Luận văn thạc sĩ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Y LƯƠNG MINH PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC Á TUYEN TÍNH CAP HAI DANG BAO TỒN Chun ngành: Tốn Giai Tích Mã so : 60460102 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS.TS HÀ TIEN NGOAN Hà N®i - Năm 2016 Mnc lnc Ma đau Các kien thÉc can chuan b% A 1.1 Không gian Sobolev W (Ω) m 1.2 Không gian Holder 1.3 Không gian Bm(Ω, M, γ, δ, ) q 1.4 Đ%nh lý Leray-Shauder Nghi¾m suy r®ng cua phương trình elliptic tuyen tính cap hai dang bao tồn 11 2.1 Phương trình elliptic tuyen tớnh cap hai dang bao ton Nghiắm suy rđng b% ch¾n 2.2 Tính nhat nghi¾m cna tốn Dirichlet mien đn nho 2.3 Đánh giá bên mien đoi vói gradient cna nghiắm suy rđng (ess max |u|) Ω 12 18 2.4 Đánh giá toàn mien đoi vúi gradient cna nghiắm suy rđng 2.5 ao hm cap hai cna nghiắm suy rđng 27 2.6 Đánh giá chuan Holder đoi vói đao hàm cap cna nghiắm suy rđng ( |u|A,,, A ) 2.7 đ lún cna nghiắm suy rđng trờn toàn mien 33 2.8 Tính giai đưoc cna tốn Dirichlet 24 J 21 30 36 Ket lu¾n 41 Tài li¾u tham khao 43 Ma đau Lí thuyet ve phương trình elliptic tuyen tính đưoc nhieu nhà khoa HQc nghiên cúu rat cu the, chi tiet đay n ó a vo %nh ngha lúp nghiắm suy rđng cna phương trình gom hàm có đao hàm cap m®t thoa mãn thúc tích phân mien Các phương trình elliptic tuyen tính sau có m®t l%ch su phát trien lâu dài, có sn khác bi¾t so vói phương trình tuyen tính l cỏc so cna hắ phng trỡnh phu thuđc vo an hm thắm l ao hm cap mđt cna an hm Vỡ vắy khỏi niắm nghiắm suy rđng oc a vo cú mđt so cỏch khỏc biắt Luắn nham muc đích trình bay lý thuyet nghi¾m suy rđng b% chắn cna phng trỡnh elliptic ỏ tuyen tớnh cap hai dang bao tồn Bo cuc cna lu¾n văn bao gom phan Mo Đau, hai chương n®i dung chính, Ket lu¾n Tài li¾u tham khao Chương Chuan b% kien thúc ban ve không gian Banach, cu the là, không gian Sobolev, không gian Holder, Đ%nh lý Leray-Schauder m®t so ket qua can thiet khác đưoc trình bày chương đe làm so cho vi¾c phát trien chương Chương Giói thi¾u lóp phương trình tuyen tính cap hai dang bao ton v nghiắm suy rđng cna chúng Tính nhat nghi¾m cna tốn Dirichlet mien đn nho Tiep theo se nghiên cúu đánh giá bên mien tồn mien đoi vói gradient cna ngiắm suy rđng b% chắn ỏnh giỏ chuan Holder đoi vói đao hàm cap m®t đao hàm cap cao cna nghiắm suy rđng đ lún cna nghiắm suy r®ng Cuoi cùng, tính giai đưoc cna tốn Dirichlet cng oc nghiờn cỳu Nđi dung chớnh cna luắn văn đưoc trình