De thi HSNK Toan lớp 6 TXPT 2011

UBND TX PHÚ THỌ PHÒNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán - Lớp Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 2.0 điểm) a) Cho ababab số có sáu chữ số Chứng tỏ số ababab bội b) Cho S = + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 …+ 52004 Chứng minh S chia hết cho 126 chia hết cho 65 Bài : (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết : a) x + (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 2010) = 2029099 b) + + + + … + 2x = 210 Bài 3: (2,0 điểm) Tìm ba số nguyên tố a; b; c khác cho: abc < ab + bc + ca Bài 4: (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB trung điểm M a) Chứng tỏ C điểm thuộc tia đối tia BA CM = b) Chứng tỏ C điểm nằm M B CM = Bài 5: (2,0 điểm) Chứng tỏ số: A = 0,3 ( 1983 1983 CA + CB CA − CB − 19171917 ) số nguyên UBND TX PHÚ THỌ PHÒNG GD&ĐT HDC THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán - Lớp Bà Đáp án Điểm i Bài 1: ( 2.0 điểm) a) Cho ababab số có sáu chữ số Chứng tỏ số ababab bội b) Cho S = + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 …+ 52004 Chứng minh S chia hết cho 126 chia hết cho 65 a) = 10000 + 100 + = 10101 0,50 ab ab ab Do 10101 chia hết ababab chia hết cho hay ababab bội ababab ab b) Có: + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53) = 126 + 52.126 + 53.126 ⇒ + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 chia hết cho 126 S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + … + 51998(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) Tổng có (2004: =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên chia hết cho 126 Có: + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 130 ⇒ + 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 S = + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + … + 52000(5 + 52 + 53 + 54 ) Tổng có (2004: =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên chia hết cho 130 Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65 Bài : (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết : a) x + (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 2010) = 2029099 b) + + + + … + 2x = 210 x + (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 2010) = 2029099 a) ⇒ 2011x + + + … + 2010 = 2029099 2010.2011 = 2029099 2010.2011 ⇒ 2011x = 2029099 2010.2011    : 2011 = ⇒ x =  2029099   + + + + … + 2x = 210 ⇒ 2(1 + + + … + x) = 210 x( x + 1) = 210 ⇒2 ⇒ x( x + 1) = 210 ⇒ 2011x + b) Giải x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15) Bài 3: (2,0 điểm) Tìm ba số nguyên tố a; b; c khác cho abc < ab + bc + ca Chia vế BĐT abc < ab + bc + ac cho số dương abc 1 + + (1) Giả sử a>b>c ≥ c a b 1 Trong phân số lớn nên > → c < Vậy c = c c 1< 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0.5 Thay c = vào (1) 1 1 1 + > (2) Trong phân số ; phân số lớn a b a b b 0.5 1 nên > : = b < mà b> c = b = b 1 thay b= vào (2) > a< mà a> b = a số nguyên tố a 0.5 Vậy a = Vậy số nguyên tố a; b; c phải tìm 2; 3; hoán vị chúng Bài 4: (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB trung điểm M 0.5 CA + CB CA − CB b) Chứng tỏ C điểm nằm M B CM = CA + CB Chứng tỏ C điểm thuộc tia đối tia BA CM = a) Chứng tỏ C điểm thuộc tia đối tia BA CM = a) A b) M C B CA = MA + CM CB = MB - CM Trừ CA - CB = 2CM (Do MA = MB) 0,25 0,25 0,25 ⇒ CM = 0,25 CA − CB Chứng tỏ C điểm nằm M B CM = A M CA − CB B C CA = CM + MA CB = CM - MB Cộng CA + CB = 2CM (Do MA = MB) 0,25 0,25 0,25 ⇒ CM = 0,25 CA + CB 1983 1917 Bài 5: (2,0 điểm) Chứng tỏ số: A = 0,3 ( 1983 − 1917 ) số nguyên Ta có: k k k 19834 k = ( 1980 + 3)  = ( 10q + 34 ) = ( 10m + 1) = 10t +   19834 k +1 = 10 p + 19834 k + = 10l + 19834 k + = 10 s + Vì 1983 có dạng 4k+3 nên 19831983 =10s+7 Ta lại có: 1917 k = 10a + 1917 k +1 = 10b + 1917 k + = 10c + 1917 k +3 = 10d + Vì 1917 có dạng 4k+1 nên 19171917 =10h+7 1983 1917 Vậy A = 0,3 ( 1983 − 1917 ) số nguyên 0.25 0,5 0.25 0.5 0.25 0.25 ... 54 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53) = 1 26 + 52.1 26 + 53.1 26 ⇒ + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 chia hết cho 1 26 S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56( 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + … + 51998(5... 2029099 2010 .2011 = 2029099 2010 .2011 ⇒ 2011x = 2029099 2010 .2011    : 2011 = ⇒ x =  2029099   + + + + … + 2x = 210 ⇒ 2(1 + + + … + x) = 210 x( x + 1) = 210 ⇒2 ⇒ x( x + 1) = 210 ⇒ 2011x + b)...UBND TX PHÚ THỌ PHÒNG GD&ĐT HDC THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS NĂM HỌC 2010 -2011 Môn: Toán - Lớp Bà Đáp án Điểm i Bài 1: ( 2.0 điểm) a) Cho ababab số có sáu