Mô hình black scholes có trễ và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– ĐỒNG THỊ TRANG MÔ HÌNH BLACK- SCHOLES CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– ĐỒNG THỊ TRANG MÔ HÌNH BLACK - SCHOLES CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60460106 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.LƯU HOÀNG ĐỨC Hà Nội - 2014 Mục lục Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ-trường 1.1.4 Xác suất có điều kiện 1.1.5 Martingale 1.1.6 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown 1.1.7 Biến phân bậc hai trình ngẫu nhiên 1.1.8 Tích phân Ito 10 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 13 1.2.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường 13 1.2.2 Công thức Ito 14 1.2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ 16 Các khái niệm tài 18 1.3.1 Tài khoản tiền tệ 18 1.3.2 Thị trường tài 18 1.3.3 Danh mục đầu tư tự tài trợ độ chênh thị giá 20 1.3.4 Chiến lược đáp ứng 21 1.3.5 Xác suất trung hòa rủi ro 22 Mô hình Black - Scholes 2.1 24 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường 24 2.1.1 24 Mô hình trình giá 2.1.2 2.2 2.3 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường 25 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ 29 2.2.1 Mô hình giá cổ phiếu có trễ 29 2.2.2 Mô hình Black -Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ số 31 So sánh mô hình Black - Scholes Black - Scholes có trễ 38 Ứng dụng mô hình Black - Scholes có trễ xác định bong bóng hay sụp đổ thị trường tài 44 3.1 Mô hình hóa kinh tế 44 3.2 Những tác động kinh tế 51 3.3 Chiến lược đầu tư 55 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 Lời mở đầu Hiện nay, mô hình ngẫu nhiên trở thành đối tượng nghiên cứu quan trọng lí thuyết toán tài chính, giúp có công cụ để phân tích định giá tài sản tài cách tốt Công trình có tính chất cách mạng việc tính toán tài xuất vào năm 1973 F.Black M.Scholes tính giá trị hợp lý quyền chọn (“Pricing of Option and Corporate Liabilities”) Tiếp đó, có loạt công trình tính giá hợp lý quyền chọn sản phẩm tài với mô hình nhiều cấp độ từ đơn giản đến phức tạp khác nhau, đáng ý việc đưa mô hình Black - Scholes có trễ Trong mô hình Black - Scholes có trễ, biến động khứ ảnh hưởng đến biến động Nó phù hợp với thị trường tài so với mô hình Black - Scholes cổ điển Mục đích luận văn hệ thống lại cách mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân thông thường phương trình vi phân có trễ, mối liên hệ khác hai mô hình việc định giá quyền chọn Luận văn cung cấp toán ứng dụng mô hình Black - Scholes có trễ việc dự đoán khả xảy bong bóng sụp đổ thị trường Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết, bao gồm trình ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường, phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ, khái niệm thị trường tài cấu trúc • Chương chương chính, trình bày mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ, đồng thời xây dựng công thức định giá quyền chọn cho hai mô hình so sánh mối liên hệ khác hai mô hình • Chương trình bày việc ứng dụng mô hình Black - Scholes có trễ việc xác định khả xảy bong bóng sụp đổ thị trường Luận văn hoàn thành nhờ có hướng dẫn giúp đỡ tận tình Tiến sĩ Lưu Hoàng Đức, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn, giải đáp thắc mắc em suốt trình làm luận văn Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cuối em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo giảng dạy trường Đại học Khoa học tự nhiên tận tình cung cấp kiến thức tảng cho em năm học vừa qua Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2014 Học viên Đồng Thị Trang Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quá trình ngẫu nhiên Cho (Ω, F, P) không gian xác suất, tức ba gồm Ω tập sở mà phần tử ω ∈ Ω đại diện cho yếu tố ngẫu nhiên Mỗi tập Ω gồm số yếu tố ngẫu nhiên F họ tập Ω, chứa Ω đóng phép hợp đếm phép lấy phần bù; nói khác F σ - trường tập Ω Mỗi tập hợp A ∈ F gọi biến cố ngẫu nhiên P độ đo xác định không gian đo (Ω, F) 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên Một trình ngẫu nhiên (Xt , t ≥ 0) hàm hai biến X(t, ω) xác định tích R+ × Ω lấy giá trị R, hàm đo σ - trường tích BR+ × F, BR+ σ - trường tập Borel R+ = [0, ∞) Điều có nghĩa với tập Borel B R tập hợp {(t, ω) ∈ R+ × Ω : X(t, ω) ∈ B} phần tử σ trường tích BR+ × F; σ - trường σ- trường nhỏ chứa tập có dạng [0, t] × A, với t ∈ R+ A ∈ F 2 Khi cố định ω ∈ Ω ánh xạ riêng phần t → X(t, ω) từ R+ vào R gọi quỹ đạo trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) ứng với yếu tố ngẫu nhiên ω 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc Một họ σ - trường (Ft , t ≥ 0) F, Ft ⊂ F gọi lọc thỏa mãn điều kiện thông thường • Đó họ tăng theo t, tức Fs ⊂ Ft s < t; • Họ liên tục phải, tức Ft = ∩ Ft+ >0 • Nếu A ∈ F P(A) = A ∈ F0 (và A nằm Ft ) Cho trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) Ta xét σ-trường FtX sinh tất biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t: