Bài tập lớn tiểu luận nhóm (37)

CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 ĐỐI TƯNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Lý thuyết Đàn hồi (LTĐH) trình bày lý thuyết phân tích ứng suất, biến dạng chuyển vị vật thể đàn hồi có hình dạng khác nhau, chịu tác động nguyên nhân bên tải trọng, thay đổi nhiệt độ - Vật thể nghiên cứu SBVL có dạng chủ yếu - Vật thể nghiên cứu LTĐH nói chung có hình dạng bất kì, dạng khối, tấm, vỏ - Nhiệm vụ LTĐH SBVL, khác đối tượng khác phương pháp giải ĐẶC ĐIỂM CỦA NGHIỆM Nghiệm toán LTĐH phải thỏa mãn điều kiện cân bên vật thể điều kiện biên bề mặt Phương trình chủ đạo tạo từ nhóm phương trình: + Điều kiện cân bên vật thể + Sự thay đổi hình học + Ứng xử vật liệu (định luật Hooke) Điều kiện biên thể chuyển vị liên kết tải trọng tác động bề mặt vật thể PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM Giải tích: tìm cho số toán tương đối đơn giản, Số: phương pháp số để giải toán LTĐH phát triển mạnh + Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method - FEM) + Phương pháp phần tử biên (Boundary Element Method - BEM) Hiện nay, FEM dùng phổ biến, BEM tiếp tục nghiên cứu 1.2 CÁC GIẢ THIẾT LTĐH cố gắng dùng giả thiết tốt để đảm bảo tính chặt chẽ trình suy luận tính xác lời giải thu σtb H.1.1 Ảnh hưởng cấu trúc vật liệu đến phân bố ứng suất Tuy nhiên, số trường hợp LTĐH dùng thêm vài giả thiết để giảm phức tạp toán học, đáp ứng độ xác mà kỹ thuật đòi hỏi LTĐH lý tưởng hóa vật liệu thừa nhận số giả thiết đơn giản: Vật liệu liên tục, đồng nhất, đẳng hướng đàn hồi tuyến tính - Lấy phân tố, cho phân tố bé tùy ý mà chứa vật liệu vật liệu liên tục điểm - Giả thiết liên tục làm sở để xây dựng khái niệm ứng suất, biến dạng điểm, sử dụng phép tính giới hạn, vi phân, tích phân Thực tế, kim loại (mạng tinh thể) không liên tục theo nghóa toán học Như việc khảo sát phức tạp, chí không làm - Vật liệu đồng đẳng hướng nghóa tính chất học điểm vật thể, theo phương giống - Tính chất học đặc trưng số vật liệu mô đun đàn hồi, hệ số biến dạng hông, giới hạn đàn hồi - Thực ra, vi mô thật không hoàn toàn đồng đẳng hướng, xếp ngẫu nhiên, vật thể có kích thước đủ lớn giả Tải thiết nói chung chấp nhận Vài loại dị hướng rõ rệt gỗ, composite sợi - Đàn hồi tuyến tính: mô hình Biến dạng vật liệu Biến dạng chuyển vị vật thể bé Giả thiết xuất phát từ điều kiện cứng vật thể sử dụng thực tế kỹ thuật Vì vậy, khảo sát cân vật thể phân tố tách hình dạng ban đầu Giả thiết biến dạng bé đàn hồi tuyến tính thường với Giả thiết hiệu ứng cân cục (nguyên liù Saint-Venant) Nếu có hệ lực tương đương tónh học tác dụng cục diện tích đủ nhỏ vật thể trường ứng suất lân cận điểm đặt lực có nhiều thay đổi, trường ứng suất xa điểm đặt lực phụ thuộc vào cách tác dụng ngoại lực, coi giống Như vậy, quan tâm đến trường ứng suất xa nguyên lý cho phép thay hệ ngoại lực tác dụng cục hệ khác tương đương tónh học Việc làm gọi giảm nhẹ (hoặc nới lỏng) điều kiện biên tónh học toán LTĐH 1.3 SỰ LIÊN QUAN GIỮA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT DẺO VÀ LÝ THUYẾT TỪ BIẾN VÀ CÁC MÔN CƠ HỌC KHÁC Các Lý thuyết Đàn hồi, Dẻo Từ biến có nhiệm vụ giống tìm ứng suất biến dạng vật thể chịu tác động tải trọng, đường lối phương pháp giải tương tự Sự khác nằm mô hình vật liệu + Dẻo: biến dạng lớn Ứùng dụng khí, gia công kim loại + Từ biến: vật liệu có tính nhớt ƯS BD thay đổi theo thời gian Các vật liệu bê tông, xi măng lưới thép, đất, composite… Biến dạng tăng tải trọng không đổi gọi tượng nới ng suất giảm biến dạng không đổi gọi tượng chùng Nắm vững LTĐH làm sở cho nghiên cứu Lý thuyết Dẻo Từ biến 1.4 Ý NGHĨA CỦA MÔN HỌC - Quá trình phân tích Bài toán LTĐH phức tạp, đòi hỏi phải xây dựng đường lối giải tổng quát - Ngoài việc cung cấp lời giải nhiều toán có ý nghóa thực tiễn quan trọng, LTĐH giúp hình thành phương pháp tư để giải bái toán Cơ học vật rắn biến dạng nói chung Ngành xây dựng: giúp hiểu biết cách chịu lực dạng kết cấu khác như: dầm dày, vách, vỏ, kết cấu khối thường gặp tường, sàn, lõi cứng, cầu thang nhà cao tầng, phân bố ứng suất đất móng, đê đập Cung cấp lời giải số toán làm tảng cho Cơ học đất, Cơ học phá hủy Nhiều toán có ứng dụng cao tưởng “xa” với LTĐH; thí nghiệm xác định độ bền kéo bê tông, cấu tạo cốt thép Như vậy, môn học bổ ích bề sâu bề rộng ngành kó thuật xây dựng khí Chương LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT 2.1 CÁC THÀNH PHẦN ỨNG SUẤT VÀ QUI ƯỚC DẤU ng suất toàn phần điểm vật thể mặt nghiêng (H.2.1) định nghóa phương trình: ∆F p = lim ∆A→0 ∆A ∆F : vi phân hợp lực ∆A : vi phân diện tích bao quanh điểm phần vật thể xét Ứng suất p điểm xác định biết trị số, phương chiều bề mặt mà tác dụng ∆F ∆A Hình 2.1 Định nghóa ứng suất điểm Về mặt toán học, ứng suất điểm mô tả tensor hạng gọi tensor ứng suất kí hiệu Tσ Nếu tách từ vật thể phân tố hình hộp vô bé, thành phần ứng suất tác σ động mặt: y τyx τyz y τxy τzy τzx τxz x σx σz z Hình 