Mô hình black scholes có trễ và ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN —————————————– ĐONG TH± TRANG MƠ HÌNH BLACK- SCHOLES CĨ TRE VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Hà N®i - 2014 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN —————————————– ĐONG TH± TRANG MƠ HÌNH BLACK - SCHOLES CĨ TRE VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Chun ngành: Lý thuyet xác suat thong kê toán HQ c Mã so: 60460106 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: TS.LƯU HỒNG ĐÚC Hà N®i - 2014 Mnc lnc Lài ma đau Kien thÉc chuan b% 1.1 Quá trình ngau nhiên 1.1.1 Quá trình ngau nhiên 1.1.2 Quá trình ngau nhiên thích nghi vói b® LQ c 1.1.3 K vQNG cú ieu kiắn lay oi vúi mđt σ-trưòng 1.1.4 Xác suat có đieu ki¾n 1.1.5 Martingale 1.1.6 Q trình Wiener hay chuyen đ®ng Brown 1.1.7 Bien phân b¾c hai cna q trình ngau nhiên 1.1.8 Tích phân Ito 10 1.2 Phương trình vi phân ngau nhiên 13 1.2.1 Phương trình vi phân ngau nhiên thơng thưịng 13 1.2.2 Công thúc Ito 14 1.2.3 Phương trình vi phân ngau nhiên có tre 16 1.3 Các khái ni¾m ban tài 18 1.3.1 Tài khoan tien t¾ 18 1.3.2 Th% trưịng tài 18 1.3.3 Danh muc đau tư tn tài tro khơng có đ® chênh th% giá 20 1.3.4 Chien lưoc đáp úng 21 1.3.5 Xác suat trung hòa rni ro 22 Mơ hình Black - Scholes 24 2.1 Mơ hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngau nhiên thơng thưịng .24 2.1.1 Mơ hình q trình giá 24 2.1.2 Mơ hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngau nhiên thơng thưịng 25 2.2 Mơ hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngau nhiên có tre 29 2.2.1 Mơ hình giá cő phieu có tre 29 2.2.2 Mơ hình Black -Scholes cho phương trình vi phân ngau nhiên có tre hang so 31 2.3 So sánh mô hình Black - Scholes Black - Scholes có tre 38 Úng dnng cua mơ hình Black - Scholes có tre xác đ%nh bong bóng hay snp đo th% trưàng tài 44 3.1 Mơ hình hóa kinh te 44 3.2 Nhung tác đ®ng kinh te 51 3.3 Chien lưoc đau tư 55 Ket lu¾n 58 Tài li¾u tham khao 59 Lài ma đau Hi¾n nay, mơ hình ngau nhiên tro thành m®t nhung đoi tưong nghiên cúu quan TRQNG lí thuyet tốn tài chính, giúp có cơng cu đe phân tích đ%nh giá tài san tài m®t cách tot nhat Cơng trình có tính chat cách mang vi¾c tính tốn tài xuat hi¾n vào năm 1973 cna F.Black M.Scholes ve tính giá tr% hop lý cna quyen cHQN (“Pricing of Option and Corporate Liabilities”) Tiep đó, có m®t loat cơng trình ve tính giá hop lý cna quyen cHQN san pham tài vói nhung mơ hình o nhieu cap đ® tù đơn gian đen phúc tap khác nhau, đáng ý vi¾c đưa mơ hình Black - Scholes có tre Trong mơ hình Black - Scholes có tre, sn bien đ®ng khú anh hưong đen sn bien đng hiắn tai Nú phự hop vúi th% trũng ti so vói mơ hình Black - Scholes cő đien Muc đích cna lu¾n văn h¾ thong lai m®t cách ban mơ hình Black - Scholes cho