phương pháp gradient liên hợp và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ MINH THUẬN PHƯƠNG PHÁP GRADIENT LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ MINH THUẬN PHƯƠNG PHÁP GRADIENT LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. TRẦN VŨ THIỆU THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 i Mục lục Mở đầu 1 1 Cơ sở toán học của phương pháp và các khái niệm liên quan 3 1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản của giải tích lồi . . . 3 1.2 Phương pháp hướng giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Hướng giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Độ dài bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Phương pháp gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Thuật toán gradient với thủ tục tìm chính xác theo tia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Thuật toán gradient với thủ tục quay lui . . . . . 14 1.4 Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Phương pháp gradient liên hợp 17 2.1 Hướng liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Phương pháp gradient liên hợp . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Phương pháp Fletcher - Reeves tìm cực tiểu hàm toàn phương (F-R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Phương pháp Fletcher - Reeves tìm cực tiểu hàm khả vi liên tục bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.3 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Tốc độ hội tụ của phương pháp gradient liên hợp . . . . 40 ii 3 Mở rộng phương pháp gradient liên hợp 42 3.1 Phương pháp gradient liên hợp 3-số hạng . . . . . . . . . 42 3.1.1 Thuật toán tái khởi Beale-Powell . . . . . . . . . 42 3.1.2 Tính hội tụ toàn cục của phương pháp gradient liên hợp 3-số hạng với thủ tục tìm theo tia kiểu Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.3 Phương pháp gradient liên hợp 3-số hạng Beale . 49 3.2 Phương pháp gradient liên hợp hiệu chỉnh trước chỉ số điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1 Mở đầu Trong thực tế rất nhiều hoạt động kinh tế, xã hội, đòi hỏi con người phải quan tâm tới việc tìm phương án tốt nhất để đạt được mục tiêu mong muốn. Đó chính là các bài toán tối ưu. Các bài toán tối ưu là một chủ đề hấp dẫn với nhiều kết quả phong phú luôn thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu. Luận văn này đề cập tới phương pháp gradient liên hợp và ứng dụng của nó. Phương pháp gradient liên hợp được Hestenes và Stiefel nêu ra đầu tiên vào những năm 1950 để giải hệ tuyến tính. Vì việc giải một hệ tuyến tính tương đương với tìm cực tiểu của một hàm toàn phương xác định dương, nên vào năm 1960 Fletcher - Reeves đã cải biên và phát triển nó thành phương pháp gradient liên hợp cho cực tiểu không ràng buộc. Nhờ đó phương pháp này hoàn thiện phương pháp giảm nhanh nhất nhằm làm tăng hiệu quả và độ tin cậy của thuật toán. Phương pháp gradient liên hợp là trung gian giữa phương pháp gradient và phương pháp Newton, nó thay đổi hướng tìm trong phương pháp gradient bằng cách thêm vào một tỷ lệ dương của hướng dùng ở bước ngay trước đó. Phương pháp này chỉ cần tới đạo hàm riêng bậc nhất nhưng lại khắc phục được tính hội tụ chậm của phương pháp gradient. Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày những kết quả cơ bản đã biết liên quan đến phương pháp gradient liên hợp, các tính chất như tính liên hợp, tính trực giao, tính hội tụ và một số phương pháp mở rộng của phương pháp này. Nội dung đề cập trong luận văn được trình bày một cách chặt chẽ về mặt toán học kèm theo một số ví dụ minh họa. Luận văn được chia làm 3 chương: 2 Chương 1: nhắc lại một số khái niệm cơ bản của giải tích lồi, như tập lồi, hàm lồi và hàm toàn phương, hướng giảm và phương pháp gradient, phương pháp Newton để phục vụ cho các chương tiếp theo. Chương 2: trình bày các khái niệm, tính chất của hướng liên hợp, phương pháp gradient liên hợp giải bài toán cực tiểu hàm toàn phương, nêu các định lý về tính hội tụ của phương pháp gradient liên hợp và mở rộng phương pháp này để tìm cực tiểu của một hàm khả vi liên tục bất kỳ. Cuối chương tác giả nêu ra một số ví dụ áp dụng. Chương 3: trình bày phương pháp gradient liên hợp 3-số hạng. Đó là sự cải tiến phương pháp F-R tìm cực tiểu hàm khả vi liên tục bất kỳ bởi vì nếu dùng hướng giảm nhanh nhất thì mức giảm hàm mục tiêu thường kém so với mức giảm có thể thu được khi không dùng tái khởi; còn nếu dùng hướng tái khởi tùy ý thì quan hệ liên hợp đòi hỏi có thể không còn đúng. Ngoài ra, trong chương này còn chỉ ra nguyên nhân làm cho phương pháp gradient liên hợp kết thúc sau nhiều hơn n lần lặp là do sai số trong quá trình tính toán và từ đó đưa ra biện pháp khắc phục tình trạng này. Các kết quả tính toán thử nghiệm được thực hiện bằng các chương trình lập trong môi trường Matlap. Mặc dù đã rất cố gắng, song bản luận văn không thể tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của các Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện. Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô, các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình luôn giúp đỡ, động viên, khích lệ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, ngày 18 tháng 09 năm 2010. Học viên Phạm Thị Minh Thuận 3 Chương 1 Cơ sở toán học của phương pháp và các khái niệm liên quan Trong chương này ta sẽ giới thiệu một số khái niệm và các kiến thức cơ bản sẽ dùng ở các chương sau. 1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản của giải tích lồi Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu và xây dựng các thuật toán giải các bài toán tối ưu, trước hết ta sẽ nhắc lại các khái niệm tập lồi và hàm lồi. Định nghĩa 1.1 (Tập lồi). Cho hai điểm a, b ∈ R n , tập tất cả các điểm x = (1 − λ)a + λb với 0 ≤ λ ≤ 1 gọi là đoạn thẳng đóng nối a và b và được kí hiệu là [a, b]. Tập C ∈ R n được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó. Nói cách khác, nếu (1 −λ)a + λb ∈ C, ∀a, b ∈ C và mọi 0 ≤ λ ≤ 1. Định nghĩa 1.2 (Hàm lồi). Hàm f : X → [−∞, +∞] xác định trên tập lồi X ⊆ R n được gọi là lồi nếu f(λx 1 + (1 − λ)x 2 ) ≤ λf(x 1 ) + (1 −λ)f(x 2 ) với bất kì x 1 , x 2 ∈ X và mọi số thực λ ∈ [0, 1]. 