2.2 Các thành phần ứng suất Có tất thành phần ứng suất, gồm: - Ba ứng suất pháp σx, σy, σz - Sáu ứng suất tiếp τxy, τyx, τyz, τzy, τzx, τxz Có hai số: - Chỉ số thứ thể pháp tuyến bề mặt mà ứng suất tác dụng - Chỉ số thứ hai thể phương tác dụng 10.4 BÀI TOÁN PHẲNG VỚI PHẦN TỬ TAM GIÁC 10.4.1 Hàm dạng Xét phần tử tam giác có ba nút i, j, k hình 10.11 Mỗi nút có hai bậc tự chuyển vị u v theo hai phương x y Hình 10.11 Phần tử tam giác chuyển vị nút Vector chuyển vị nút phần tử tam giác gồm có sáu thành phaàn: {u}e = {ui v i u j v j uk vk } Trường chuyển vị phần tử xấp xỉ hàm bậc phụ thuộc vào số sau: ⎧u ( x, y ) ⎫⎪ ⎧ a1 + a2 x + a3 y ⎫ ⎬ =⎨ ⎬ ⎩⎪v ( x, y ) ⎭⎪e ⎩ a4 + a5 x + a6 y⎭ {u}e = ⎨⎪ hay: (10.57) {u}e ⎧ a1 ⎫ ⎪a ⎪ ⎪ 2⎪ ⎡1 x y 0 ⎤ ⎪⎪ a3 ⎪⎪ =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎣0 0 x y⎦ ⎪ a4 ⎪ ⎪ a5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ a6 ⎭⎪ (10.58) Phương trình (10.58) viết lại dạng (10.59) {u} = ⎡⎣ F ( x, y )⎤⎦ {a} ⎡ ⎡⎣ P ( x, y ) ⎤⎦ [ 0] ⎤ ñoù: ⎥ ⎣⎡ F ( x, y ) ⎦⎤ = ⎢ ⎡ P ( x, y ) ⎤ ⎥ ⎢ [ 0] e ⎣ ⎣ ⎦⎦ ⎡⎣ P ( x, y ) ⎤⎦ = [1 x y ] với: ma trận đơn thức Nếu tọa độ nút i, j k vào phương trình (10.58), ta thu quan hệ chuyển vị nút với số a , a ,", a sau: {u}e ⎧ ui ⎫ ⎡1 xi ⎪ v ⎪ ⎢0 ⎪ i⎪ ⎢ ⎪⎪u j ⎪⎪ ⎢1 x j =⎨ ⎬=⎢ ⎪ v j ⎪ ⎢0 ⎪ u ⎪ ⎢1 x k ⎪ k⎪ ⎢ ⎢ ⎩⎪ vk ⎭⎪ ⎣0 yi yj 0 xj yk 0 xk xi 0⎤ yi ⎥⎥ 0⎥ ⎥ yj ⎥ ⎥ 0⎥ yk ⎦⎥ hay {u} = [ A]{a} (10.61) Từ biểu diễn nút {u} sau (10.60) e {a} thao chuyển vị e {a} = [ A]−1 {u}e đó: (10.62) [ A]−1 với: ⎡ x j yk − xk y j ⎢ ⎢ y j − yk ⎢ ⎢ xk − x j = 2∆ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ ⎡1 xi ⎢ ∆ = det ⎢1 x j ⎢1 x k ⎣ xk yi − xi yk xi y j − yi x j yk − yi yi − y j xi − xk x j − xi x j yk − xk y j xk yi − xi yk y j − yk yk − yi xk − x j xi − xk 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ xi y j − yi x j ⎥ ⎥ yi − y j ⎥ ⎥ x j − xi ⎥⎦ (10.63) yi ⎤ ⎥ y j ⎥ = ( x j yk − xk y j + xk yi − xi yk + xi y j − x j yi ) yk ⎥⎦ diện tích tam giác có ba đỉnh nút i, j, k Thay (10.62) vào (10.59) dẫn tới phương trình sau {u}e = ⎡⎣ F ( x, y )⎤⎦ [ A]−1 {u}e hay: (10.64) {u} = ⎡⎣ N ( x, y)⎤⎦ {u} Ma trận ⎡⎣ N ( x, y)⎤⎦ gồm hàm dạng (hay hàm nội suy) sau e e ⎡ Ni ( x, y ) ⎡⎣ N ( x, y ) ⎤⎦ = ⎢ Ni ( x, y ) ⎣⎢ N j ( x, y ) 0 N j ( x, y ) N k ( x, y ) 0 ⎤ ⎥ N k ( x, y ) ⎦⎥ (10.65) đó: ⎧ ⎪ Ni ( x, y ) = 2∆ ⎡⎣ y jk ( x − xk ) + xkj ( y − yk ) ⎤⎦ ⎪ ⎪ ⎡ yki ( x − xi ) + xik ( y − yi ) ⎤⎦ ⎨ N j ( x, y ) = ∆⎣ ⎪ ⎪ ⎪ N k ( x, y ) = 2∆ ⎡⎣ yij ( x − x j ) + x ji ( y − y j ) ⎤⎦ ⎩ (10.66) với y = y − y , x = x − x Khi trường chuyển vị phần tử tam giác biểu diễn theo hàm dạng chuyển vị nút sau jk j k kj k j ⎧⎪u ( x, y ) = ui Ni ( x, y ) + u j N j ( x, y ) + uk N k ( x, y ) ⎨ ⎪⎩ v ( x, y ) = vi Ni ( x, y ) + v j N j ( x, y ) + vk N k ( x, y ) Đồ thị hàm dạng mặt phẳng hình 10.12 Ni k Nj k Nk k 1 i j i j i j Hình 10.12 Đồ thị hàm dạng 10.4.2 Biến dạng ứng suất Trường biến dạng phần tử xác định theo hệ thức Cauchy sau: ⎡∂ ⎢ ⎧ ε x ⎫ ⎢ ∂x ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ εy ⎬ = ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎩ γ xy ⎭ ⎢ ∂ ⎢ ⎣⎢ ∂y ⎤ 0⎥ ⎥ ∂ ⎥ ⎧⎪u ( x, y ) ⎫⎪ ⎬ ⎥⎨ ∂y ⎥ ⎩⎪ v ( x, y ) ⎭⎪ ∂⎥ ⎥ ∂x ⎦⎥ hay dạng ký hiệu: (10.67) Thế (10.63) vào (10.67) ta có (10.68) {ε} = [∂ ] ⎡⎣ N ( x, y) ⎤⎦ {u} hay (10.69) {ε} = [ B]{u} với (10.70) [ B] = [∂ ] ⎡⎣ N ( x, y )⎤⎦ Thực đạo hàm theo (10.70) ta thu {ε}e = [∂ ]{u}e e e e e ⎡bi ⎢ [ B] = ⎢ 2∆ ⎢ ⎢⎣ ci đó: bj bk ci cj bi cj bj ck 0⎤ ⎥ ck ⎥ ⎥ bk ⎥⎦ (10.71) bi = y j − yk ci = xk − x j với số i, j, k hoán vị vòng tròn Vector ứng suất {ε} = ⎡⎣σ σ τ ⎤⎦ xác định theo vector biến dạng {ε} thông qua ma trận đàn hồi [ D] sau e e {σ}e = [ D]{ε}e x y xy T hay (10.72) {σ} = [ D] [ B]{u} Ma trận đàn hồi [ D] có cấu trúc chung cho hai trường hợp toán ứng suất phẳng biến dạng phẳng e e ⎡ C1 C1C2 C1 [ D] = ⎢⎢ ⎢⎣ đx với: C1 = C1 = E − ν2 , E (1 − ν ) cho ứng suất phẳng C2 = ν (1 + ν )(1 − 2ν ) C12 = ⎤ ⎥⎥ C12 ⎥⎦ , C2 = ν 1−ν cho biến dạng phẳng cho hai trường hợp C1 (1 − C2 ) Các ma trận [ D] [ B] ma trận số, nên với hàm dạng bậc chọn cho phần tử tam giác thành phần biến dạng theo (10.69) ứng suất theo (10.72) số phần tử 10.4.3 Ma trận cứng phần tử Xét phần tử tam giác toán phẳng đàn hồi chịu lực thể tích { g} = ⎡⎣ g g ⎤⎦ lực bề mặt biên tónh học { p} = ⎡⎣ p p ⎤⎦ Ma trận cứng vector tải trọng nút phần tử xác định từ nguyên lý toàn phần cực tiểu δΠ = δU − δW = (10.73) x x e e e y T y T cho biến phân chuyển vị nút (chuyển vị khả dó) δ{u} tương ứng trường biến dạng có biến phân δ {ε } xác định dựa vào (10.69): δ {ε} = [ B] δ {u} (10.74) [ B] ma trận số Biến phân đàn hồi xác định theo (9.6) δU = ∫ {σ} δ {ε} dV (10.75) e e e e e Ve T e e Dùng phương trình (10.72) (10.75), biểu thức δU có dạng e δU e = T T T ∫ {u}e [ B] [ D] [ B] δ{u}e dV Ve Chú ý vector {u} δ{u} số, ma trận [ D] đối xứng tức [ D] = [ D] , ta thu e e T T δU e = {u}e ( hay (10.76) với T ∫ [ B] [ D] [ B] dV )δ{u}e Ve T δU e = {u}e [ K ]e δ [ u]e T [ K ]e = ∫ [ B] [ D][ B] dV Ve (10.77) gọi ma trận cứng phần tử Biến phân công ngoại lực δ We xác định sau δWe = T ∫ { g} Ve hay δWe = δ {u}e dV + T ∫ { p} Se δ {u}e dS T T ∫ { g} [ N ] δ{u}e dV + ∫ { p} [ N ] δ{u}e dS Ve Se Trong phương trình dùng tới (10.63) với ý ma trận hàm dạng [ N ] độc lập với chuyển vị nút Biểu thức δW viết gọn lại δW = { P} δ {u} (10.78) {P} = ∫ [ N ] { g}dV + ∫ [ N ] { p} dS (10.79) e T e e e T T e Ve Se gọi vector tải trọng nút phần tử Thế (10.76) (10.78) vào (10.75) ta có T δΠ e = δ {u}e ([ K ]e {u}e − { P}e ) biến phân chuyển vị nút δ{u} tuỳ ý nên lượng ngoặc phải không (10.80) [ K ] {u} − { P} = Do ý nghóa vật lý phương trình (10.80) mà [ K ] gọi ma trận cứng, { P} gọi vector tải trọng nút phần tử Bây ta tính [ K ] cho phần tử tam giác, gọi bề dày phần tử t, đồng thời lưu ý [ B] [ D] ma trận số, ta có e e e e e e e [ K ]e = ∫ [ B]T [ D] [ B] dV = [ B]T [ D] [ B] Ve Ve hay (10.81) [ K ] = t∆ [ B] [ D] [ B] Thực tính toán ta thu T e [ K ]e ⎡ K11 ⎢ ⎢ t ⎢ = ⎢ 4∆ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢ ñx K12 K 22 K13 K 23 K 33 K14 K 24 K 34 K 44 K15 K 25 K 35 K 45 K 55 K16 ⎤ K 26 ⎥⎥ K 36 ⎥ ⎥ K 46 ⎥ K 56 ⎥ ⎥ K 66 ⎦⎥ Caùc hệ số Kij cho bảng K11 = C1bi2 + C12ci2 K33 = C1b2j + C12c2j K12 = C1C2b i ci + C12b i ci K34 = C1C2b j c j + C12b j c j K13 = C1b i bj + C12c i c j K35 = C1b j bk + C12c j ck K14 = C1C2b i c j + C12b j ci K36 = C1C2b j ck + C12b k c j K15 = C1b i bk + C12c i ck K44 = C1c2j + C12b2j K16 = C1C2b i ck + C12b k ci K45 = C1C2b k c j + C12b j ck K22 = C1ci2 + C12bi2 K46 = C1c j ck + C12b j bk K23 = C1C2b j ci + C12b i c j K55 = C1bk2 + C12ck2 K24 = C1c i c j + C12b i bj K56 = C1C2b k ck + C12b k ck K25 = C1C2b k ci + C12b i ck K66 = C1ck2 + C12bk2 K26 = C1c i ck + C12b i bk 10.4.4 Vector tải trọng nút phần tử Trong trường hợp tổng quát vector tải trọng nút phần tử xác định theo (10.79) Trường hợp tải trọng thường gặp xác định sẵn - Do lực thể tích: Nếu lực thể tích { g} = ⎩⎪⎧⎨⎪ gg ⎭⎪⎫⎬⎪ số, ta coù: x y {Pg }e = T ∫ [N] { g} dV Ve Thế biểu thức trình dẫn tới: [N] theo (10.64) vào phương ⎧N i g x ⎫ ⎧g x⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪N i g y ⎪ ⎪g y⎪ ⎪N g ⎪ ⎪ ⎪ t∆ ⎪ g x ⎪ ⎪ j x⎪ = ⎨ ⎬tdA = ⎨ ⎬ N j g y⎪ ⎪g y⎪ ∆⎪ ⎪N g ⎪ ⎪g ⎪ ⎪ k x⎪ ⎪ x⎪ ⎪⎩ N k g y ⎪⎭ ⎪⎩ g y ⎪⎭ { P g }e ∫ (10.82) với ∆ diện tích tam giác ijk , t bề dày Khi suy (10.82), ta ý t g , g số nên đưa dấu tích phân Số hạng lại tích phân có