Mô hình black scholes có trễ và ứng dụng

Mục lục Lời mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ-trường . . . . . . . . . 6 1.1.4 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.6 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown . . . . . . . . . . . 8 1.1.7 Biến phân bậc hai của quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . 9 1.1.8 Tích phân Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường . . . . . . . . 13 1.2.2 Công thức Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Các khái niệm cơ bản trong tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1 Tài khoản tiền tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2 Thị trường tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3 Danh mục đầu tư tự tài trợ và không có độ chênh thị giá . . . 20 1.3.4 Chiến lược đáp ứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.5 Xác suất trung hòa rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Mô hình Black - Scholes 24 2.1 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1 Mô hình quá trình giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 2.1.2 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ . 29 2.2.1 Mô hình giá cổ phiếu có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Mô hình Black -Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 So sánh mô hình Black - Scholes và Black - Scholes có trễ . . . . . . . 38 3 Ứng dụng của mô hình Black - Scholes có trễ xác định bong bóng hay sụp đổ trong thị trường tài chính 44 3.1 Mô hình hóa kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Những tác động kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3 Chiến lược đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 2 Lời mở đầu Hiện nay, các mô hình ngẫu nhiên đã trở thành một trong những đối tượng nghiên cứu quan trọng trong lí thuyết toán tài chính, giúp chúng ta có công cụ để phân tích và định giá tài sản tài chính một cách tốt nhất. Công trình có tính chất cách mạng trong việc tính toán tài chính xuất hiện vào năm 1973 của F.Black và M.Scholes về tính giá trị hợp lý của các quyền chọn (“Pricing of Option and Corporate Liabilities”). Tiếp đó, có một loạt công trình về tính giá hợp lý của các quyền chọn và các sản phẩm tài chính với những mô hình ở nhiều cấp độ từ đơn giản đến phức tạp khác nhau, đáng chú ý là việc đưa ra mô hình Black - Scholes có trễ. Trong mô hình Black - Scholes có trễ, sự biến động trong quá khứ ảnh hưởng đến sự biến động hiện tại. Nó phù hợp với thị trường tài chính hơn so với mô hình Black - Scholes cổ điển. Mục đích của luận văn là hệ thống lại một cách cơ bản mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân thông thường và phương trình vi phân có trễ, chỉ ra mối liên hệ cũng như sự khác nhau giữa hai mô hình này trong việc định giá quyền chọn. Luận văn cũng cung cấp các bài toán ứng dụng của mô hình Black - Scholes có trễ trong việc dự đoán khả năng xảy ra bong bóng và sụp đổ thị trường. Bố cục luận văn bao gồm 3 chương: • Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết, bao gồm các quá trình ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường, phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ, các khái niệm cơ bản về thị trường tài chính và cấu trúc của nó. • Chương 2 là chương chính, trình bày mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường và phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ, đồng thời xây dựng công thức định giá quyền chọn cho cả hai mô hình và so sánh mối liên hệ cũng như sự khác nhau giữa hai mô hình. • Chương 3 trình bày việc ứng dụng của mô hình Black - Scholes có trễ trong việc xác định khả năng xảy ra bong bóng và sụp đổ thị trường. 