Phương trình liên hợp và ứng dụng

Mục lục Lời cảm ơn iii Lời nói đầu iv 1 Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp 1 1.1 Bài toán liên hợp cho bài toán dừng một chiều . . . . . . . . . . 1 1.2 Bài toán liên hợp của bài toán khuếch tán trong không gian một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định nghiệm của bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều 10 2.1 Bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Bài toán liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Sự tồn tại, tính ổn định và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . 16 2.3.1 Một số tập và không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.2 Sự tồn tại, tính ổn định và duy nhất nghiệm của bài toán 18 3 Giải số bài toán tràn dầu 24 3.1 Phương pháp xác định vị trí và thời gian tràn dầu . . . . . . . . . 24 3.2 Bài toán tràn dầu trong không gian một chiều . . . . . . . . . . . 29 3.2.1 Bài toán ban đầu và bài toán liên hợp . . . . . . . . . . . . 29 3.2.2 Lược đồ giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.3 Kết quả giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều . . . . . . . . . . . . 38 i MỤC LỤC 3.3.1 Bài toán ban đầu và bài toán liên hợp . . . . . . . . . . . . 38 3.3.2 Lược đồ giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.3 Kết quả giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 53 Phụ lục 54 ii Lời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của Giáo sư Tiến sĩ Đặng Quang Á. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn, nhiệt tình chỉ bảo cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô đang công tác tại Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện cho chúng tôi có môi trường học tập và nghiên cứu tốt. Tôi cũng vô cùng biết ơn các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa Cao học 2010 - 2012 đã dành nhiều công lao dạy dỗ trong thời gian chúng tôi học tập tại trường. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn cổ vũ, động viên tôi trong quá trình suốt quá trình học tập cũng như làm luận văn. Hà Nội, ngày 1 tháng 10 năm 2013 Học viên Nguyễn Thu Quyên iii Lời nói đầu Phương trình liên hợp đang ngày càng được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu toán học cũng như áp dụng trong các mô hình thực tiễn. Đặc biệt, phương pháp phương trình liên hợp có thể đưa ra rất nhiều ý tưởng mới cho việc giải các bài toán môi trường như phân tích mô hình biến đổi khí hậu hay nghiên cứu mức độ ô nhiễm môi trường nước, không khí,. . . Hiện nay đã có tài liệu trình bày về vấn đề áp dụng phương trình liên hợp trong