Mô hình black scholes có trễ và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– ĐỒNG THỊ TRANG MƠ HÌNH BLACK- SCHOLES CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– ĐỒNG THỊ TRANG MƠ HÌNH BLACK - SCHOLES CĨ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60460106 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.LƯU HOÀNG ĐỨC Hà Nội - 2014 Mục lục Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.2 Q trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ-trường 1.1.4 Xác suất có điều kiện 1.1.5 Martingale 1.1.6 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown 1.1.7 Biến phân bậc hai trình ngẫu nhiên 1.1.8 Tích phân Ito 10 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 13 1.2.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường 13 1.2.2 Công thức Ito 14 1.2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ 16 Các khái niệm tài 18 1.3.1 Tài khoản tiền tệ 18 1.3.2 Thị trường tài 18 1.3.3 Danh mục đầu tư tự tài trợ khơng có độ chênh thị giá 20 1.3.4 Chiến lược đáp ứng 21 1.3.5 Xác suất trung hòa rủi ro 22 Mơ hình Black - Scholes 2.1 24 Mơ hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường 24 2.1.1 24 Mơ hình q trình giá 2.1.2 2.2 2.3 Mơ hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên thơng thường 25 Mơ hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ 29 2.2.1 Mơ hình giá cổ phiếu có trễ 29 2.2.2 Mơ hình Black -Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ số 31 So sánh mơ hình Black - Scholes Black - Scholes có trễ 38 Ứng dụng mơ hình Black - Scholes có trễ xác định bong bóng hay sụp đổ thị trường tài 44 3.1 Mơ hình hóa kinh tế 44 3.2 Những tác động kinh tế 51 3.3 Chiến lược đầu tư 55 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 Lời mở đầu Hiện nay, mơ hình ngẫu nhiên trở thành đối tượng nghiên cứu quan trọng lí thuyết tốn tài chính, giúp có cơng cụ để phân tích định giá tài sản tài cách tốt Cơng trình có tính chất cách mạng việc tính tốn tài xuất vào năm 1973 F.Black M.Scholes tính giá trị hợp lý quyền chọn (“Pricing of Option and Corporate Liabilities”) Tiếp đó, có loạt cơng trình tính giá hợp lý quyền chọn sản phẩm tài với mơ hình nhiều cấp độ từ đơn giản đến phức tạp khác nhau, đáng ý việc đưa mô hình Black - Scholes có trễ Trong mơ hình Black - Scholes có trễ, biến động khứ ảnh hưởng đến biến động Nó phù hợp với thị trường tài so với mơ hình Black - Scholes cổ điển Mục đích luận văn hệ thống lại cách mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân thơng thường phương trình vi phân có trễ, mối liên hệ khác hai mơ hình việc định giá quyền chọn Luận văn cung cấp toán ứng dụng mơ hình Black - Scholes có trễ việc dự đốn khả xảy bong bóng sụp đổ thị trường Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết, bao gồm trình ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên thơng thường, phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ, khái niệm thị trường tài cấu trúc • Chương chương chính, trình bày mơ hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên thơng thường phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ, đồng thời xây dựng công thức định giá quyền chọn cho hai mô hình so sánh mối liên hệ khác hai mơ hình • Chương trình bày việc ứng dụng mơ hình Black - Scholes có trễ việc xác định khả xảy bong bóng sụp đổ thị trường Luận văn hồn thành nhờ có hướng dẫn giúp đỡ tận tình Tiến sĩ Lưu Hồng Đức, Viện Tốn học - Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn, giải đáp thắc