bày dna theo cuon " Linear and Quasilinear Elliptic equations" cna Ladyzhenskaya, Olga A and Ural’tseva, Nina N, (1968) Nhân d%p này, tác gia xin chân thành bày to lịng kính TRQNG biet ơn sâu sac tói Thay hưóng dan PGS.TS Hà Tien Ngoan, ngưịi giúp đõ, chi đao t¾n tình, chu đáo cho tác gia q trình HQc t¾p, nghiên cúu hồn thành ban lu¾n văn Tác gia xin chân TRQNG cam ơn Ban lãnh đao Trưòng Đai hQc Khoa HQc Tn Nhiên, Phịng Sau đai HQc, thay giáo tồn the cán b®, cơng nhân viên Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc giang day tao MQI đieu ki¾n thu¾n loi cho tác gia suot thịi gian HQc t¾p tai trưịng Tác gia xin chân thành cam ơn rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp, phê bình cna thay cơ, ban cho ban lu¾n văn Chương Các kien thÉc can chuan b% Trong chương này, cung cap m®t so kien thúc ban đe phuc vu cho viắc xõy dnng nđi dung chớnh o chng sau Dúi kí hi¾u thưịng dùng lu¾n văn • N = {1, 2, } t¾p hop so tn nhiên, Z+ = {0, 1, 2, } t¾p hop so ngun khơng âm, R t¾p cỏc so thnc, C l cỏc so phỳc ã En : Không gian Euclid n−chieu, ≤ n ∈ N, x = (x1, , xn) kớ hiắu iem thuđc En ã : kớ hiắu mđt mien b% chắn En, cu the l mđt mo liờn thụng tùy ý, đưoc chúa m®t hình cau có bán kớnh n lún ã S : kớ hiắu biờn cna ã : kớ hiắu bao úng cna , túc ¯ Ω¯ = Ω ∪ S • ΩJ : kớ hiắu mđt mien thnc sn nam Ω, khoang cách giua ΩJ S ln dng ã K : kớ hiắu hỡnh cau bỏn kớnh ρ En; χn = mesK1 • Ωρ = Kρ ∩ Ω • x = (x1, , xn), chuan |x| = n Σ 1/2 Σ x2 i=1 i Tat ca hàm ưóc lưong lu¾n văn đeu thnc, trù đưoc đe cắp cu the Gia su u(x) l mđt hm cna x, (x)); |∇u| (u ) n xi Σ 1/2 = i=1 Σ ∇u(x) = ux(x) = (ux1 (x), , uxn ν, µ, ε, δ, δk, θ, γ kí hi¾u cho hang so dương ν(t), à(t) lan lot kớ hiắu cho mđt hm liờn tuc khơng tăng, khơng giam đoi vói t ≥ M®t hàm u(x) đưoc GQI có giá compact Ω neu nú triắt tiờu mđt lõn cắn cna biờn cna Ω Giá cna hàm đo đưoc u(x) đưoc đ%nh nghĩa boi suppu = {x ∈ Ω|∀ρ > m{y ∈ Kρ(x) ∩ Ω|u(y) ƒ= 0} > 0} Đieu ki¾n (A) Chúng ta nói rang biên S cna mien Ω (hoắc mđt phan S1 cna nú) thoa ieu kiắn (A) neu ton tai hai so dương a0 θ0 cho, đoi vói MQI hình cau tùy ý có tâm S (tương úng, S1 ), bán kính ρ ≤ a0 vói m®t phan liên thơng bat kì Ωˆ ρ cna Ωρ = Kρ ∩ Ω, bat thúc sau xay mesΩˆ ρ ≤ (1 − θ0 )mesKρ 1.1 Không gian Sobolev W A m(Ω) 1.1.1 Không gian Lm(Ω), ≤ m < ∞ Lm(Ω) kí hi¾u khơng gian Banach gom tat ca hàm u(x) đo đưoc xác đ%nh Ω m - kha tích Chuan khơng gian đưoc xác đ%nh sau (Ω) = Σ 1/m Ω m ǁuǁL |u| dx m ∫ Khi m = ∞, ký hi¾u L∞(Ω) = {u : Ω → C|ess max |u(x)| < +∞} Ω đó, ess max |u(x)| = inf{M > 0|m{x ∈ Ω||u(x)| > M} = 0} Ω e đây, tính đo đưoc tính kha tích đưoc hieu theo nghĩa Lebesgue Các phan tu Lm(Ω) lóp hàm tương đương Ω 1.1.2 Khơng gian W Am(Ω); ≤ m < ∞, A ∈ Z+ Không gian Sobolev W A (Ω) không gian bao gom hàm suy r®ng m u(x) ∈ Lm(Ω) mà đao hàm suy r®ng Dαu ∈ Lm(Ω), |α| ≤ A Khí đó, chuan cna u(x) ∈ W A (Ω) đưoc đ%nh nghĩa boi m    ΣA Σ ∫ m |D(α)u|m ǁuǁW Ỉm(Ω) = Ω|u|  + dx 1/m |α|=1 (α) đó, α = (α1, α2, , αn) ∈ Z n , |α| = α1 + α2 + + αn, + α α1 α2 αn D u = D D D u, Dαj = ∂ , j = 1, 2, αj j n αj ∂xj ˚ A (Ω); ≤ m < ∞, A ∈ Z+ 1.1.3 Không gian W m Không gian Sobolev W˚ A (Ω) vói ≤ m < +∞ bao đóng cna C ∞ (Ω) m chuan cna không gian WA (Ω) m W˚ A (Ω) = C ∞ (Ω) Kí hi¾u: m Khi W˚ A (Ω) = {u(x) : u(x) ∈ W A (Ω), Dα u|S = 0; |α| ™ A − 1} m m 1.2 Khơng gian Holder Cho Ω m®t mien b% chắn ( giúi nđi ) Rn Ta %nh ngha mđt so khụng gian : ã Khụng gian C0(), Ck(Ω) C0(Ω) = {u : Ω → C|u liên tuc Ω} Ck(Ω) = {u : Ω → C|u kha vi liên tuc đen cap k} • Khơng gian C (Ω¯ ), C k (Ω¯ ) C (Ω¯) khơng gian hàm liên tuc vói chuan Ω¯ |u|0,Ω = sup |u(x)| Ω C (Ω¯ ) = {u(x) ∈ C (Ω¯ ) : Dα u ∈ C (Ω¯ ), k ∀|α| ≤ k} vói chuan Σ |Dαu|0,Ω |u| = |α|≤k k,Ω¯ k ∈ Z+ • Không gian C 0,γ (Ω¯) C 0,γ (Ω¯ ) = {u(x) ∈ C (Ω); [u] (γ),Ω = sup x,y∈Ω |u(x) − u(y)| ;  m vói ε < 1; r3 > qε+n(ε−1  ) q n +q • (3) ≤ α1 < m n − r , ≤ α2 < mnn+q − − q , n+q ≤ α1 < ε −1− n q r2 r3 Chúng ta se chúng to rang gia thuyet ny l n e cỏc nghiắm suy rđng W m phan (Ω) ∩ Lq(Ω) b% ch¾n đe tat ca đ%nh lý 2.1-2.6 có the áp dung đưoc cho nghi¾m the Chúng minh cna đ %nh lí sau ban dna Đ%nh lý 2.5.1 Đ%nh lý 2.7.1 Gia su u(x) l cỏc nghiắm suy rđng W nm (Ω) ∩ L (Ω), n ≥ m > 1, q ≥ q∗ = , m n−m cua phương trình (2.1) gia su rang ess max |u| = M0 < ∞ S Gia su đieu ki¾n (2.32), (2.33) đưac thóa cho ai(x, u, p) a(x, u, p), rang bat thúc đó, tham so ε αi(i = 1, 2, 3) hàm ϕi(i = 1, 2, 3) thóa đieu ki¾n (1)-(3) Khi đó, ess maxΩ |u| b% chắn bỏi mđt bieu thỳc theo uLq () , M0 , ν1 , ε, αi , ǁϕǁLri (Ω) , i = 1, 2, 3, mesΩ Như đe c¾p, Đ%nh lý 2.7.1 cho phép áp dung tat ca đ %nh lý phan 2.1-2.6 cho m®t nghiắm suy rđng tựy ý W m () ∩ Lq(Ω) Đ¾c bi¾t, neu gia thiet cna Đ%nh lý 2.7.1 đưoc thoa mãn neu a thoa mãn bat thúc (2.13) (2.14), đ%nh lý ve tính nhat khoang nho cho nghi¾m cna phương trình (2.1) lóp Wm1 (Ω) ∩ Lq(Ω) Chúng ta tói ket qua sau: Đ%nh lý 2.7.2 Gia su hàm u(x), a