phương trình vi phân thơng thưịng phương trình vi phân có tre, chi moi liên h¾ sn khác giua hai mơ hình vi¾c đ%nh giá quyen cHQN Lu¾n văn cung cap tốn úng dung cna mơ hình Black - Scholes có tre vi¾c dn đốn kha xay bong bóng sup đő th% trưịng Bo cuc lu¾n văn bao gom chương: • Chương trình bày m®t so kien thúc chuan b% can thiet, bao gom q trình ngau nhiên, tích phân ngau nhiên, phương trình vi phân ngau nhiên thơng thưịng, phương trình vi phân ngau nhiên có tre, khái ni¾m ban ve th% trưịng tài cau trúc cna • Chương chương chính, trình bày mơ hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngau nhiên thơng thưịng phương trình vi phân ngau nhiên có tre, đong thịi xây dnng cơng thúc đ%nh giá quyen cHQN cho ca hai mơ hình so sánh moi liên h¾ sn khác giua hai mơ hỡnh ã Chng trỡnh by viắc ỳng dung cna mơ hình Black - Scholes có tre vi¾c xác đ%nh kha xay bong bóng sup đő th% trưịng Lu¾n văn đưoc hồn thành nhị có sn hưóng dan giúp đõ t¾n tình cna Tien sĩ Lưu Hồng Đúc, Vi¾n Tốn HQc - Vi¾n Hàn lâm Khoa HQ c Cơng ngh¾ Vi¾t Nam Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan, giai đáp thac mac cna em suot q trình làm lu¾n văn Qua đây, em xin đưoc bày to lòng biet ơn sâu sac tói Thay Cuoi em xin chân thành cam ơn thay giáo giang day tai trưịng Đai HQ c Khoa năm HQc HQ c tn nhiên t¾n tình cung cap kien thúc nen tang cho em nhung vùa qua Hà N®i, ngày tháng 12 năm 2014 HQc viên Đong Th% Trang Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Quá trình ngau nhiên Cho (Ω, F, P) m®t khơng gian xác suat, túc l mđt bđ ba gom l mđt so bat kỳ mà moi phan tu diắn cho mđt yeu to ngau nhiờn Moi cna gom mđt so yeu to ngau nhiên F m®t HQ t¾p cna Ω, chúa Ω đóng đoi vói phép hop đem đưoc phép lay phan bù; nói khác F m®t σ - trưịng t¾p cna Ω Moi t¾p hop A ∈ F se đưoc GQI m®t bien co ngau nhiên P m®t đ® đo xác đ%nh khơng gian đo (Ω, F) 1.1.1 Q trình ngau nhiên M®t q trình ngau nhiên (Xt, t ≥ 0) m®t hàm hai bien X(t, ω) xác đ%nh tích R+ × Ω lay giá tr% R, m®t hàm đo đưoc đoi vói σ trưịng tích BR+ × F, BR+ σ - trưịng t¾p Borel R+ = [0, ∞) Đieu có nghĩa vói MQI t¾p Borel B R thỡ hop {(t, ) R+ ì : X(t, ω) ∈ B} m®t phan tu cna σ trưịng tích BR+ × F; σ - trưịng σ- trưịng nho nhat chúa t¾p có dang [0, t] × A, vói t ∈ R+ A ∈ F Khi co đ%nh m®t ω ∈ Ω ánh xa riêng phan t → X(t, ω) tù R+ vào R đưoc GQI m®t quy đao cna trình ngau nhiên X = (Xt, t ≥ 0) úng vói yeu to ngau nhiên ω ay 1.1.2 Quá trình ngau nhiên thích nghi vái b® LQC M®t HQ σ - trưòng (Ft, t ≥ 0) cna F, Ft ⊂ F đưoc GQI b® LQc thoa cỏc ieu kiắn thụng thũng neu ã ú HQ tăng theo t, túc Fs ⊂ Ft neu s < t; • HQ liên tuc phai, túc Ft = ∩ Ft+s s >0 • Neu A ∈ F P(A) = A ∈ F0 (và A nam mQI Ft) X = (Xt, t ≥ 0) Ta xét σ-trưòngt F X sinh boi tat ca bien ngau nhiên Xs vói s ≤ t: Ft X = σ(Xs , s ≤ t) σ-trưịng chúa đnng MQI thơng tin ve dien bien khú cna trình X cho đen thịi điem t Ngưịi ta GQI b® LQc tn nhiên cna trình X, hay l%ch su cna X, hay cịn GQI trưịng thơng tin ve X Cho m®t q trình ngau nhiên M®t khơng gian xác suat (Ω, F, P) ta gan thêm vào m®t b® LQc (Ft) đưoc gQI khơng gian xác suat đưoc LQ c ký hi¾u (Ω, F, (Ft ), P) 1.1.3 Kỳ vQNG có ieu kiắn lay oi vỏi mđt -trng Cho (, F, P) m®t khơng gian xác suat, G m®t σ - trưịng cna F X m®t bien ngau nhiên, túc m®t ánh xa đo đưoc tù (Ω, F) vào (R, BR), BR σ-trưịng t¾p Borel đưịng thang R Khi đó, m®t bien ngau nhiên X ∗ se đưoc GQI kỳ vQNG có đieu ki¾n cna X đoi vói σ-trưịng G, neu • X ∗ bien ngau nhiên đo đưoc đoi vói G, ∫ ∫ • Vói MQI t¾p A ∈ G ta có A X ∗dP = A XdP Bien ngau nhiên se đưoc kí hiắu l E(X|G) v nú cng l mđt bien ngau nhiên Neu ta cHQN σ-trưòng σ(Y ) sinh boi m®t bien ngau nhiên Y Khi kỳ vQNG có đieu ki¾n cna X lay đoi vói σ(Y ) đưoc ký hi¾u E(X| Y ) 1.1.4 Xác suat có đieu ki¾n Xác suat có ieu kiắn P(A|G)cna mđt bien co A Ft l bien ngau nhiên xác đ%nh boi P(A|G) = E(11A|G) A hàm chi tiêu cna m®t bien co A, túc neu ω ∈ A A(ω) = neu ω ∈/ A Tính chat P(Ω|G) = (hau chac chan); ∀A ∈ F : P(A|G) = − P(A|G) (hau chac chan); ∀A1, A2, · · · ∈ F ròi tùng đơi m®t Σ G = ∞ P[ ∞ A n=1 P(A G) (hau chac chan) n Σ n=1 n 1.1.5 Martingale Trong phan chúng tơi trình bày lý thuyet ban ve Martingale N®i dung trình bày đưoc trích dan tù tài li¾u tham khao [10, trang 200-201] Đ%nh nghĩa 1.1 Cho không gian xác suat (Ω, F, P ) đưac trang b% b® LQc F = {Ft , ≤ t ≤ T } M®t q trình ngau nhiên thài gian liên tnc {X(t)} thích nghi vái b® LQc {Ft } đưac GQI m®t martingale đoi vái F neu thóa mãn đieu ki¾n sau: E|X(t)| < ∞, ∀t ∈ [0, T ], E[X(s)|Ft] = X(t), t < s ≤ T Gia su s t hai giá tr% bat kì cho s ≤ t Khi đó: 1.Neu E(Xt | Fs ) ≤ Xs X trên; 2.Neu GQI martingale E(Xt | Fs ) ≥ Xs X GQI martingale dưái Đ%nh nghĩa 1.2 Cho {X(t), ≤ t ≤ T} m®t martingale {X(t)} đưac GQI bình phương kha tích neu sup E 0≤t≤ T Σ X2(t) {X(t)} đưac GQI kha tích đeu neu sup Σ lim E |X(t)|1 Σ < ∞ Σ {|X(t)|>n} = n→∞ 0≤t≤T M¾nh đe 1.1 1.MQI martingale bình phương kha tích xác đ%nh khoang thài gian huu han kha tích đeu 2.Cho Y m®t bien ngau nhiên kha tích, đ%nh nghĩa M (t) = E [Y |Ft] , ≤ t ≤ T Khi đó, q trình {M (t)} kha tích đeu Thòi điem ngau nhiên τ đưoc GQi thài điem dùng neu {τ ≤ t} ∈ Ft, ∀t ∈ [0, T ] M®t martingale b% dùng o thịi điem τ trình {M (t ∧ τ ), ≤ t ≤ T}, t ∧ τ = {t, τ} Neu {M (t)} m®t martingale q trình {M (t ∧ τ )} m®t martingale đieu ngưoc lai khơng Đ%nh nghĩa 1.3 (Martingale đ%a phương) M®t q trình thích nghi {X(t)} đưac GQI m®t martingale đ%a phương neu ton tai m®t dãy thài điem dùng {τn } thóa mãn τn → ∞ n → ∞ vái mői n, trình {M (t ∧ τn )} martingale kha tích đeu Dãy thài