mắc em suốt trình làm luận văn Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cuối em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo giảng dạy trường Đại học Khoa học tự nhiên tận tình cung cấp kiến thức tảng cho em năm học vừa qua Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2014 Học viên Đồng Thị Trang Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quá trình ngẫu nhiên Cho (Ω, F, P) không gian xác suất, tức ba gồm Ω tập sở mà phần tử ω ∈ Ω đại diện cho yếu tố ngẫu nhiên Mỗi tập Ω gồm số yếu tố ngẫu nhiên F họ tập Ω, chứa Ω đóng phép hợp đếm phép lấy phần bù; nói khác F σ - trường tập Ω Mỗi tập hợp A ∈ F gọi biến cố ngẫu nhiên P độ đo xác định khơng gian đo (Ω, F) 1.1.1 Q trình ngẫu nhiên Một trình ngẫu nhiên (Xt , t ≥ 0) hàm hai biến X(t, ω) xác định tích R+ × Ω lấy giá trị R, hàm đo σ - trường tích BR+ × F, BR+ σ - trường tập Borel R+ = [0, ∞) Điều có nghĩa với tập Borel B R tập hợp {(t, ω) ∈ R+ × Ω : X(t, ω) ∈ B} phần tử σ trường tích BR+ × F; σ - trường σ- trường nhỏ chứa tập có dạng [0, t] × A, với t ∈ R+ A ∈ F Khi cố định ω ∈ Ω ánh xạ riêng phần t → X(t, ω) từ R+ vào R gọi quỹ đạo trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) ứng với yếu tố ngẫu nhiên ω 1.1.2 Q trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc Một họ σ - trường (Ft , t ≥ 0) F, Ft ⊂ F gọi lọc thỏa mãn điều kiện thơng thường • Đó họ tăng theo t, tức Fs ⊂ Ft s < t; • Họ liên tục phải, tức Ft = ∩ Ft+ >0 • Nếu A ∈ F P(A) = A ∈ F0 (và A nằm Ft ) Cho trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) Ta xét σ-trường FtX sinh tất biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t: FtX = σ(Xs , s ≤ t) σ-trường chứa đựng thơng tin diễn biến q khứ q trình X thời điểm t Người ta gọi lọc tự nhiên trình X, hay lịch sử X, hay gọi trường thông tin X Một không gian xác suất (Ω, F, P) ta gắn thêm vào lọc (Ft ) gọi không gian xác suất lọc ký hiệu (Ω, F, (Ft ), P) 1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ-trường Cho (Ω, F, P) không gian xác suất, G σ - trường F X biến ngẫu nhiên, tức ánh xạ đo từ (Ω, F) vào (R, BR ), BR σ-trường tập Borel đường thằng R Khi đó, biến ngẫu nhiên X ∗ gọi kỳ vọng có điều kiện X σ-trường G, • X ∗ biến ngẫu nhiên đo G, • Với tập A ∈ G ta có A X ∗ dP = A XdP Biến ngẫu nhiên kí hiệu E(X|G) biến ngẫu nhiên Nếu ta chọn σ-trường σ(Y ) sinh biến ngẫu nhiên Y Khi kỳ vọng có điều kiện X lấy σ(Y ) ký hiệu E(X|Y ) 1.1.4 Xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện P(A|G)của biến cố A ∈ Ft biến ngẫu nhiên xác định P(A|G) = E(11A |G) 11A hàm tiêu biến cố A, tức 11A (ω) = ω ∈ A ω ∈ /A Tính chất P(Ω|G) = (hầu chắn); ∀A ∈ F : P(A|G) = − P(A|G) (hầu chắn); ∀A1 , A2 , · · · ∈ F rời đơi ∞ ∞ An G P 1.1.5 P(An G) (hầu chắn) = n=1 n=1 Martingale Trong phần trình bày lý thuyết Martingale Nội dung trình bày trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10, trang 200-201] Định nghĩa 1.1 Cho không gian xác suất (Ω, F, P ) trang bị lọc F = {Ft , ≤ t ≤ T } Một trình ngẫu nhiên thời gian liên tục {X(t)} thích nghi với lọc {Ft } gọi martingale F thỏa mãn điều kiện sau: E|X(t)| < ∞, ∀t ∈ [0, T ], E[X(s)|Ft ] = X(t), t < s ≤ T Giả sử s t hai giá trị cho s ≤ t Khi đó: Nếu E(Xt | Fs ) ≤ Xs X gọi martingale trên; Nếu E(Xt | Fs ) ≥ Xs X gọi martingale Định nghĩa 1.2 Cho {X(t), ≤ t ≤ T } martingale {X(t)} gọi bình phương khả tích sup E X (t) < ∞ 0≤t≤T {X(t)} gọi khả tích lim sup E |X(t)|11{|X(t)|>n} = n→∞ 0≤t≤T Mệnh đề 1.1 Mọi martingale bình phương khả tích xác định