3 Luận văn được hoàn thành nhờ có sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của Tiến sĩ Lưu Hoàng Đức, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn, giải đáp thắc mắc của em trong suốt quá trình làm luận văn. Qua đây, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy. Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo giảng dạy tại trường Đại học Khoa học tự nhiên đã tận tình cung cấp kiến thức nền tảng cho em trong những năm học vừa qua. Hà Nội, ngày 5 tháng 12 năm 2014 Học viên Đồng Thị Trang Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quá trình ngẫu nhiên Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm 1. Ω là một tập cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈ Ω đại diện cho một yếu tố ngẫu nhiên. Mỗi tập con của Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nào đó. 2. F là một họ nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếm được và phép lấy phần bù; nói các khác F là một σ - trường các tập con của Ω. Mỗi tập hợp A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên. 3. P là một độ đo xác định trên không gian đo (Ω, F). 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1. Một quá trình ngẫu nhiên (X t , t ≥ 0) là một hàm hai biến X(t, ω) xác định trên tích R + ×Ω lấy giá trị trong R, và là một hàm đo được đối với σ - trường tích B R + ×F, trong đó B R + là σ - trường các tập Borel trên R + = [0, ∞). Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel B trên R thì tập hợp {(t, ω) ∈ R + × Ω : X(t, ω) ∈ B} là một phần tử của σ trường tích B R + × F; σ - trường này là σ- trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng [0, t] ×A, với t ∈ R + và A ∈ F. 5 2. Khi cố định một ω ∈ Ω thì ánh xạ riêng phần t → X(t, ω) từ R + vào R được gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X = (X t , t ≥ 0) ứng với yếu tố ngẫu nhiên ω ấy. 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc 1. Một họ các σ - trường con (F t , t ≥ 0) của F, F t ⊂ F được gọi là bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu • Đó là họ tăng theo t, tức là F s ⊂ F t nếu s < t; • Họ đó là liên tục phải, tức là F t = ∩ >0 F t+ • Nếu A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F 0 (và do đó A nằm trong mọi F t ) 2. Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (X t , t ≥ 0). Ta xét σ-trường F X t sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên X s với s ≤ t: F X t = σ(X s , s ≤ t). σ-trường này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t. Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay lịch sử của X, hay cũng còn gọi là trường thông tin về X. 3. Một không gian xác suất (Ω, F, P) trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc (F t ) được gọi là không gian xác suất được lọc và ký hiệu là (Ω, F, (F t ), P). 1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ-trường 1. Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất, G là một σ - trường con của F và X là một biến ngẫu nhiên, tức là một ánh xạ đo được từ (Ω, F) vào (R, B R ), trong đó B R là σ-trường các tập Borel trên đường thằng R. Khi đó, một biến ngẫu nhiên X ∗ sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ-trường G, nếu • X ∗ là biến ngẫu nhiên đo được đối với G, • Với mọi tập A ∈ G thì ta có  A X ∗ dP =  A XdP. Biến ngẫu nhiên này sẽ được kí hiệu là E(X|G) và nó cũng là một biến ngẫu nhiên. 