Dưới vi phân clarke và ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN VŨ TH± YEN DƯéI VI PHÂN CLARKE VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - Năm 2017 VŨ TH± YEN DƯéI VI PHÂN CLARKE VÀ ÚNG DUNG Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 60460102 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS TS Nguyen Năng Tâm Hà N®i - Năm 2017 Mnc lnc Bang ký hi¾u viet tat Lài cam ơn Lài nói đau Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Không gian Banach 1.2 Hàm loi 1.2.1 T¾p loi 1.2.2 Hàm loi 1.3 Tôpô, tôpô yeu 1.4 Đ%nh lý Hahn - Banach .10 1.5 Ánh xa Lipschitz đ%a phương .10 1.6 Đao hàm suy r®ng theo phương 11 Chương Dưái vi phân Clarke Éng dnng 14 2.1 Dưói vi phân Clarke 14 2.1.1 Đ%nh nghĩa .14 2.1.2 Ví du 15 2.1.3 M®t so tính chat cna dưói vi phân Clarke 16 2.2 Úng dung 32 Ket lu¾n 37 Tài li¾u tham khao 38 Bang ký hi¾u viet tat R T¾p hop so thnc Rn Khơng gian thnc n chieu E Không gian Banach E∗ Không gian đoi ngau cna không gian Banach X E∗∗ Không gian liên hop thúc hai cna khơng gian X sup C¾n inf C¾n dưói dom f Mien xác đ%nh huu hi¾u cna f epi f Trên đo th% cna hàm f L(E, F ) Không gian ánh xa tuyen tính liên tuc tù E vào F Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n tai trưịng Đai HQ c Khoa HQ c Tn nhiên - Đai HQ c Quoc gia Hà N®i dưói sn hưóng dan cna PGS TS Nguyen Năng Tâm Em xin đưoc bày to lịng biet ơn chân thành sâu sac tói ngưịi hưóng dan khoa HQ c cna mình, ngưịi đ¾t van đe nghiên cúu, dành nhieu thịi gian hưóng dan t¾n tình giai đáp nhung thac mac cna em suot q trình làm lu¾n văn Em HQc t¾p đưoc rat nhieu kien thúc chuyên ngành bő ích cho cơng tác nghiên cúu cna ban thân Em xin bày to lòng cam ơn sâu sac tói Thay giáo, Cơ giáo tham gia giang day lóp Cao HQ c Tốn khóa 2015 - 2017 quan tâm giúp đõ em suot thòi gian HQ c t¾p tai trưịng Em xin gui lịi cam ơn tói t¾p the lóp Cao HQ c Tốn khóa 2015 - 2017 ln đ®ng viên giúp đõ tác gia rat nhieu trình HQ c t¾p, nghiên cúu Cuoi cùng, em xin gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè, lãnh ao n v% cụng tỏc v ong nghiắp ó đng viên, giúp đõ tao đieu ki¾n tot nhat cho em HQc v nghiờn cỳu H Nđi, thỏng 11 năm 2017 HQc viên Vũ Th% Yen Lài nói đau Lý cHQN đe tài Trong thnc tien lý thuyet thưịng g¾p nhung tốn địi hoi phai khao sát nhung hàm so khơng kha vi