PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP Năm học 2014 - 2015 Mơn: TỐN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương b) Tìm số nguyên a để a2 + a + a +1 số nguyên Câu (4,0 điểm) a) Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c 3a + 5b – 7c = 60 b) Tìm cặp số nguyên x, y cho: x – 2xy + y = Câu (4,0 điểm) Tìm x biết: a) − 15 x+ = x− 12 2 b) x + x + ( x +1)( x − ) = Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D khác C, cho CD < CB , tia đối tia BC lấy điểm E cho BE = CD Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt đường thẳng AC AB K F Chứng minh rằng: a) DK = EF b) Đường thẳng BC cắt FK điểm I trung điểm đoạn thẳng FK c) Đường thẳng vng góc với FK I qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC Câu (2,0 điểm): Cho đa thức A(x) = + x + x2 + x3 + + x99 + x100 Tính giá trị đa thức A(x) x = -Hết -Chú ý: Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán Câu (4,0 điểm) a) Gọi số tự nhiên, liên tiếp n, n+1, n+2, n+3 (n ∈ Z) Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + = ( n + 3n)(n + 3n + 2) + (*) Đặt n + 3n = t (t ∈ N ) (*) = t(t + 2) + = t2 + 2t + = (t + 1) = (n2 + 3n + 1)2 Vì n ∈ N nên n + 3n + ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + số phương a + a + a (a + 1) + =a+ = a +1 a +1 a +1 a +a+3 a số nguyên nên số nguyên số nguyên a +1 a +1 b) Ta có : 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 hay a+1 ước ta có bảng sau : a+1 a Vậy với -3 -4 a = {-4; -2; 0; 2} -1 -2 a2 + a + số nguyên a +1 0,5 0,5 Câu (4,0 điểm) a) Tìm ba số a, b, c biết: a b a b = ⇒ = ; 14 21 b c b c 5b = 7c ⇒ = ⇒ = 21 15 a b c ⇒ = = 14 21 15 3a = 2b ⇒ 0,25 0,25 0,5 Áp dụng tính chất đãy tỉ số ta có: a b c 3a + 5b − 7c 60 10 = = = = = 14 21 15 3.14 + 5.21 − 7.15 42 150 ⇒ a =20; b=30; c= b) x – 2xy + y = ⇔ (1– 2y)(2x – 1) = –1 Vì x,y số nguyên nên (1 – 2y) (2x – 1) số nguyên ta có trường hợp sau : 0,5 0,5 0,5 0,5 1 − y = −1 x =1 1 − y =1 x = ⇒ ⇒ Hoặc 2 x −1 = −1 y = 2 x −1 =1 y =1 Vậy ta có x, y = (0,0) (1,1) 0,5 0,5 Câu 3: (4,0 điểm) b) − 15 15 x+ = x− ⇒− x+ = x− 12 12 13 ⇒ ( + )x = 14 0,5 0,5 49 13 x= 20 14 130 ⇒x = 343 b) x + x + ( x + 1)( x − ) = ⇒ 0,5 0,5 0,5 ⇒ x + x = ( x + 1)( x − ) = + Xét x + x = ⇒ x2 + x = ⇒ x(x + 1) = ⇒ x = x + = ⇒ x = -1 (1) + Xét ( x + 1)( x − ) = ⇒ ( x + 1)(x - 2) = ⇒ x + = x - = ⇒ x = -1 x = (2) Kết hơp (1) (2) ta x = -1 0,5 0,5 0,5 Câu 4: (6 điểm) HS vẽ hình A K 0,25 E B I C H D O F Ta có : ∠ ABC = ∠ ACB ( ∆ABC cân A) (1) ∠ ABC = ∠ EBF (Hai góc đối đỉnh) (2) Từ (1), (2) suy ∠ ACB = ∠ EBF hay ∠ KCD = ∠ EBF Xét ∆CDK ∆BEF có ∠ D = ∠ E = 90o; DC = EB (GT); ∠ KCD = ∠ EBF (C/m 0,25 0,25 0,25 trên) ⇒ ∆CDK = ∆BEF ( g.c.g) ⇒ DK = EF (hai cạnh tương ứng) Xét ∆DIK ∆EIF có ∠ D = ∠ E = 90o; DK = EF (c/m câu a) ∠ DIK = ∠ EIF 0,5 0,5 (hai góc đối đỉnh) 1,0 ⇒ ∆KCD = ∆BEF ( Hai tam giác vuông có cạnh góc vng góc nhọn nhau) ⇒ IK = IF (hai cạnh tương ứng) Vậy đường thẳng BC cắt FK điểm I trung điểm đoạn thẳng FK Kẻ AH ⊥ BC H, ta có ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – cạnh góc vng) => ∠ HAB = ∠ HAC Gọi O giao điểm AH đường vng góc với FK kẻ từ I, ta có ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) => ∠ OBA = ∠ OCA (3) ∆OIF = ∆OIK ( hai cạnh góc vng nhau) ⇒ OF = OK , từ suy ∆OBF = ∆OCK (c.c.c) => ∠ OBF = ∠ OCK (4) Từ (3) (4) suy ∠ OBA = ∠ OBF = 90o ⇒ OB ⊥ AB ⇒ điểm O cố định 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu (2,0 điểm): 1 1 1 giá trị đa thức A = + + + + + 98 + 99 + 100 2 2 2 1 1 1 1 1 ⇒ A = ( + + + + + 98 + 99 + 100 ) = + + + + + + 98 + 99 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ⇒ A = ( + + + + + 98 + 99 + 100 ) + - 100 ⇒ A = A + − 100 2 2 2 2 ⇒ A = − 100 Với x= - Hết - 0,5 0,5 0,5 0,5 ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 Mơn thi: Tốn Câu (4,0 điểm) a) Gọi số tự nhiên, liên tiếp n, n+1, n+2, n+3 (n ∈... EF (hai c? ?nh tương ứng) Xét ∆DIK ∆EIF có ∠ D = ∠ E = 90o; DK = EF (c/m câu a) ∠ DIK = ∠ EIF 0,5 0,5 (hai góc đối đ? ?nh) 1,0 ⇒ ∆KCD = ∆BEF ( Hai tam giác vng có c? ?nh góc vng góc nh? ??n nhau) ⇒ IK... 14 21 b c b c 5b = 7c ⇒ = ⇒ = 21 15 a b c ⇒ = = 14 21 15 3a = 2b ⇒ 0,25 0,25 0,5 Áp dụng t? ?nh chất đãy tỉ số ta có: a b c 3a + 5b − 7c 60 10 = = = = = 14 21 15 3.14 + 5.21 − 7. 15 42 150 ⇒ a =20;