thóa mãn đieu ki¾n Đ %nh lí 2.7.1, u(x) liên tnc theo nghĩa Holder vái mũ α > mien Ω, so mũ đưac xác đ%nh theo đai lưang giong ess max |u| Đ%nh lý 2.7.1 Ω Vái mien túy ý ΩJ ⊂⊂ Ω chuan |u|α,Ω b% ch¾n theo đai lưang tương tn J khoang cách tù ΩJ đen S Neu thêm vào đó, S thóa ieu kiắn (A) v u|S thuđc lỏp C, thỡ |u|α,Ω, vái α ≤ β, b% ch¾n theo hang so đieu ki¾n cua Đ%nh lý 2.7.1, hang so a0 θ0 , β, mesΩ chuan | u|β,S ǁuǁLq (Ω) Giá tr% cna khang đ%nh đưoc trnc tiep suy tù Đ%nh lý 2.7.1 2.1.1 trưòng hop hàm ϕi, i = 1, 2, 3, (trong đieu ki¾n cna Đ %nh lý 2.7.1) b% ch¾n Trong trưịng hop tőng quát, chúng mói chi chúng minh rang u có ess maxΩ |u| b% ch¾n Tuy nhiên, bang l¾p lu¾n tương tn chúng minh cna Đ%nh lý 2.1.1, có the de dàng chúng to rang u thu®c lóp Bm(Ω, M, γ, δ, q1 ) vói q1 = min{mr1, mr2, εr3} > n Trên so cna Đ%nh lý 2.6.1 2.7.1, đieu chúng minh giá tr% cna khang đ%nh Đ%nh lý 2.7.2 2.8 Tính giai đưac cua tốn Dirichlet Trong phan này, nghiên cúu van đe ve tính giai đưoc cna tốn Dirichlet đoi vói phương trình dang Lu ≡ m®t mien túy ý Ω d dxi (ai(x, u, ux)) + a(x, u, ux) = (2.34) Các nghi¾m cna phương trình (2.34) mà tìm phai thoa biên S cna mien Ω đieu ki¾n sau n Xét tốn u|s = ϕ(x)|S Σi= x|m−2 L0u ≡ ∂ ∂xi | ∂ u ∂ i Σ ∂xi ∂u =0 (2.35) u|S = ∂ u m−2 ∂ u | ∂x ∂x h¾ so, ˚ai = | i ,˚a = i Bài tốn (2.35) đưoc chi ln ton tai huu han nghi¾m Xét phương trình Lτ u ≡ (1 − τ )L0u + τ Lu, τ ∈ [0, 1] e đây, (x, u, ux , τ ) = (1 − τ )˚ai + τ a(x, u, ux, τ ) = τa Tương úng toán Dirichlet Lτ (u) = (2.36) u|S = τϕ|S, τ ∈ [0, 1] Ta se chúng minh tốn (2.36) có nghi¾m vói MQI τ ∈ [0, 1] Vi¾c chi đieu ki¾n ton tai nghi¾m cna tốn (2.36) dna vào nguyên lý Leray-Schauder Trong Leray-Schauder, trưóc het ta xây dnng ánh xa Φ(v, τ ) Xét toán tuyen tính ∂a τ )i(x, v, vx, w ∂vxj xi xj , τ ) = 0, = τϕ|S, + A(x, v, w|S vx (2.37) vói A(x, v, ) ∂ai(x, v, , τ ) = a(x, v , xτ, )τ + v vx v, vx ∂v + , ∂ai(x, v, vx, τ ) ∂x j xj Tìm ánh xa Φ(v, τ ) bang cách tù m®t hàm v(x) biet ta tìm w(x) nghi¾m cna phương trình (2.37) Tìm w(x) bang cách giai tốn Dirichlet cho phương trình (2.37) Bài tốn tuyen tính (2.37) đưoc chi có ton tai nghi¾m ( Theo chương cna [1] ) Nó xác đ%nh m®t tốn tu phi tuyen Φ(v, τ ) = w(x), Các điem bat đ®ng tương úng vói ánh xa Φ(v, τ ) nghi¾m cna tốn (2.36) Bài tốn (2.36)tương đương vói vi¾c xác đ%nh nghi¾m cna phương trình u = Φ(v, τ ) (2.38) Các Đ%nh lý 2.4.1 2.6.1 chúng to rang, đoi vói ch¾n tiên nghi¾m v¾y