Một số kỹ năng giải bài toán đếm

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIấN VN THUắN MđT SO KY NNG GIAI BÀI TỐN ĐEM LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2014 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ĐŐ VĂN THU¾N M®T SO KY NĂNG GIAI BÀI TỐN ĐEM Chun ngành: Mã so: Phương pháp tốn sơ cap 60.46.01.13 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS NGUYEN VŨ LƯƠNG Mnc lnc M®t so ky giai tốn đem 1.1 Su dung khái ni¾m ban 1.1.1 Quy tac c®ng, quy tac nhân 1.1.2 Hoán v% 1.1.3 Chinh hop 10 1.1.4 Tő hop 13 1.2 Phép tương úng 1- 17 1.2.1 Mô ta phan tu đem 17 1.2.2 Mã hóa 0, phan tu đem 19 1.2.3 Phương pháp đánh so 24 1.3 M®t so phương pháp giai nâng cao cna toán đem 26 1.3.1 Nguyên lí bao gom loai trù 26 1.3.2 Phương pháp truy hoi 30 M®t so dang tốn to hap liên quan đen toán đem 34 2.1 Nguyên lí bat bien 34 2.1.1 Phát hi¾n đai lưong bat bien toán 34 2.1.2 Giai toán bang đai lưong bat bien 39 2.1.3 Bat bien đơn đi¾u 41 2.1.4 M®t so toán nâng cao 44 2.2 Phân hoach 47 2.2.1 Chúng minh không ton tai phân hoach thoa mãn tính 47 chat (G) 2.2.2 Chúng minh có ton tai phân hoach thoa mãn tính chat (G) 48 2.2.3 Xây dnng phân hoach tính chat (G) 49 2.2.4 Phân hoach cân bang 52 2.2.5 M®t so toán minh HQA 53 2.3 Nguyên lí Dirichlet 55 TÀI LIfiU THAM KHAO 57 Lài ma đau Trong dang toán tő hop tốn đem m®t so dang tốn tő hop liên quan đen toán đem dang ban rat quan TRQNG Nhung dang toán xuat hi¾n rat nhieu kì vào trưòng chuyên, thi HQc sinh gioi quoc gia, quoc te Vi¾c giai tốn dang nhieu g¾p rat nhieu khó khăn rat de mac phai nhung sai lam nhung dang tốn khó không nam đưoc phương pháp, ky giai Liên quan đen tốn đem có hai van đe đưoc quan tâm nghiên cúu - M®t so ky giai tốn đem; - M®t so dang toán tő hop liên quan đen tốn đem Đe giai đưoc nhanh chóng xác toán đem can phai nam đưoc ky giai vi¾c giai thành thao tốn đem giúp ta rat nhieu vi¾c giai toán tő hop liên quan đen toán đem Hi¾n có nhieu sách tham khao, tài li¾u viet ve dang tốn tő hop m®t so ky giai tốn đem đ¾c bi¾t m®t so dang tốn tő hop liên quan đen tốn đem ngun lí bat bien, phân hoach chưa đưoc đe c¾p nhieu Chính v¾y, chúng tơi xin cHQN đe tài cho lu¾n văn cna là: “M®t so ky giai tốn đem” Trong luắn ny ngoi viắc trỡnh by mđt so ky giai tốn đem, chúng tơi cịn đưa m®t so dang tốn tő hop liên quan đen toỏn em Nđi dung luắn ny gom hai chng: - Chương 1: Trình bày m®t so ky giai tốn đem su dung khái ni¾n ban, phép tương úng 1- m®t so phương pháp giai nâng cao - Chương 2: Đưa m®t so dang toán tő hop liên quan đen tốn đem ngun lí bat bien, phân