điem dùng {τn } đưac GQI dãy đ%a phương hóa 1.1.6 Q trình Wiener hay chuyen đ®ng Brown Trong phan chúng tơi trình bày lý thuyet ve chuyen đ®ng Brown, hàm xác suat chuyen cna chuyen đ®ng Brown đưa m®t so martingale quen thu®c tao thành tù chuyen đ®ng Brown N®i dung trình bày đưoc trích dan tù tài li¾u tham khao [10, trang 46-47] [3] M®t q trình ngau nhiên W = (Wt)t≥0 m®t q trình Wiener hay chuyen đ®ng Brown neu: W0 = hau chac chan ta khơng mơ hình hóa niem tin cna nhà đau tư thơng qua hàm ti¾n ích khơng áp đ¾t cho nhà đau tư bat kỳ m®t han che ngân sách Tuy nhiên, phương pháp tiep c¾n vi¾c mơ hình hóa nhu cau phu thu®c vào q khú có the xem ket qua tù sn hop lý cna nhà đau tư e phự hop vúi kinh nghiắm, hoat đng v quan sát cna HQ khú Trưóc xét nhung ý nghĩa ve kinh te cơng nh¾n đ%nh lý sau: Đ%nh lí 3.1 Gia su rang r thóa mãn (3.3), Thì nghi¾m Y cua (3.1) thóa v0 = rJ ∈ L2 (R+ ) mãn 1.Neu Y (t) −σ|c| = lim inf √ = σ|c|, hau chac chan t→ 2t log log t ∞ v0 > lim e ∫ − v0t −e τ Y (t) = ∫ − Σ ∫ ∞ − e ν(d du+c e v0sdB(s σ s) ) v 0s v0u (ϕ(u) −ϕ(0)) [−τ,u ] c t→∞ Trong ca hai trưàng hap, hang so c đưac cho bái (3.4) Bien ngau nhiên Γ(ϕ) bieu dien boi ve phai phan (2) cna đ%nh lý (3.1) ∫ du + ∫ ∞ v0sdB(s) (3.15) e e−v0u(ϕ(u) − v 0s e ν(ds) cσ − Γ(ϕ) = ∫ [−τ,u] ϕ(0)) c −τ Σ có phân phoi chuan vói ∫ E[Γ(ϕ)] = c ∫[−τ,u] ev0sν(ds) du Σ , e−v0u(ϕ(u) − ϕ(0)) −τ ∫ (3.16) V ar[Γ(ϕ)] = (cσ)2 ∞ e−v0sdB(s) Do v¾y neu σ ƒ= ln có m®t xác suat dương cho giói han dương m®t xác suat dương cho giói han âm Cho m®t đ® đo ν, đe đơn gian vi¾c xác đ%nh giá tr% khơng điem cna h ho¾c quyet đ%nh cHQN giua hai trưịng hop đ%nh lý (3.1) đ%nh lý dưói tiêu chuan cho lóp cna đ® đo dau M [−τ, 0] se đưoc áp dung vi¾c mơ hình hóa kinh te Đ%nh lí 3.2 Gia su rang ƒ= ν ∈ M [−τ, 0] thóa mãn ν([−t, 0]) ≥ 0, vái MQI t ∈ [0, τ ] (3.17) ν([−τ, 0]) = (3.18) m(ν) = ∫ [−τ,0 ] sν(ds) > 1, h có m®t khơng điem đơn λ = v0 > tat ca nhung khơng điem khác cua h thóa mãn Re(λ) < v0 m(ν) = ∫ [−τ,0 ] sν(ds) < 1, h có m®t khơng điem λ = v0 = tat ca nhung không điem λ khác cua h thóa mãn Re(λ) < v0 Đ%nh lí 3.3 Gia su rang ƒ= ν ∈ M [−τ, 0] thóa mãn đieu ki¾n (3.17), (3.18) m(ν) < Vái δ > ∆ ≥ có Cov(Yδ(t), Yδ(t + ∆)) > 0,vái MQI t ≥ δ 2.Giái han c (∆) = lim Cov(Y (t), Y (t + ∆)) = σ2 ∫ ∞ r (u)r (u + ∆)du δ δ t→ ∞ δ δ δ ton tai huu han Hơn nua, vái mői δ > có lim cδ(∆) = ∆→ ∞ cδ ∈ L1(R+) 3.Ton tai nhat λ0 > cho −λ0 ∈ Λ cδ(∆)eλ0∆ = ∫ Σ−1 ∫ u τ λ lim σ ue ν([−u, 0])du ∆→ ∞ δ eλ0uduΣ ∫ ∞ rδ(u)e−λ0uduΣ 0 vái giái han huu han dương 3.2 NhEng tác đ®ng kinh te Trưóc xét ví du cho chien lưoc trung bình trưot cna nhà giao d%ch, có m®t so nh¾n xét áp dung ket qua vào kinh te a) Hành vi đ®ng lEc cua th% trưàng Neu m(ν) < 1, ket hop đ%nh lý (3.1) đ%nh lý (3.2) có hau chac chan Y (t) lim sup √ t→∞ σ 2t log log t = − m(ν) ket hop vói (3.1) ta có log S(t) − µ − lim sup σ2 Σ t hau chac chan σ √ 1− 2t log m(ν) log t vói m®t ket qua tương tn cho h®i tu yeu Dưói hai đieu ki¾n (3.17) (3.18) mà chúng = t→∞ ta se gia đ%nh có suot phan có m(ν) ≥ Và giói han o ve phai thoa mãn σ ∈ [σ, ∞) − m(ν) Do v¾y neu q trình S lón m(ν) gan đen Ngưoc lai, m(ν) = xay neu nhà đau theo xu hưóng Trong trưịng hop này, m(ν) tien đen 0, dien bien giong mơ hình Black - Scholes tiêu chuan Nói cách khác, sn có m¾t cna nhà đau theo xu hưóng làm cho th% trưịng rni ro cú sn bien đng lún hn Viắc xuat hiắn nhung ngưịi giao d%ch thơng tin làm tăng đ® rni ro cho nhà đau tư theo thông tin Neu m(ν) > 1, ket hop đ%nh lý (3.1) đ%nh lý (3.2) có lim e−v0tY (t) = Γ(ϕ) hau chac chan, t→∞ Γ(ϕ) bien ngau nhiên phân phoi chuan đưoc đ%nh nghĩa (3.15) Trong trưịng hop ta có log S(t) − µ − σ Σ t lim sup t→∞ exp(v0t) = Γ(ϕ) hau chac chan Vì bien ngau nhiên Γ(ϕ) có phân phoi chuan nên ton tai m®t xác suat khác khơng cho log S(t) − (µ − σ )t h®i tu theo hàm mũ hau chac chan đen ∞ (đai di¾n cho bong bóng), hau chac chan đen −∞ (đai di¾n cho sn sup ) Xỏc suat cna nhung hiắn tong ny phu thuđc vào kỳ vQNG cna bien ngau nhiên Γ(ϕ) Trong ca hai trưịng hop đeu tương úng vói sn tăng lên cna m(ν) Bây giò N nghiên cúu nhung yeu to làm tăng m(ν) Chúng ta xác đ%nh ∫[−τ,0] uν(du) Σj= βj ∫ ∫[−τ ,0] ulj(du)Σ [−ϑ ,0] = usj(du) N m(ν) Σ − = j j = βj (m(sj) − m(lj)) j=1 Lưong m(sj) chi mỳc đ anh hong cna loi nhuắn ngan han m ngưịi giao d%ch đưa ra, tương tn vói m(lj) cho loi nhu¾n dài han Sn khác giua giá tr% m(sj) − m(lj) lón làm cho giá tr% m(ν) lón th% trưịng khơng őn đ%nh M®t giá tr% βj lón tương úng vói hành vi đau chac chan tích cnc Nhu cau vưot múc theo ke hoach cna ngưòi giao d%ch thú j gap βj lan sn khác giua trung bình ngan han dài han Do vắy, vúi mđt so j lún thỡ mđt dau hiắu nho tù th% trưịng có the giúp cho ngưịi giao d%ch có phan úng Chúng ta thay rang câu tra lịi tích cnc tù nhung ngưịi giao d%ch v viắc a mỳc đ anh hong ỏng ke đen loi nhu¾n khú tương đoi xa se dan đen bien đ®ng cna th% trưịng Thnc te, tác đ®ng rõ ràng vói m(ν) > có limt→∞ ev0tY (t) = Γ(ϕ) ton tai, khác khơng hau chac chan có the có giá tr% âm giá tr% dương vói xác suat dương, phu thuđc vo bong búng hay viắc sup b) Dien bien cua bong bóng sE snp đo Trong phan gia su m(v) > xét xác suat xay bong bóng ho¾c sn sup đő vói loi nhu¾n ban đau ϕ Ket qua sau có tù kỳ vQNG (3.16) cna bien ngau nhiên Γ(ϕ) ϕ(u) = k vói MQI u ∈ [−τ, 0] m®t hang so k ∈ R E[Γ(ϕ)] = P(Γ(ϕ) < 0) = P(Γ(ϕ) > 0) = Vì v¾y, neu khơng có xu hưóng loi nhu¾n [−τ, 0], th% trưịng có kha bang đe nh¾n bong bóng ho¾c sn sup đő Đieu rat nhay cam boi nhà đau tư khơng the phát hi¾n xu hưóng th% trưịng có the tác đ®ng đen quyet đ%nh theo