Luận văn thạc sĩ phương trình liên hợp và ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN THU QUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HeP VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Hà N®i - Năm 2013 NGUYEN THU QUN PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HeP VÀ ÚNG DUNG Chun ngành: TỐN HOC TÍNH TỐN Mã so : 60 46 30 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC GIÁO SƯ TIEN S ắNG QUANG H Nđi - Nm 2013 Mnc lnc Lài cam ơn iii Lài nói đau iv Kien thÉc ban ve phương trình liên hap 1.1 Bài tốn liên hop cho tốn dùng m®t chieu 1.2 Bài toán liên hop cna toán khuech tán khơng gian m®t chieu SE ton tai, tính nhat on đ%nh nghi¾m cua tốn tràn dau khơng gian hai chieu 10 2.1 Bài tốn tràn dau khơng gian hai chieu .10 2.2 Bài toán liên hop 14 2.3 Sn ton tai, tính őn đ%nh nhat nghiắm 16 2.3.1 Mđt so không gian hàm 16 2.3.2 Sn ton tai, tính őn đ%nh nhat nghi¾m cna toán18 Giai so toán tràn dau 24 3.1 Phương pháp xác đ%nh v% trí thịi gian tràn dau 24 3.2 Bài tốn tràn dau khơng gian m®t chieu 29 3.2.1 Bài toán ban đau toán liên hop 29 3.2.2 Lưoc đo giai so 31 3.2.3 Ket qua giai so 34 i 3.3 Bài toán tràn dau không gian hai chieu ii 38 MUC LUC 3.3.1 Bài toán ban đau toán liên hop 38 3.3.2 Lưoc đo giai so .39 3.3.3 Ket qua giai so .42 Ket lu¾n 51 Tài li¾u tham khao 53 Phn lnc 54 ii Lài cam ơn Ban lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan chi bao t¾n tình cna Giáo sư Tien sĩ Đ¾ng Quang Á Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan, nhi¾t tình chi bao giai đáp thac mac cna tơi suot q trình làm lu¾n văn Tơi xin trân TRQNG bày to lòng biet ơn sâu sac đen ngưịi thay cna Qua đây, tơi xin gui tói thay cơng tác tai Khoa Tốn-Cơ-Tin HQ c, Trưòng Đai HQc Khoa HQ c Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia H Nđi ó tao ieu kiắn cho chúng tơi có mơi trưịng HQc t¾p nghiên cúu tot Tôi vô biet ơn thay cô tham gia giang day khóa Cao HQc 2010 - 2012 dành nhieu cơng lao day thịi gian chúng tơi HQc t¾p tai trưịng Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè, nhung ngưịi ln cő vũ, đ®ng viên tơi q trình suot q trình HQc t¾p lm luắn H Nđi, ngy thỏng 10 nm 2013 HQc viên Nguyen Thu Quyên iii Lài nói đau Phương trình liên hop ngày đưoc su dung r®ng rãi nghiên cúu tốn HQ c áp dung mơ hình thnc tien Đ¾c bi¾t, phương pháp phương trình liên hop có the đưa rat nhieu ý tưong mói cho vi¾c giai tốn mơi trưịng phân tích mơ hình bien đői khớ hắu hay nghiờn cỳu mỳc đ ụ nhiem mụi trưịng nưóc, khơng khí, Hi¾n có tài li¾u trình bày ve van đe áp dung phương trình liên hop tốn mơi trưịng nói chung tốn tràn dau nói riêng [2], [3], [7], [8] Tuy nhiên, kien thúc tương đoi trùu tưong phan lón mơ hình tốn HQc sơ đo tính tốn cịn mo Do v¾y, trưóc het tác gia mong muon nhung kien thúc cu the gan gũi cuon lu¾n văn “Phương trình liên hop úng dung” se tài li¾u huu ích đoi vói nhung bat đau quan tâm đen đe tài Phương trình liên hop Bên canh đó, muc