hoach ngun lí Dirichlet kèm theo t¾p lịi giai chi tiet Các ket qua cna lu¾n văn nam muc 1.2 cna chương muc 2.2 cna chương Tơi xin đưoc gui lịi cam ơn sâu sac lịng biet ơn chân thành tói PGS TS Nguyen Vũ Lương Cam ơn thay hưóng dan, chi bao giúp đõ t¾n tình suot q trình tơi thnc hi¾n lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn tói thay, giáo cna trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên – Đai HQ c Quoc gia Hà N®i het lịng đào tao, day giúp đõ tơi suot thịi gian tơi HQc t¾p tai trưịng M¾c dù vây, lnc cá nhân han che thòi gian han hep lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót ca ve mắt nđi dung v hỡnh thỳc, rat mong sn đóng góp ý kien cna thay ban Chương M®t so ky giai tốn đem Bài tốn đem m®t n®i dung ban khơng chi dành cho tốn thi đai HQc mà rat can thiet giai tốn tő hop khó kỳ thi HQc sinh gioi Mđt ắc iem rat ắc thự cna nđi dung giai tốn, HQc sinh thưịng nh¾n đưoc đáp so khác nhung sai sót mà ban thân khơng nh¾n Chính v¾y xây dnng ky giai thnc sn can thiet n®i dung cna phan trình bày ky 1.1 1.1.1 SE dnng khái ni¾m ban Quy tac c®ng, quy tac nhân Quy tac c®ng N®i dung quy tac: Neu có m1 cách cHQN đoi tưong a1 , m2 cách cHQN đoi tưong a2 , , mn cách cHQN đoi tưong an , cách cHQN đoi tưong (1 ≤ i ≤ n) khơng phu thu®c vào bat kì cách cHQN đoi tưong aj Σ (1 ≤ i ≤ n, i ƒ= j) se n k= mk cách cHQN đoi tưong a1 , ho¾c a2 , , có ho¾c an Quy tac nhân N®i dung quy tac: Cho n đoi tưong a1 , a2 , , an Neu có m1 cách cHQN đoi tưong a1 vói moi cách cHQN a1 có m2 cách chQN đoi tưong a2, sau vói moi cách cHQN a1 , a2 có m3 cách cHQN đoi tưong a3 , Cuoi vói moi cách cHQN a1 , a2, a3, , an−1 có mn cách cHQN đoi tưong an Như v¾y se có m1 m2 mn−1 mn cách cHQN đoi tưong a1 , roi a2 , roi a3 roi an Sau ta xét m®t so tốn minh HQA: - Bài 1.Vói sáu chu so 0, 1, 2, 3, 4, có the l¾p đưoc so gom bon chu so khác moi so nhat thiet phai có chu so Bài giai GQI so can l¾p abcd Xét trưịng hop: Trưịng hop 1: a = có cách cHQN a, có cách cHQN chu so b, c, A3 d Trưịng hop 2: a ƒ= Có cách cHQN a ( a ƒ= 0) Neu b = có cách cHQN b có A42 cách cHQN c, d; Neu c = có cách cHQN c có A42 cách cHQN b, d; Neu d = có cách cHQN d có A24 cách3 cHQN b, c; V¾y theo quy tac cđng cú the lắp oc 1.A + 4.A2 + 4.A2 + 4.A2 = 204 (so) 4 Bài Tù thành A đen thành B có đưịng, tù thành A đen thành C có đưịng, tù thành B đen thành D có đưịng, tù thành C đen thành D có đưịng Khơng có đưịng noi thành B vói thành C Hoi có tat ca đưòng noi tù thành A đen thành D Bài giai Trưòng hop 1: Đi tù A đen B roi đen D Có cách tù A đen B có cách tù B đen D