hưóng này hay hưóng khác Neu hai tien đt bien loi nhuắn b% lắch, thỡ ϕ2(u) = ϕ1(u) + k vói hang so k ∈ R,túc P(Γ(ϕ1) > 0) = P(Γ(ϕ2) > 0) Đieu cho thay mơ hình loi nhu¾n mói anh hưong đen xác suat cna bong bóng nhieu vi¾c loi nhu¾n cao hay thap 3.Neu P(Γ(ϕ) > 0) > α ›→ P(Γ(αϕ) > 0), lim P(Γ(αϕ) > 0) = 1, lim α→ ∞ tăng P(Γ(αϕ) > 0) = α→−∞ Đieu cho thay neu có xu hưóng loi nhu¾n ban đau làm cho xác suat cna bong bóng có nhieu kha so vói m®t sn sup đő, m®t phiên ban mo r®ng cna xu hưóng se m®t bong bóng th¾m chí có nhieu kha đe xay ra, vói thùa so mo r®ng lón dan đen xác suat cna m®t bong bóng nhieu Đieu cho thay nhung ngưịi giao d%ch nh¾n đưoc tín hi¾u xu hưóng manh tù th% trưịng, HQ có nhieu kha đe làm cho nhung xu hưóng thành hi¾n thnc Đ%nh lý sau xét cách làm the m®t xu hưóng ngày tăng loi nhu¾n ban đau có the dan tói nhà đau ngoai suy xu hưóng tăng này, làm cho bong bóng có nhieu kha Đ%nh lí 3.4 Gia su rang ƒ= v ∈ M [−τ, 0] thóa mãn (3.17) (3.18) m(v) > vái lai nhu¾n ban đau ϕ ∈ C ([−τ, 0]) vái ϕJ (0) ƒ= có: (a) ϕ hàm tăng P(Γ(ϕ) > 0) > (b) Neu ϕ hàm giam P(Γ(ϕ) < 0) > Các tính chat (1) - (4) trờn trung vo tỏc đng cna loi nhuắn ban đau vào xác suat cna bong bóng hay sn sup đő Tuy nhiên, xác suat phu thu®c vào tính chat cna Ito tích phân bên tay phai cna (3.15) Tù vi¾c lay tích phân cna tích phân Ito phía bên phai (3.15) giam theo thịi gian, tác đ®ng cna “tin túc” lúc đau rat quan TRQNG cho sn phát trien cna đ®t bien, ban đau vói tin túc tot ve cő phieu có xu hưóng dan đen giá tr% dương cna tích phân Ito Do đó, neu có tin túc tot ban đau ve tài san, giá cna cő phieu có xu hưóng tăng, ngưòi giao d%ch ép giá cao boi loi dn đốn nham vi¾c tăng phát sinh tù nhu cau cna nhà đau tư có thơng tin Như nói, đieu gây vi¾c mua ngày nhieu, giá cő phieu trai qua m®t bong bóng Nhung nh¾n xét cho thay che mà bong bóng hình thành mơ hình phù hop vói khái ni¾m ve lây lan bat chưóc Trong q trình lây lan bat chưóc, có the nghĩ đen th% trưịng gom hai hình thúc ngưịi giao d%ch, vói ngưịi mói vào nghe lna cHQN chien lưoc kinh doanh có xu hưóng chiem ưu the tai mđt thũi iem nhat %nh Trong di han, ty lắ nhà đau tư moi nhóm lang xuong đen m®t giá tr% mà ngau nhiên, đieu phu thu®c nhieu vào nhung xay thòi gian giao d%ch đau Sau đây, nêu m®t so ví du ve chien lưoc đau tư trung bình trưot Đe đơn gian ta chi xét m®t đai di¾n phương án kinh doanh cna HQ Vì đieu bo qua tham so β mơ hình mà chi n¾ng anh hưong cna nhà đau tư đơn le tőng so loi nhu¾n tích lũy 3.3 Chien lưac đau tư a) Lai nhu¾n hi¾n tai so vái lai nhu¾n khÉ Gia su rang nhà đau tư so sánh giá tr% hi¾n tai cna loi nhu¾n tích lũy Y vói trung bình có TRQNG so thòi gian liên tuc τ đơn v% thịi gian cuoi Giá tr% hi¾n tai cna loi nhu¾n tích lũy đưoc đo boi s(du) = αδ0(du) vói hang so > 