4 Ta gọi f là hàm lồi chặt trên tập lồi X nếu f(λx 1 + (1 − λ)x 2 ) < λf(x 1 ) + (1 −λ)f(x 2 ) với bất kì x 1 , x 2 ∈ X, x 1 = x 2 và mọi số thực λ ∈ (0, 1). Hàm f(x) gọi là lõm (hay lõm chặt) trên X nếu −f(x) là lồi (lồi chặt) trên X. Định nghĩa 1.3. Cho hàm số f xác định trên tập mở X ⊆ R n . Hàm f được gọi là liên tục tại điểm x 0 ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho |f(x) −f(x 0 )| < ε với mọi x ∈ X thỏa mãn  x −x 0 < δ. Nói cách khác, hàm f liên tục tại x 0 ∈ X nếu với mọi dãy {x n } ⊂ X hội tụ đến x 0 , ta có {f(x n )} → f(x 0 ). Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (t.ư., nửa liên tục trên) tại điểm x 0 ∈ X nếu tồn tại ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho f(x) ≥ f(x 0 ) −ε (t.ư., f(x) ≤ f(x 0 ) + ε) với mọi x ∈ X thỏa mãn  x − x 0 < δ. Nói cách khác, hàm f là nửa liên tục dưới (t.ư., nửa liên tục trên) tại điểm x 0 ∈ X nếu với mọi dãy {x n } ⊂ X hội tụ đến x 0 và dãy {f(x n )} ⊂ R hội tụ, ta có lim inf n→∞ f(x n ) ≥ f(x 0 ) (t.ư., lim sup n→∞ f(x n ) ≤ f(x 0 )). Rõ ràng, nếu f là nửa liên tục dưới tại x 0 thì −f là nửa liên tục trên tại x 0 . Hàm f vừa là nửa liên tục dưới vừa là nửa liên tục trên tại x 0 thì liên tục tại điểm đó. Hàm f được gọi là liên tục (t.ư., nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên) trên Xnếu nó liên tục (t.ư., nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên) tại mọi điểm của X. Định nghĩa 1.4. Giả sử f : R n → [−∞, +∞] là hàm số tùy ý và C ⊂ R n là tập tùy ý. Điểm x 0 ∈ C ∩ domf được gọi là điểm cực tiểu toàn cục của f(x) trên C nếu −∞ < f(x 0 ) ≤ f(x) với mọi x ∈ C. 5 Điểm x 0 ∈ C được gọi là điểm cực tiểu địa phương của f(x) trên C, nếu tồn tại lân cận U(x 0 ) của x 0 sao cho −∞ < f(x 0 ) ≤ f(x) với mọi x ∈ C ∩U(x 0 ). Các khái niệm cực đại địa phương và cực đại toàn cục được định nghĩa tương tự. Đối với hàm f tùy ý trên tập C, ta ký hiệu tập tất cả các điểm cực tiểu (cực đại) toàn cục của f trên C là Argmin x∈C f(x) (Argmax x∈C f(x)). Định nghĩa 1.5. Cho A là ma trận vuông cấp n không suy biến. Giá trị của tích  A  .  A −1 được gọi là chỉ số điều kiện của A và ký hiệu là cond(A). Nhận xét 1.1. Chỉ số điều kiện của A luôn lớn hơn hay bằng 1. Thật vậy, 1 = AA −1 ≤ A  .  A −1 = cond(A). Định nghĩa 1.6. Cho dãy {x k } ⊂ R n hội tụ đến x ∗ ∈ R n . Dãy {x k } gọi là: hội tụ đến x ∗ với tốc độ tuyến tính nếu ∃γ ∈ [0, 1), ∃k 0 sao cho ∀k > k 0 : x k+1 − x ∗ ≤ γ  x k − x ∗ , hội tụ đến x ∗ với tốc độ trên tuyến tính nếu ∀k : x k+1 − x ∗ ≤ c k  x k − x ∗  và c k → 0, hội tụ đến x ∗ với tốc độ hội tụ bậc hai nếu ∃γ > 0, ∃k 0 sao cho  x k+1 − x ∗ ≤ γ  x k − x ∗  2 , ∀k > k 0 . Mệnh đề 1.1. Cho hàm f xác định trên R n và điểm x 0 ∈ R n . Nếu f khả vi tại x 0 thì f  (x 0 , d) = ∇f(x 0 ), d , ∀d ∈ R n \ {0}. Chứng minh. Vì f khả vi tại x 0 nên với mọi d ∈ R n \ {0} ta có lim t→0 + f(x 0 + td) −f(x 0 ) −∇f(x 0 ), td  t  d  = 0. 