Theo quy tac nhân so cách cHQN đưịng tù A đen D qua B 3.2 = 6; Trưòng hop 2: Đi tù A đen C roi đen D Có cách tù A đen C có cách tù C đen D Theo quy tac nhân so cách cHQN đưịng tù A đen D qua C 2.4 = Vì cách cHQN đưòng tù A sang D qua B cách cHQN đưịng tù A sang D qua C khơng phu thu®c lan nhau, nên theo quy tac c®ng, ta có so đưòng đe tù A sang D + = 14 (cách) Bài Tù chu so 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có the l¾p đưoc so gom chu so khác nhau? Tìm tőng cna tat ca so Bài giai GQI so can l¾p có dang abcd Có cách cHQN a; Có cách cHQN b (b ƒ= a); Có cách cHQN c (c ƒ= a, c = b); Có cách cHQN d (d ƒ= a, d ƒ= b, d = c) ƒ so có the l¾p đưoc 9.8.7.6 = V¾y theo quy tac nhân so 3024 (so) So lón nhat, so nho nhat so dang lan lưot 9876 1234 có tőng bang 11110, nên đoi vói so bat kì abcd đeu ton tai so aJ bJ cJ dJ , mà abcd + aJ bJ cJ dJ = 11110 Khi đó, ta có thúc: (a+aJ ).1000+(b+bJ ).100+(c+cJ ).10+d+dJ = 10.1000+10.100+10.10+1.10 Tù đó, ta có thúc a + aJ = b + bJ = c + cJ = d + dJ = 10 a ƒ= aJ ⇔ b ƒ= bJ ⇔ c ƒ= cJ ⇔ d ƒ= dJ Boi v¾y, neu abcd có chu so khơng trùng aJ bJ cJ dJ có chu so khơng trùng Do có 9.8.7.6 c¾p so abcd, aJ bJ cJ dJ gom chu so không trùng thuđc {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} V¾y tőng tat ca so dang : 9.8.7.6.11110 = 16798320 Bài M®t ngna bàn cị vua 8x8 Hoi có bao cách di chuyen ngna bàn cò Bài giai Các cna bàn cị có the đ¾t theo quy tac aij (i=1 ,j=1 8) a11 có cách di chuyen a12 có cách di chuyen a13, a14 , a22 có cách di chuyen a23, a24 có cách di chuyen a33, a34, a44 có cách di chuyen Lay đoi xúng v% trí qua truc đoi xúng cna bàn cị, ta có tőng so cách là: n = 4.2 + 8.3 + 20.4 + 16.6 + 16.8 = 336 Bài Cho bàn cò vua 8x8 Có cách cHQN trang đen? Có bao cách cHQN ô trang, ô đen nam hàng hay c®t? Bài giai Trên bàn cị có 32 ô trang, 32 ô đen Có 32 cách cHQN mđt ụ en, 32 cỏch cHQN mđt ụ trang Vắy so cách cHQN n1 =32.32=1024 (cách) Có 32 cách cHQN m®t trang So đen hàng, c®t vói trang cHQN V¾y so cách cHQN n2=32.8=256 (cách) - - Bài Có 28 quân domino o đau có x,y cham x, y Có ≤ cách cHQN quân domino có the noi vói (so cham o m®t đau cna quân bang so cham o m®t đau quân khác) Bài giai Lay m®t quân domino bat kỳ thu®c m®t loai: Loai (7 quân): (0,0), (1,1), ,(6,6) Loai (21 quân): có so cham đau khác Neu quân domino cHQN loai (se có cách chon) se đưoc noi vói qn khác Ví du (1,1) se đưoc noi vói (1,0), (1,2), (1,3),(1,4), (1,5),(1,6) V¾y so c¾p noi đưoc trưịng hop là: n1 = 7.6 = 42 Neu quân domino cHQN loai (se có 21 cách cHQN), se đưoc noi vói 12 qn khác Ví du (2,3) se đưoc