2. Nếu ta chọn σ-trường σ(Y ) sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên Y nào đó. Khi đó kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với σ(Y ) cũng được ký hiệu là E(X|Y ). 6 1.1.4 Xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện P(A|G)của một biến cố A ∈ F t là biến ngẫu nhiên xác định bởi P(A|G) = E(11 A |G) trong đó 11 A là hàm chỉ tiêu của một biến cố A, tức là 11 A (ω) =  1 nếu ω ∈ A 0 nếu ω /∈ A Tính chất 1. P(Ω|G) = 1 (hầu chắc chắn); 2. ∀A ∈ F : P(A|G) = 1 −P(A|G) (hầu chắc chắn); 3. ∀A 1 , A 2 , ··· ∈ F rời nhau từng đôi một thì P  ∞  n=1 A n   G  = ∞  n=1 P(A n   G) (hầu chắc chắn). 1.1.5 Martingale Trong phần này chúng tôi trình bày các lý thuyết cơ bản về Martingale. Nội dung trình bày được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10, trang 200-201]. Định nghĩa 1.1. Cho không gian xác suất (Ω, F, P ) được trang bị bộ lọc F = {F t , 0 ≤ t ≤ T}. Một quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục {X(t)} thích nghi với bộ lọc {F t } được gọi là một martingale đối với F nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 1. E|X(t)| < ∞, ∀t ∈ [0, T ], 2. E[X(s)|F t ] = X(t), t < s ≤ T . Giả sử s và t là hai giá trị bất kì sao cho s ≤ t. Khi đó: 1. Nếu E(X t | F s ) ≤ X s thì X gọi là martingale trên; 2. Nếu E(X t | F s ) ≥ X s thì X gọi là martingale dưới. Định nghĩa 1.2. Cho {X(t), 0 ≤ t ≤ T } là một martingale. 7 1. {X(t)} được gọi là bình phương khả tích nếu sup 0≤t≤T E  X 2 (t)  < ∞. 2. {X(t)} được gọi là khả tích đều nếu lim n→∞ sup 0≤t≤T E  |X(t)|11 {|X(t)|>n}  = 0. Mệnh đề 1.1. 1. Mọi martingale bình phương khả tích xác định trên khoảng thời gian hữu hạn là khả tích đều. 2. Cho Y là một biến ngẫu nhiên khả tích, định nghĩa M(t) = E [Y |F t ] , 0 ≤ t ≤ T. Khi đó, quá trình {M(t)} khả tích đều. Thời điểm ngẫu nhiên τ được gọi là thời điểm dừng nếu {τ ≤ t} ∈ F t , ∀t ∈ [0, T ]. Một martingale bị dừng ở thời điểm τ là quá trình {M(t ∧ τ), 0 ≤ t ≤ T }, trong đó t ∧ τ = min {t, τ}. Nếu {M(t)} là một martingale thì quá trình {M(t ∧ τ )} cũng là một martingale nhưng điều ngược lại thì không đúng. Định nghĩa 1.3. (Martingale địa phương) Một quá trình thích nghi {X(t)} được gọi là một martingale địa phương nếu tồn tại một dãy các thời điểm dừng {τ n } thỏa mãn τ n → ∞ khi n → ∞ và với mỗi n, quá trình {M(t ∧τ n )} là martingale khả tích đều. Dãy các thời điểm dừng {τ n } được gọi là dãy địa phương hóa. 1.1.6 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown Trong phần này chúng tôi trình bày lý thuyết về chuyển động Brown, hàm xác suất chuyển của chuyển động Brown và đưa ra một số martingale quen thuộc tạo thành từ chuyền động Brown. Nội dung trình bày được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10, trang 46-47] và [3]. Một quá trình ngẫu nhiên W = (W t ) t≥0 là một quá trình Wiener hay chuyển động Brown nếu: 1. W 0 = 0 hầu chắc chắn. 8 2. Hiệu W t − W s là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kì vọng 0 và phương sai là t −s, (s < t). 3. Các số gia W t 4 −W t 3 và W t 2 −W t 1 (với mọi t 1 ≤ t 2 ≤ t 3 ≤ t 4 ) là các biến ngẫu nhiên độc lập. Với các số thực µ và σ, quá trình X(t) = X(0) + µt + σW (t), t ≥ 0, t ≥ 0 được gọi là chuyển động Brown với độ dịch chuyền µ và hệ số khuếch tán σ. Vì W (t) ∼ N(0, t) nên X(t) − X(0) ∼ N(µt, σ 2 t). Gọi S(t) là giá một chứng khoán rủi ro ở thời điểm t, và giả sử {X(t)} với X(t) = log[S(t)/S(0)] là một chuyển động Brown với độ dịch chuyển µ và hệ số khuếch tán σ. Quá trình S(t) xác định bởi S(t) = S(0)e X(t) , t ≥ 0, được gọi là chuyển động Brown hình học. Các martingale quen thuộc tạo thành từ W Cho (W t ) là một chuyển động Brown và F t = F W t . Khi đó thì ta có 3 martingale quen thuộc là 1. Bản thân W t là một martingale đối với (F t ), 2. W 2 − t là một martingale đối với (F t ), 3. Với mọi u ∈ R thì e uW t − u 2 2 t là một martingale đối với (F t ). 