FtX = σ(Xs , s ≤ t) σ-trường chứa đựng thông tin diễn biến khứ trình X thời điểm t Người ta gọi lọc tự nhiên trình X, hay lịch sử X, hay gọi trường thông tin X Một không gian xác suất (Ω, F, P) ta gắn thêm vào lọc (Ft ) gọi không gian xác suất lọc ký hiệu (Ω, F, (Ft ), P) 1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ-trường Cho (Ω, F, P) không gian xác suất, G σ - trường F X biến ngẫu nhiên, tức ánh xạ đo từ (Ω, F) vào (R, BR ), BR σ-trường tập Borel đường thằng R Khi đó, biến ngẫu nhiên X ∗ gọi kỳ vọng có điều kiện X σ-trường G, • X ∗ biến ngẫu nhiên đo G, • Với tập A ∈ G ta có A X ∗ dP = A XdP Biến ngẫu nhiên kí hiệu E(X|G) biến ngẫu nhiên Nếu ta chọn σ-trường σ(Y ) sinh biến ngẫu nhiên Y Khi kỳ vọng có điều kiện X lấy σ(Y ) ký hiệu E(X|Y ) 1.1.4 Xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện P(A|G)của biến cố A ∈ Ft biến ngẫu nhiên xác định P(A|G) = E(11A |G) 11A hàm tiêu biến cố A, tức 11A (ω) = ω ∈ A ω ∈ /A Tính chất P(Ω|G) = (hầu chắn); ∀A ∈ F : P(A|G) = − P(A|G) (hầu chắn); ∀A1 , A2 , · · · ∈ F rời đôi ∞ ∞ An G P 1.1.5 P(An G) (hầu chắn) = n=1 n=1 Martingale Trong phần trình bày lý thuyết Martingale Nội dung trình bày trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10, trang 200-201] Định nghĩa 1.1 Cho không gian xác suất (Ω, F, P ) trang bị lọc F = {Ft , ≤ t ≤ T } Một trình ngẫu nhiên thời gian liên tục {X(t)} thích nghi với lọc {Ft } gọi martingale F thỏa mãn điều kiện sau: E|X(t)| < ∞, ∀t ∈ [0, T ], E[X(s)|Ft ] = X(t), t < s ≤ T Giả sử s t hai giá trị cho s ≤ t Khi đó: Nếu E(Xt | Fs ) ≤ Xs X gọi martingale trên; Nếu E(Xt | Fs ) ≥ Xs X gọi martingale Định nghĩa 1.2 Cho {X(t), ≤ t ≤ T } martingale {X(t)} gọi bình phương khả tích sup E X (t) < ∞ 0≤t≤T {X(t)} gọi khả tích lim sup E |X(t)|11{|X(t)|>n} = n→∞ 0≤t≤T Mệnh đề 1.1 Mọi martingale bình phương khả tích xác định khoảng thời gian hữu hạn khả tích Cho Y biến ngẫu nhiên khả tích, định nghĩa M (t) = E [Y |Ft ] , ≤ t ≤ T Khi đó, trình {M (t)} khả tích Thời điểm ngẫu nhiên τ gọi thời điểm dừng {τ ≤ t} ∈ Ft , ∀t ∈ [0, T ] Một martingale bị dừng thời điểm τ trình {M (t ∧ τ ), ≤ t ≤ T }, t ∧ τ = {t, τ } Nếu {M (t)} martingale trình {M (t ∧ τ )} martingale điều ngược lại không Định nghĩa 1.3 (Martingale địa phương) Một trình thích nghi {X(t)} gọi martingale địa phương tồn dãy thời điểm dừng {τn } thỏa mãn τn → ∞ n → ∞ với n, trình {M (t ∧ τn )} martingale khả tích Dãy thời điểm dừng {τn } gọi dãy địa phương hóa 1.1.6 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown Trong phần trình bày lý thuyết chuyển động Brown, hàm xác suất chuyển chuyển động Brown đưa số martingale quen thuộc tạo thành từ chuyền động Brown Nội dung trình bày trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10, trang 46-47] [3] Một trình ngẫu nhiên W = (Wt )t≥0 trình Wiener hay chuyển động Brown nếu: W0 = hầu chắn Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hữu, Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp toán học tài chính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn toán học tài chính, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [3] Trần Hùng Thao (2013), Toán tài bản, Nhà xuất Văn hóa Thông tin [4] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên tính toán ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mô hình xác suất ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [6] M Arriojas, Y Hu, S.-E Mohammed and G Pap (2007) A delayed Black and Scholes formula, Stochastic Analysis and Applications, 25 (2), 471 - 492 [7] A.B.M Sahadat Hossain, S.Mozumder (2013), On determinants and sensitivities of option prices in delayed Black - Scholes model, The International Journal of Social Sciences, 11 (1) [8] Appleby, J.A.D, Riedle, M.Swords (2012) Bubbles and crashes in a Black Scholes Model with delay, Finance Stochastic, 17 (1), - 30 [9] C.T.H Baker, E.Buckwar (2000)Numerical analysis of explicit one-step methods for stochastic delay differential equations, London Mathematical Society Journal of Computation and Mathematics, 3, 315 - 335 [10] M Kijima (2003), Stochastic processes with applications to finance, Chapman & Hall/CRC 59 [...]... Quốc gia Hà Nội [2] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn toán học tài chính, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật [3] Trần Hùng Thao (2013), Toán tài chính căn bản, Nhà xuất bản Văn hóa Thông tin [4] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mô hình xác suất và ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất... Mohammed and G Pap (2007) A delayed Black and Scholes formula, Stochastic Analysis and Applications, 25 (2), 471 - 492 [7] A.B.M Sahadat Hossain, S.Mozumder (2013), On determinants and sensitivities of option prices in delayed Black - Scholes model, The International Journal of Social Sciences, 11 (1) [8] Appleby, J.A.D, Riedle, M.Swords (2012) Bubbles and crashes in a Black Scholes Model with delay, Finance