noi vói (2,0), (2,1), (2,4), (2,2), (2,5), (2,6),(3,0),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6) V¾y so c¾p noi đươc trưòng hop n2 = 21.12 = 252 Theo quy tac c®ng so cách noi đươc 252+42=294 (ke ca thú tn) Vì thú tn giua đau cna quân domini đưoc xác đ%nh, moi c¾p quân 294 domino noi đưoc đen lan, ta suy so c¾p noi đưoc n = = 147 1.1.2 Hốn v% Hốn v% khơng l¾p %nh ngha: Cho mđt hop gom n (n 1) phan tu Moi cách sap xep n phan tu theo m®t thú tn (moi phan tu có mắt ỳng mđt lan) oc GQI l mđt hoỏn v% cna n phan tu cho Kí hi¾u so hốn v% cna n phan tu bang Pn Ta có cơng thúc Pn = n! Sau ta xét m®t so ốn minh HQA: Bài 7.Vói năm chu so 1, 2, 3, 4, có the l¾p đưoc so gom năm chu so khác nhau? Bài giai Moi so can lắp l mđt hoỏn v% cna nm chu so cho V¾y so so l¾p đưoc bang so hoán v% cna năm phan tu bang P5 = 5! = 120 Ta chia t¾p chu so thành t¾p A = {0, 1, 2, 3, 4}; B = {5, 6, 7, 8, 9} Ta xét h®p úng vói so mà chu so cna nú thuđc cựng mđt A hoắc B So cỏc h®p bang 2.5.5 = 50 Ta xep tat ca the đánh so vào 50 h®p sau: M®t the so x gom chu so nên se cú mđt hai A, B chỳa chu so cna so x Xố so cịn lai ta xep the vào t¾p chúa chu so Trong m®t phân hoach bat kì tat ca h®p 00, 11, 22, , 99 đeu xuat hi¾n chúa phan tu 000, 111, 222, , 999 Khơng có h®p 10 h®p chúa the pqr mà p, q, r đơi m®t khác Xét h®p đánh so ab, aƒ = b Khi có the xep so pab, apb, abp vói p chu so bat kỳ khác a b (đe thoa mãn tính chat đơi m®t khác nhau) Suy so cách cHQN p ƒ= a, p ƒ= b 8, v¾y so so dang pqr, pƒ = q = r có the xep vào h®p ab, a = b bang 3.8 = 24 So the pqr, p = q ƒ ƒ ƒ =r 720 bang 10.9.8 = 720 Đe xep 720 so can nhat ƒ = 30 24 h®p Do v¾y đe xep het so hang can nhat 10 + 30 = 40 h®p Suy vói n < 40 ta kh®ng the xep tat ca so vào n h®p 2.2.2 ChÉng minh có ton tai phân hoach thoa mãn tính chat (G) Bài Chúng minh rang đoi vói bat kì phân hoach t¾p {1, 2, 100 thành lóp, ln ton tai nhat m®t lóp có chúa phan } tu phân bi¾t a, b, c, d cho a + b = c + d hay chúa so phân bi¾t e, f, g thoa mãn e + f = 2g Bài giai Vì 14.7 = 98 < 100, suy theo nguyên lý Dirichlet se ton tai nhat m®t lóp T có nhat 15 phan tu Chúng ta xét tat ca hi¾u a − b; a, b ∈ T, a > b Se có C12 = 105 hi¾u v¾y Các hi¾u v¾y nh¾n giá tr% 99 nên theo nguyên lý Dirichlet se ton tai nhat c¾p t¾p {1, 2, } (u, v) phân bi¾t cho−xy = u v > (x, y); Neu x,y,u,v so phân bi¾t ta có x+v=u+y (đpcm) Neu x=v, ta có y+u=2x (đpcm) Neu y=u, ta có x+v=2y (đpcm) - - Bài Chúng minh rang tù mđt phõn hoach bat k, {1, 2, , 3n thành lóp, moi lóp có n phan tu, có the cHQN}tù moi lóp so cho m®t so cho m®t ba so bang