0, vúi ký hiắu đ o Dirac tai Loi nhu¾n tích lũy dài han có TRQNG so l(du) = f (u)du f m®t hàm khơng âm L [−τ, 0] vói ||f ||L1 = α vói τ > Thì đ® đo v(du) = s(du) − l(du) = αδ0(du) − f (u)du thoa mãn đieu ki¾n đ%nh lý (3.2) vói moment cho boi ∫ m(v) = sf (s)ds −τ − Hàm L tuyen tính có dang ∫ L : C[−τ, 0] → R, − L(ϕ) = αϕ(0) ϕ(s)f (s)ds −τ Neu m(v) < loi nhu¾n tích lũy tuân theo lim sup √ Y (t) t→∞ 2t log log t lim inf t→∞ Y (t) √ 2t log log t |σ | = 1− m(v) −|σ| = 1− m(v) hau chac chan hau chac chan M¾t khác, neu m(v) > ton tai λ > nhat cho hau chac chan lim e−λtY (t) t→∞ = ∫0 1+ seλsf −τ (s)ds ∫ ∫ −τ (ϕ(0) − ϕ(u)) ∫ ∞ eλ(s−u)f (s)dsdu + σ −τ Σ e−λsdB(s) b) Trung bình trưat ngan han so vái dài han Gia đ%nh rang nhà đau tư so sánh bình qn có TRQNG so theo thịi gian liên tuc cna loi nhu¾n tích lũy Y ϑ đơn v% cuoi cna thòi gian vói m®t trung bình trưot τ ≥ ϑ đơn v% thòi gian Múc anh hưong cna ngan han tương úng vói m®t hàm khơng âm f ∈ L1[−ϑ, 0] múc anh hưong cna dài han tương úng vói m®t hàm khơng âm g ∈ L [−τ, 0] vói ǁfǁL1 = ǁgǁL1 > Mo r®ng f lên [−τ, 0] bang cách thiet l¾p f (u) = vói u ∈ [−τ, −ϑ] Neu gia su rang ∫ ∫ f (s)ds ≥ −t g(s)ds, vói MQI t ∈ [−τ, 0], −t đ® đo ν(du) = (f (u) − g(u))du thoa mãn tat ca đieu ki¾n cna đ%nh lý (3.2) vói moment ∫ m(ν) = (f (s) − g(s))ds Hàm L tuyen tính đưoc cho boi −τ ∫ L : C[−τ, 0] → R, L(ϕ) = ϕ(s)(f (s) − g(s))ds −τ Neu m(ν) < theo (3.1) có lim sup √ Y (t) t→∞ 2t log log t Y (t) √ 2t log log t lim inf t→∞ = a.s, |σ | 1− m(v) a.s −|σ| = 1− m(v) M¾t khác, neu m(ν) > ton tai m®t so dương nhat λ > cho lim e−λtY (t) t→∞ ∫ =c (ϕ(0) − ϕ(u)) −τ ∫ ∫−τ u e (f (s) − g(s))dsdu + σ λ(s−u) Σ ∞ e−λsdB(s) , ∫0 c = − seλs (f (s) − g(s))dsΣ−1 − c) Trung bình trưat vái thài gian rài rac τ Gia đ%nh rang nhà đau tư so sánh bình qn có TRQNG so cna loi nhu¾n tích lũy tai m điem ϑ đơn v% thòi gian cuoi cựng vúi mđt bỡnh quõn gia quyen cna loi nhuắn tích lũy tai n điem τ đơn v% thịi gian cuoi cùng, τ ≥ ϑ Cho loi nhu¾n tích lũy ngan han đưoc quan sát tai điem −ϑ = −ϑ1 < · · · < −ϑm = dài han đưoc quan sát tai điem −τ = −τ1 < · · · < −τn = Thì quan sát ngan han đưoc bình quân theo đ® đo m Σ s(du) = αj δ−ϑj (du) j=1 vói TRQNG so αj ≤ quan sát dài han theo m Σ l(du) = βj δ−τj (du) j=1 vói TRQNG so βj ≤ Neu gia su rang α1 + · · · + αm = β1 + · · · + βn > 0, m Σ n αj 1[−t,0] (−ϑj ) ≥ Σ j=1 βj 1[−t,0] (−τj ), vói MQI t ∈ [0, τ ], j=1 đ® đo ν(du) = s(du) − l(du) thoa mãn tat ca đieu ki¾n cna đ%nh lý (3.2) vói moment n m Σ Σ m(ν) = βjτ j − αjϑj j=1 j=1 Hàm L tuyen tính đưoc cho boi L : C[−τ, 0] → R, L(ϑ) = Σ m n αjϕ(−ϑj) − j=1 Σ βjϕ(−τj) j=1 Neu có m(ν) < loi nhu¾n tích lũy thoa mãn Y (t) lim sup √ 2t log t→∞ log t lim inf t→∞ = hau chac chan, | σ| 1− m(v) Y (t) √ 2t log log t hau chac chan −|σ| = 1− m(v) M¾t