1.1.7 Biến phân bậc hai của quá trình ngẫu nhiên Liên quan đến lời giải phương trình vi phân về sau, chúng tôi trình bày lý thuyết cơ bản về biến phân bậc hai của quá trình ngẫu nhiên. Nội dung trình này được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [3, trang 43-44] Định nghĩa 1.4. Cho (X t ) và (Y t ) là hai quá trình liên tục, xác định với t ≥ 0. Ta gọi biến phân bậc hai của quá trình ấy và ký hiệu [X, Y ] là một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi giới hạn hầu chắc chắn sau đây, nếu nó tồn tại [X, Y ] t = lim max |t k+1 −t k |→0 n−1  n=0 (X t k+1 − X t k )(Y t k+1 − Y t k ) hầu chắc chắn 9 với mọi phân hoạch 0 = t 0 < t 1 < ··· < t n = t. Biến phân bậc hai của một số quá trình 1. Nếu W là một chuyển động Brown tiêu chuẩn thì [W ] t = t. 2. Nếu X là một quá trình Poisson tiêu chuẩn thì martingale Poisson Y t = X t −t có biến phân bậc hai là [Y t ] = t. 3. Nếu X và Y là hai quá trình Itô cho bởi X = X 0  t 0 h 1 (s, ω)ds +  t 0 f 1 (s, ω)dW s Y = Y 0  t 0 h 2 (s, ω)ds +  t 0 f 2 (s, ω)dW s thì [X, Y ] t =  t 0 f 1 (s, ω)f 2 (s, ω)ds 1.1.8 Tích phân Ito Trong phần này chúng tôi trình bày lý thuyết về tích phân Ito, làm cơ sở trình bày về phương trình vi phân ngẫu nhiên. Nội dung trình bày được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10, trang 202-204]. Cho chuyển động Brown tiêu chuẩn {W (t), 0 ≤ t ≤ T} và {ψ(t)} là một quá trình ngẫu nhiên với các quỹ đạo liên tục. Xét tích phân ngẫu nhiên I(t) =  t 0 ψ(u)dW (u), 0 ≤ t ≤ T. Để tính I(t), ta chia [0, t] thành n khoảng bằng nhau bởi các điểm chia 0 = t 0 < t 1 < ··· < t n = t, t i ≡ t n i. Chúng ta xấp xỉ I(t) bằng tổng Riemann-Stieltjes như sau: I n ≡ n−1  i=0 ψ(t i ) {W (t i+1 ) −W (t i )}. (1.1) Tích phân ngẫu nhiên được định nghĩa bởi giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình của tổng tích phân (1.1) được gọi là tích phân Ito. 10 [...]... dưới độ đo Q Định nghĩa 1.12 Một thị trường chứng khoán được gọi là đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh đều đạt được Định lí 1.7 Một thị trường chứng khoán là đầy đủ nếu và chỉ nếu tồn tại duy nhất một độ đo xác suất trung hòa rủi ro 23 Chương 2 Mô hình Black - Scholes Trước khi đề cập đến mô hình Black - Scholes có trễ, chúng tôi trình bày mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân thông thường... đồng, nhà đầu tư nếu quyết định thực thi thì sẽ có môt khoản lợi nhuận mà tính lùi theo hiện giá sẽ là 2.1808 USD 2.2 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ 2.2.1 Mô hình giá cổ phiếu có trễ Phần này chúng tôi đề cập đến mô hình giá cổ phiếu có trễ Nội dung trình bày được trích dẫn trong tài liệu tham khảo [6] Giả sử cổ phiếu có giá S(t) tại thời điểm t được cho bởi phương... |2 và |F (η, η1 )|2 ≤ K2 1 + |η|2 + |η1 |2 Định lí 1.2 (Tồn tại và duy nhất nghiệm) Giả sử hàm F và G thỏa mãn giả thiết (1.1) ở trên thì tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh của phương trình vi phân có trễ (1.6) Trong lý thuyết về phương trình vi phân có trễ tất định, phương trình vi phân có trễ với trễ là một số cố định có thể được biểu diễn trên mỗi đoạn độ dài τ là một phương trình vi phân không