tőng hai so lai Bài giai Ta xét m®t phân hoach A,B,C Khơng giam tính tőng qt ta có the mơ ta phân hoach sau: ∈ A, {1, 2, , k− 1} ⊆ A, k B (so k đưoc xác đ%nh nhat) (1) ∈ tu lai cna A,B,C se đưoc phân bo tiep tùy theo phân Các phan hoach khác Ta GQI b® (a,b,c) ∈ AxB xC m®t b® tot neu ba so có m®t so bang tőng hai so lai Ta gia thiet phan chúng khơng ton tai b® tot ta chúng minh khang đ%nh sau: "∀c ∈ C ta có c − ∈ A." (2) Gia su c − 1∈/ A, ta cHQN c nho nhat giá tr% c mà−c / A Neu−c 1∈ B suy (1,c-1,c) b® tot (mau thuan vói gia thiet phan chúng) Suy c / B Vì c − /∈ A,c 1−/−B∈c 1⇒C − ∈ k đưoc xác đ%nh nhat theo (1) Xét c-k vói Neu c− k ∈ A ⇒ (c − k, k, c) b® tot (mâu thuan) V¾y− c k / A Neu c − k ∈∈ B ⇒ (k − 1, c − k, c 1) l bđ tot (mõu thuan) Vắy c k / B c k C Ta−có ∈ c− k ⇒ 2n + = M ax(yk+1 ) ⇒ z ∈/ Yk+1 (mâu thuan) Neu (x, y, z) ∈ Yi, (1 ≤ i ≤ k), (x ≤ y) Vì 2n + 1∈ Yk+1 ⇒ 2n + 1ƒ = x, 2n + = y, 2n z, ta xét trưòng +1 ƒ hop: Trưòng hop 2n + ≥ y; x, y ∈ Xi ⇒ x ≤ n, y ≤ n ⇒ z = x + y ≤ 2n z Xi suy mâu thuan vói gia thiet quy ∈ nap Trưòng hop x≤ 2n + y, ta có x ∈ Xi , y = 2n + + y J , z = 2n + + z J vói y J , z J Xi J J Suy x + y = z (mâu thuan vói gia thiet quy nap) Trưịng hop x > 2n + 1, suy z = x + y > 2(2n + 1) ⇒ z ∈/ {1, 2, 3, 3n + 1} (mâu thuan) 2.2.4 - - Phân hoach cân bang + Phân hoach T1 , T2, , Tn cna X đưoc gQI cân bang theo so phan tu neu lóp Ti có so phan tu bang + Phân hoach T1 , T2, , Tn cna X đưoc GQI cân bang tőng neu tőng tat ca phan tu cna lóp Ti bang + Ta xét tốn mà thưịng GQI gia thiet H(n, k) sau: "Có ton tai m®t phân hoach t¾p so{1, 2, 3, , nk thành k lóp vùa } hay không? " cân bang so phan tu, vùa cân bang tőng Neu ton tai ta GQI gia thiet H(n, k) Bài Gia thiet H(n, k) n chan Bài giai Gia thiet H(2,k),(n = 2) : {1, 2, 3, , 2k } {= } ∪ {1, 2k− 2,} 2k ∪ {1 − 3,} 2k ∪ ∪ {2 k, k } +1 phân hoach cân bang so phan tu cân bang tőng Ta xét H(2m,k) {mk, mk + }1 {1, 2, 3, , 2mk} = {1, 2mk} ∪ {2, 2mk − 1} ∪ {3, 2mk − 2} ∪ ∪ Ta ký hi¾u: T1 = {1, 2mk} ∪ {2, 2mk − 1} ∪ {3, 2mk − 2} ∪ ∪ {m, 2mk − m + 1} T2 = {m+1, 2mk−m}∪{m+2, 2mk−m−1}∪ ∪{2m, 2mk−2m+1} Tk = {m(k−1)+1, 2mk−m(k−1)}∪{m(k−1)+2, 2mk−m(k−1)−1} ∪ ∪ {mk, mk + 1} thu đưoc {1, 2, , 2mk} = T1 ∪ T2 ∪ ∪ Tk Khi Ti đeu có 2m phan tu tőng so cna Ti bang m(2km+1) V¾y gia thiet H(2m,k) Bài Vói MQI n > le gia thiet H(3,k) suy gia thiet H(n,k) Bài giai Gia su T1, T2, , Tk phân hoach cân bang theo so phan tu theo tőng phan tu Neu n > so le, suy n − so chan Áp dung toán se có m®t phân hoach cân bang theo so phan tu theo tőng cna t¾p {1, 2, , (n − 3)k} thành k lóp X1, X2, , Xk