khác, neu m(ν) > ton tai m®t so λ > nhat cho hau chac chan lim e−λtY (t) = cσ ∫ ∞ e−λsdB(s) −λu t→∞ m− αie−ϑ ∫ e (ϕ(u) − ϕ(0))du n−1 βie−τ ∫ e−λu(ϕ(u) − ϕ(0))duΣ , − Σλ λ − Σ τ +c − j=1 i i i i=1 c = − ϑi Σn j=1 β−λτ τ e j j j Σ +m −λϑ αϑe j=1 j j j Σ−1 Ket lu¾n Lu¾n văn giai quyet oc cỏc cụng viắc chớnh l: ã Trỡnh bày lí thuyet phân tích đ%nh giá tài san tài có chúa đnng yeu to ngau nhiên • Trình bày mơ hình Black - Scholes cho trưịng hop phương trình vi phân ngau nhiên thơng thưịng phương trình vi phân ngau nhiên có tre xây dnng cơng thúc đ%nh giá quyen cHQN tương úng • Đưa úng dung vi¾c xác đ%nh bong bóng sup đő th% trưòng Tuy nhiên thòi gian thnc hi¾n khơng nhieu kien thúc cịn han che, lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót, em mong nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban ĐQ c đe lu¾n văn hồn chinh Tài li¾u tham khao [1] Nguyen Văn Huu, Vương Qn Hồng (2007), Các phương pháp tốn HQc tài chính, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [2] Tran Hùng Thao (2009), Nh¾p mơn tốn HQc tài chính, Nhà xuat ban Khoa HQc Ky thu¾t [3] Tran Hùng Thao (2013), Tốn tài ban, Nhà xuat ban Văn hóa Thơng tin [4] Đ¾ng Hùng Thang (2006), Q trình ngau nhiên tính tốn ngau nhiên, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [5] Nguyen Duy Tien (2001), Các mơ hình xác suat úng dnng, Phan III: Giai tích ngau nhiên, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [6]M Arriojas, Y Hu, S.-E Mohammed and G Pap (2007) A delayed Black and Scholes formula, Stochastic Analysis and Applications, 25 (2), 471 492 [7]A.B.M Sahadat Hossain, S.Mozumder (2013), On determinants and sensitivities of option prices in delayed Black - Scholes model, The International Journal of Social Sciences, 11 (1) [8]Appleby, J.A.D, Riedle, M.Swords (2012) Bubbles and crashes in a Black Scholes Model with delay, Finance Stochastic, 17 (1), - 30 [9]C.T.H Baker, E.Buckwar (2000) Numerical analysis of explicit one-step methods for stochastic delay differential equations, London Mathematical Society Journal of Computation and Mathematics, 3, 315 - 335 [10]M Kijima (2003), Stochastic processes with applications to finance, Chapman & Hall/CRC ... 2.2.1 Mơ hình giá cő phieu có tre 29 2.2.2 Mơ hình Black -Scholes cho phương trình vi phân ngau nhiên có tre hang so 31 2.3 So sánh mơ hình Black - Scholes Black - Scholes có tre... đ® đo xác suat trung hịa rui ro Chương Mơ hình Black - Scholes Trưóc đe c¾p đen mơ hình Black - Scholes có tre, chúng tơi trình bày mơ hình Black - Scholes cho phương trình vi phân thơng thưịng... cHQN san pham tài vói nhung mơ hình o nhieu cap đ® tù đơn gian đen phúc tap khác nhau, đáng ý vi¾c đưa mơ hình Black - Scholes có tre Trong mơ hình Black - Scholes có tre, sn bien đ®ng q khú anh