có trễ. .. (2.1) bởi điều kiện: Với mỗi ∈ C([−L, T ], R) sao cho (t) ≥ 0 với mọi t ∈ [−L, T ] thì ta có h(t, ) ≥ 0 với mọi t ∈ [0, T ] 2.2.2 Mô hình Black -Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ hằng số Trong phần này chúng tôi trình bày về mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ hằng số và từ đó đưa ra công thức định giá quyền chọn Nội dung trình bày được trích dẫn từ tài... 0 ≤ t ≤ T (2.5) Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường Xét một thị trường chứng khoán gồm có chứng khoán không rủi ro là tài khoản tiền tệ B(t) thỏa mãn phương trình vi phân thường dB(t) = rB(t)dt, 0 ≤ t ≤ T, với r là một hằng số dương và chứng khoán rủi ro (cổ phiếu) không trả cổ tức có giá ở thời điểm t là S(t) Mô hình Black- Scholes được mô tả bởi phương trình vi... phân Ito nên nó là martingale Vì vậy, lấy kỳ vọng và sử dụng điều kiện biên, ta thu được: f (t, X(t)) = E g(X(T ))e− 15 T t r(u,X)du | X(t) = x 1.2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ Phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ (sdde) là tổng quát của cả phương trình vi phân có trễ tất định (dde) và phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường (không có trễ) (sode) Cho không gian xác suất đầy đủ (Ω,... 0 hầu chắc chắn thì S(t) > 0 hầu chắc chắn, tương tự ta cũng có S(t) > 0 với t ∈ [l, 2l] Vậy S(t) > 0 với mọi t ≥ 0 Chúng ta nghiên cứu giá V (t) của quyền chọn trên cổ phiếu có trễ tại thời điểm t < T và chứng minh sự đầy đủ và tính chất không có ac - bít của thị trường có trễ và đưa ra chiến lược bảo hộ Theo định lý Girsanov, chúng ta sẽ có một độ đo martingale tương đương Xét S := S(t) = e−rt S(t),... dung trình bày được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10, trang 217-225] 2.1 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường 2.1.1 Mô hình quá trình giá Giả sử R(t) là lợi suất tức thời ở thời điểm t của chứng khoán S(t) Ta có: R(t)dt = dS(t) + d(t)dt , S(t) 0 ≤ t ≤ T, (2.1) Giả sử lợi suất tức thời của chứng khoán trong khoảng thời gian [t, t + dt] được biểu diễn dưới dạng: R(t)dt... (2.6) trong đó µ, σ là các hằng số dương và {W (t)} là chuyển động Brown tiêu chuẩn Mô hình này do Black và Scholes đưa ra (1973) để định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu Xét quyền chọn mua kiểu châu Âu với giá thực hiện K và thời điểm đáo hạn T viết trên {S(t)} Giả sử giá ở thời điểm t của quyền chọn được cho bởi C(t) = f (t, S(t)) với f (t, S) là hàm trơn nào đó Áp dụng công thức Ito, ta được: dC = µC... hạn là một thời điểm trong tương lai T > t và giá thực hiện K Giả sử thêm rằng không có chi phí giao dịch và cổ phiếu không trả cổ tức Đặt l = min{a, b} > 0 là lấy t ∈ [0, l] thì mô hình giá cổ phiếu có trễ là dS(t) = S(t)[h(t, ϕ(t − a))dt + g(ϕ(t − b))dW (t)], t ∈ [0, l] (2.22) S(0) = ϕ(0) Đặt t t g(ϕ(u − b))dW (u)) h(u, ϕ(u − a))du + N (t) = t ∈ [0, l] 0 0 Và kí hiệu [N, N ](t) = t 0 g(ϕ(u − b))2 du, . sánh mô hình Black - Scholes và Black - Scholes có trễ . . . . . . . 38 3 Ứng dụng của mô hình Black - Scholes có trễ xác định bong bóng hay sụp đổ trong thị trường tài chính 44 3.1 Mô hình hóa. Black - Scholes có trễ. Trong mô hình Black - Scholes có trễ, sự biến động trong quá khứ ảnh hưởng đến sự biến động hiện tại. Nó phù hợp với thị trường tài chính hơn so với mô hình Black - Scholes. vi phân ngẫu nhiên có trễ . 29 2.2.1 Mô hình giá cổ phiếu có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Mô hình Black -Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ hằng số . . .