Chủ đề 19 tính chất cơ bản của phân số

Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, CHỦ ĐỀ 19: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Tính chất phân số: Nếu ta nhân tử mẫu phân số với số nguyên khác ta phân số phân số cho a a.m = b b.m với m ∈ ¢ , m ≠ Nếu ta chia tử mẫu phân số cho ước chung chúng ta phân số phân số cho a a:n = b b : n với n ∈ ƯC ( a; b ) 2/ Chú ý: - Ta viết phân số có mẫu âm thành phân số có mẫu dương cách nhân tử mẫu phân số với −1 - Mỗi phân số có vơ số phân số Các phân số cách viết khác số gọi số hữu tỉ B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG DẠNG 1: LIÊN HỆ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ VỚI PHÂN SỐ BẰNG NHAU I/ PHƯƠNG PHÁP a c * Để giải thích phân số b phân số d ta giải thích sau: + Nếu tích a.d = b.c hai phân số a + Từ phân số b ta nhân (chia) tử mẫu phân số cho số m mà c phân số d hai phân số Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, a a.k * Với phân số tối giản b phân số b.k dạng chung tất phân số a phân số b II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG −12 −2 = Bài Giải thích phân số nhau: 30 Giải −12.5 = −60 30 ( −2 ) = −60 Do −12.5 = 30 ( −2 ) ⇒ −12 −2 = 30 Bài Giải thích phân số sau nhau: −51 −5151 a) 73 7373 313131 31 b) 474747 47 Giải −51 −51.101 −5151 = = a) 73 73.101 7373 313131 313131:10101 31 = = b) 474747 474747 :10101 47 −5 Bài Tìm ba phân số phân số 13 Giải −10 −15 −20 ; ; 26 39 52 Bài x −48 = a) Tìm x ∈ ¢ , biết 24 72 −48 b) Viết dạng chung tất phân số 72 Giải Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, x −48 −48 : −16 = = = a) 24 72 72 : 24 Vậy x = −16 −48 −48 : 24 −2 = = b) 72 72 : 24 −48 −2k Dạng chung tất phân số 72 3k ( k ∈ ¢; k ≠ ) Bài Đúng ghi Đ, sai ghi S −37 −37 + 24 = a) 191 191 + 24 5111 5111 − 131 = c) 9333 9333 − 131 −387 −387.69 = b) 2911 2911.69 d) 43 43 ( −9978 ) = 71 71 ( −9978) Giải S a) Đ b) S Đ c) d) Bài Giải thích phân số sau nhau: −24 −14 = 21 a) 36 90 22 = b) 225 55 Giải −24 −24 :12 −2 −2.7 −14 = = = = 21 a) 36 36 :12 3.7 90 90 : 45 22 = = = b) 225 225 : 45 55 −3131 −313131 = Bài Giải thích phân số sau nhau: 9797 979797 Giải −3131 −3131:101 −31 −31.10101 −313131 = = = = 9797 9797 :101 97 97.10101 979797 24 Bài Tìm bốn phân số phân số 36 có mẫu số tự nhiên nhỏ 14 Giải 24 24 :12 2 ; = = 36 36 :12 => Bốn phân số cần tìm ; 6 ; 12 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, Bài −63 a) Tìm tất phân số phân số 84 có mẫu số tự nhiên nhỏ 20 −121212 b) Tìm tất phân số phân số 131313 có mẫu số tự nhiên nhỏ 50 Giải −3 −6 −9 −12 ; ; ; a) 12 16 Bài 10 Cho biểu thức M= −12 −24 −36 ; ; b) 13 26 39 3x − x −3 a) Tìm số nguyên x để M phân số b) Tìm số nguyên x để M số nguyên Giải a) x ≠ b) M số nguyên (3x – 4) ⋮ (x – 3)  [3(x – 3) + 5] ⋮ (x – 3) Nên x − ước x − = 1; −1;5; −5 hay x = 4; 2;8; −2 102 Bài 11 Tìm phân số có giá trị phân số 170 biết tổng tử mẫu phân số 80 Giải 102 102 : 34 = = 170 170 : 34 102 3n Phân số phân số 170 có dạng 5n ( n ∈ ¢ , n ≠ ) Theo đầu bài, ta có 3n + 5n = 80 ⇔ 8n = 80 ⇔ n = 