khoảng thời gian hữu hạn khả tích Cho Y biến ngẫu nhiên khả tích, định nghĩa M (t) = E [Y |Ft ] , ≤ t ≤ T Khi đó, q trình {M (t)} khả tích Thời điểm ngẫu nhiên τ gọi thời điểm dừng {τ ≤ t} ∈ Ft , ∀t ∈ [0, T ] Một martingale bị dừng thời điểm τ trình {M (t ∧ τ ), ≤ t ≤ T }, t ∧ τ = {t, τ } Nếu {M (t)} martingale trình {M (t ∧ τ )} martingale điều ngược lại khơng Định nghĩa 1.3 (Martingale địa phương) Một q trình thích nghi {X(t)} gọi martingale địa phương tồn dãy thời điểm dừng {τn } thỏa mãn τn → ∞ n → ∞ với n, trình {M (t ∧ τn )} martingale khả tích Dãy thời điểm dừng {τn } gọi dãy địa phương hóa 1.1.6 Q trình Wiener hay chuyển động Brown Trong phần chúng tơi trình bày lý thuyết chuyển động Brown, hàm xác suất chuyển chuyển động Brown đưa số martingale quen thuộc tạo thành từ chuyền động Brown Nội dung trình bày trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10, trang 46-47] [3] Một trình ngẫu nhiên W = (Wt )t≥0 trình Wiener hay chuyển động Brown nếu: W0 = hầu chắn người giao dịch chiết khấu lợi nhuận khứ sử dụng nhớ lùi theo hàm mũ Trong phần này, trình bày mơ hình phương trình vi phân ngẫu nhiên thị trường tài khơng hiệu Đây trường hợp tổng qt mơ hình Black - Scholes Mơ hình hiệu mặt thông tin: chuyển động khứ giá cổ phiếu có ảnh hưởng đến chuyển động tương lai Sự không hiệu bắt nguồn từ diện nhà đầu theo xu hướng, họ có nhu cầu với tài sản phụ thuộc vào khác trung bình có trọng số lợi nhuận ngắn hạn dài hạn cổ phiếu τ đơn vị thời gian cuối Chúng ta giả thiết nhà đầu mua trung bình ngắn hạn trung bình dài hạn bán trung bình ngắn hạn trung bình dài hạn Các nhà đầu phản ứng với “tin tức” - độc lập với lợi nhuận khứ Gia số tin tức độc lập, “tin tức” q trình liên tục, giả sử lợi nhuận lái chuyển động Brown 1-chiều B Giá tăng có nhu cầu vượt mức giá tăng nhu cầu tăng ngược lại Có hai kiểu khác dáng điệu thị trường phụ thuộc vào thái độ nhà đầu tư: Trong kiểu thứ nhất, trình lợi nhuận tích lũy liên quan đến chuyển động Brown, kiểu cịn lại thị trường trải qua bong bóng hay sụp đổ thị trường Do vậy, thị trường không hiệu với xuất người giao dịch có phản hồi đưa đến diễn biến giá phức tạp so với mơ hình thị trường hiệu mà việc lái nửa martingale trình Gauss liên tục với gia số độc lập Chúng ta xét hai kiểu dáng điệu thị trường đại diện cho dáng điệu cổ điển bong bóng Nói chung, dáng điệu phụ thuộc vào chiến lược người tham gia thị trường Chính xác hơn, nhà đầu theo xu hướng phản ứng khơng tích cực đến khác biệt lợi nhuận ngắn hạn dài hạn tỉ lệ tăng trưởng dao động lớn nghiệm giống chuyển động Brown tiêu chuẩn Vì vậy, với xấp xỉ nhất, thị trường đạt hiệu Hơn nữa, quy mô dao động lớn trường hợp có nhà đầu theo xu hướng lớn trường hợp khơng có nhà đầu theo xu hướng thị trường phản ứng với “tin tức” Do đó, xuất nhà đầu làm cho biến động thị trường tăng lên, ảnh hưởng đến lợi nhuận Mặt khác, nhà đầu theo xu hướng có phản ứng tích cực, lợi nhuận có xu hướng tăng lên giảm nhanh chóng theo hàm mũ Đây thực tốn học bóng bóng sụp đổ thị trường chứng khoán Hơn nữa, lịch sử giá giai đoạn trước giá tăng giảm đột biến đặc biệt quan trọng việc 45 xác định xảy bong bóng hay sụp đổ thị trường Một xu hướng tăng thời kỳ trước giá biến động đột biến có nhiều khả bong bóng xảy ra, xu hướng giảm thời kỳ trước biến động đột biến có nhiều khả sụp đổ thị trường xảy Mô hình đủ tổng qt nắm bắt chiến lược kinh doanh trung bình trượt gồm trọng số liên tục rời rạc lợi nhuận khứ Chúng ta xét phương trình vi phân ngẫu nhiên với trễ thời gian   dY (t) = L(Yt )dt + σdB(t) với t ≥ 0,  Y (t) = ϕ(t) với t ∈ [−τ, 0], L hàm tuyến tính liên tục từ C[−τ, 0] → R, L(ψ) = [−τ,0] (3.1) ψ(u)ν(du) với độ đo có dấu ν ∈ M [−τ, 0], số τ ≥ σ ≥ Với ϕ ∈ C[−τ, 0] tồn nghiệm mạnh thích nghi Y (t, ϕ) : t ≥ −τ hạn chế đồng thức thứ hai (3.1) Sự phụ thuộc nghiệm vào điều kiện ban đầu ϕ bỏ qua kí hiệu bên dưới; tức viết y(t) = y(t, ϕ) Y (t) = Y (t, ϕ) cho nghiệm (3.1) Để tìm nghiệm phương trình (3.1) xét phương trình y (t) = L(yt ) với t ≥ 0, y0 = ϕ (3.2) Nghiệm (3.2) hàm liên tục tuyệt đối địa phương t r(t) = + r(s + u)ν(du)ds [max{−τ,−s},0] Nếu giả sử có λ ∈ C với Re(λ) = v0 thỏa mãn nghiệm đơn eλs ν(ds) = h(λ) = λ − [−τ,0] tồn cho r(t)e−v0 t = c + o(e− t ) với c= ∈ (0, ) − [−τ,0] sev0 s ν(ds) Nghiệm (Y (t) : t ≥ −τ ) (3.1) cho công thức biến thiên số  t   y(t) + r(t − s)σdB(s), t ≥ Y (t) =   ϕ(t), t ∈ [ − τ, 0] 46 (3.3) (3.4) (3.5) r nghiệm (3.1) Trong việc mô hình hóa kinh tế δ-lợi nhuận cung cấp thơng tin tỉ lệ phần trăm lãi lỗ việc đầu tư δ đơn vị thời gian Trong việc mơ hình hóa kinh tế, δ-lợi nhuận cho trình (Yδ (t) : t ≥ δ) với số cố định δ > định nghĩa Yδ (t) = Y (t) − Y (t − δ), với t ≥ δ (3.6) Chúng ta coi r(t) = với t ∈ (−∞, 0), định nghĩa hàm rδ sau rσ (t) = r(t) − r(t − σ) với t ≥ Công thức biến thiên số cho ta đồng thức t Yδ (t) = y(t) − y(t − δ) + rδ (t − s)σdB(s), với t ≥ δ (3.7) Bây xét phương trình (3.1) bối cảnh mơ hình thị trường Cho (S(t) : t ≥ 0) biểu thị giá tài sản có rủi ro, thỏa mãn dS(t) = S(t)dR(t), với t ≥ 0, (3.8) R(t) biểu thị hệ số lợi nhuận tích lũy thời điểm t Chúng ta giả sử hệ số lợi nhuận tích lũy R theo xu hướng tuyến tính µ có N người giao dịch kinh tế mà họ xác định nhu cầu họ dựa vào lợi nhuận tích lũy khơng theo xu hướng Y (t) = R(t) − µt tài sản Chiến lược kinh doanh đại diện thứ j thời điểm t sau: Xét trung bình trượt ngắn hạn giá lợi nhuận tích lũy khơng theo xu hướng ϑj đơn vị thời gian cuối Y (t + u)sj (du) [−ϑj ,0] với độ đo dấu sj ∈ M [−ϑ, 0] Ta xét trung bình dài hạn lợi nhuận tích lũy khơng theo xu hướng τj ≥ ϑj đơn vị thời gian Y (t + u)lj (du) [−τj ,0] với độ đo dấu lj ∈ M [−τ, 0] Độ đo sj lj phản ánh mức độ ảnh hưởng giá trị khứ khác tới người giao dịch Để so sánh ngắn hạn dài hạn, độ đo sj lj chọn cho sj ([−ϑj , 0]) = lj ([−τj , 0]) 47 (3.9) Chúng ta mở rộng sj tới M [−τj , 0] cách cho sj (I) = với tập I ⊆ [−τj , ϑj ) Trung bình ngắn hạn dài hạn phân biệt giả thuyết trung bình ngắn hạn nhỏ có nhiều ảnh hưởng tới lợi nhuận t đơn vị thời gian gần so với trung bình dài hạn Theo tốn học có nghĩa sj ([−t, 0]) ≥ lj ([−t, 0]) với t ∈ [0, τj ] (3.10) Trung bình phân biệt khẳng định sj = lj (3.11) Người giao dịch thứ j định mức nhu cầu họ thời điểm t, nhu cầu phụ thuộc vào độ mạnh dấu hiệu nhận từ thị trường Dấu hiệu tốt khác trung bình ngắn hạn dài hạn rõ rệt Chúng ta giả sử người giao dịch mua tài sản trung bình ngắn hạn mức trung bình dài hạn bán tài sản trung bình ngắn hạn mức trung bình dài hạn Nhu cầu theo kế hoạch người giao dịch thứ j thời điểm t Y (t + u)sj (du) − βj [−ϑj ,0] Y (t + u)lj (du) [−τj ,0] βj ≥ Do vậy, tổng nhu cầu vượt mức theo kế hoạch N người giao dịch N D(t) = Y (t + u)sj (du) − βj j=1 Y (t + u)lj (du) [−τj ,0] [−ϑj ,0] Do đó, tổng nhu cầu vượt mức theo kế hoạch khoảng thời gian từ t1 đến t2 biểu diễn t2 t1 D(s)ds Các số βj tổng nhu cầu vượt mức theo kế hoạch thể quan tâm người giao dịch Các nhà đầu phản ứng “tin tức”, kích thích q trình liên tục ta coi thêm σ(B(t2 ) − B(t1 )) vào