cho u(x, τ ), can yêu cau rang hàm ai(x, u, p, τ ) a(x, u, p, τ ) thoa bat thúc sau cho x ∈ Ω¯ , |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] p tùy ý: n ν(1 + |p|2 ) |a(x, v, p, τ )| + ∂ai m−2 Σ i p, τ ) ∂aii= ξ ≤ ξξ ∂ai(x, v, ∂ p i j n ≤ µ(1 + |p|2) m−2 ξ2, j + |a |Σ (1 + |p|2 µ(1 + |p| 2) m Σ i= i | ∂u | i ) 2+ | ∂x | (2.39) ≤ o µ ν hang so dương m > Khi đieu ki¾n đưoc thoa mãn, theo Đ%nh lý 2.4.1 2.6.1 có max |∇u(x, τ )| ≤ M 1, Ω n Σ i=1 |uxi |β,Ω ≤ M2 , (2.40) o hang so M1, M2 β chi đưoc xác đ%nh boi đai lưong n, M, m, ν µ (2.39) Đ%nh lý 2.8.1 Gia su đieu ki¾n sau đưac thóa mãn: (a) Vái x ∈ Ω¯ , |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] p tùy ý, hàm (x, u, p, τ ) a(x, u, p, τ ) đo đưac hàm ai(x, u, p, τ ) kha vi theo x, u, p chúng thóa bat thúc (2.39) (b) Vái x ∈ Ω¯ , |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] |p| ≤ M1 (vái M1 hang so (2.40)), đưac xác đ%nh bái Đ%nh lý 2.4.1), hàm a, ∂ai i ∂ai ∂ai , , , ∂pj ∂u ∂xj a liên tnc theo x, u, p τ, đong thài thóa mãn đieu ki¾n Holder theo x, u, p vái mũ α > đeu theo τ ∈ [0, 1] (c) Các hàm a (x, u, p, τ ), a(x, u, p, τ ) i ∂ai ∂ai ∂ai , , ∂pj ∂u ∂xj vái tư cách hàm cua C 0,α {x ∈ Ω¯ , |u| ≤ M, |p| ≤ M1 } liên tnc đeu theo tham so τ ∈ [0, 1] (d) S ∈ C 2,α (Ω¯ ) ϕ ∈ C 2,α (Ω¯ ) Các đieu ki¾n đam bao cho đánh giá tiên nghi¾m bên áp dung đưoc Nguyên lý Leray- Shauder CHQN không gian Banach CHQN Ánh xa H = C 1,β (Ω¯ ) M⊂H Φτ : M −→ M v ∈ M −→ w = Φ(v, τ ) ∈ M w(x) = Φ(v, τ ) ∈ C 2,α (Ω¯ ) Khi đó, (1) (2) Φ(v, τ ) hoàn toàn liên tuc, liên tuc đeu M¯ (3)Ta mo r®ng max |v(x)| ≤ M +ε, max |∇u(x, τ )| ≤ M1+ε, Ω Ω M2 + ε n Σ |uxi |β,Ω ≤ i=1 vói ε > 0, biên cna M khơng chúa nghi¾m cna phương trình (2.38) (4) Vói τ = tốn (2.35) ln có huu han nghi¾m Ánh xa Φ(v, τ ) thoa mãn đieu ki¾n cna đ%nh lý Ledray - Shauder Do đó, Theo Nguyên lý Leray- Shauder Bài toỏn (2.36) cú ớt nhat mđt nghiắm u(x, ) ∈ C 2,α (Ω¯ ) vói MQI τ ∈ [0, 1] Khi τ = ta se có nghi¾m cna tốn ban đau Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày nghiên cúu ve phương trình elliptic cap hai, đ¾c bi¾t lóp phương trình tuyen tính dang bao tồn Chương 1, chuan b% kien thúc ban ve không gian Banach, cu the là, không gian Sobolev , không gian Holder, không gian Bm(Ω, M, γ, δ, q ), Đ%nh lý Leray-Schauder ket qua can thiet đe làm so cho vi¾c phát trien chương Chương 2, trình bày ket qua ve tính giai đưoc (đ%a phương) cna phương trình elliptic tuyen tính dang