bài toán môi trường nói chung và trong bài toán tràn dầu nói riêng như trong [2], [3], [7], [8]. Tuy nhiên, các kiến thức này tương đối trừu tượng và phần lớn các mô hình toán học cũng như sơ đồ tính toán còn mở. Do vậy, trước hết tác giả mong muốn những kiến thức cụ thể và gần gũi trong cuốn luận văn “Phương trình liên hợp và ứng dụng” sẽ là tài liệu hữu ích đối với những ai bắt đầu quan tâm đến đề tài Phương trình liên hợp. Bên cạnh đó, mục tiêu quan trọng của luận văn này là trình bày ứng dụng phương trình liên hợp vào bài toán tràn dầu với mô hình và thuật giải số cụ thể để giải bài toán này. Luận văn hướng tới việc giải cả hai bài toán thuận và bài toán ngược. Bài toán thuận là bài toán mô phỏng quá trình tràn dầu theo vị trí và thời gian. Bài toán ngược là bài toán xác định vị trí và thời gian xảy ra sự cố tràn dầu. Những tính toán này cho phép ta dự đoán chính xác nguồn phát ô nhiễm, quá trình lan truyền và mức độ ô nhiễm tại mọi thời điểm vào bất cứ thời gian nào. Từ những dự đoán này ta có thể đưa ra các phương án làm sạch mặt biển hay bảo vệ các khu vực sinh thái nhạy cảm. Ngoài phần mở đầu, kết luận, mã chương trình và danh mục các tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: - Chương 1: Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp. - Chương 2: Sự tồn tại, tính ổn định và duy nhất nghiệm của bài toán tràn dầu trong không gian hai chiều. - Chương 3: Giải số bài toán tràn dầu. Vì trình độ cũng như thời gian nghiên cứu và viết luận văn có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót. Tác giả rất mong được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, đồng nghiệp và các bạn quan tâm đến vấn đề này để luận văn được hoàn thiện hơn. iv Chương 1 Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp Chương này trình bày những kiến thức cơ bản nhất về phương trình liên hợp như khái niệm phương trình liên hợp, cách xây dựng bài toán liên hợp cho bài toán dừng và bài toán khuếch tán để làm cơ sở cho các chương sau. Trong chương này ta cũng đề cập đến hàm độ nhạy và một ví dụ thể hiện tính ưu việt của việc giải bài toán nhờ vào phương trình liên hợp. 1.1 Bài toán liên hợp cho bài toán dừng một chiều Định nghĩa 1.1.1. Cho phương trình Lu = f, f ∈ H ≡ L 2 (0, 1), (1.1) trong đó L là toán tử vi phân xác định trên miền D(L) = {u ∈ C 1 (0, 1) : u(0) = u(1) = 0; 1  0 {( d 2 u dx 2 ) 2 + ( du dx ) 2 + u(x) 2 }dx < +∞}. Khi đó phương trình L ∗ v = p, p ∈ H ≡ L 2 (0, 1) (1.2) với L ∗ là toán tử vi phân xác định trên miền D(L ∗ ) = {v ∈ C 1 (0, 1); v(0) = v(1) = 0; 1  0 {( d 2 v dx 2 ) 2 + ( dv dx ) 2 + v(x) 2 }dx < +∞} được gọi là phương trình liên hợp của phương trình (1.1) nếu thoả mãn đẳng thức Lagrange (Lu, v) = (u, L ∗ v) (1.3) 1 Chương 1. Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp với u, v thỏa mãn (1.1), (1.2). Phương trình (1.1) được gọi là phương trình ban đầu. Bây giờ ta xét bài toán dừng một chiều        Lφ ≡ − d 2 φ dx 2 + dφ dx = f(x), x ∈ (0, 1) φ(0) = φ(1) = 0 f ∈ H, φ ∈ D(L). (1.4) Ta có: (Lφ, φ ∗ ) = (− d 2 φ dx 2 + dφ dx , φ ∗ ) = 1  0 (− d 2 φ dx 2 + dφ dx )φ ∗ dx = φφ ∗ | 1 0 + 1  0 dφ dx dφ ∗ dx dx − 1  0 φ dφ ∗ dx dx = φ ∗ dφ ∗ dx     1 0 − 1  0 φ dφ ∗ dx dx − 1  0 φ d 2 φ ∗ dx 2 dx. Đặt L ∗ φ ∗ ≡ − d 2 φ ∗ dx 2 − dφ ∗ dx , khi đó (Lφ, φ ∗ ) = φ ∗ dφ ∗ dx     1 0 + (φ, L ∗ φ ∗ ). Với giả thiết φ ∗ (0) = φ ∗ (1) = 0, ta có (Lφ, φ ∗ ) = (φ, L ∗ φ ∗ ), tức là đẳng thức Lagrange được thỏa mãn. Như vậy bài toán liên hợp của bài toán (1.4) là        L ∗ φ ∗ ≡ − d 2 φ dx 2 ∗ − dφ ∗ dx = p(x), x ∈ (0, 1) φ ∗ (0) = φ ∗ (1) = 0 p(x) ∈ H, φ ∗ ∈ D(L ∗ ) . (1.5) Giả sử cần tính giá trị phiếm hàm J = 1  0 p(x)φ(x)dx (1.6) với p(x) ∈ H tùy ý, chẳng hạn có thể chọn p(x) =  1, 0 ≤ x ≤ 1 0, x /∈ [0, 1]. 2 Chương 1. Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp Ta có thể tính J thông qua việc giải bài toán gốc (1.4) hoặc dựa vào nghiệm của bài toán liên hợp (1.5). Thật vậy, nhân hai vế của (1.6) với φ ∗ rồi lấy tích phân theo x trên [0, 1] ta có 1  0 (− d 2 φ dx 2 + dφ dx )φ ∗ dx = 1  0 f(x)φ ∗ dx. (1.7) Nhân hai vế của (1.5) với φ rồi lấy tích phân theo x trên [0, 1] ta có 1  0 ( d 2 φ ∗ dx 2 + dφ ∗ dx )φdx = − 1  0 p(x)φdx. (1.8) Cộng vế với vế của (1.7) và (1.8) ta được biểu thức 1  0 (− d 2 φ dx 2 + dφ dx )φ ∗ dx + 1  0 ( d 2 φ ∗ dx 2 + dφ ∗ dx )φdx = 1  0 f(x)φ ∗ dx − 1  0 p(x)φdx ⇒ 1  0 f(x)φ ∗ dx − 1  0 p(x)φdx = 0 ⇒ 1  0 p(x)φdx = 1  0 f(x)φ ∗ dx. Như vậy ta có: J = 1  0 p(x)φdx = 1  0 f(x)φ ∗ dx. (1.9) Phiếm hàm J được tính theo (1.9) được gọi là phiếm hàm độ nhạy. Tiếp theo ta sẽ tìm bài toán liên hợp của bài toán dừng trong trường hợp có nhiễu. Xét bài toán có nhiễu − d 2 φ  dx 2 + dφ  dx + δg(x)φ  = f  (x); x ∈ (0, 1) φ  (0) = φ  (1) = 0 (1.10) trong đó: f  (x) = f(x) + δf(x); δf, δg là các hàm nhiễu cho trước. 3 Chương 1. Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp Khi đó, lời giải của bài toán (1.10) có dạng φ  (x) = φ(x) + δφ(x), với φ(x) là nghiệm của bài toán (1.4). Tương ứng có phiếm hàm độ nhạy J  p = J p + δJ p , với δJ p = 1  0 p(x)δφ(x)dx. Ta cũng có thể tính δJ p dựa vào nghiệm của bài toán liên hợp (1.5). Thật vậy, nhân hai vế của (1.10) với φ ∗ , nhân hai vế của (1.5) với φ, lấy tích phân trên [0, 1] rồi cộng hai vế ta có 1  0  − d 2 φ  dx 2 φ ∗ + dφ  dx φ ∗ + δg(x)φ  φ ∗  dx + 1  0  d 2 φ ∗ dx 2 φ  + dφ ∗ dx φ   dx = 1  0 f  (x)φ ∗ (x)dx − 1  0 p(x)φ  (x)dx. (1.11) Xét lần lượt hai vế của (1.11) V T = 1  0  − d 2 φ  dx 2 φ ∗ + dφ  dx φ ∗ + δg(x)φ  φ ∗  dx+ 1  0  d 2 φ ∗ dx 2 φ  + dφ ∗ dx φ   dx tptp = 1  0 δgφ ∗ φ  dx V P = 1  0 f(x)φ ∗ (x)dx − 1  0 p(x)φ(x)dx + 1  0 δf(x)φ ∗ (x)dx − 1  0 δp(x)φ(x)dx ⇒ V T = 1  0 δf(x)φ ∗ (x)dx − δJ p Suy ra 1  0 δgφ ∗ φ  dx = 1  0 δf(x)φ ∗ (x)dx − δJ p ⇒ δJ p = 1  0 δf(x)φ ∗ (x)dx − 1  0 δgφ ∗ φ  dx = 1  0 φ ∗ (x) [δf(x) − δg(x)φ  (x)] dx. Nhận thấy trong trường hợp không có nhiễu δg = 0 thì ta có δJ p = 1  0 δf(x)φ ∗ (x)dx 4 Chương 1. Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp Nếu giả thiết nhiễu nhỏ và xấp xỉ φ  (x) = φ(x), khi đó ta có biểu thức nhiễu nhỏ: δJ p = 1  0 φ ∗ (x) [δf(x) − δg(x)φ(x)] dx 1.2 Bài toán liên hợp của bài toán khuếch tán trong không gian một chiều Xét bài toán khuếch tán đơn giản        Lφ ≡ ∂φ ∂t + σφ − µ ∂ 2 φ ∂x 2 = Qδ(x − x 0 ) φ(x, 0) = φ 0 (x) φ(x, t) = 0, x = ±∞. (1.12) trong đó φ là hàm bị chặn với mọi x ∈ (−∞, +∞). Ta có (Lφ, φ ∗ ) ≡ T  0 dt +∞  −∞ φ ∗ ( ∂φ ∂t + σφ − µ ∂ 2 φ ∂x 2 )dx = Q T  0 dt +∞  −∞ φ ∗ δ(x − x 0 )dx ⇔ T  0 dt +∞  −∞ φ ∗ ∂φ ∂t dx + T  0 dt +∞  −∞ φ ∗ σφdx − T  0 dt +∞  −∞ φ ∗ µ ∂ 2 φ ∂x 2 dx = Q T  0 φ ∗ (x 0 , t)dt ⇔ +∞  −∞ φ ∗ φ| t=T t=0 dx − T  0 dt +∞  −∞ φ ∂φ ∗ ∂t dx + T  0 dt +∞  −∞ φ ∗ σφdx− µ[ T  0 (φ ∗ ∂φ ∂x − φ ∂φ ∗ ∂x )     x=+∞ x=−∞ dt + T  0 dt +∞  −∞ φ ∂ 2 φ ∗ ∂x 2 dx] = Q T  0 φ ∗ (x 0 , t)dt ⇔ T  0 dt +∞  −∞ φ(− ∂φ ∗ ∂t + σφ ∗ − µ ∂ 2 φ ∗ ∂x 2 )dx + +∞  −∞ φφ ∗ | t=T t=0 dx −µ T  0 (φ ∗ ∂φ ∂x − φ ∂φ ∗ ∂x )     x=+∞ x=−∞ dt = Q T  0 φ ∗ (x 0 , t)dt. 5 Chương 1. Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp Giả thiết φ ∗ (x, t) = 0 tại x = ±∞ khi đó ta có T  0 dt +∞  −∞ φ(− ∂φ ∗ ∂t + σφ ∗ − µ ∂ 2 φ ∗ ∂x 2 )dx + +∞  −∞ (φ T φ ∗ T − φ 0 φ ∗ 0 )dx = Q T  0 φ ∗ (x 0 , t)dt (1.13) Đặt L ∗ φ ∗ = − ∂φ ∗ ∂t + σφ ∗ − µ ∂ 2 φ ∗ ∂x 2 và giả thiết φ ∗ T = φ ∗ (x, T) = 0, khi đó (1.13) tương đương biểu thức: (L ∗ φ ∗ , φ) ≡ T  0 dt +∞  −∞ φL ∗ φ ∗ dx = Q T  0 φ ∗ (x 0 , t)dt + +∞  −∞ φ 0 φ ∗ 0 dx. Nếu φ 0 (x) = φ(x, 0) = 0 thì đẳng thức Lagrange (Lφ, φ ∗ ) = (φ, L ∗ φ ∗ ) được thỏa mãn. Như vậy ta có bài toán liên hợp của bài toán (1.12):        L ∗ φ ∗ ≡ − ∂φ ∗ ∂t + σφ ∗ − µ ∂ 2 φ ∗ ∂x 2 = p(x, t) φ ∗ (x, T) = 0 φ ∗ (x, t) = 0, x = ±∞. (1.14) Đặt J = T  0 dt +∞  −∞ φpdx ta có: J = T  0 dt +∞  −∞ φL ∗ φ ∗ dx = Q T  0 φ ∗ (x 0 , t)dt + +∞  −∞ φ 0 φ ∗ 0 dx (1.15) Hàm J được gọi là hàm độ nhạy. Đối với bài toán truyền tải, chẳng