nhu cầu vượt mức người giao dịch đoạn [t1 , t2 ], B chuyển động Brown chiều σ ≥ Do đó, nhu cầu vượt mức biểu diễn t2 D(s)ds + σ(B(t2 ) − B(t1 )) t1 Cuối giả sử lợi nhuận khơng theo xu hướng tăng có nhu cầu vượt mức, tăng nhu cầu vượt mức lớn Chúng ta giả sử tốc độ thích ứng kinh tế phụ thuộc tuyến tính vào nhu cầu vượt mức nên có t2 Y (t2 ) − Y (t1 ) = D(s)ds + σ(B(t2 ) − B(t1 )) t1 48 Do vậy, diễn biến lợi nhuận không theo xu hướng biểu diễn N dY (t) = Y (t + u)sj (du) − βj j=1 [−ϑj ,0] Y (t + u)lj (du) dt + σdB(t) [−τj ,0] (3.12) Chúng ta mở rộng tất độ đo sj lj lên đoạn [−τ, 0] τ = max{τ1 , · · · , τN } cách cho chúng miền xác định Ta định nghĩa độ đo ν ∈ M [−τ, 0] N βj (sj − lj )(du) ν(du) = (3.13) j=1 hàm tuyến tính L định nghĩa L : C[−τ, 0] → R, L(ϕ) = ϕ(u)ν(du) [−τ,0] Chúng ta viết lại phương trình (3.12) sau dY (t) = L(Yt )dt + σdB(t) với t ≥ Dưới điều kiện (3.9), (3.10) (3.11) với độ đo sj lj độ đo ν thỏa mãn điều kiện định lý (3.2) Từ phương trình (3.8), phát triển giá tài sản có rủi ro (S(t) : t ≥ 0) dS(t) = µS(t)dt + S(t)dY (t), t ≥ Áp dụng cơng thức Itơ mơ hình Black-Scholes tiêu chuẩn giá tài sản S cho công thức S(t) = S(0) exp(Y (t) + (µ − σ )t) với t ≥ (3.14) Nếu trường hợp khơng có người giao dịch có thơng tin, tức βj = với j = 1, · · · , N , có dY (t) = σdB(t), S chuyển động Brown hình học dS(t) = µS(t)dt + σS(t)dB(t) với t ≥ Trường hợp mơ hình trùng với mơ hình Black - Scholes tiêu chuẩn Tất nhiên mơ hình xấp xỉ tốt tới mơ hình kinh tế vi mơ thị trường chiến lược nhà đầu phụ thuộc vào khứ cách mơ hình hóa nhu cầu hàm tuyến tính lợi nhuận tương đương hàm loga tuyến tính giá Chúng ta mơ hình hóa tốc độ điều chỉnh hướng tới ổn định phụ thuộc tuyến tính vào nhu cầu vượt mức Hơn nữa, chúng 49 ta khơng mơ hình hóa niềm tin nhà đầu tư thơng qua hàm tiện ích khơng áp đặt cho nhà đầu tư hạn chế ngân sách Tuy nhiên, phương pháp tiếp cận việc mô hình hóa nhu cầu phụ thuộc vào q khứ xem kết từ hợp lý nhà đầu tư để phù hợp với kinh nghiệm, hoạt động quan sát họ khứ Trước xét ý nghĩa kinh tế cơng nhận định lý sau: Định lí 3.1 Giả sử r thỏa mãn (3.3), Thì nghiệm Y (3.1) thỏa mãn Nếu v0 = r ∈ L2 (R+ ) −σ|c| = lim inf √ t→∞ Y (t) = σ|c|, hầu chắn 2t log log t v0 > ∞ e−v0 u (ϕ(u)−ϕ(0)) lim e−v0 t Y (t) = c t→∞ −τ e−v0 s dB(s) ev0 s ν(ds) du+cσ [−τ,u] Trong hai trường hợp, số c cho (3.4) Biến ngẫu nhiên Γ(ϕ) biểu diễn vế phải phần (2) định lý (3.1) ∞ e−v0 u (ϕ(u) − ϕ(0)) Γ(ϕ) = c −τ e−v0 s dB(s) (3.15) ev0 s ν(ds) du + cσ [−τ,u] có phân phối chuẩn với e−v0 u (ϕ(u) − ϕ(0)) E[Γ(ϕ)] = c −τ ev0 s ν(ds) du, [−τ,u] ∞ (3.16) e−v0 s dB(s) V ar[Γ(ϕ)] = (cσ)2 Do σ = ln có xác suất dương cho giới hạn dương xác suất dương cho giới hạn âm Cho độ đo ν, để đơn giản việc xác định giá trị không điểm h định chọn hai trường hợp định lý (3.1) định lý tiêu chuẩn cho lớp độ đo dấu M [−τ, 0] áp dụng việc mơ hình hóa kinh tế Định lí 3.2 Giả sử = ν ∈ M [−τ, 0] thỏa mãn ν([−t, 0]) ≥ 0, với t ∈ [0, τ ] ν([−τ, 0]) = (3.17) (3.18) 50 m(ν) = sν(ds) > 1, [−τ,0] h có khơng điểm đơn λ = v0 > tất không điểm khác h thỏa mãn Re(λ) < v0 sν(ds) < 1, m(ν) = [−τ,0] h có khơng điểm λ = v0 = tất không điểm λ khác h thỏa mãn Re(λ) < v0 Định lí 3.3 Giả sử = ν ∈ M [−τ, 0] thỏa mãn điều kiện (3.17), (3.18) m(ν) < Với δ > ∆ ≥ có với t ≥ δ Cov(Yδ (t), Yδ (t + ∆)) > 0, Giới hạn ∞ cδ (∆) = lim Cov(Yδ (t), Yδ (t + ∆)) = σ t→∞ rδ (u)rδ (u + ∆)du tồn hữu hạn Hơn nữa, với δ > có lim cδ (∆) = ∆→∞ cδ ∈ L1 (R+ ) Tồn λ0 > cho −λ0 ∈ Λ −1 τ λ0 ∆ lim cδ (∆)e ∆→∞ =σ ue λ0 u ∞ δ rδ (u)e−λ0 u du eλ0 u du ν([−u, 0])du 0 với giới hạn hữu hạn dương 3.2 Những tác động kinh tế Trước xét ví dụ cho chiến lược trung bình trượt nhà giao dịch, có số nhận xét áp dụng kết vào kinh tế a) Hành vi động lực thị trường Nếu m(ν) < 1, kết hợp định lý (3.1) định lý (3.2) có lim sup √ t→∞ Y (t) σ = − m(ν) 2t log log t 51 hầu chắn kết hợp với (3.1) ta có log S(t) − µ − σ t σ √ lim sup = t→∞ − m(ν) 2t log log t hầu chắn với kết tương tự cho hội tụ yếu Dưới hai điều kiện (3.17) (3.18) mà giả định có suốt phần có m(ν) ≥ Và giới hạn vế phải thỏa mãn σ ∈ [σ, ∞) − m(ν) Do trình S lớn m(ν) gần đến Ngược lại, m(ν) = xảy khơng có nhà đầu theo xu hướng Trong trường hợp này, m(ν) tiến đến 0, diễn biến giống mơ hình Black - Scholes tiêu chuẩn Nói cách khác, có mặt nhà đầu theo xu hướng làm cho thị trường rủi ro có biến động lớn Việc xuất người giao dịch thơng tin làm tăng độ rủi ro cho nhà đầu tư theo thông tin Nếu m(ν) > 1, kết hợp định lý (3.1) định lý (3.2) có lim e−v0 t Y (t) = Γ(ϕ) hầu chắn, t→∞ Γ(ϕ) biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn định nghĩa (3.15) Trong trường hợp ta có log S(t) − µ − σ t lim sup = Γ(ϕ) hầu chắn t→∞ exp(v0 t) Vì biến ngẫu nhiên Γ(ϕ) có phân phối chuẩn nên tồn xác suất khác không cho log S(t) − (µ − σ )t hội tụ theo hàm mũ hầu chắn đến ∞ (đại diện cho bong bóng), hầu chắn đến −∞ (đại diện cho sụp đổ) Xác suất tượng phụ thuộc vào kỳ vọng biến ngẫu nhiên Γ(ϕ) Trong hai trường hợp tương ứng với tăng lên m(ν) Bây nghiên cứu yếu tố làm tăng m(ν) Chúng ta xác định N m(ν) = uν(du) = [−τ,0] usj (du) − βj [−ϑj ,0] j=1 ulj (du) [−τj ,0] N βj (m(sj ) − m(lj )) = j=1 Lượng m(sj ) mức độ ảnh hưởng lợi nhuận ngắn hạn mà người giao dịch đưa ra, tương tự với m(lj ) cho lợi nhuận dài hạn Sự khác giá trị 52 m(sj ) − m(lj ) lớn làm cho giá trị m(ν) lớn thị trường khơng ổn định Một giá trị βj lớn tương ứng với hành vi đầu chắn tích cực Nhu cầu vượt mức theo kế hoạch người giao dịch thứ j gấp βj lần khác trung bình ngắn hạn dài hạn Do vậy, với số βj lớn dấu hiệu nhỏ từ thị trường giúp cho người giao dịch có phản ứng Chúng ta thấy câu trả lời tích cực từ người giao dịch việc đưa mức độ ảnh hưởng đáng kể đến lợi nhuận khứ tương đối xa dẫn đến biến động thị trường Thực tế, tác động rõ ràng với m(ν) > có limt→∞ ev0 t Y (t) = Γ(ϕ) tồn tại, khác khơng hầu chắn có giá trị âm giá trị dương với xác suất dương, phụ thuộc vào bong bóng hay việc sụp đổ b) Diễn biến bong bóng sụp đổ Trong phần giả sử m(v) > xét xác suất xảy bong bóng sụp đổ với lợi nhuận ban đầu ϕ Kết sau có từ kỳ vọng (3.16) biến ngẫu nhiên Γ(ϕ) ϕ(u) = k với u ∈ [−τ, 0] số k ∈ R E[Γ(ϕ)] = P(Γ(ϕ) < 0) = P(Γ(ϕ) > 0) = Vì vậy, khơng có xu hướng lợi nhuận [−τ, 0], thị trường có khả để nhận bong bóng sụp đổ Điều nhạy cảm nhà đầu tư khơng thể phát xu hướng thị trường tác động đến định theo hướng này hay hướng khác Nếu hai tập tiền đột biến lợi nhuận bị lệch, ϕ2 (u) = ϕ1 (u) + k với số k ∈ R,tức P(Γ(ϕ1 ) > 0) = P(Γ(ϕ2 ) > 0) Điều cho thấy mơ hình lợi nhuận ảnh hưởng đến xác suất bong bóng nhiều việc lợi nhuận cao hay thấp Nếu P(Γ(ϕ) > 0) > α → P(Γ(αϕ) > 0), tăng lim P(Γ(αϕ) > 0) = 1, lim P(Γ(αϕ) > 0) = α→∞ α→−∞ Điều cho thấy có xu hướng lợi nhuận ban đầu làm cho xác suất bong bóng có nhiều khả so với sụp đổ, phiên mở rộng xu hướng bong bóng chí có nhiều khả để xảy 53 ra, với thừa số mở rộng lớn dẫn đến xác suất bong bóng nhiều Điều cho thấy người giao dịch nhận tín hiệu xu hướng mạnh từ thị trường, họ có nhiều khả để làm