Bây giị thêm vào lóp Xi đe nh¾n đưoc phân hoach cna {t¾p 3)k + 1, (n 3)k + } 1, 2, ,{nk − tù t¾p − (n 2, , nk } T¾p{(n − 3)k + 1, (n− 3)k + 2, , nk gom 3k so nên theo gia thiet quy nap có }the phân hoach thành k lóp, moi lóp có phan tu có tőng phan tu cna moi lóp bang nhau: {(n − 3)k + 1, (n − 3)k + 2, , nk} = Y1 ∪ Y2 ∪ ∪ Yk Suy {1, 2, , nk} đưoc phân hoach thành k lóp: X1 ∪ Y1, X2 ∪ Y2, , Xk ∪ Yk (đpcm) 2.2.5 M®t so tốn minh HQA Đe nam vung ky giai toán phân hoach can giai nhieu toán cu the Bài Gia su tőng cna hai so nguyên a, b không chia het cho Chúng minh rang không the chia t¾p so ngun Z thành lóp rịi đơi m®t cho vói MQI t ∈ Z, so t, t + a, t + b thu®c ve lóp phân bi¾t Bài giai Gia su phan chúng có phân hoach Z = T∪ T2 T3 thoa mãn u cau tốn Ta ký hi¾u∼x y neu x,y thu®c m®t lóp phân hoach B® so nguyên (a„b,c) đưoc GQI b® tot neu a,b,c thuđc ve lúp phõn biắt Tự gia thiet phan chúng suy ra: (x,x+a,x+b) b® tot (x+a,x+2a,x+a+b) b® tot (x+b,x+2b,x+a+b) b® tot ⇒ x + a + b ∼ x (1) CHQN x=0 ta thu đưoc ∼ (a + b), áp dung ket qua (1) ta suy ra: (a + b) ∼ (a + b) + (a + b) = 2(a + b) ∼ 2(a + b) + (a + b) = 3(a + b) − (a+b) = (a+b)− 2(a+b) ∼ −2(a+b) = (a+b)− 3(a+b) ∼ 3(a+b) − Tóm lai ∼ p(a + b),∀p ∈ Z ⇒ a(a + b) (2) Mắt khỏc (x+a,x+2a,x+a+b) l mđt bđ tot theo gia thiet phan chúng Vì x ∼ + a+ bx (x, x + a, x + 2a) b® tot (x,x+a+b thu®c m®t lóp phân hoach) Suy (0,a,2a) b® tot, (a,2a,3a) b® tot ⇒ 3a Mắt khỏc (3a,4a,5a) l bđ tot; (4a,5a,6a) l b® tot3a ⇒ 6a Suy ∼ pa chi p chia het cho (3) Tù (2), (3) suy (a+b) chia het cho (mâu thuan) Bi 10 Trong mđt n so nguyờn dng phân bi¾t cho trưóc, ta xét tat ca tőng phan tu cna nhung t¾p khơng cna n Chúng minh rang − so có the chia thành n lóp cho moi lóp, ty so giua so lón nhat so nho nhat khơng vưot q Bài giai + Ký hi¾u so cho < x1 < x2 < < xn ký hi¾u: mk = (x1 + x2 + + xk); Mk = (x1 + x2 + + xk); (1 ≤ k ≤ n) + Vói 2moi k ta GQI lóp Tk gom nhung tőng S (cna cỏc so thuđc mđt no ú) thoa mãn: mk ≤ S ≤ Mk (1) Mk Neu mk ≤ S1 ≤ S2 ≤ Mk ,S ta có ≤ k = 2 m S1 Suy moi lóp Tk ty so giua so lón nhat so nho nhat khơng vưot q Đoi vói nhung tőng S thoa mãn (1) vói nhieu chi so k ta cHQN mđt chi so k nhat Vắy ta có Ti ∩ Tk = ∅, ∀i ƒ= k + Ta chúng minnh MQI tőng S se rơi vào m®t lóp Tk (1 ≤ k ≤ n) Gia su phan chúng∃là S mà S / Tk ∀k : 1≤ k ≤ n Mk ∈ Tk ⇒ S = ƒ Mk, k ∀ M1 < S < Mn suy có ton tai k đe Mk < S < Mk+1 Ta lai có Vì S > Mk ⇒ S = x1 + x2 + + xk +xk+1 + + xi s ˛¸ Mk x Suy S > xi(i > k) ⇒ 2S > xi + Mk xk+1 + Mk = Mk+1 ⇒ 2S > Mk+1 = 2mk+1 S > mk+1 Tóm lai ta thu đưoc mk+1 < S < Mk+1 ⇒ S Tk+1 (mâu thuan gia thiet phan chúng) 2.3 Nguyên lí Dirichlet Nguyên lý Dirichlet đưoc phát bieu m®t cách đơn gian sau: "Neu nhot n + tho vào n chuong (n ∈ N∗) ln có nhat tho b% nhot m®t chuong" M®t cách tőng qt, ta có ngun lí Dirichlet mo rông: Neu nhot m tho vào n chuong (n, m ∈ N∗) ln ton tai m −1 m®t chuong chúa nhat + [ ] tho" n e đây, ký hi¾u [a] đưoc dùng đe chi phan nguyên cna so thnc a, túc so ngun lón nhat khơng vưot q a Sau ta xét m®t so tốn minh HQA: Bài Cho t¾p X = 1, { 2, , 2009 Chúng minh rang so 1006 } có hai phan tu có tőng bang 2010 phan tu bat kì cna X ln Bài giai Chia t¾p X thành c¾p (1, 2009), (2, 2008), , (2005, 2005) Vì có 1005 c¾p 1006 phan tu nên ton tai hai phan tu thuđc cựng mđt cắp Hai phan tu ny thoa mãn u cau tốn Bài Cho t¾p X = 1,{2, , 2010 Chúng minh rang so 1006 phan tu bat kì cna X ln } có hai phan tu nguyên to Bài giai Chia t¾p X thành c¾p (1, 2), (3, 4), , (2009, 2010) Vì có 1005 c¾p 1006 phan tu nên ton tai hai phan tu thu®c m®t c¾p Hai phan tu nguyên to Bài Xét t¾p M = 1,{ 2, , Vói moi t¾p X cna M , ta kí hi¾u S(X) tőng phan} tu thu®c X Chúng minh rang so 26 t¾p X cna M vói |X| ≤ 3, ln ton tai hai t¾p A B cho S(A) = S(B) Bài giai Ta chia t¾p X cna M thoa mãn| X| vào long, moi long bao gom t¾p có tőng phan ≤ tu Do≤0 S(X) 24 nên có 25 long Do có 26 t¾p X vói X nờn ton tai hai A, B thuđc cựng | | ton tai hai t¾p A, B cho S(A) = m®t long Đieu có nghĩa S(B) ≤ Bài (VMO 2004) Cho t¾p A = 1,{2, 3, , 16 Hãy tìm so nguyên dương k nho nhat cho moi } t¾p gom k phan tu cna A đeu ton tai hai so phân biắt a, b m a2 + b2 l mđt so nguyên to Bài giai Ta thay, neu a, b chan a2 + b2 hop so Do đó, neu t¾p X cna A có hai phan tu phõn biắt a, b m a2 + b2 l mđt so ngun to X khơng the chi chúa so chan Suy ra, k Ta chúng to k = ≥ giá tr% nho nhat can tìm Đieu có nghĩa vói MQI t¾p X2 gom2 phan tu bat kì cna A ln ton tai hai phan tu phân bi¾t a, b mà a + b m®t so nguyên to Đe chúng minh khang đ%nh ta chia t¾p A thành c¾p hai phan tu phân bi¾t a, b mà a2 + b2 m®t so ngun to, ta có tat ca c¾p: (1; 4), (2; 3), (5; 8), (6; 11), (7; 10), (9; 16), (12; 13), (14; 15) Theo nguyên lí Drichlet phan tu cna X có hai phan tu thuđc cựng mđt cắp v ta cú đieu phai chúng minh Bài Trên m¾t phang TQA đ®, m®t điem A(x, y) đưoc GQI điem nguyên neu x, y so nguyên Gia su A1 A2A3 An m®t n-giác loi có tat ca đinh điem nguyên Biet rang mien đa giác (bao gom tat ca điem thu®c mien thu®c biên) khơng chúa bat cú m®t điem ngun ngồi đinh A1 , A2 , , An Chúng ≤ minh rang n Bài giai Vì đinh cna đa giác điem nguyên nên TQA đ® (x, y) cna moi đinh