10 30 Phân số cần tìm 50 DẠNG 2: RÚT GỌN PHÂN SỐ I/ PHƯƠNG PHÁP Muốn rút gọn phân số, ta chia tử mẫu phân số cho ước chung (khác −1 ) chúng Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, Phân số tối giản (hay phân số không rút gọn nữa) phân số mà tử mẫu có ước chung −1 Chú ý: - Nếu chia tử mẫu phân số cho ƯCLN chúng, ta phân số tối giản a - Phân số b tối giản a b hai số nguyên tố - Khi rút gọn phân số, ta thường rút gọn phân số đến tối giản II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Rút gọn phân số sau thành phân số tối giản: 300 a) 540 −38 b) 95 −68 c) −85 Giải 300 300 : 60 = = a) 540 540 : 60 −38 −38 :19 −2 = = b) 95 95 :19 c) −68 −68 : ( −17 ) = = −85 −85 : ( −17 ) Bài Rút gọn 25.17 + 25.12 b) 29.13 + 29.14 12.13 a) 5.24 Giải 12.13 1.13 13 = = a) 5.24 5.2 10 b) 25.17 + 25.12 25 ( 17 + 12 ) 25.29 25 = = = 29.13 + 29.14 29 ( 13 + 14 ) 29.27 27 −32 Bài Tìm tất phân số phân số 48 có mẫu số tự nhiên nhỏ 15 Giải −32 −32 :16 −2 −2 −4 − − = = ; ; ; 48 48 :16 => Các phân số cần tìm 12 −2 −1 ; ; Bài Viết phân số −24 dạng phân số có mẫu 48 Giải Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, 40 −2 −32 −1 = ; = ; = 48 48 −24 48 1.2.5 + 3.4.15 + 4.8.20 + 7.14.350 Bài Rút gọn: 2.5.11 + 6.10.33 + 8.20.44 + 14.35.770 Giải 1.2.5 ( 1.1.1 + 3.2.3 + 4.4.4 + 7.7.70 ) 1.2.5 + 3.4.15 + 4.8.20 + 7.14.350 = = 2.5.11 + 6.10.33 + 8.20.44 + 14.35.770 2.5.11 ( 1.1.1 + 3.2.3 + 4.4.4 + 7.7.70 ) 11 Bài 14n + a) Chứng tỏ rằng: 21n + phân số tối giản với n ∈ ¢ 25m + b) Chứng minh rằng: 15m + phân số tối giản với m ∈ ¢ Giải Để chứng minh phân số cho phân số tối giản ta chứng minh TỬ SỐ MẪU SỐ có ƯCLN a) Gọi d ƯCLN 14n + ( * 21n + d ∈ ¥ ) Ta có 14n + 3Md 21n + 5Md Do ( 21n + ) − ( 14n + 3) = 1Md Vậy d = b) ( 25m + ) − ( 15m + ) = 12 Bài Cộng tử mẫu phân số 17 với số tự nhiên x rút gọn ta Tìm x Giải 12 + x = ⇔ ( 12 + x ) = ( 17 + x ) ⇔ 60 + x = 68 + x ⇔ x = 17 + x Bài Cho A= + + + + 11 + 12 + + 18 + 19 Hãy xóa số hạng tử xóa số hạng mẫu A để phân số có giá trị A Giải Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, A= nên có cách Giải sau: • Xóa số hạng tử xóa số hạng 12 mẫu, ta có: 1+ + + + + + + 41 = = 11 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 123 • Xóa số hạng tử xóa số hạng 15 mẫu, ta có: 1+ + + + + + + 40 = = 11 + 12 + 13 + 14 + 16 + 17 + 18 + 19 120 • Xóa số hạng tử xóa số hạng 18 mẫu, ta có: 1+ + + + + + + 39 = = 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 19 117 a 36 Bài Tìm phân số b phân số 45 biết Ư CLN ( a; b ) = 31 Giải 36 36 : = = 45 45 : a a a ; b = 31 ( ) Phân số tối giản b có ƯCLN => phân số b rút gọn cho 31 để a 4.31 124 = = Vậy b 5.31 155 64 65 ; ; ; ; ; Bài 10 Cho phân số sau: n + n + n + 10 n + 66 n + 67 Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số tối giản Giải Các phân số cho có dạng  a + ( n + )  − a = n + vì:  a a + ( n + 2) tối giản số a n + nguyên tố , với a = 6;7;8; ;64;65 Do n + nguyên tố với số 6;7; ;64;65 Số tự nhiên n + nhỏ thỏa mãn tính chất 67 Ta có n + = 67 nên n = 67 − = 65 