cho xu hướng thành thực Định lý sau xét cách làm xu hướng ngày tăng lợi nhuận ban đầu dẫn tới nhà đầu ngoại suy xu hướng tăng này, làm cho bong bóng có nhiều khả Định lí 3.4 Giả sử = v ∈ M [−τ, 0] thỏa mãn (3.17) (3.18) m(v) > với lợi nhuận ban đầu ϕ ∈ C ([−τ, 0]) với ϕ (0) = có: (a) ϕ hàm tăng P(Γ(ϕ) > 0) > (b) Nếu ϕ hàm giảm P(Γ(ϕ) < 0) > Các tính chất (1) - (4) tập trung vào tác động lợi nhuận ban đầu vào xác suất bong bóng hay sụp đổ Tuy nhiên, xác suất phụ thuộc vào tính chất Ito tích phân bên tay phải (3.15) Từ việc lấy tích phân tích phân Ito phía bên phải (3.15) giảm theo thời gian, tác động “tin tức” lúc đầu quan trọng cho phát triển đột biến, ban đầu với tin tức tốt cổ phiếu có xu hướng dẫn đến giá trị dương tích phân Ito Do đó, có tin tức tốt ban đầu tài sản, giá cổ phiếu có xu hướng tăng, người giao dịch ép giá cao lỗi dự đoán nhầm việc tăng phát sinh từ nhu cầu nhà đầu tư có thơng tin Như nói, điều gây việc mua ngày nhiều, giá cổ phiếu trải qua bong bóng Những nhận xét cho thấy chế mà bong bóng hình thành mơ hình phù hợp với khái niệm lây lan bắt chước Trong trình lây lan bắt chước, nghĩ đến thị trường gồm hai hình thức người giao dịch, với người vào nghề lựa chọn chiến lược kinh doanh có xu hướng chiếm ưu thời điểm định Trong dài hạn, tỷ lệ nhà đầu tư nhóm lắng xuống đến giá trị mà ngẫu nhiên, điều phụ thuộc nhiều vào xảy thời gian giao dịch đầu Sau đây, nêu số ví dụ chiến lược đầu tư trung bình trượt Để đơn giản ta xét đại diện phương án kinh doanh họ Vì điều bỏ qua tham số β mơ hình mà nặng ảnh hưởng nhà đầu tư đơn lẻ tổng số lợi nhuận tích lũy 54 3.3 Chiến lược đầu tư a) Lợi nhuận so với lợi nhuận khứ Giả sử nhà đầu tư so sánh giá trị lợi nhuận tích lũy Y với trung bình có trọng số thời gian liên tục τ đơn vị thời gian cuối Giá trị lợi nhuận tích lũy đo s(du) = αδ0 (du) với số α > 0, với δ0 ký hiệu độ đo Dirac Lợi nhuận tích lũy dài hạn có trọng số l(du) = f (u)du f hàm không âm L1 [−τ, 0] với ||f ||L1 = α với τ > Thì độ đo v(du) = s(du) − l(du) = αδ0 (du) − f (u)du thỏa mãn điều kiện định lý (3.2) với moment cho m(v) = − sf (s)ds −τ Hàm L tuyến tính có dạng L : C[−τ, 0] → R, L(ϕ) = αϕ(0) − ϕ(s)f (s)ds −τ Nếu m(v) < lợi nhuận tích lũy tn theo Y (t) |σ| lim sup √ = − m(v) 2t log log t t→∞ hầu chắn Y (t) −|σ| lim inf √ = t→∞ − m(v) 2t log log t hầu chắn Mặt khác, m(v) > tồn λ > cho hầu chắn lim e−λt Y (t) t→∞ = 1+ −τ seλs f (s)ds ∞ −τ e−λ sdB(s) eλ(s−u) f (s)dsdu + σ (ϕ(0) − ϕ(u)) −τ b) Trung bình trượt ngắn hạn so với dài hạn Giả định nhà đầu tư so sánh bình qn có trọng số theo thời gian liên tục lợi nhuận tích lũy Y ϑ đơn vị cuối thời gian với trung bình 55 trượt τ ≥ ϑ đơn vị thời gian Mức ảnh hưởng ngắn hạn tương ứng với hàm không âm f ∈ L1 [−ϑ, 0] mức ảnh hưởng dài hạn tương ứng với hàm không âm g ∈ L1 [−τ, 0] với f L1 = g L1 > Mở rộng f lên [−τ, 0] cách thiết lập f (u) = với u ∈ [−τ, −ϑ] Nếu giả sử 0 f (s)ds ≥ với t ∈ [−τ, 0], g(s)ds, −t −t độ đo ν(du) = (f (u) − g(u))du thỏa mãn tất điều kiện định lý (3.2) với moment (f (s) − g(s))ds m(ν) = −τ Hàm L tuyến tính cho L : C[−τ, 0] → R, ϕ(s)(f (s) − g(s))ds L(ϕ) = −τ Nếu m(ν) < theo (3.1) có Y (t) |σ| lim sup √ = − m(v) 2t log log t t→∞ a.s, Y (t) −|σ| lim inf √ = t→∞ − m(v) 2t log log t a.s Mặt khác, m(ν) > tồn số dương λ > cho lim e−λt Y (t) t→∞ ∞ u −τ c = − −τ −τ e−λs dB(s) , eλ(s−u) (f (s) − g(s))dsdu + σ (ϕ(0) − ϕ(u)) =c seλs (f (s) − g(s))ds −1 c) Trung bình trượt với thời gian rời rạc Giả định nhà đầu tư so sánh bình qn có trọng