Vói tốn the, cơng cu tốn HQc “phép tính vi phân cő đien” khơng đn đe giai quyet chúng Đe đáp úng nhu cau giai quyet tốn có yeu to “khơng kha vi”, nhieu khỏi niắm vi phõn suy rđng ó ũi Đ¾c bi¾t nhung năm 70 cna the ki XX, Clarke [4] xây dnng khái ni¾m dưói vi phân cho hàm Lipschitz đ%a phương Tù đen nay, lý thuyet không ngùng phát trien ngày có nhieu úng dung hi¾u qua Trong lu¾n văn này, em se trình bày đ%nh nghĩa, m®t vài tính chat női b¾t cna dưói vi phân Clarke úng dung cna tốn toi ưu N®i dung lu¾n văn bao gom hai phan Chương trỡnh by mđt so khỏi niắm, %nh lý liờn quan en e ti Chng trỡnh by khỏi niắm, mđt so tính chat cna dưói vi phân Clarke úng dung tốn toi ưu Mnc đích nghiên cÉu Tìm hieu ve đ%nh nghĩa, tính chat cna dưói vi phân Clarke úng dung Nhi¾m nghiên cÉu Tőng hop kien thúc ve dưói vi phân Clarke m®t so úng dung cna Đoi tưang pham vi nghiên cÉu Đoi tưong: Dưói vi phân Clarke úng dung Pham vi: Lý thuyet dưói vi phân Clarke m®t so úng dung cna vào lý thuyet toi ưu Phương pháp nghiên cÉu Tőng hop kien thúc thu th¾p đưoc qua nhung tài li¾u liên quan đen đe tài, su dung phương pháp nghiên cúu cna giai tích hàm, lý thuyet tốn tu DE kien đóng góp Nghiên cúu làm rõ đưoc khái ni¾m dưói vi phân Clarke Tőng hop, hắ thong mđt so ket qua ó oc cỏc nhà khoa hQc nghiên cúu cơng bo ve dưói vi phân Clarke úng dung Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Không gian Banach Đ%nh nghĩa 1.1.1 ([1, trang 18]) M®t khơng gian đ%nh chuan m®t khơng gian véctơ vói m®t chuan Đ%nh nghĩa 1.1.2 ([1, trang 18]) Cho E không gian tuyen tính trưịng K M®t chuan E m®t hàm x ›→ ǁxǁ tù E vào R thoa mãn đieu ki¾n sau vói MQI x, y ∈ E, MQI λ ∈ K i) ǁxǁ ≥ 0, ǁxǁ = ⇔ x = ii) ǁλxǁ = |λ| · ǁxǁ iii) ǁx + yǁ ≤ ǁxǁ + ǁyǁ H¾ qua 1.1.3 ([1, trang 19]) Gia su E khơng gian đ%nh chuan Khi đieu ki¾n sau tương đương: i) U lân c¾n cua điem ∈ E ii) αU lân c¾n cua 0, ∀α ƒ= iii) a + U lân c¾n cua a vái MQI a ∈ E Đ%nh nghĩa 1.1.4 Dãy điem {xn } không gian đ%nh chuan E GQI dãy ban neu lim ǁxn − xmǁ = m,n→∞ Đ%nh nghĩa 1.1.5 Không gian đ%nh chuan E GQI không gian Banach neu MQI dãy ban E đeu h®i tu Ví dn 1.1.6 Kí hi¾u C[a, b] khơng gian hàm liên tuc đoan [a, b] Vì MQI hàm liên tuc trờn mđt oan l b% chắn nờn ta cú the xác đ%nh ǁf ǁ = sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]}, f ∈ C[a, b] De