hạn như bài toán truyền tải vật chất ô nhiễm thì hàm J là hàm thể hiện nồng độ chất ô nhiễm tại vị trí x tại thời điểm t. Nếu như ta chỉ quan tâm đến giá trị hàm J mà không cần quan tâm đến lời giải bài toán ban đầu, thì có thể tính J thông qua hàm liên hợp ứng với các giá trị hàm p(x, t) khác nhau. Như vậy, để tính J ta có thể làm theo hai cách: - Cách 1: Giải phương trình gốc rồi tính J dựa vào công thức J = T  0 dt +∞  −∞ φpdx. - Cách 2: Giải phương trình liên hợp rồi tính dựa vào công thức 6 [...]... toán theo hai cách: - Cách 1: Giải bài toán (1.16) ứng với mỗi giá trị x0 ∈ Ω khác nhau, xác định hàm J dựa vào (1.17) rồi rút ra miền ω thoả mãn điều kiện J ≤ c Làm theo cách này phải giải số lượng lớn phương trình ban đầu nên không phù hợp giải bài toán thực tiễn 7 Chương 1 Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp - Cách 2: Sử dụng phương trình liên hợp +∞ T φ∗ (x0 , t)dt + J =Q T −∞ 0 φ∗ (x0 , t)dt... suy từ phương trình ban đầu (2.6) bằng cách nhân hai vế với gt e−δt rồi lấy tích phân theo t trên (0, T ) và lấy tích phân theo r trên S Nếu gt e−δt = 1 ( 2φ ) thì phương trình trên trùng với phương trình cân bằng (hay phương trình tích phân) sau khi lấy tích phân theo t trên (0, T ) Định lí 2.3.1 Giả thiết F (t) ∈ L2 (0, T ), vận tốc lan truyền dầu thoả mãn phương trình liên tục: ∂u ∂v + = 0 và có:... biến đổi của hàm vế phải δf (r, t) và điều kiện đầu δφ(r, 0) |δφ|Q ≤ √ 2 √ + 2 α 2 √ T δf + 1 φ(r, 0) 2 L2 (D) (2.29) Định lý chứng minh xong Hệ quả 2.3.1 Cho p(r, t) ∈ L2 (Q), các hệ số của phương trình liên hợp (2.9) thoả mãn Định lý 2.3.1 Khi đó trong không gian H(Q) phương trình liên hợp (2.9) cũng có nghiệm suy rộng duy nhất ổn định với sự biến đổi của hàm vế phải và điều kiện ban đầu 23 Chương... đến phương pháp giải số để giải hai bài toán ngược và bài toán thuận cả trong không gian một và hai chiều Bài toán thuận là ta giải bài toán ban đầu để tìm nồng độ dầu trên biển theo vị trí và thời gian Bài toán ngược là sử dụng bài toán liên hợp để xác định vị trí và thời gian xảy ra sự cố tràn dầu khi phát hiện ra một vệt dầu trên biển Trước khi đi vào xây dựng lược đồ giải số trong hai trường hợp. .. toán tử (A−1 )∗ là toán tử liên hợp của A−1 và (A−1 )∗ cũng có ˜ chuẩn như A−1 Đặt Ag = ω, ω ∈ G, theo (2.20) ta có (φ, ω)H = (φ, Ag)H = (R, g)H = R, A−1 ω H ˜ ≡ R, A−1 ω H (2.22) Thay vì tìm φ theo (2.22) với ω ∈ G ta có thể áp dụng điều kiện hạn chế hơn đó là giải theo phương trình ˜ (φ, ω)H = R, A−1 ω ∗ H ˜ = (A−1 ) R, ω , ω ∈ H(Q) (2.23) H Phương trình (2.23) thoả mãn khi và chỉ khi ˜ φ = (A−1 )∗... điểm, đó chính là điểm