử a, b, c là các số tự nhiên, từng cặp nguyên tố cùng nhau
Tính tất cả giá trị có thể có được của biểu thức:
(a b b c c a) ( ) ( )
A
abc
=
Câu 2 a) Giải phương trình với tất cả giá trị của a: ( )
2 2
2 1
x
x
+
b) Giải hệ phương trình:
42
16
x x
xy x
− =
Câu 3 a) Cho các số dương a, b, c với a b c+ + =3 Chứng minh rằng,
b) Cho a, b, c là các số thực dương với a b c+ + =1 Chứng minh rằng,
3 2
a bc b ca c ab
a bc b ca c ab
Câu 4 a) Lấy cạnh AB của tam giác ABC làm đường kính vẽ vòng tròn cắt cạnh AC và cạnh BC tại điểm D và điểm E Đoạn DE chia diện tích tam giác ABC thành hai phần bằng nhau và hợp với đường thẳng AB một góc 150 Tính các góc của tam giác ABC
b) Trong tam giác ABC có AB>BC, K và M là trung điểm của cạnh AB và AC, còn O là giao điểm các đường phân giác Đường thẳng KM và CO cắt nhau tại điểm P
Từ P kẻ Px vuông góc với PM Từ M kẻ My song song với BO Px và My cắt nhau tại Q
Chứng minh QO vuông góc với AC
Trang 2
-TRƯÒNG THCS YÊN LẠC
Kỳ thi khảo sát đội tuyển HSG
Năm học 2008-2009
ĐÁP ÁN MÔN TOÁNLỚP IX
Ngày thi 10 tháng 4 năm 2009 Thời gian làm bài 150 phút
1a X là số lẻ, nên x = 2t+1 lúc đó phương trình đã cho có dạng:
4 1 1 1 2 1 2 2 2 4 2 4 2 2 2
0,25
Y là số chẵn, lúc đó y=2u
Vậy ta có t t( +1 2) ( ( t t+ + =1 1) ) u2
0,25
t , (t+1), 2t t( + +1 1) từng cặp nguyên tố cùng nhau, suy ra t=0, u=0
1; 0
0,25
1b
Giả sử (a b b c c a) ( ) ( )
n Z abc
= ∈ ⇒(a b b c c a+ ) ( + ) ( + )=n abc (1) 0,125 Nếu giữa ba số có hai số bằng nhau Giả sử a=b thì (1) có dạng:
(1+c) (1+c)2=nc⇒ 2 chia hết cho c, nên có thể c=1, c=2.từ đó n=8
hay n=9
0,125
Nếu ba số khác nhau: giả sử a<b<c, và theo giả thiết cặp số nguyên tố
cùng nhau nên a b mc a c kbm k N+ = ; + = , ∈ 0,25
Vì a b+ <2c⇒mc<2 ;c m<2,m= ⇒ + =1 a b c
Nên 2a b k= ( − ⇒1) 2Mb⇒ > ⇒ =b 1 b 2
0,25
a=1, b= 2, c=3, n=10 Vậy n= 8, 9, 10 0,25 2a Biến đổi phương trình về dạng:
( )
2
2
1
x
x
0,25
Đặt t=
2
1
x
x+ , Ta nhận được phương trình:
2
4
D
với a≥ −1 Vì vậy với a≤ −1phương trình không có nghiệm
Với a= −1, thì
2
1
x t
x
+ phương trình này cũng không có
nghiệm
0,25
Với a> −1thì ta có t= − ±1 1+a
Khi t= − −1 1+a ⇒x2+ +(1 1+a x) (+ +1 1+a) =0;
2 2 1
0,25
Trang 3( )2 ( ) 2
2 2 1 0
8 0
2 4 1
− ≥
Trong trường hợp này phương trinhd có hai nghiệm
1;2
2
nếu a=8;x1;2 = ±1 3;x3= −2
trường hợp t= − +1 1+a suy ra a∈[0; 2)
phương trình có nghiệm là: 3;4 1 1 2 2 1
2
với a=0thì x=0
0,25
2b a) Giả sử x>0; x+y>0 khi đó phương trình thứ nhất có thể biến đổi
về dạng:
trình: 2
42 0
t + −t = giải ra t1=6; t2 = −7 Suy ra
4, 5
0,25
b) Giả sử x<0;x y+ <0 thì ( )2
( )
x y+ = − +x y ; Từ phương trình thứ nhất ta có t=7;t= −6; vậy x x y( + ) =7;x x y( + ) =49; kết hợp với phương thứ hai ta có hệ Giải hệ ta có nghiệm của hệ là
1 133 41 8 133
;
0,5
Trả lời: ( ; ) (4; 5), 1 133 41 8 133;
0,25
3a
9
2
Vậy ta phải chứng minh: 2 a+2 b+2 c a+ + + ≥2 b2 c2 9
0,5
Thật vậy: Ta biết :2 a a+ 2 ≥3avì
3
2 a a+ = a+ a a+ ≥3 a =3a
Suy ra 2 a+2 b+2 c a+ + + ≥2 b2 c2 3(a b c+ + =) 9
0.5
Xét trường hợp dấu bằng xảy ra: a=b=c=1 0,5 3b
Ta biết: 1 1 2 (1 2) (1 )
−
0,5
Trang 4vậy ta phải chứng minh:
(1 2) (1 ) (1 2) (1 ) (1 2) (1 ) 32
biến đổi về dạng:
4 bc ca ab+ + −3abc ≥3 bc ca ab+ + + − − − −1 a b c abc
9
1 1 1
9
a b c+ + ≥
Điều này đúng với a, b, c là các số dương
0,5
Dấu bằng xảy ra khi 1
3
4a Ta biết tứ giác ABED nội tiếp được nên ∠CED= ∠CAB;
Tam giác DEB đồng dạng với tam giác ABC theo trương hợp hai
góc
0,5
os C=
2 2
ABC
CD
0 15
∠ = ∠ +
Trong tam giác ABC có
15 45 180
2∠ =A 120 ; 0
60
A
∠ = khi đó 0
75
B
∠ =
0,5
4b Hạ OR vuông góc với AC, cắt đường vuông góc với KM kẻ từ P tại
điểm Q ta phải chứng minh: 1 MQ1//BO Hay là Q Q≡ 1 0,5
Trang 5Ta thấy tam giác MCP cân tại M suy ra MA=MC=MP lúc đó tam
giác APC vuông ở P Tứ giác APOR nội tiếp được nên góc CAO
bằng góc RPO bằng nửa góc A
Tứ giác MPQ R nội tiếp được suy ra 1
0
90 2 90
A
∠
0,5
BO cắt AC tại D, từ tam giác BCD ta có:
1
1//
0,5
Học sinh có thể giải quyết các đề toán theo các fương án khác nhau, nếu đúng cho điểm như bậc của thang điểm