tiêu quan TRQNG cna lu¾n văn trình bày úng dung phương trình liên hop vào tốn tràn dau vói mơ hình thu¾t giai so cu the đe giai tốn Lu¾n văn hưóng tói vi¾c giai ca hai tốn thu¾n tốn ngưoc Bài tốn thu¾n tốn mơ phong q trình tràn dau theo v% trí thịi gian Bài tốn ngưoc tốn xác đ%nh v% trí thòi gian xay sn co tràn dau Nhung tính tốn cho phép ta dn đốn xác nguon phát nhiem, q trình lan truyen múc đ® nhiem tai MQI thịi điem vào bat cú thịi gian Tù nhung dn đốn ta có the đưa phương án làm sach m¾t bien hay bao v¾ khu vnc sinh thái nhay cam Ngồi phan mo đau, ket lu¾n, mã chương trình danh muc tài li¾u tham khao, lu¾n văn gom ba chương: - Chương 1: Kien thúc ban ve phương trình liên hop - Chương 2: Sn ton tai, tính őn đ%nh nhat nghi¾m cna tốn tràn dau không gian hai chieu - Chương 3: Giai so tốn tràn dau Vì trình đ® thịi gian nghiên cúu viet lu¾n văn có han nên khơng tránh khoi thieu sót Tác gia rat mong đưoc sn chi bao đóng góp ý kien cna thay giáo, đong nghi¾p ban quan tâm đen van đe đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n iv Chương Kien thÉc ban ve phương trình liên hap Chương trình bày nhung kien thúc ban nhat ve phương trình liên hop khái ni¾m phương trình liên hop, cách xây dnng toán liên hop cho toán dùng toán khuech tán đe làm so cho chương sau Trong chương ta đe c¾p đen hàm đ nhay v mđt vớ du the hiắn tớnh u vi¾t cna vi¾c giai tốn nhị vào phương trình liên hop 1.1 Bài toán liên hap cho toán dÈng m®t chieu Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho phương trình Lu = f, (1.1) f ∈ H ≡ L2(0, 1), L tốn tu vi phân xác đ%nh trên1 mien 2 ∫ d u D(L) = {u ∈ C1(0, 1) : u(0) = u(1) = 0; {( ) + ( + u(x)2}dx < +∞} du ) dx2 dx Khi phương trình (1.2) L∗ v = p, p ∈ H ≡ L2 (0, 1) vái L∗ toán tu vi phân xác đ%nh mien ∫ 2 d v dv D(L∗ ) = {v ∈ C1 (0, 1); v(0) = v(1) = 0; {( ) +( ) + v(x)2 }dx < +∞ } dx d x đưac GQI phương trình liên hap cua phương trình (1.1) neu thoa mãn thúc Lagrange (Lu, v) = (u, L∗ v) (1.3) Chương Kien thúc ban ve phương trình liên hap vái u, v thóa mãn (1.1), (1.2) Phương trình (1.1) đưac GQI phương trình ban đau Bây giị ta xét tốn  dùng m®t chieu d2 φ   dφ (1.4) (0, 1) φ(0) = φ(1) =  f ∈ H, φ ∈ D(L) Ta có: d2φ dφ (Lφ, φ ) = (− + ,φ) ∫ d2φ dφ ∗ = ∗ (− + )φ dx 2 dx dx dx dx = φφ∗| + ∫1 ∗ dx ∫1 ∗ φ − ∗ φd φdx ∫1 dφ dx dx − dφ dφ dx dx ∗ = φ∗ − ∫1 d φ ∗ φd φ dx dx dx2 0 dx dφ∗ , (Lφ, φ ) = + (φ, Đ¾t L∗ φ∗ ≡ − ∗ ∗ dx dφ φ L∗ φ∗ ) dx − Vói gia thiet φ∗ (0) = φ∗ (1) = 0, ta có (Lφ, φ∗ ).= (φ, L∗ φ∗ ), túc thúc d2φ∗ ∗ Lagrange đưoc thoa mãn Như v¾y tốn liên hop cna toán (1.4)  L∗φ ∗ d2φ dφ∗  ∗ ≡− 2− = p(x), x ∈ (0, 1)  dx dx  φ∗(0) = φ∗(1) =  p(x) ∈ H, φ∗ ∈ D(L∗ ) (1.5) Gia su can tính giá tr% phiem hàm ∫1 J =0 p(x)φ(x)dx (1.6) miu1=0; miu2=0; ynext=he3diagD(A,B,C,phi,miu1,miu2,N); y0=ynext; for i=1:N-1; yy(i+1)=y0(i); end; yy(1)=miu1; yy(N+1)=miu2; // luu vao mang for i=1:N+1 nongdo1(j+1,i)=yy(i); end; if mod(j,2)==0 plot(xx,yy,mau(mod(j,7)+1)) end