r0 Mệnh đề chứng minh xong Với cách chọn hàm vế phải p(r, t) khác, ta có thể suy ra một số tính chất khác của lời giải bài toán liên hợp Các tính chất này hữu dụng trong trường hợp xác định vị trí và thời gian xảy ra sự cố tràn dầu khi lượng dầu được bảo toàn trong quá trình lan truyền 26 Chương 3 Giải số bài toán tràn dầu Xét bài toán liên hợp (2.9)  ∗  L∗ φ∗ ≡ − ∂φ − U φ∗... toán gốc và bài toán liên hợp tại thời điểm ban đầu và thời điểm Td Ta có thể sử dụng mối quan hệ này để dự báo thời gian và vị trí xảy ra sự cố tràn dầu khi không thu thập được các thông tin về chùm ô nhiễm Trong trường hợp ta thu được một số thông tin về chùm ô nhiễm, bao gồm thông tin về tổng lượng dầu tràn Q, ta 27 Chương 3 Giải số bài toán tràn dầu có thể đưa ra phương pháp xác định vị trí và thời... trường hợp không gian một và hai chiều, ta trình bày phương pháp xác định vị trí và thời gian tràn dầu để làm cơ sở giải bài toán ngược 3.1 Phương pháp xác định vị trí và thời gian tràn dầu Giả thiết ô nhiễm xảy ra do một tàu trở dầu, tại thời điểm Td phát hiện ra chùm dầu tràn Ω Vấn đề đặt ra là cần xác định vị trí nguồn phát và thời gian xảy ra dầu tràn Gọi t0 là thời gian và r0 là địa điểm bắt đầu... thoả mãn khi và chỉ khi ˜ φ = (A−1 )∗ R (2.24) Vậy với φ được xác định theo (2.24) thì phương trình (2.18) và (2.22) được thoả mãn, hay luôn tồn tại nghiệm suy rộng của phương trình 2 Tính duy nhất và ổn định của nghiệm Với φ(r, t) ∈ H(Q) là nghiệm của bài toán gốc, ta có t φ(r, τ )eδτ ∈ V g= (2.25) 0 Thay (2.25) vào (2.18) ta có bất đẳng thức 1 φ(r, T ) 2 2 L2(D) trong đó φ(r, t) + α( φx 2 L2 (D) 2... φdr − σφdr − D ⇒ D ∂ ∂t D S+ D φdr = − Un φdS + F (t) σφdr − Un φdS + F (t) S+ D Phương trình ∂ ∂t φdr = − D σφdr − (2.7) Un φdS + F (t) S+ D được gọi là phương trình cân bằng Từ phương trình cân bằng này ta thấy ước lượng theo thời gian của nồng độ dầu φdr tăng theo lượng dầu tràn ra biển F > 0, giảm do sự bay hơi D σφdr và D giảm do sự vận chuyển dầu theo dòng chảy Un φdS ra khỏi miền D qua biên S+ . bản về phương trình liên hợp Chương này trình bày những kiến thức cơ bản nhất về phương trình liên hợp như khái niệm phương trình liên hợp, cách xây dựng bài toán liên hợp cho bài toán dừng và bài. quan tâm đến đề tài Phương trình liên hợp. Bên cạnh đó, mục tiêu quan trọng của luận văn này là trình bày ứng dụng phương trình liên hợp vào bài toán tràn dầu với mô hình và thuật giải số cụ. Giải phương trình liên hợp rồi tính dựa vào công thức 6 Chương 1. Kiến thức cơ bản về phương trình liên hợp J = Q T  0 φ ∗ (x 0 , t)dt + +∞  −∞ φ 0 φ ∗ 0 dx. . Cách sử dụng bài toán liên hợp