De thi HSNK Toan lớp 7 TXPT 2011

UBND TX PHÚ THỌ PHÒNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán - Lớp Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.0 điểm) Cho a c = chứng minh rằng: c b a) a + c2 a = b2 + c b b) b2 − a b − a = a2 + c2 a Bài 2:(2,0 điểm) Xét tổng gồm n số hạng Sn = + 1 + +L+ với n ∈ ¥ * 1+ 1+ + 1+ +L+ n Chứng minh Sn < Bài 3: (2.0 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Bài 4: (2.0 điểm) µ = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm Cho tam giác ABC cân A có A tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC Bài 5: (2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân A, µA = 800 Ở miền tam giác lấy điểm I · · cho IBC = 100 , ICB = 300 Tính ·AIB UBND TX PHÚ THỌ HDC THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS PHÒNG GD&ĐT Bài NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán - Lớp Đáp án a c Bài 1: (2.0 điểm): Cho = chứng minh rằng: c b 2 a +c a b2 − a2 b − a = a) 2 b) 2 = b +c b a +c a 2 a ( a + b) a a c a) a +c a + a.b Từ = suy c = a.b , 2 = = b( a + b ) = b c b b +c b + a.b 2 2 b) a +c a b +c b Theo câu a) ta có: 2 = ⇒ 2 = b +c b a +c a 2 2 b +c b b +c b từ 2 = ⇒ 2 − = − a +c a a +c a 2 2 b +c −a −c b−a b2 − a2 b − a = = hay Vậy a2 + c2 a a2 + c2 a Điểm 0.75 0.25 0.5 0.5 Bài 2:(2,0 điểm) Xét tổng gồm n số hạng Sn = + 1 + +L+ với n ∈ ¥ * Chứng minh Sn < 1+ 1+ + 1+ +L+ n Ta có với k số nguyên dương thì:  1 = = 2 − ÷ + + L k k (k + 1)  k k +1 Thay k = 1, 2L n ta tổng 0.75 1    1  sn =  − + − + L − ÷ = 1 − ÷= − n +1 n n +1  2  n +1 * Vì n ∈ ¥ nên Sn < 0.75 0.5 Bài 3: (2.0 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Cùng đoạn đường, cận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.25 Gọi x, y, z thời gian chuyển động với vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s 0.5 5.x = y = 3.z x + x + y + z = 59 Ta có: x y z x + x + y + z 59 = = = = = 60 hay: 1 1 + + + 59 5 60 1 Do đó: x = 60 = 12 ; y = 60 = 15 ; 0.5 z = 60 = 20 0.5 Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.25 µ Bài 4: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A = 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC a) -Vẽ hình, ghi GT, KL Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) · · suy DAB = DAC · Do DAB = 200 : = 100 0.5 điểm A 20 0.5 điểm M D C B A, mà µA = 200 (gt) nên ·ABC = (1800 − 200 ) : = 800 0.25 · ∆ DBC nên DBC = 600 Tia BD nằm hai tia BA BC suy ·ABD = 800 − 600 = 200 0.25 Tia BM phân giác góc ABD nên ·ABM = 100 Xét tam giác ABM BAD có: · · = ·ABD = 200 ; ·ABM = DAB = 100 AB cạnh chung ; BAM 0.25 Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0.25 Bài 5: (2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân A, µA = 80 Ở miền tam giác lấy điểm I · · cho IBC = 100 , ICB = 300 Tính ·AIB b) ∆ ABC cân Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng BC, chứa điểm A dựng tam giác BCE Vì ∆ ABC cân A, µA = 800 nên ·ABC = ·ACB = 500 ⇒ ·ABE = ·ACE = 100 điểm A thuộc miền ∆ BCE Dẽ dàng chứng minh ∆ ABE = ∆ ICB (g c g) ⇒ BA = BI ⇒ ∆ ABI cân B, ta có 0.5 E 0.5 A 0.5 I 140 · · = = 700 = 50 − 10 = 40 ⇒ AIB ABI 0 B Hình vẽ đẹp, xác C 0.5 ...PHÒNG GD&ĐT Bài NĂM HỌC 2010 -2011 Môn: Toán - Lớp Đáp án a c Bài 1: (2.0 điểm): Cho = chứng minh rằng: c b 2 a +c a b2 − a2 b − a = a)... k k (k + 1)  k k +1 Thay k = 1, 2L n ta tổng 0 .75 1    1  sn =  − + − + L − ÷ = 1 − ÷= − n +1 n n +1  2  n +1 * Vì n ∈ ¥ nên Sn < 0 .75 0.5 Bài 3: (2.0 điểm) Một vật chuyển động cạnh... 2 − = − a +c a a +c a 2 2 b +c −a −c b−a b2 − a2 b − a = = hay Vậy a2 + c2 a a2 + c2 a Điểm 0 .75 0.25 0.5 0.5 Bài 2:(2,0 điểm) Xét tổng gồm n số hạng Sn = + 1 + +L+ với n ∈ ¥ * Chứng minh Sn