end; // het vong lap theo j //legend(’0’,’1’,’2’,’3’,’4’,’5’) // Chuong trinh giai bai toan lien hop, dat nguon tai r1=33 (diem nut 250) clear all // Khoi tao mau=[’y’ ’m’ ’c’ ’r’ ’g’ ’b’ ’k’]; //n=input(’Cho n= ’) //L=input(’cho L= ’) L=50; n=150; h=L/n; tau=0.5; miu=0.1;// he so khuyech tan //sigma=0.05; // he so phan huy sigma=0.0 h2=h*h; r=miu*tau/h2; N=2*n; for i=0:N; xx(i+1)=i*h-L; end; xx(1)=-L; xx(N+1)=L; for i=1:N+1; uu(i)=-u(xx(i)); R=0.5*h*abs(uu(i))/miu; kapa(i)=1/ (1+R); bp(i)=(uu(i)+abs(uu(i)))/ (2*miu); bm(i)=(uu(i)-abs(uu(i)))/(2*miu); end; // GAN GIA TRI DAU (TAI LOP J=0) for i=1:N-1; y0(i)=0; end; y0(250)=1/h; is=250; // nut tap trung nguon yy(1)=0;yy(N+1)=0; for i=1:N-1; yy(i+1)=y0(i); end; //plot(xx,yy,’r’) hold on for j=0:80; // bat dau tinh cho tung lop thoi gian for i=1:N-1; phi(i)=y0(i); // Tinh ve phai end; for i=1:N-1; A(i)=r*kapa(i+1)-miu*tau*bm(i+1)/h; B(i)=r*kapa(i+1)+miu*tau*bp(i+1)/h; C(i)=1+A(i)+B(i)+sigma*tau; end; miu1=0; miu2=0; ynext=he3diagD(A,B,C,phi,miu1,miu2,N); y0=ynext; for i=1:N-1; yy(i+1)=y0(i); end; yy(1)=miu1; yy(N+1)=miu2; // luu vao mang for i=1:N+1 nongdo1(j+1,i)=yy(i); end; if mod(j,2)==0 plot(xx,yy,mau(mod(j,7)+1)) end end; // het vong lap theo j //legend(’0’,’1’,’2’,’3’,’4’,’5’) // Chuong trinh giai bai toan lien hop, dat nguon tai r2=20 (diem nut 210) clear all // Khoi tao mau=[’y’ ’m’ ’c’ ’r’ ’g’ ’b’ ’k’]; //n=input(’Cho n= ’) //L=input(’cho L= ’) L=50; n=150; h=L/n; tau=0.5; miu=0.1;// he so khuyech tan //sigma=0.05; // he so phan huy sigma=0.0 h2=h*h; r=miu*tau/h2; N=2*n; for i=0:N; xx(i+1)=i*h-L; end; xx(1)=-L; xx(N+1)=L; for i=1:N+1; uu(i)=-u(xx(i)); R=0.5*h*abs(uu(i))/miu; kapa(i)=1/ (1+R); bp(i)=(uu(i)+abs(uu(i)))/ (2*miu); bm(i)=(uu(i)-abs(uu(i)))/(2*miu); end; // GAN GIA TRI DAU (TAI LOP J=0) for i=1:N-1; y0(i)=0; end; y0(210)=1/h; is=210; // nut tap trung nguon yy(1)=0;yy(N+1)=0; for i=1:N-1; yy(i+1)=y0(i); end; //plot(xx,yy,’r’) hold on for j=0:80; //bat dau tinh cho tung lop thoi gian for i=1:N-1; phi(i)=y0(i); // Tinh ve phai end; for i=1:N-1; A(i)=r*kapa(i+1)-miu*tau*bm(i+1)/h; B(i)=r*kapa(i+1)+miu*tau*bp(i+1)/h; C(i)=1+A(i)+B(i)+sigma*tau; end; miu1=0; miu2=0; ynext=he3diagD(A,B,C,phi,miu1,miu2,N); y0=ynext; for i=1:N-1; yy(i+1)=y0(i); end; yy(1)=miu1; yy(N+1)=miu2; // luu vao mang for i=1:N+1 nongdo1(j+1,i)=yy(i); end; if mod(j,2)==0 plot(xx,yy,mau(mod(j,7)+1)) end end; // het vong lap theo j //legend(’0’,’1’,’2’,’3’,’4’,’5’) // Chuong trinh giai bai toan lien hop, dat nguon tai r3=24 (diem nut 222) clear all // Khoi tao mau=[’y’ ’m’ ’c’ ’r’ ’g’ ’b’ ’k’]; //n=input(’Cho n= ’) //L=input(’cho L= ’) L=50; n=150; h=L/n; tau=0.5; miu=0.1;// he so khuyech tan //sigma=0.05; // he so phan huy sigma=0.0 h2=h*h; r=miu*tau/h2; N=2*n; for i=0:N; xx(i+1)=i*h-L; end; xx(1)=-L; xx(N+1)=L; for i=1:N+1; uu(i)=-u(xx(i)); R=0.5*h*abs(uu(i))/miu; kapa(i)=1/ (1+R); bp(i)=(uu(i)+abs(uu(i)))/ (2*miu); bm(i)=(uu(i)-abs(uu(i)))/(2*miu); end; // GAN