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, Vậy số tự nhiên n nhỏ cần tìm 65 Bài 11 Tìm phân số có mẫu 13 , biết cộng tử với 14 , nhân mẫu với giá trị phân số khơng thay đổi Giải x x + 14 = Phân số cần tìm có dạng 13 13.3 ( x ∈ ¢ ) 3x x + = ⇔ x = x + 14 ⇔ x = 14 ⇔ x = Do 39 39 7 + 14 21 = = Thử lại: 13 13.3 39 (Thích hợp) DẠNG 3: QUY ĐỒNG MẪU SỐ NHIỀU PHÂN SỐ I/ PHƯƠNG PHÁP Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương ta làm sau: - Bước 1: Tìm bội chung mẫu (thường BCNN) để làm mẫu chung - Bước 2: Tìm thừa số phụ mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho mẫu) - Bước 3: Nhân tử mẫu phân số với thừa số phụ tương ứng II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Quy đồng mẫu phân số: −4 a) 12 −7 b) 15 12 −2 ; c) 10 Giải 5.3 15 −4 −4.4 −16 = = ; = = a) 12 12.3 36 9.4 36 −7 −7.4 −28 5.5 25 = = ; = = b) 15 15.4 60 12 12.5 60 1.6 −2 −2.10 −20 7.3 21 = = ; = = ; = = c) 5.6 30 3.10 30 10 10.3 30 Bài 2: Quy đồng mẫu phân số sau: Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, −15 26 ; a) 50 10 −30 −5 ; b) 10 −15 17 −4 −3 ; c) −75 25 Lời giải Đối với phân số chưa tối giản ta nên rút gọn trước quy đồng mẫu dương −15 −3.5 −3 −3.3 −9 9.3 27 26 −26 = = = = = = = 50 10.5 10 10.3 30 10 10.3 30 − 30 30 a) ; ; −5 = b) Ta có −15 Chọn MSC = BCNN(10; 3; 17) = 510 −7 −7.51 −375 −7 170 3.30 90 = = = = = = 10 10.51 510 ; −15 510 ; 17 17.30 510 −4 −3 −3.15 −45 8.3 24 = ; = = ; = = c) −75 75 5.15 75 25 25.3 75 Bài 3: Quy đồng mẫu phân số sau: 52 + 34 − b) −7 + 9.5 −4 + 2 a) 3.5 10 Lời giải = 3 a) Rút gọn phân số 10 3.5 nên MSC = 3.5 52 + 32 16 16.5 80 34 − 73 73.19 1387 = = = = = = = 5.19 95 b) −7 + 9.5 38 19 19.5 95 −4 + MSC = 19.5 = 95 Nhận xét: Đối với phân số tử mẫu rút gọn ngay, cịn dạng tổng hiệu phải tính đến kết rút gọn trước quy đồng mẫu Bài Quy đồng mẫu phân số sau: 10 2 a) 25 62 − 15 − 34 2 b) −12 + −27 + DẠNG 4: SO SÁNH PHÂN SỐ I/ PHƯƠNG PHÁP Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, 1/ Trong hai phân số có mẫu dương, phân số có tử lớn lớn 2/ Muốn so sánh hai phân số không mẫu, ta viết chúng dạng hai phân số có mẫu dương so sánh tử với Phân số có tử lớn lớn 3/ Nhận xét: • Phân số có tử mẫu hai số nguyên dấu lớn Phân số lớn không gọi phân số dương • Phân số có tử mẫu hai số nguyên khác dấu nhỏ Phân số nhỏ gọi phân số âm • Hai phân số có mẫu dương, tử dương, phân số có mẫu nhỏ phân số lớn II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG −54 −33 151 47 ; ; ; Bài Trong phân số sau: 1145 −71 −284 2008 phân số dương, phân số âm? Giải −54 < 0; 1145 −33 > 0; −71 151 < 0; −284 47 >0 2008 Bài So sánh phân số sau: 13 11 a) 15 15 14 14 c) 27 31 −21 −19 b) 37 37 −13 −13 d) 59 51 Giải 13 11 > a) 15 15 −21 −19 < b) 37 37 14 14 > c) 27 31 13 13 −13 −13 < ⇒ > d) 59 51 59 51 Bài So sánh phân số sau: a) 42 60 a) 63 72 −34 −93 b) 119 248 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, b) Giải c) d) e) a) 42 60 5 = ; = ; = < a) 63 72 6 Vậy −34 −2 −93 −3 −2 −16 = ; = ; = > b) 119 248 56 Bài So sánh phân số sau: −49 13 a) 