thay rang hàm f ›→ ǁfǁ xác đ%nh m®t chuan khơng gian C[a, b] Như v¾y, C[a, b] m®t khơng gian đ%nh chuan De kiem tra đưoc C[a, b] m®t khơng gian Banach Đ%nh nghĩa 1.1.7 Cho E m®t khơng gian đ%nh chuan Khơng gian liên hop (hay cịn GQI khơng gian đoi ngau) cna E, kí hi¾u E ∗ , t¾p hop tat ca phiem hàm tuyen tính liên tuc E Chú ý 1.1.8 • Tù đ%nh nghĩa, de dàng kiem chúng đưoc E∗ m®t khơng gian véctơ vói cỏc phộp toỏn thụng thũng ã E l mđt khụng gian đ%nh chuan Hơn nua E∗ cịn cịn khơng gian Banach 1.2 Hàm loi 1.2.1 T¾p loi E là[x không gian Banach, x1, x2 ∈ E Đoan thang noi hai điem x1, x2,Cho kí hi¾u 1, x2], t¾p hop tat ca điem x = tx1 + (1 − t)x2 ∀t ∈ [0, 1] Đ%nh nghĩa 1.2.1 ([2, trang 3]) T¾p A ⊂ E đưoc GQi loi neu λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A, ∀x1, x2 ∈ A, ∀λ[0, 1] Theo đ%nh nghĩa, t¾p ∅ đưoc xem t¾p loi M¾nh đe 1.2.2 ([2, trang 4]) Gia su Aα ⊂ E (α ∈ I) t¾p loi, vái I t¾p chs so bat kỳ Khi đó, t¾p A =Tα∈I Aα t¾p loi M¾nh đe 1.2.3 ([2, trang 4]) Gia su E, F không gian Banach, g : E → F tốn tu tuyen tính Khi đó: i) Neu A ⊂ E loi g(A) loi ii) Neu B ⊂ F loi ngh%ch anh g−1(B) loi 1.2.2 Hàm loi Gia su E không gian loi đ%a phương, A ⊂ E, f : A → R ∪ {±∞} Đ%nh nghĩa 1.2.4 ([2, trang 38]) Trên đo th% cna hàm f, kí hi¾u epi f , đưoc đ%nh nghĩa sau: epi f = {(x, r) ∈ A × R : f (x) ≤ r} Đ%nh nghĩa 1.2.5 ([2, trang 38]) Mien huu hi¾u cna hàm f, kí hi¾u dom f , đưoc đ%nh nghĩa sau: dom f = {x ∈ D : f (x) < +∞} Đ%nh nghĩa 1.2.6 ([2, trang 39]) Hàm f đưoc GQI thưịng neu dom f ƒ= ∅ f (x) > −∞ (∀x ∈ A) Đ%nh nghĩa 1.2.7 ([2, trang 39]) Hàm f đưoc gQI loi A, neu epi f t¾p loi E × R Hàm f đưoc GQI lõm A neu −f hàm loi A Ví dn 1.2.8 Hàm f : R → R, f (x) = ex hàm loi Đ%nh lý 1.2.9 ([2, trang 40]) Gia su A t¾p loi khơng gian E, hàm f : A → [−∞, +∞] Khi đó, f loi A chs f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (∀λ ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ A) M¾nh đe 1.2.10 ([2, trang 42]) Gia su f : E → [−∞, +∞] Khi đó, f hàm loi chs f (λx + (1 − λ)y) ≤ λr + (1 − λ)s (∀λ ∈ (0, 1), ∀x, y : f (x) < r, f (y) < s) Đ%nh nghĩa 1.2.11 ([2, trang 43]) Hàm f xác đ%nh E đưoc GQi thuan nhat dương, neu ∀x ∈ E, ∀λ ∈ (0, +∞) f (λx) = λf (x) Đ%nh nghĩa 1.2.12 ([2, trang 45]) Hàm f đưoc goi đóng neu epi f đóng E × R Đ%nh nghĩa 1.2.13 ([2, trang 