(Luận văn thạc sĩ) phương trình liên hợp và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THU QUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THU QUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN HỌC TÍNH TỐN Mã số : 60 46 30 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GIÁO SƯ TIẾN SĨ ĐẶNG QUANG Á Hà Nội - Năm 2013 Mục lục Lời cảm ơn iii Lời nói đầu iv Kiến thức phương trình liên hợp 1.1 1.2 Bài toán liên hợp cho toán dừng chiều Bài toán liên hợp tốn khuếch tán khơng gian chiều Sự tồn tại, tính ổn định nghiệm tốn tràn dầu không gian hai chiều 10 2.1 Bài tốn tràn dầu khơng gian hai chiều 10 2.2 Bài toán liên hợp 14 2.3 Sự tồn tại, tính ổn định nghiệm 16 2.3.1 Một số tập không gian hàm 16 2.3.2 Sự tồn tại, tính ổn định nghiệm toán Giải số toán tràn dầu 18 24 3.1 Phương pháp xác định vị trí thời gian tràn dầu 24 3.2 Bài tốn tràn dầu khơng gian chiều 29 3.3 3.2.1 Bài toán ban đầu toán liên hợp 29 3.2.2 Lược đồ giải số 31 3.2.3 Kết giải số 34 Bài toán tràn dầu không gian hai chiều 38 i MỤC LỤC 3.3.1 Bài toán ban đầu toán liên hợp 38 3.3.2 Lược đồ giải số 39 3.3.3 Kết giải số 42 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 53 Phụ lục 54 ii Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình Giáo sư Tiến sĩ Đặng Quang Á Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn, nhiệt tình bảo giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tơi xin trân trọng bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, xin gửi tới thầy cô cơng tác Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện cho chúng tơi có mơi trường học tập nghiên cứu tốt Tôi vô biết ơn thầy tham gia giảng dạy khóa Cao học 2010 - 2012 dành nhiều công lao dạy dỗ thời gian học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người ln cổ vũ, động viên tơi q trình suốt q trình học tập làm luận văn Hà Nội, ngày tháng 10 năm 2013 Học viên Nguyễn Thu Quyên iii Lời nói đầu Phương trình liên hợp ngày sử dụng rộng rãi nghiên cứu toán học áp dụng mơ hình thực tiễn Đặc biệt, phương pháp phương trình liên hợp đưa nhiều ý tưởng cho việc giải tốn mơi trường phân tích mơ hình biến đổi khí hậu hay nghiên cứu mức độ ô nhiễm môi trường nước, không khí, Hiện có tài liệu trình bày vấn đề áp dụng phương trình liên hợp tốn mơi trường nói chung tốn tràn dầu nói riêng [2], [3], [7], [8] Tuy nhiên, kiến thức tương đối trừu tượng phần lớn mơ hình tốn học sơ đồ tính tốn cịn mở Do vậy, trước hết tác giả mong muốn kiến thức cụ thể gần gũi luận văn “Phương trình liên hợp ứng dụng” tài liệu hữu ích bắt đầu quan tâm đến đề tài Phương trình liên hợp Bên cạnh đó, mục tiêu quan trọng luận văn trình bày ứng dụng phương trình liên hợp vào tốn tràn dầu với mơ hình thuật giải số cụ thể để giải toán Luận văn hướng tới việc giải hai toán thuận toán ngược Bài toán thuận tốn mơ q trình tràn dầu theo vị trí thời gian Bài toán ngược toán xác định vị trí thời gian xảy cố tràn dầu Những tính tốn cho phép ta dự đốn xác nguồn phát nhiễm, q trình lan truyền mức độ ô nhiễm thời điểm vào thời gian Từ dự đoán ta đưa phương án làm mặt biển hay bảo vệ khu vực sinh thái nhạy cảm Ngoài phần mở đầu, kết luận, mã chương trình danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: - Chương 1: Kiến thức phương trình liên hợp - Chương 2: Sự tồn tại, tính ổn định nghiệm tốn tràn dầu khơng gian hai chiều - Chương 3: Giải số tốn tràn dầu Vì trình độ thời gian nghiên cứu viết luận văn có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong bảo đóng góp ý kiến thầy giáo, đồng nghiệp bạn quan tâm đến vấn đề để luận văn hoàn thiện iv Chương Kiến thức phương trình liên hợp Chương trình bày kiến thức phương trình liên hợp khái niệm phương trình liên hợp, cách xây dựng toán liên hợp cho