số lợi nhuận tích lũy m điểm ϑ đơn vị thời gian cuối với bình quân gia quyền lợi nhuận tích lũy n điểm τ đơn vị thời gian cuối cùng, τ ≥ ϑ Cho lợi nhuận tích lũy ngắn hạn quan sát điểm −ϑ = −ϑ1 < · · · < −ϑm = dài hạn quan sát điểm −τ = −τ1 < · · · < −τn = Thì quan sát ngắn hạn bình quân theo độ đo m s(du) = αj δ−ϑj (du) j=1 56 với trọng số αj ≤ quan sát dài hạn theo m l(du) = βj δ−τj (du) j=1 với trọng số βj ≤ Nếu giả sử α1 + · · · + αm = β1 + · · · + βn > 0, m n αj 1[−t,0] (−ϑj ) ≥ j=1 với t ∈ [0, τ ], βj 1[−t,0] (−τj ), j=1 độ đo ν(du) = s(du) − l(du) thỏa mãn tất điều kiện định lý (3.2) với moment n m βj τ j − m(ν) = j=1 αj ϑj j=1 Hàm L tuyến tính cho m L : C[−τ, 0] → R, n αj ϕ(−ϑj ) − L(ϑ) = j=1 βj ϕ(−τj ) j=1 Nếu có m(ν) < lợi nhuận tích lũy thỏa mãn Y (t) |σ| lim sup √ = − m(v) 2t log log t t→∞ hầu chắn, Y (t) −|σ| lim inf √ = t→∞ − m(v) 2t log log t hầu chắn Mặt khác, m(ν) > tồn số λ > cho hầu chắn ∞ −λt lim e t→∞ e−λs dB(s) Y (t) = cσ m−1 +c n−1 αi e −ϑi λ i=1 c = − −λu e (ϕ(u) − ϕ(0))du − −ϑi n j=1 βi e −τi λ −τi j=1 βj τj e−λτj + m j=1 αj ϑj e−λϑj 57 e−λu (ϕ(u) − ϕ(0))du , −1 Kết luận Luận văn giải cơng việc là: • Trình bày lí thuyết phân tích định giá tài sản tài có chứa đựng yếu tố ngẫu nhiên • Trình bày mơ hình Black - Scholes cho trường hợp phương trình vi phân ngẫu nhiên thơng thường phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ xây dựng cơng thức định giá quyền chọn tương ứng • Đưa ứng dụng việc xác định bong bóng sụp đổ thị trường Tuy nhiên thời gian thực khơng nhiều kiến thức cịn hạn chế, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận góp ý thầy bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh 58 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hữu, Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp tốn học tài chính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Hùng Thao (2009), Nhập mơn tốn học tài chính, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [3] Trần Hùng Thao (2013), Tốn tài bản, Nhà xuất Văn hóa Thơng tin [4] Đặng Hùng Thắng (2006), Q trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [6] M Arriojas, Y Hu, S.-E Mohammed and G Pap (2007) A delayed Black and Scholes formula, Stochastic Analysis and Applications, 25 (2), 471 - 492 [7] A.B.M Sahadat Hossain, S.Mozumder (2013), On determinants and sensitivities of option prices in delayed Black - Scholes model, The International Journal of Social Sciences, 11 (1) [8] Appleby, J.A.D, Riedle, M.Swords (2012) Bubbles and crashes in a Black Scholes Model with delay, Finance Stochastic, 17 (1), - 30 [9] C.T.H Baker, E.Buckwar (2000)Numerical analysis of explicit one-step methods for stochastic delay differential equations, London Mathematical Society Journal of Computation and Mathematics, 3, 315 - 335 [10] M Kijima (2003), Stochastic processes with applications to finance, Chapman & Hall/CRC 59 ... mơ hình Black - Scholes Black - Scholes có trễ S = 50, K = 50, r = 0.5, σ = 30%, T = 0.5 Trong hình, nét liền ứng với mơ hình Black - Scholes, nét đứt ứng với mơ hình Black - Scholes có trễ Hình. .. sánh mơ hình Black - Scholes Black Scholes có trễ Trong phần chúng tơi trình bày so sánh hai mơ hình Black - Scholes mơ hình Black - Scholes có trễ, đặc biệt yếu tố ảnh hưởng đến hai mơ hình Nội... việc tìm 41 Hình 2.4: hàm g2 = − e−a ax bx! ứng dụng g (đặc trưng trễ mơ hình Black - Scholes có trễ) rõ ràng Quan sát thấy g yếu tố định cho mơ hình Black - Scholes có trễ thị trường ứng với hàm