57]) Hàm f đưoc GQI nua liên tuc dưói tai x ∈ E (vói f (x) < ∞), neu vói MQI ε > 0, ton tai lân c¾n U cna x cho: f (x) − ε ≤ f (y) (∀y ∈ U ) Tù (2.4) (2.5) suy qε ≤ max max[αi(ζi, v) : ζi ∈ ∂hi(xi), xi ∈ x + εβ] : i= ≤ max Σ α ∈ ∂g(u), u ∈ h(x0) + εβΣ n ≤ max (hi◦(x0; αiv) + δ) : α ∈ ∂g(u), u ∈ n Σ h(x0) + εβΣ i= n max[αi(ζi, v) : ζi ∈ ∂hi(x0)] : α ∈ ∂g(u), Σ u ∈ h(x0) + εβΣ + nδ i= ≤ q0 + nδKǁvǁ + nδ Mà q0 ≤ qε V¾y limε→0 qε = q0 Đ%nh lý 2.1.22 ([3, trang 50]) Gia su mői hàm hi (i = 1, 2, , n) Lipschitz đ%a phương tai x0, g Lipschitz đ%a phương tai h(x0) Khi đó, ∂f (x0) ⊂ Σ co n i=1 αiζi : ζi ∈ ∂hi(x0), α ∈ ∂g(h(x0))Σ ký hi¾u co bao loi đóng, yeu∗ Dau bang xay neu có mđt cỏc ieu kiắn sau: (i) g quy tai h(x hi α ∈quy ∂g(h(x )) 0, mői có thành phan α0i ), ≥ mői (Tù suyquy ftailàxhàm tai x00) (ii) g kha vi ch¾t tai h(x0) vái n = phép tốn co có the bó đưac (iii) g quy tai h(x0) h kha vi ch¾t tai x0 (Tù suy f quy tai x0 phép tốn co có the bó đưac) Σn Chúng minh Đ¾t S := { i= αiζi : ζi ∈ ∂hi(x0), α ∈ ∂g(h(x0))} Vì S compac, yeu∗ nên coS compac, yeu∗ Neu dim E < ∞ co S t¾p đóng phép tốn có the thay bang phép toán co Giá tr% hàm tna cna S hay coS tai v ∈ E q0 := α iζi : Σn ζi ∈ ∂hi(x0), α ∈ ∂g(h(x0)) Σ i= Theo M¾nh đe 2.1.6(b) ta chi can chúng minh f◦(x0; v) ≤ q0 (∀x) Ta chúng minh vói ∀ε > f◦(x0; v) − ε ≤ q Theo B e 2.1.21, q n iắu tng hđi tu đen q0 ε ↓ Tù đ%nh nghĩa f◦(x0; v) ta có ton tai x gan x0 t > gan O cho f (x; vt) − f (x) ; v)≤ + ε t f◦(x0 (2.6) CHQN ε cho x ∈ x0 + εβ, x + tv ∈ x0 + εβ, h(x) ∈ h(x0 ) + εβ, h(x + tv) ∈ h(x0) + εβ Theo Đ%nh lý 2.1.20, ta có f (x + vt) − f (x) = g(h(x + tv)) − g(h(x)) = n Σ (2.7) αi[hi(x + tv)) − hi(x)] i=1 vói α ∈ ∂g(u), u ∈ [h(x + tv)), h(x)] (hay xi ∈ x0 + εβ) Tương tn áp dung cho hàm hi (2.7), ta có n Σ= f (x + vt) − f (x) αi(ζi, v) (2.8) i=1 vói ζi ∈ ∂hi(xi), xi ∈ [x + tv, x] (hay xi ∈ x0 + εβ) Tù (2.6) (2.8) suy n Σ f◦(x0; v) ≤ αi(ζi, v) + ε i=1 f◦(x0; v) ≤ qε + ε Đ%nh lý 2.1.23 ([3, trang 56]) Cho F không gian Banach Gia su f : E→F kha tai xLipschitz R phương Lipschitztai đ%a tai f (x0) 0, g : F → Khi vi đó,ch¾t h =Hadamard g ◦ f hàm đ%a x0 phương ∂h(x0) ⊂ ∂g(f (x0))0Dsf (x0) (2.9) Dau bang neu f (x Khim®t đó, h (hay quy tai x0xay Ho¾c neug f(hay ánh−g) xa mői lõnquy cắntaicua x00).lờn trựh) mắt chớnh mđt lõn c¾n cua f (x0) Nh¾n xét 2.1.24 Tù (2.9) ta có ∀f ∈ ∂h(x0), ∃ξ ∈ ∂g(f (x0)) cho f = ξ ◦ Ds(f (x0)) hay (f, v) = (ξ, Dsf (x0)v) (∀v ∈ E) Khi (2.9) có the viet dưói dang sau ∂h(x0 ) ⊂ [Ds f (x0 )]∗ ∂g(f (x0 )), * phép liên hop Chúng minh Ta có h hàm Lipschitz đ%a phương tai x0 Ký hi¾u A = Dsf (x0) Vì hai ve cna (2.9) t¾p loi, compac yeu∗ nên (2.9) tương đương vói bat thúc sau: f◦(x0; v) ≤ max{(f, Av) : f ∈ ∂g(f (x0))} = g◦(f (x0), Av) Chúng minh tương tn Đ%nh lý 2.1.22, ta nh¾n đưoc (2.10) (2.10) Gia su g hàm quy tai f (x0) Khi đó: g ◦ (f (x0 ), Av) = g J (f (x0 ), Av) g(f (x0) + tAv) − g(f (x0)) = t↓0 lim t t↓ = lim , t v ) − g (f (x0 + tv )) g (f (x0 ) + tA g (f (x0 )) + g (ft(x0 ) + tv ) − , f (x + tv) − f Vì g Lipschitz đ%a phương tai f (),x) − tAv t (x0 0), ∃K > cho vói t đn nho → 0, (x → , t ↓ x0 t ) − g(f (x0 + tv)) g (f (x0) + tAv tAv →0 ≤K f (xt0 + tv) − f (x0) − (2.11) Suy g◦(f (x ), Av) = lim g(f (x0 + tv)) − g(f (x0)) t h(x0 + tv) − h(x0) = t↓0 lim t t↓0 = hJ (x0 ; v) ≤ h◦ (x0 ; v) Tù suy hJ (x0 ; v) ton tai có chieu ngưoc lai cna (2.10) Do h hàm quy dau bang xay (2.9), (2.10) Neu −g hàm quy tai f (x0), xét hàm −h su dung tính chat ∂(−h) = −∂h −h hàm quy tai x0 dau bang xay o (2.9) Giamđt su flõnlcắn ỏnh cna xa moi lõn).cắn cna x0 lờn mđt trự mắt khap ni f (x Khi đó, g◦(f (x0 g(y + tAv) − g (y ) t ); Av) = lim sup y→f (x) t↓0 = lim sup g(f (gx()f + tAv) − (x)) x→x0 t↓0 t f (x + tv) − f Do tính chat Lipschitz cna g → (x → (x) − tAv t ta có (2.11) Do ); Av) = lim ◦ g (f (x sup ,t↓ 0) x0 g(f (x + tv)) − g(f (x)) x→x0 t↓0 t = h◦(x0; v) Tương tn ta có bat thúc ngưoc lai cna (2.10) Vì v¾y dau bang xay (2.9) H¾ qua 2.1.25 ([2, trang 59]) Gia g :F,F trù → R Lipschitz tai x0, khơng gian E đưac nhúng liên tncsuvào m¾t Fđ%a phương chúa điem x0 Khi đó, thu hep cua g E, ký hi¾u h := g|E thóa mãn đieu ki¾n Lipschitz đ%a phương tai x0, ∂h(x0) = ∂g(x0), nghĩa ∀ξ ∈ ∂h(x ), ton tai m®t thác trien nhat cua ξ F trùng vái m®t phan tu nào0 cua ∂g(x 0) Chúng minh Áp dung Đ%nh lý 2.1.13 vói f ánh xa nhúng E F M¾nh đe 2.1.26 ([3, trang 60]) ∂f (x0 ) ⊂ co{∂fi (x0 ) : i ∈ I(x0 )} Neu fi quy tai x0 (∀i ∈ I(x0)) dau bang xay f quy tai x0 Chúng minh Đ%nh nghĩa hàm: g : Rn → R g(u1, , un) = max{u i: i = 1, , n} h : X → Rn h(x) = (f1(x), , fn(x)) Khi f = g ◦ h Theo Đ%nh lý 2.1.22 ta có ∂f (x0 ⊂ co