Đề thi HSG Toán lớp 7

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn Toán lớp 7 Thời gian làm bài :120 phút Câu1. (3 điểm) Rút gọn biểu thức 19 3 9 4 9 10 10 2 .27 15.4 .9 6 .2 12 A + = + Câu 2. (4 điểm) Chứng minh: ( ) 1 2 3 100 3 3 3 3 120 ( ) x x x x P x N + + + + = + + + + ∈M Câu 3. (4 điểm) Cho hai hàm số 5 4 à 4 5 y x v y x − = = a. Vẽ đồ thị hai hàm số trên trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. b. Chứng minh rằng:đồ thị của hai hàm số trên vuông góc với nhau. Câu 4. (4,5điểm). Cho ∆ABC cân, µ 100A = o . Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho · · 10 , 20 .MBC MCB= = o o Trên tia đối của AC lấy điểm E sao cho CE = CB. a. Chứng minh: ∆BME đều. b. Tính · AMB Câu 5. (4,5điểm). Cho ∆ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy I và K sao cho 2 3 BI BM= và M là trung điểm của IK. Gọi N là trung điểm của KC. IN cắt AC tại O. Chứng minh: a. O là trọng tâm của ∆IKC. b. 1 3 IO BC= . HẾT ĐÁP ÁN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI Môn Toán lớp 7 (2009-2010) Câu1: (3 điểm) 19 3 9 4 19 9 18 8 18 9 9 10 10 9 9 10 2 10 19 9 2 .27 15.4 .9 2 .3 3.5.2 .3 2 .3 .(2 5) 1 6 .2 12 2 .3 .2 (2 .3) 2 .3 .(1 6) 2 A + + + = = = = + + + (mỗi bước đúng 1điểm) Câu 2: 4 điểm. (Phân tích đúng 1 bước 1điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 97 98 99 100 2 3 4 4 2 3 4 96 2 3 4 4 96 4 96 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 . 3 3 3 3 3 . 3 3 3 3 3 . 3 3 3 3 3 .120 3 .120 3 .120 120. 3 3 3 120 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x P + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + = + + + = + + + M Câu 3: 4 điểm. Vẽ đồ thị 1điểm a) (mỗi bảng 0,25điểm) Đồ thị 5 4 y x= là đường thẳng qua điểm O(0;0) và điểm A(4;5) (0,25điểm) Đồ thị 4 5 y x − = là đường thẳng qua điểm O(0;0) và điểm B(5;-4) (0,25điểm) b) Cần chứng minh OA OB ⊥ Xét ∆OMA và ∆ONB có: ¶ µ 5 90 ( . . ) 4 OM ON M N OMA ONB c g c MA NB = =   = = ⇒ ∆ = ∆   = =  o (1điểm) · · · · · · · 90 à 90 AOM BON BOA BON AON m AOM AON  =  ⇒ ⇒ = + =  + =   o o (1điểm) Vậy OA OB ⊥ Câu 4: 4,5 điểm a) Chứng minh ∆BME đều ∆ABC cân (gt), µ · µ 100 40A ABC C= ⇒ = = o o (0,25đ) CB CE BCE= ⇒ ∆ cân tại C (0,25đ) µ · · 40 70C BEC EBC= ⇒ = = o o (0,25đ) · · · 70 10 60EBM EBC MBC⇒ = − = − = o o o (1) (0,25đ) · · · 40 20 20MCE BCE MCB= − = − = o o o (0,25đ) Vì · · 20 ( . . ) CE CB MCE MCB MCE MCB c g c CM chung =   = = ⇒ ∆ = ∆    o (1đ) ME MB EMB ⇒ = ⇒ ∆ cân tại M (2) (0,25đ) Từ (1) và (2) BME ⇒ ∆ đều. (0,25đ) x 0 4 5 4 y x= 0 5 x 0 5 4 5 y x − = 0 -4 x y O B N 4 A M -4 5 5 b) · · · 40 10 30ABM ABC MBC= − = − = o o o (0,25đ) · · · 60 30 30ABE EBM ABM⇒ = − = − = o o o (0,25đ) Vì · · · · 30 ( . . ) 70 BE BM ABE ABM ABE ABM c g c BM chung AMB AEB =   = = ⇒ ∆ = ∆    ⇒ = = o o (1,25đ) 5. a) ∆IKC có MI =MK và NK= NC (gt) (0,5đ) Nên CM và IN là hai trung tuyến. (0,25đ) Mà CM cắt IN tại O nên O là trọng tâm. (0,25đ) b) ∆AMI và ∆CMK có MI = MK (gt) (0,25đ) ¶ ¶ 1 2 M M= (đđ); MA = MC (gt) (0,5đ) Nên ∆AMI = ∆CMK (c.g.c) (0,25đ) ⇒ µ µ 1 K I= và AI = KC (1) (0,25đ) ∆ABC có I là trọng tâm 1 2 IE AI⇒ = (2) (0,25đ) Mặt khác 1 2 KN KC⇒ = (3) (0,25đ) Từ (1), (2) và (3) ⇒ KN = IE (0,25đ) ∆IBE và ∆KIN có KN = IE (cmt) (0,25đ) µ µ µ 2 1 ( )K I I= = ; IB =IK (0,25đ) Nên ∆IBE = ∆KIN (c.g.c) (0,25đ) IN BE ⇒ = mà 1 1 2 2 BE BC IN BC= ⇒ = (4) (0,25đ) ∆IKC có O là trọng tâm nên 2 3 IO IN= (5) (0,25đ) Từ (4) và (5) 2 1 1 . 3 2 3 IO BC BC⇒ = = (0,25đ) . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn Toán lớp 7 Thời gian làm bài :120 phút Câu1. (3 điểm) Rút gọn biểu thức 19 3 9 4 9 10 10 2 . 27 15.4 .9 6 .2 12 A + = + Câu 2. (4. ∆IKC. b. 1 3 IO BC= . HẾT ĐÁP ÁN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI Môn Toán lớp 7 (2009-2010) Câu1: (3 điểm) 19 3 9 4 19 9 18 8 18 9 9 10 10 9 9 10 2 10 19 9 2 . 27 15.4 .9 2 .3 3.5.2 .3 2 .3 .(2 5) 1 6. điểm a) Chứng minh ∆BME đều ∆ABC cân (gt), µ · µ 100 40A ABC C= ⇒ = = o o (0,25đ) CB CE BCE= ⇒ ∆ cân tại C (0,25đ) µ · · 40 70 C BEC EBC= ⇒ = = o o (0,25đ) · · · 70 10 60EBM EBC MBC⇒ = −