6 Do đó f  (x 0 , d ) − ∇f(x 0 ), d  d  = 0, và ta nhận được điều phải chứng minh. Nhận xét. Đặt ϕ(t) := f(x 0 + td). Khi đó, theo định nghĩa ta có ϕ  (0) = dϕ(t) dt    t=0 = lim t→0 ϕ(t) −ϕ(0) t = lim t→0 + f(x 0 + td) −f(x 0 ) t = f  (x 0 , d ). Như vậy, đạo hàm theo hướng của f tại x 0 phản ánh tốc độ biến thiên của f tại x 0 theo hướng đó. Hơn nữa, theo bất đẳng thức Cauchy- Bunjakowski-Schwarz trong tất cả các hướng d ∈ R n có  d = 1, ta có |∇f(x 0 ), d | ≤ ∇f(x 0 )  d = ∇f(x 0 )  ⇒ −  ∇f(x 0 ) ≤ ∇f(x 0 ), d  ≤ ∇f(x 0 )  . Do đó, đạo hàm theo hướng của f tại x 0 đã cho là lớn nhất khi hướng d = ∇f(x 0 )  ∇f(x 0 )  và nhỏ nhất khi d = − ∇f(x 0 )  ∇f(x 0 )  . Định lí 1.1 (xem [1]). Cho f là hàm khả vi hai lần trên tập lồi mở X ⊆ R n . Khi đó, i) Hàm f là lồi trên X khi và chỉ khi ma trận Hessian ∇ 2 f(x) là nửa xác định dương trên X, tức là với mỗi x ∈ X, y T ∇ 2 f(x)y ≥ 0, ∀y ∈ R n . Hàm f là lồi chặt trên X nếu ∇ 2 f(x) xác định dương trên X, tức là với mỗi x ∈ X, y T ∇ 2 f(x)y > 0, ∀y ∈ R n \{0}. ii) Hàm f là lõm trên X khi và chỉ khi ma trận Hessian ∇ 2 f(x) là nửa xác định âm trên X, tức là với mỗi x ∈ X, y T ∇ 2 f(x)y ≤ 0, ∀y ∈ R n . [...]... 2 Phương pháp gradient liên hợp Trong chương trước ta đã nhắc lại phương pháp gradient, đây là phương pháp thông dụng để giải bài toán cực tiểu không ràng buộc, phương pháp này rất đơn giản và có thể áp dụng cho những lớp hàm rất rộng Tuy nhiên, phương pháp này có tốc độ hội tụ chậm Để khắc phục tình trạng này ta giới thiệu phương pháp gradient liên hợp, đây là phương pháp trung gian giữa phương pháp. .. pháp gradient và phương pháp Newton, phương pháp gradient liên hợp thay đổi hướng trong phương pháp gradient bằng cách thêm vào một tỷ lệ dương của hướng dùng ở bước cuối cùng, phương pháp này chỉ cần tới đạo hàm riêng bậc nhất nhưng lại khắc phục được tính hội tụ chậm của phương pháp gradient Trong chương này, ta sẽ thảo luận các tính chất, thuật toán và tính hội tụ của phương pháp gradient liên hợp và. .. tả ở phần trước chưa đưa ra một phương pháp chi tiết để xây dựng các vectơ liên hợp d1 , d2 , Trong mục này ta sẽ mô tả một phương pháp tạo ra hướng vectơ liên hợp với nhau Phương pháp này gọi là phương pháp gradient liên hợp 2.2.1 Phương pháp Fletcher - Reeves tìm cực tiểu hàm toàn phương (F-R) Phương pháp gradient liên hợp được Hestenes và Stiefel nêu ra đầu tiên vào những năm 1950 để giải hệ tuyến... phương pháp gradient liên hợp và một số ví dụ áp dụng Cần chú ý rằng, kỹ thuật tái khởi và hiệu chỉnh là rất quan trọng để cải tiến phương pháp gradient liên hợp Đầu tiên, ta sẽ giới thiệu khái niệm hướng liên hợp và phương pháp hướng liên hợp 2.1 Hướng liên hợp Trong mục này ta sẽ giới thiệu về hướng liên hợp và phương pháp hướng liên hợp Xét hàm toàn phương f (x) = 1 x, Gx + b, x + c 2 (2.1) 18 Định... quan trọng, vì