Σ n i=1 αiζi : ζi ∈ ∂fi(x0), α ∈ ∂g(h(x0))Σ Do đó, ∂g(h(x0)) = {(α1, , αn) : αi ≥ 0} Σ αi = 1, αj = 0, j ∈/ I(x0 ) Vì v¾y ∂f (x0 ⊂ co{∂fi (x0 ) : i ∈ I(x0 )} Vì hàm loiranên Đ%nh 2.1.18(a), g quy tai h(x0) Khi đó, daug bang xay theo f quylýtai x Gradient suy r®ng cua tích thương hai hàm Đ%nh ([3,đótrang su fLipschitz Lipschitz 1, f2 phươnglý tai2.1.27 x0 Khi f1f2 61]) Gia hàm đ%ahàm phương tai x0đ%a ∂(f f2)(x (2.12) 0) ⊂ f2(x0)∂f1(x0) + f1(x0)∂f2(x0) Neu f1(x0) ≥ 0, f21(x 0) ≥ f1, f2 quy tai x0 f1f2 quy tai x0 (2.12) có dau bang xay Chúng minh Ta đ%nh nghĩa hàm g : R2 → R g(u u12u12,hu:2)E:= → R h(x) := (f1(x), f2(x)) Khi f1ta f2có = tính g ◦ fh fÁpchính dung quy Đ%nh ta có (2.12) Áp dung Đ%nh lý 2.1.22(i) tai lý x 2.1.22 Đ%nh lý 2.1.28 ([3, trang 62]) Gia su f1, f2 hàm Lipschitz đ%a phương )f1= Khi đó, tai , (x ƒ hàm Lipschitz đ%a phương tai x0 f2 x0 f2 Σ f1 ∂ f (x f2(x0)∂f1(x02 ) − f1(x0)∂f2(x0) f (x0) )⊂ Neu (x ) ≥ 0, (x ) ≥ , f1 f2 f1 (2.13) có dau bang xay (2.13) quy tai x0 f1 f2 quy tai x0 f2 Gradient suy r®ng riêng Gia suđ%a E1, phương E2 Lipschitz tai không (x1, x2gian ) Banach, F : E1 × E2 → R hàm Đ%nh nghĩa 2.1.29 ([3, trang 62]) Gradient suy r®ng cna hàm f (·, x ) tai x1 đưoc GQI Gradient suy r®ng riêng theo bien thú nhat cna hàm f2 tai (x1 , x2 ) Ký hi¾u ∂1 f (x1 , x2 ) Gradient suy bien r®ngthú cnahai hàm (x1 ,f·) tai tai (x x2 ,đưoc GQI Gradient suy r®ng riêng theo cnaf hàm x2 ) Ký hi¾u ∂2 f (x1 , x2 ) Ký hi¾u f1◦ (x1 , x2 ; v) đao hàm suy r®ng cna hàm f (·, x2 ) theo phương v ∈ X1 tai x1 Đ%nh lýđó 2.1.30 ([3, trang 63]) Gia su hàm f quy tai x = (x1, x2) Khi ∂f (x 1, x2) ⊂ ∂1f (x1, x2) × ∂2f (x1, x2) Chúng minh Lay ξ = (ξ1, ξ2) ∈ ∂f (x1, x2) Ta chi can chúng minh ξ1 ∈ ∂1f (x1, x2) Theo Đ%nh lý 2.1.8(i) ta có (ξ1, ξ2) ∈ ∂f (x1, x2) tương đương vói ((ξ1, ξ2), (v, w)) ≤ f◦ (x1 , x2; v, 0) w) ∈ E1 × E2) (2.14) (∀(v, Vì f quy tai (x1, x2) nên ◦ J J ◦ f (x1 , , x2 ; v, 0) = f (x1 , x2 ; v, 0) = f1 (x1 , x2 ; v) = f1 (2.15) x2(x ; v) Tù (2.14) ta nh¾n đưoc ((ξ1, ξ2), (v, 0)) ≤ f◦(x1, x2; v, 0) Tù (2.15) ta nh¾n đưoc (ξ1 , v) ≤ f1◦ (x1 , x2 ; v) (∀v ∈ E1) (∀v ∈ E1 ) Tù Đ%nh lý 2.1.8(i) ta có ξ1 ∈ ∂1f (x1, x2) 2.2 Úng dnng Cho E không gian Banach, hàm f xác đ%nh E, t¾p X ⊂ E Xét toán min{f (x) : x ∈ X} (Q) Đ%nh 2.2.1 X U đưoc điem ∈c¾n cna bàinghĩa toán (Q) neu Điem ton taixlân cnaGQI x0làsao chocnc tieu đ%a phương f (x0) ≤ f (x) ∀x ∈ X ∩ U Điem x0 ∈ X đưoc gQI điem cnc tieu tồn cuc cna tốn (Q) neu f (x0) ≤ f (x) Đ%nh lý 2.2.2 Gia su ∀x ∈ X (i) f hàm Lipschitz vái hang so K t¾p S (ii) f đat cnc tieu t¾p X ⊂ S tai x0 ∈ A Khitaiđó, vái MQI K ≥ K, hàm g(x) = f (x) + KdA (x) đat cnc tieu S x Hơn thu®c A.nua, neu K ≥ K A đóng điem làm cnc tieu g S phai Chúng minh Chúng minh bang phan chúng Gia su ton tai K ≥ K đe g(x) = f (x) + Kd A(x) không đat cnc tieu S tai x0 Khi đó, ∃x ∈ S, ∃ε > cho f (x) + KdA(x) < f (x) − Kε Gia su điem a ∈ A thoa mãn ǁx − aǁdA(x) + ε Do f Lipschitz S nên f (a) ≤ f (x) + Kǁx − aǁ ≤ f (x) + K(dA(x) + ε) < f (x0), mâu thuan vói x0 điem cn tieu cna f A Gia su K > K x cnc tieu K+K cna g S Khi đó, áp dung vói hang so ta nh¾n đưoc K+K Suy ra, Tù suy Khi đó, x ∈ A f (x) + KdA(x) = f (x0) ≤ f (x) + (K − K)dA(x) ≤ 2 dA(x) = H¾ 2.2.3 E, ) NC (x0) = {0} x0 ∈ E điem cnc tieu đ%a qua phương thìNeu ∈A∂f=(x H¾ qua 2.2.4 ∂f (x0 ) = {f J (x0 )} Đ%nh lý 2.2.5 ([4, trang 52]) Cho f hàm Lipschitz đ%a phương tai x0, f đat cnc tieu A tai x0 Khi đó, ∈ ∂f (x0) + NA(x0) Chúng Vì f flàlàhàm đ%a x00 nênDo ton c¾n U cna x0minh cho hàmLipschitz Lipschitz trênphương U vói Ktai> A tai vàlân U ∩ A có nón pháp tuyen tai x0 nên gia thiet A ⊂ U Do đó, x0 cnc tieu cna hàm f + KdA(x0) U , túc x0 cnc tieu đ%a phương cna f (x) + Kd(x) A(x0) Khi đó: Suy ra, ∈ ∂(f + KdA(x0)) ⊂ ∂f (x0) + KdA(x0) ∈ ∂f (x0) + NA(x0) Cho E không gian Banach xét tốn min{f (x) : x ∈ X} X = {x ∈ E | gi(x) ≤ ho¾c hj (x) = ho¾c x ∈ A vói i = 1, , n; j = 1, , m, A ⊂ E} Gia su A t¾p đóng f, gi, hi Lipschitz o gan điem bat kì cna A (i = 1, , n) Đ¾t g : R → Rn g ]=h[g ,n g : 1R, → n R Hàm Lagrange hàm h = [h1, , hn] L(x, λ, r, s, k) : X × R × Rn × Rm × R → R đưoc cho boi L(x, λ, r, s, k) := λf (x) + (r, g(x)) + (s, h(x)) + k|(λ, r, s)| dA(x) dA hàm khoang cách thương dùng đưoc ket hop vói A Đ%nh lý 2.2.6 ([4, trang 228]) Cho x nghi¾m cua tốn (Q) Khi đó, vái MQI k đu lán, ton tai λ ≥ 0, r > s không phai tat ca đeu bang khơng, ta có (r, g(x)) = ∈ ∂xL(x, λ, r, s, k) Chúng minh GQI P t¾p {p = (λ, r, s) ∈ R1+n+m : λ ≥ 0, r ≥ 0, |(λ, r, s)| = 1} Vói ε > 0, ta đ%nh nghĩa F:E→R F (y) = max{(λ, r, s) · (f (y) − f (x) + ε, g(y), h(y))} P Vì F hàm Lipschitz gan x, F (x) = ε