thu®c m®t bon dang: (chan, chan), (chan, le), (le, le), (le, chan) Gia su n ≥ Khi đó, ton tai hai đinh mà TQA đ® cna chúng thu®c m®t dang Gia su hai đinh A(x1 , y1 ) B(x2, y2) Khi trung điem M cna AB (thu®c mien đa giác) có TQA đ® (xM , yM ) thoa mãn: x1 + y1 + x2 = ∈ Z, ∈ Z = y2 M 2 yM Đieu trái vói gia thiet V¾y n ≤ Ket lu¾n Dna so lý thuyet ve t hop, luắn Mđt so ky nng giai bi tốn đem” đưa m®t so ky đe giai tốn đem như: Su dung khái ni¾n ban, phép tương úng 1-1 m®t so phương pháp giai nâng cao Lu¾n văn đưa ba dang toán tő hop liên quan đen toán đem là: nguyên lí bat bien, phân hoach nguyên lí Dirichlet Đong thịi tác gia sưu tam v tng hop oc mđt hắ thong cỏc bi kèm theo lịi giai hưóng dan cu the Tác gia muon giói thi¾u ve ky giai tốn đem Nó khơng nhung giúp ta giai nhanh chóng xác tốn đem mà cịn trang b% cho cách tư kinh nghi¾m đe giai tốn tő hop nói chung Có the ket qua mà lu¾n văn đat đưoc chưa đáng ke có the tài li¾u tham khao cho nhung quan tâm đen van đe Nhung hưóng nghiên cúu tiep theo: neu có đieu ki¾n phát trien đe tài nua chúng tơi se t¾p trung, sâu vào m®t so phương pháp đem nâng cao Phương pháp truy hoi, nguyên lí bao gom loai trù m®t so dang tốn tő hop liên quan đen tốn đem ngun lí bat bien, phân hoach Nói chung đeu nhung dang tốn rat khó đoi hoi phai đau tư nhieu thịi gian, cơng súc trí tu¾ Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1] Các giang cna PGS.TS Nguyen Vũ Lương - Trưòng THPT Chuyên Khoa HQc Tn Nhiên [2] Nguyen Văn M¾u (Chn biên), Chuyên đe CHQN LQc Tő hap Toán rài rac, Nhà xuat ban Giáo duc Vi¾t Nam, 2008 [3] Pham Minh Phương, M®t so chun đe tốn tő hap, Nhà xuat ban Giáo duc Vi¾t Nam, 2010 [4] Tap chí tốn HQc tuői tré, Nhà xuat ban Giáo duc [5] Các tài li¾u sưu tam tù internet: Mathscope.org Tieng Anh [6] Titu Andreescu, Zuming Feng, A Path to Combinatorics for Undergraduates Counting Strategies, Birkhauser, 2004 [7] Jiri Herman, Radan Kucera, Jaromir Simsa, Counting and Configurations, Spinger-Verlag, 2003 ... đưoc nhat m®t bài, lóp có 20 em giai đưoc toán thúc nhat, 14 em giai đưoc toán thú hai, 10 em giai đưoc toán thú ba, em giai đưoc ca hai toán thú nhat thú ba, em giai đưoc ca hai toán thú hai... = 60 + 96 = 156 - Bài 20 Cho t¾p A = 0,{1, 2, 3, 4, có so gom chu so phân bi¾t cna A chia het}cho Bài giai Xét so mà chu so cuoi Trong 3trưòng hop so so thoa mãn yêu cau cna toán bang n1 = A5... giác thoa mãn yêu cau cna toán bang: d1 + 3n(n − 5) = d2 Bài 23 Xét so a = 1122333444, thay đői v% trí chu so cna a nh¾n đưoc so mà giua chu so có nhat hai chu so khác Bài giai Ta đánh so 10 v%