GIA TRI DAU (TAI LOP J=0) for i=1:N-1; y0(i)=0; end; y0(222)=1/h; is=222; // nut tap trung nguon yy(1)=0;yy(N+1)=0; for i=1:N-1; yy(i+1)=y0(i); end; //plot(xx,yy,’r’) hold on for j=0:80; // bat dau tinh cho tung lop thoi gian for i=1:N-1; phi(i)=y0(i); // Tinh ve phai end; for i=1:N-1; A(i)=r*kapa(i+1)-miu*tau*bm(i+1)/h; B(i)=r*kapa(i+1)+miu*tau*bp(i+1)/h; C(i)=1+A(i)+B(i)+sigma*tau; end; miu1=0; miu2=0; ynext=he3diagD(A,B,C,phi,miu1,miu2,N); y0=ynext; for i=1:N-1; yy(i+1)=y0(i); end; yy(1)=miu1; yy(N+1)=miu2; // luu vao mang for i=1:N+1 nongdo1(j+1,i)=yy(i); end; if mod(j,2)==0 plot(xx,yy,mau(mod(j,7)+1)) end end; // het vong lap theo j //legend(’0’,’1’,’2’,’3’,’4’,’5’) // Chuong trinh giai bai toan lien hop, dat nguon tai r4=30 (diem nut 240) clear all // Khoi tao mau=[’y’ ’m’ ’c’ ’r’ ’g’ ’b’ ’k’]; //n=input(’Cho n= ’) //L=input(’cho L= ’) L=50; n=150; h=L/n; tau=0.5; miu=0.1;// he so khuyech tan //sigma=0.05; he so phan huy sigma=0.0 h2=h*h; r=miu*tau/h2; N=2*n; for i=0:N; xx(i+1)=i*h-L; end; xx(1)=-L; xx(N+1)=L; for i=1:N+1; uu(i)=-u(xx(i)); R=0.5*h*abs(uu(i))/miu; kapa(i)=1/ (1+R); bp(i)=(uu(i)+abs(uu(i)))/ (2*miu); bm(i)=(uu(i)-abs(uu(i)))/(2*miu); end; // GAN GIA TRI DAU (TAI LOP J=0) for i=1:N-1; y0(i)=0; end; y0(240)=1/h; is=240; // nut tap trung nguon yy(1)=0;yy(N+1)=0; for i=1:N-1; yy(i+1)=y0(i); end; //plot(xx,yy,’r’) hold on for j=0:80; // bat dau tinh cho tung lop thoi gian for i=1:N-1; phi(i)=y0(i); // Tinh ve phai end; for i=1:N-1; A(i)=r*kapa(i+1)-miu*tau*bm(i+1)/h; B(i)=r*kapa(i+1)+miu*tau*bp(i+1)/h; C(i)=1+A(i)+B(i)+sigma*tau; end; miu1=0; miu2=0; ynext=he3diagD(A,B,C,phi,miu1,miu2,N); y0=ynext; for i=1:N-1; yy(i+1)=y0(i); end; yy(1)=miu1; yy(N+1)=miu2; // luu vao mang for i=1:N+1 nongdo1(j+1,i)=yy(i); end; if mod(j,2)==0 plot(xx,yy,mau(mod(j,7)+1)) end end; // het vong lap theo j //legend(’0’,’1’,’2’,’3’,’4’,’5’) // ham tinh nghiem cua he duong cheo // -A(i)y(i-1)+C(i)y(i)-B(i)y(i+1)=F(i), i=1, ,n-1; // y(0)=miu1; y(n)=miu2; // Ket qua la vec to y(1:n-1) function y=he3diagD(A,B,C,F,miu1,miu2,n) AFA(1)=0; BTA(1)=miu1; for i=1:n-1; d=C(i)-A(i)*AFA(i); AFA(i+1)=B(i)/d; BTA(i+1)=(A(i)*BTA(i)+F(i))/d; end; y(n-1)=miu2*AFA(n)+BTA(n); for i=n-2:-1:1; y(i)=AFA(i+1)*y(i+1)+BTA(i+1); end; function u=u(x) // ham toc gio u=1+sin(x)/2; u=-0.8*u; u=-0.9; //u=-u/2; ... iv Chương Kien thÉc ban ve phương trình liên hap Chương trình bày nhung kien thúc ban nhat ve phương trình liên hop khái ni¾m phương trình liên hop, cách xây dnng tốn liên hop cho toán dùng toán... lu¾n văn ? ?Phương trình liên hop úng dung” se tài li¾u huu ích đoi vói nhung bat đau quan tâm đen đe tài Phương trình liên hop Bên canh đó, muc tiêu quan TRQNG cna lu¾n văn trình bày úng dung phương. .. liên hap cua phương trình (1.1) neu thoa mãn thúc Lagrange (Lu, v) = (u, L∗ v) (1.3) Chương Kien thúc ban ve phương trình liên hap vái u, v thóa mãn (1.1), (1.2) Phương trình (1.1) đưac GQI phương