nên ta can F dương A Th¾t v¾y, neu F (y) ≤ gi(y) ≤ 0, hi(y) = f (y) ≤ f (x) + ε m®t ràng bu®c Do đó, x thoa mãn F (x) ≤inf F + ε A √ Khi có m®t điem u ∈ x + εB cho, vói MQI y ∈ A, ta có √ F (y) + εǁy − uǁ ≥ F (u) Neu k hang so Lipschitz vói k > k hang so Lipschitz đ%a phương √ đoi vói hàm F (y) + εǁy − uǁ gan điem y = u Do đó, lân c¾n cna u, u cnc tieu hàm √ y → F (y) + εǁy − xǁ + kdA(y) √ = max{L(y, λ, r, s, k) − λf (x) + ελ} + εǁy − uǁ P √ = G(y) + εǁy − uǁ, G(y) đưoc đ%nh nghĩa so hang đau tiên cna bieu thúc Vói ε đn nho, ta có √ ∈ ∂G(u) + εB (2.16) Gia su hàm (p, y) → ∂xL(y, p, k) đóng (2.17) Vói p1, p2 ∈ P y → L(y, p1, k) − L(y, p2, k) = (p1 − p2)(f, g, h)(y) Lipschitz gan x cna dãy k|p1 − p2|, đó: ∂x L(y, p1 , k) ⊂ ∂x L(y, p2 , k) + k|p1 − p2 |B ∗ Vì F (x) dương nên ton tai nhat pu ∈ P cho F đat đưoc cnc đai Và tù (2.16) ta ket lu¾n ∈ ∂xL(u, pu, k) + εB∗ (2.18) Neu gi(u) ≤ giá tr% lón nhat pu có ri = Neu dãy εi giam dan đen ui h®i tu đen x dãy tui h®i tu tói m®t phan tu cna P Tù (2.18) ta thay ánh xa (2.17) đóng Do đ%nh lý đưoc chúng minh Ket lu¾n Trong lu¾n văn chúng tơi trình bày: Kien thúc chuan b% ve không gian Banach, hàm loi, tôpô yeu, phát bieu đ%nh lý Hahn-Banach, ánh xa Lipschitz đ%a phương đao hàm suy r®ng theo phương Lý thuyet ve dưói vi phân Clarke, có ví du cu the minh HQA m®t so tính chat női b¾t cna Úng dung cna dưói vi phân Clarke vào tốn toi ưu Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1] Đ¾u The Cap (2003), Giai tích hàm, NXB Giáo duc [2] Đo Văn Lưu, Phan Huy Khai (2000), Giai tích loi, NXB Khoa HQc ky thuắt H Nđi [3] o Vn Lu (1999), Giai tích Lipschitz, NXB Khoa HQ c Kĩ thu¾t Hà N®i Tieng Anh [4] F H Clarke (1983), Optimization and nonsmooth analysis, John Wiley and Sons ... 11 Chương Dưái vi phân Clarke Éng dnng 14 2.1 Dưói vi phân Clarke 14 2.1.1 Đ%nh nghĩa .14 2.1.2 Ví du 15 2.1.3 M®t so tính chat cna dưói vi phân Clarke 16 2.2 Úng... cna dưói vi phân Clarke úng dung tốn toi ưu Mnc đích nghiên cÉu Tìm hieu ve đ%nh nghĩa, tính chat cna dưói vi phân Clarke úng dung Nhi¾m nghiên cÉu Tőng hop kien thúc ve dưói vi phân Clarke m®t... Clarke m®t so úng dung cna 4 Đoi tưang pham vi nghiên cÉu Đoi tưong: Dưói vi phân Clarke úng dung Pham vi: Lý thuyet dưói vi phân Clarke m®t so úng dung cna vào lý thuyet toi ưu Phương pháp nghiên