bao tồn Các ket qua đưoc lan lưot trình bay o muc 2.1 đen 2.7, vói đ%nh lý ve tính nhat nghi¾m mien đn nho, đánh giá ve đ bien thiờn cna nghiắm bờn mien v trờn biên cna mien Ω Bên canh đó, lu¾n văn đưa đánh giá đoi vói đao hàm cap cao cna nghi¾m, tù dan đen tính giai đưoc cna tốn Lu¾n văn trình bày nhung lí thuyet ket qua quan TRQNG nhat ve phương trình tuyen tính cap hai dang bao tồn Tuy nhiên, có m®t so ket qua van chưa đưoc đe cắp het luắn ieu ny, mđt phan vỡ lưong tri thúc ve phương trình tuyen tính cap hai dang bao tồn lón, mà kha cna em có han Phan nua, đe đam bao tính ngan GQN, súc tích cna lu¾n văn, em chi cHQN lna trình bày nhung van đe quan TRQNG ket qua női b¾t nhat M¾c dù co gang het súc, lu¾n văn van có the cịn nhieu sai sót Em rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tài li¾u tham khao [1] Ladyzhenskaya, Olga A and Ural’tseva, Nina N, (1968) Linear and quasilinear elliptic equations Academic Press, New York and London [2] Leray J and Schauder J Topologie et equations fonctionnelles Ann Ec N Sup., 51, 45-78 (1934) [3] Ladyzhenskaya, O A and N N Ural’tseva The variational problems and quasilinear elliptic equations with several independent variables Doklady Akad Nauk, USSR, 135, No.6, 1330-1334 (1960) [4] Ladyzhenskaya, O A and N N Ural’tseva Quasilinear elliptic equations variational problems with several independent variables Upekhi matematicheskikh nauk, XVI, No.1 (97), 19-90 (1961) [5] Ural’tseva, N N The regularity of solutions of many-dimensional elliptic equations and variational problems Doklady Akad Nauk, USSR, 130, No.6, 1206-1209 (1960) [6] Sobolev, S L Applications of functional analysis in mathematical physics Providence, Rhore Island, American Mathematical Society (1963) [7] Smirnov, V I A course of higher mathematics Vol 5, Reading, Mass., Addison and Wesley (1964) ... thoa mãn thúc tích phân mien Các phương trình elliptic tuyen tính sau có m®t l%ch su phát trien lâu dài, có sn khác bi¾t so vói phương trình tuyen tính so cna h¾ phương trình phu thuđc vo an hm thắm... Ω Các ket qua mói đay đn nhat cna lóp phương trình đat đưoc sn liên h¾ vói van đe ve tính giai đưoc cna toán giá tr% biên tính chat trơn cna nghi¾m 2.1 Phương trình elliptic tuyen tớnh cap hai. .. nh the cho phương trình elliptic tuyen tính cna Bernstein Phương pháp Bernstein cho phép ch¾n giá tr% tuy¾t đoi cna maximum cna gradient biên đoi vói nghi¾m cna phương trình tuyen tính dang aij