toán dừng toán khuếch tán để làm sở cho chương sau Trong chương ta đề cập đến hàm độ nhạy ví dụ thể tính ưu việt việc giải tốn nhờ vào phương trình liên hợp 1.1 Bài tốn liên hợp cho toán dừng chiều Định nghĩa 1.1.1 Cho phương trình Lu = f, f ∈ H ≡ L2 (0, 1), (1.1) L tốn tử vi phân xác định miền D(L) = {u ∈ C (0, 1) : u(0) = u(1) = 0; du d2 u {( ) + ( ) + u(x)2 }dx < +∞ } dx dx Khi phương trình L∗ v = p, p ∈ H ≡ L2 (0, 1) (1.2) với L∗ toán tử vi phân xác định miền d2 v dv {( ) + ( ) + v(x)2 }dx < +∞ } = {v ∈ v(0) = v(1) = 0; dx dx gọi phương trình liên hợp phương trình (1.1) thoả mãn đẳng D(L∗ ) C1 (0, 1); thức Lagrange (Lu, v) = (u, L∗ v) (1.3) Chương Kiến thức phương trình liên hợp với u, v thỏa mãn (1.1), (1.2) Phương trình (1.1) gọi phương trình ban đầu Bây ta xét tốn dừng chiều  d2 φ dφ   = f (x), x ∈ (0, 1)  Lφ ≡ − + dx dx φ(0) = φ(1) =    f ∈ H, φ ∈ D(L) (1.4) Ta có: d2 φ dφ ∗ (Lφ, φ∗ ) = (− + ,φ ) = dx dx (− d2 φ dφ ∗ )φ dx + dx2 dx = φφ∗ |10 + 1 − φ dφ∗ dx dx 0 dφ∗ = φ∗ dx dφ dφ∗ dx − dx dx dφ∗ dx − φ dx φ d2 φ∗ dx dx2 0 dφ∗ d2 φ∗ dφ∗ Đặt ≡− − , (Lφ, φ∗ ) = φ∗ + (φ, L∗ φ∗ ) dx dx dx Với giả thiết φ∗ (0) = φ∗ (1) = 0, ta có (Lφ, φ∗ ) = (φ, L∗ φ∗ ), tức đẳng thức L∗ φ∗ Lagrange thỏa mãn Như toán liên hợp toán (1.4)  ∗  dφ∗ d2 φ ∗ ∗   L φ ≡− − = p(x), x ∈ (0, 1) dx dx ∗ (0) = φ∗ (1) = φ    p(x) ∈ H, φ∗ ∈ D(L∗ ) (1.5) Giả sử cần tính giá trị phiếm hàm J= p(x)φ(x)dx với p(x) ∈ H tùy ý, chẳng hạn chọn p(x) = 1, ≤ x ≤ 0, x ∈ / [0, 1] (1.6) Chương Kiến thức phương trình liên hợp Ta tính J thơng qua việc giải tốn gốc (1.4) dựa vào nghiệm toán liên hợp (1.5) Thật vậy, nhân hai vế (1.6) với φ∗ lấy tích phân theo x [0, 1] ta có 1 d2 φ dφ ∗ (− + )φ dx = dx dx f (x)φ∗ dx (1.7) 0 Nhân hai vế (1.5) với φ lấy tích phân theo x [0, 1] ta có 1 d2 φ∗ dφ∗ ( + )φdx = − dx dx (1.8) p(x)φdx Cộng vế với vế (1.7) (1.8) ta biểu thức 1 d2 φ dφ ∗ (− + )φ dx + dx dx d2 φ∗ dφ∗ ( + )φdx = dx dx f (x)φ∗ dx − p(x)φdx ∗ f (x)φ dx − ⇒ p(x)φdx = 0 ⇒ f (x)φ∗ dx p(x)φdx = 0 Như ta có: 1 f (x)φ∗ dx p(x)φdx = J= (1.9) Phiếm hàm J tính theo (1.9) gọi phiếm hàm độ nhạy Tiếp theo ta tìm toán liên hợp toán dừng trường hợp có nhiễu Xét tốn có nhiễu d2 φ dφ + + δg(x)φ = f (x); x ∈ (0, 1) dx dx φ (0) = φ (1) = − đó: f (x) = f (x) + δf (x); δf, δg hàm nhiễu cho trước (1.10) Chương Kiến thức phương trình liên hợp Khi đó, lời giải tốn (1.10) có dạng φ (x) = φ(x) + δφ(x), với φ(x) nghiệm tốn (1.4) Tương ứng có phiếm hàm độ nhạy Jp = Jp + δJp , với δJp = p(x)δφ(x)dx Ta tính δJp dựa vào nghiệm tốn liên hợp (1.5) Thật vậy, nhân hai vế (1.10) với φ∗ , nhân hai vế (1.5) với φ, lấy tích phân [0, 1] cộng hai vế ta có 1 d2 φ ∗ dφ ∗ φ + δg(x)φ φ∗ − 2φ + dx dx = f dx + d2 φ∗ dφ∗ φ φ + dx2 dx dx (x)φ∗ (x)dx − p(x)φ (x)dx 0 Xét hai vế (1.11) d2 φ ∗ dφ ∗ φ + φ + δg(x)φ φ∗ dx dx tptp d2 φ∗ dφ∗ = δgφ∗ φ dx φ + φ dx dx2 dx − VT = 1 VP = f (x)φ∗ (x)dx − 1 p(x)φ(x)dx + ⇒VT = dx+ δf (x)φ∗ (x)dx − δp(x)φ(x)dx δf (x)φ∗ (x)dx − δJp Suy δgφ∗ φ dx = δf (x)φ∗ (x)dx − δJp ⇒ δJp = δf (x)φ∗ (x)dx − = δgφ∗ φ dx φ∗ (x) [δf (x) − δg(x)φ (x)] dx Nhận thấy trường hợp khơng có nhiễu δg = ta có δf (x)φ∗ (x)dx δJp = (1.11) ... luận văn ? ?Phương trình liên hợp ứng dụng? ?? tài liệu hữu ích bắt đầu quan tâm đến đề tài Phương trình liên hợp Bên cạnh đó, mục tiêu quan trọng luận văn trình bày ứng dụng phương trình liên hợp vào... luận văn này, tác giả trình bày phương trình liên hợp ứng dụng vào tốn khuếch tán truyền tải Chương trình bày kiến thức phương trình liên hợp: khái niệm phương trình liên hợp, cách xây dựng tốn liên. .. Chương Kiến thức phương trình liên hợp Chương trình bày kiến thức phương trình liên hợp khái niệm phương trình liên hợp, cách xây dựng toán liên hợp cho toán dừng toán khuếch tán để làm sở cho