dạng: ∫ N dA = thể tích hình chóp có chiều dài x y i ∆ 1= 13 ∆.1 = ∆3 - Do lực bề mặt: Nếu lực bề mặt ⎧p ⎫ { p} = ⎪⎨ px ⎪⎬ ⎩⎪ ⎪ y⎭ laø số, chẳng hạn cạnh ij phần tử, ta có: T {Pp }e = ∫ [ N ] { p} dS S Dùng đến (10.64) tích phân phương trình dẫn tới: { P p }e ⎧N i p x ⎫ ⎧px⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪N i p y ⎪ ⎪p y⎪ ⎪N p ⎪ tLij ⎪⎪ p x ⎪⎪ ⎪ j x⎪ = ⎨ ⎬tds = ⎨ ⎬ ⎪p y⎪ N j p y⎪ L ij ⎪ ⎪N p ⎪ ⎪0 ⎪ ⎪ k x⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ N k p y ⎪⎭ ⎪⎩0 ⎪⎭ (10.83) ∫ Ví dụ: Tìm chuyển vị đỉnh ứng suất phẳng có kích thước chịu tải trọng hình vẽ Biết E = 3×106 kG/cm2, ν = 0,25, có bề dày t = 0,36cm y p =10 kG/cm u4 u3 b=160cm x u2 u1 a=120cm 1- Rời rạc hóa kết cấu: Chia thành phần tử tam giác 2- Thiết lập ma trận cứng phần tử: - Phần tử 1: x = ; y = ; x = a ; y = ; x = a ; y = b i i j j k k bi = y j − yk = −b ; bj = yk − yi = b ci = xk − x j = ∆= bk = yi − y j = c j = xi − xk = − a ; ck = x j − xi = a ab u1 [ K ]1 ; ; ⎡C1b ⎢ ⎢ ⎢ t ⎢ = 2ab ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ñoái ⎣ u2 2 C12b C1C2 ab C12 ab C1b2 + C12 a2 xứng - Phần tử 2: x = 0; y = 0; x = a ; y = b; x = 0; y b = y − y = ; b = y − y = b ; b = y − y = −b c = x − x = −a ; c = x − x = ; c = x − x = a i i i j k i k j ∆= j j j i i k k j k k k u4 −C1C2 ab⎤ ⎥ −C12b −C12 ab ⎥ ⎥ C1C2 ab ⎥ u1 − ( C1C2 + C12 ) ab −C12 a ⎥ C12 ab C1a2 + C12b2 −C1 a2 ⎥ u2 ⎥u C12 a2 ⎥ ⎥ C1 a ⎦ u4 −C1b u3 i k =b j j i ab 0 ⎡ C12 a ⎢ C1 a2 ⎢ ⎢ t ⎢ [ K ]2 = 2ab ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢đối xứng ⎣ u3 u4 −C12 ab −C1C2 ab −C12 a C1C2 ab −C1b2 C12 b2 C12 ab C1b ⎤0 ⎥ −C1 a ⎥0 ⎥ C1C2 ab ⎥ u3 ⎥ −C12 b ⎥ u4 −( C1C2 + C12 )ab⎥ ⎥ C1 a2 + C12 b2 ⎥⎦ C12 ab C1b2 + C12 a2 3- Ghép nối ma trận cứng tổng thể (đã xét điều kiện biên) u1 ⎡C1b2 + C12 a2 ⎢ t ⎢ [K ] = ⎢ 2ab ⎢ ⎢ ⎣ đối xứng u2 u3 − ( C1C2 + C12 ) ab 2 C1a + C12b −C12 a2 C12 ab C1b2 + C12 a2 u4 ⎤ u1 ⎥ −C1 a ⎥ u2 ⎥ ⎥ u3 ⎥ C1 a2 + C12b2 ⎦ u4 C1C2 ab 4- Thiết lập vector tải phần tử - Phần tử 1: { P}1 ⎧ ⎫0 ⎪ ⎪0 ⎪ ⎪ ⎪⎪ pb/ 2⎪⎪ =⎨ ⎬ ⎪ ⎪2 ⎪ pb/ 2⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ - Phần tử 2: { P}2 ⎧0 ⎫ ⎪0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪0⎪⎪ =⎨ ⎬ ⎪0 ⎪ ⎪0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩0⎭⎪ 5- Ghép nối véc tơ tải tổng thể (đã xét điều kiện biên) {P } * ⎧ pb/ 2⎫ ⎪ ⎪2 ⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎪ pb/ 2⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ 6- Giải hệ phương trình hệ thống { } { } ⎡ K * ⎤ u* = P* ⎣ ⎦ hay ⎡ C1b2 + C12 a2 ⎢ t ⎢ ⎢ 2ab ⎢ ⎢ ñx ⎣ thay C1 = E − ν2 ; C2 = ν − ( C1C2 + C12 ) ab −C12 a2 C1a2 + C12 b2 C12 ab C1b2 + C12 a2 ; C12 = C1 (1 − C2 ) ⎤ ⎧ u ⎫ ⎧ pb/ 2⎫ ⎥⎪ 1⎪ ⎪ −C1 a2 ⎥ ⎪u2 ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ ⎥ ⎪u3 ⎪ ⎪ pb/ 2⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ C1 a2 + C12 b2 ⎦ ⎩u4 ⎭ ⎩ ⎭ C1C2 ab ; E = 3×106 kG/cm2, ν = 0,25; t = 0,36 cm; a = 120cm; b = 160cm ta hệ phương trình: ⎡ 93 −36 −16, 14, ⎤ ⎧ u1 ⎫ ⎧800⎫ ⎪ ⎪ ⎢ 72 21, −43, 2⎥⎥ ⎪u2 ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 104 × ⎢ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎢ 93 ⎥ ⎪u3 ⎪ ⎪800⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ 72 ⎦ ⎩u4 ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎣ đx Giải ta được: ⎧u1 ⎫ ⎧11.29 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u ⎪ 2⎪ −4 ⎪1.96 ⎪ 10 = × ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ( cm) ⎪u3 ⎪ ⎪10.11 ⎪ ⎪u ⎪ ⎪⎩−1.08⎪⎭ ⎩ 4⎭ 7- Xác định ứng suất phần tử {σ}e ⎧σ x ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨σ y ⎬ = [ D ] ⎪ ⎪ ⎩τ xy ⎭ ⎡ C1 C1C2 C1 [ D] = ⎢⎢ ⎢⎣ dx [ B]{u}e ⎤ ⎥⎥ C12 ⎥⎦ ⎡bi ⎢ [ B] = ⎢ 2∆ ⎢ ⎢⎣ ci bj bk ci cj bi cj bj ck 0⎤ ⎥ ck ⎥ ⎥ bk ⎥⎦ - Phần tử 1: {σ}1 = [ D] [ B]{u}1 ⎧0 ⎫ ⎪0 ⎪ ⎪ ⎪ 0, 5⎤ ⎡ −2, 67 2, 67 −0, ⎪ 11 , 29 ⎪ ⎪⎪ ⎢ ⎥ = 104 × ⎢ −0, 67 0, 67 −2 ⎥ × 10−4 × ⎨ ⎬ 1, 96 ⎪ ⎪ ⎢⎣ ⎥ 0,75 ⎦ −1 −0, 75 ⎪10,11 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩−1, 08⎭⎪ ⎧28, 59⎫ ⎪ ⎪ = ⎨ 1, 44 ⎬ ( kG/cm2 ) ⎪ 1, 08 ⎪ ⎩ ⎭ - Phần tử 2: {σ}2 = [ D] [ B]{u}2 ⎧0 ⎫ ⎪0 ⎪ ⎪ ⎪ −0, 2, 67 −2, 67 0, 5⎤ ⎡ ⎪ ⎪ ⎥ −4 ⎪10,11 ⎪ ⎢ = 10 × ⎢ −2 0, 67 −0, 67 ⎥ × 10 × ⎨ ⎬ ⎪−1, 08⎪ ⎢⎣0,75 0 0,75 −1 ⎥⎦ ⎪0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎧26, 97 ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨ 6,74 ⎬ ( kG/cm2 ) ⎪ −1, 08 ⎪ ⎩ ⎭ ... = 3 3 2.6 ỨNG SUẤT TIẾP LỚN NHẤT Để đánh giá điều kiện bền theo thuyết bền ứng suất tiếp, cần phải xác định trị số ứng suất tiếp lớn điểm Hình 2.6 Tìm ứng suất tiếp lớn Mặt nghiêng có pháp tuyến... quan hệ, gồm ba quan hệ biến dạng góc với biến dạng dài (nhóm 1) ba quan hệ biến dạng dài biến dạng góc (nhóm 2) Trước hết, ta thiết lập nhóm Từ phương trình Cauchy ta có: γ xy = ∂u ∂v + ∂y ∂x... mặt bát diện bất biến 2.8 KHÁI NIỆM VỀ TENSOR CẦU VÀ ĐỘ LỆCH CỦA TENSOR ỨNG SUẤT Phần lớn vật rắn chịu áp lực lớn theo phương - chẳng hạn áp lực thủy tónh - mà không bị phá hoại Ngược lại, vật rắn