mọi phương pháp hướng liên hợp đều dựa trên định lý cơ bản này Ta nhấn mạnh một lần nữa là với cách tìm chính xác theo tia, mọi phương pháp hướng liên hợp đều thỏa mãn (2.2) và có tính chất dừng bậc hai Điều này cho thấy rằng tính liên hợp cộng với cách tìm chính xác theo tia kéo theo tính chất dừng bậc hai 2.2 Phương pháp gradient liên hợp Trong phương pháp hướng liên hợp được mô tả ở... tìm cực tiểu của một hàm toàn phương xác định dương, nên vào năm 1960 Fletcher - Reeves đã cải biên và phát triển nó thành phương pháp gradient liên hợp cho cực tiểu không ràng buộc Nhờ 23 đó phương pháp này hoàn thiện phương pháp giảm nhanh nhất nhằm làm tăng hiệu quả và độ tin cậy của thuật toán Bây giờ ta trình bày phương pháp gradient liên hợp cho trường hợp hàm toàn phương Giả sử 1 f (x) = xT Gx... chỉ ra rằng, với thủ tục tìm chính xác theo tia phương pháp hướng liên hợp có tốc độ hội tụ bậc hai, nghĩa là với một hàm toàn phương có ma trận Hessian xác định dương thì phương pháp này kết thúc sau nhiều nhất n bước Định lí 2.1 (Định lý chính của phương pháp hướng liên hợp) Một hàm toàn phương có ma trận Hessian G xác định dương, phương pháp hướng liên hợp kết thúc sau nhiều nhất n thủ tục tìm chính... lại bước 2 Từ (2.18)-(2.20) ta có thể thấy phương pháp gradient liên hợp chỉ phức tạp hơn đôi chút so với phương pháp giảm nhanh nhất nhưng nó có tốc độ hội tụ bậc hai mà không đòi hỏi tính ma trận Hessian hay các ma trận xấp xỉ Dưới đây, ta sẽ thấy rằng phương pháp gradient liên hợp có tính chất hội tụ toàn cục và sự hội tụ địa phương sau n bước Do đó, phương pháp này đặc biệt hấp dẫn với các bài toán... vectơ hướng và vectơ gradient Thông thường, không gian con [g 0 , Gg 0 , , Gi g 0 ] gọi là không gian Krylov Định lý này vẫn còn đúng với các phương pháp PRPCG, HS-CG hoặc C-W-CG, Dixon-CG, D-Y-CG Dưới đây ta sẽ chứng minh tính hội tụ toàn cục của phương pháp gradient liên hợp F-R trong trường hợp tìm chính xác theo tia 28 Định lí 2.3 (Tính hội tụ toàn cục của phương pháp gradient liên hợp F-R) Giả... và tk > 0 13 1.3 Phương pháp gradient Đây là phương pháp thông dụng để giải bài toán cực tiểu không ràng buộc vì nó đơn giản và có thể áp dụng cho những lớp hàm rất rộng Ý tưởng của phương pháp này như sau: tại mỗi bước lặp k ta chọn hướng giảm dk của hàm f tại xk là dk = − f (xk ) Đây chính là hướng mà theo đó hàm mục tiêu f giảm nhanh nhất tại xk Vì vậy người ta còn gọi phương pháp gradient là phương . THUẬN PHƯƠNG PHÁP GRADIENT LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ MINH THUẬN PHƯƠNG PHÁP GRADIENT LIÊN HỢP VÀ ỨNG. nghiên cứu. Luận văn này đề cập tới phương pháp gradient liên hợp và ứng dụng của nó. Phương pháp gradient liên hợp được Hestenes và Stiefel nêu ra đầu tiên vào những năm 1950 để giải hệ tuyến. hoàn thiện phương pháp giảm nhanh nhất nhằm làm tăng hiệu quả và độ tin cậy của thuật toán. Phương pháp gradient liên hợp là trung gian giữa phương pháp gradient và phương pháp Newton, nó thay