211 1999 b) a) b) 42 60 < 63 72 −21 −3 = 56 51 −1424 b) 511 1629 Giải −49 13 −49 13 < 0; < < 1999 nên 211 1999 a) 211 51 −1424 51 −1424 > 0; 1629 b) 511 nên 511 1629 −1 −5 −1 ; ; ; ; ; c) Bài Sắp xếp phân số sau theo thứ tự tăng dần: 12 18 3 d) Giải e) −1 −18 10 14 −5 −20 −1 −12 12 = ; = ; = ; = ; = ; = 36 12 36 18 36 36 36 36 f) −20 −18 −12 10 12 14 < < < < < Ta có 36 36 36 36 36 36 g) −5 −1 −1 < < < < < Nên 12 18 h) a) Bài Điền số thích hợp vào chỗ chấm −31 −27 5 5 > > > > < < < < a) 59 59 59 59 59 b) 31 b) a) b) Giải −31 −30 −29 −28 −27 < < < < a) 59 59 59 59 59 5 5 > > > > b) 31 32 33 34 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, a a < < c) Bài Tìm năm phân số có dạng b mà 11 b d) Giải e) 15 15 a 15 a 15 = ; = < < < < Ta có 11 33 27 => 11 b hay 33 b 27 f) a 15 15 15 15 15 = ; ; ; ; Suy b 32 31 30 29 28 g) Bài Cho a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ b a ∈ { 5; 7; 13} ; b ∈ { 12; 0; 29; 18} h) Giải i) a; b > Do j) a b lớn a lớn b nhỏ (b ≠ 0) Suy a = 13 b = 12 a b nhỏ a nhỏ b nhỏ Suy a = k) b = 29 l) Bài a c > (a, b, c, d ∈ Z; b, d > 0) a) Cho b d Chứng minh rằng: ad > bc a c > b) Cho ad > bc (a, b, c, d ∈Z; b, d > 0) Chứng minh rằng: b d m) n) o) Giải a ad c bc a c ad bc = ; = > ⇔ > ⇔ ad > bc bd bd a) b bd d bd Do b d ad bc a c ad > bc ⇔ > ⇔ > bd bd b d b) p) q) a a a+c 100 Ta có x − 100 > Mà x ∈ Z A= 2008 ≤ 2008 x − 100 af) Nên x − 100 ≥ Ta có ag) A = 2008 ah) Vậy A có giá trị lớn 2008 ai) ak) b) Điều kiện x ≠ 11 • Xét x > 11 Ta có x − 11 > Do C > • Xét x < 11 Ta có 11 − x > Mà x ∈ Z al) −148 ≤ 148 Nên x − 11 Vậy C ≥ −148 am) C = −148 an) Vậy C có giá trị nhỏ −148 aj) x − 100 = hay x = 101 11 − x = hay x = 10 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, ao) Bài 12 ap) a c a a+c c < (a, c ∈ Z; b, d ∈ N ∗ ) < < a) Cho b d Chứng minh rằng: b b + c d aq) b) So sánh • 20092008 + 20092007 + 2009 2009 + 20092008 + • 758 + 757 + 2009 757 + 756 + 2009 Giải • a) Ta có: • a c < ⇒ ad < bc ⇒ ab + ad < ab + bc •b d ⇒ a (b + d ) < b ( a + c ) ⇒ • ⇒ d (b + c) < c(b + d ) ⇒ a a+c < b b+d a c < ⇒ ad < bc ⇒ ad + cd < bc + cd •b d a+c c < b+d d • a a+c c < < Vậy b b + d d • b) • 20092008 + 20092008 + 20092008 + + 2008 < ⇒ < 2009 20092009 + 20092009 + + 2008 • 2009 + • 20092008 + + 2008 2009(2009 2007 + 1) 2009 2007 + = = 2009 2008 2008 Mà 2009 + + 2008 2009(2009 + 1) 2009 + • 758 + 758 + 758 + + 7(7 57 + 1) 757 + > ⇒ > 57 = = 56 57 57 56 + + + + 7(7 + 1) +1 • • 757 + 757 + 757 + + 2008 757 + 2009 > ⇒ > = 58 758 + 756 + + 2008 756 + 2009 Mặt khác: + • 1919.161616 25 Bài 13 So sánh hai phân số: 323232.3838 102 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, • Giải 1919.161616 1.1 25 25 = = = > 323232.3838 2.2 100 102 • • • • Bài 14 x y < < < x , y ∈ Z a) Tìm cho 18 12 108 + 108 A= B= 10 − 10 − So sánh A B b) Cho • • x y < < < a) 18 12 • < x < y < 18 Giải x y 18 < < < hay 72 72 72 72 • • x = 1; y = • x = 1; y = • x = 2; y = • 108 108 + 108 + 108 B= > = =A B= >1 10 − (108 − 3) + 108 − 10 − b) => • • • • • • • • • • • • C/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Hãy viết phân số sau thành hai phân số có mẫu số dương: ; a) −5 −6 ; d) −8 ; b) −10 ; e) −10 −4 ; c) −9 ; f) −6 Bài 2: Hãy viết phân số sau thành hai phân số có mẫu số dương: ; a) −5 −10 ; d) −8 ; b) −6 ; e) −3 −3 ; c) −8 f) −5 Bài 3: Trong cặp phân số sau, cặp phân số nhau? −4 A 10 ; −8 B −3 −1 −1 C −5 ; • Bài Trong cặp phân số sau, cặp phân số băng nhau? • • Bài Tìm cặp phân số phân số sau đây: • • • • dãy: • • dãy: • • • • • −10 A 35 ; −14 B 10 −3 C −3 ; −5 D 11 −11 −4 −1 D −8 −35 88 −12 11 −5 ; ; ; ; ; 18 14 56 −27 Bài Tìm cặp phân số phân số sau đây: 18 −24 36 −4 ; ; ; ; ; −8 −24 30 48 Bài Trong phân số sau đây, phân số khơng phân số 15 −6 21 −21 14 −24 ; ; ; ; ; ; 35 33 49 91 −77 104 22 Bài Trong phân số sau đây, phân số khơng phân số −12 20 12 −24 −36 −4 ; ; ; ; ; 15 −25 −15 30 48 Bài 9: Viết số thích hợp vào trống: 1.6 = = a) 3.6 −3 ( −3) = = 7.5 b) c) 5 = = 2 ( −4 ) 3 ( −4 ) = = d) 2 c) 4 = = 11 11 ( −3 ) 9 ( −2 ) = = 8 d) Bài 10 Viết số thích hợp vào ô trống: 2.3 = = 7.3 a) −6 ( −6 ) = = 7.4 b) • • • • • • • • • Bài 11 Viết số thích hợp vào trống: 9:3 = = 6 : a) 12 12 : = − −8 : b) = −3 −16 ( −16 ) : = 12 12 : c) = 30 30 : = −20 ( −20 ) : = 12 ( 12 ) : ( −3) = = 15 15 : d) −3 25 25 : ( −5 ) = = d) 35 35 : Bài 12 Viết số thích hợp vào trống: 12 12 : = = a) 14 14 : −24 ( −24 ) : = 18 : b) 18 = −3 c) Bài 13 Viết số thích hợp vào trống: −1 = a) −12 == b) −5 = −28 c) 20 = = = 18 d) Bài 14 Viết số thích hợp vào trống: = a) −5 −20 −7 b) == −14 16 c) = 12 −16 36 −12 = = 27 d) Bài 15: −6 a) Viết tất phân số với phân số 13 mẫu số số có hai chữ số • dương b) Viết tất phân số với phân số −8 tử số số có hai chữ số chẵn, • dương • Bài 16 −7 a) Viết tất phân số với phân số 10 mẫu số số có hai chữ số • dương • b) Viết tất phân số với phân số −8 tử số số có hai chữ số lẻ, dương • Bài 17 Giải thích tai phân số sau nhau: • • • • • • • −28 52 = ; a) 21 −39 −4040 −2 = ; b) 6060 120120 = ; c) 240240 Bài 18 Giải thích tai phân số sau nhau: 54 = ; a) 270 −1111 −1 = ; b) 2222 1414 −2 = ; c) −2121 18180 = d) −27270 −3 −131313 13 = d) −171717 17 Bài 19 Giải thích tai phân số sau nhau: a −a = ; a) b −b abab ababab = ; cdcd cdcdcd b) abab 101 = ; 10101 cdcd c) xy − x x = y − xy y d) Bài 20 Giải thích tai phân số sau nhau: −a a = ; a) b −b ab ab0ab = ; b) cd cd 0cd ab = ; c) abab 10 x − 21 = d) 14 x − 42 • ... Viết tất phân số với phân số 13 mẫu số số có hai chữ số • dương b) Viết tất phân số với phân số −8 tử số số có hai chữ số chẵn, • dương • Bài 16 −7 a) Viết tất phân số với phân số 10 mẫu số số có... nhỏ Phân số nhỏ gọi phân số âm • Hai phân số có mẫu dương, tử dương, phân số có mẫu nhỏ phân số lớn II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG −54 −33 151 47 ; ; ; Bài Trong phân số sau: 1145 −71 −284 2008 phân số. .. dạng hai phân số có mẫu dương so sánh tử với Phân số có tử lớn lớn 3/ Nhận xét: • Phân số có tử mẫu hai số nguyên dấu lớn Phân số lớn khơng gọi phân số dương • Phân số có tử mẫu hai số nguyên