Lý thuyết định tính của phương trình parabolic cấp hai

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ——————————— PHAN TH± QUYÊN LÝ THUYET бNH TÍNH CUA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CAP HAI LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC HÀ N®I - 2014 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ——————————— PHAN TH± QUYÊN LÝ THUYET бNH TÍNH CUA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CAP HAI Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60.46.01.02 LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: PGS.TS HÀ TIEN NGOAN HÀ N®I - 2014 Lài cám ơn Tác gia xin bày to lịng biet ơn chân thành sâu sac cna tói PGS.TS Hà Tien Ngoan, ngưịi t¾n tình giúp đõ chi bao tơi suot q trình hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Qua tơi xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo, giáo tő Tốn giai tích trưịng Đai HQc Khoa HQc tn nhiên - Đai HQc quoc gia Hà N®i, nhung ngưịi giúp đõ tơi suot q trình HQc t¾p nghiên cúu tai trưịng Do mói làm quen vói cơng tác nghiên cúu khoa HQc cịn han che ve thịi gian thnc hi¾n nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót Tác gia kính mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna thay ban đe lu¾n văn đưoc hon thiắn hn H Nđi, nm 2014 Mnc lnc Ma đau Phương trình truyen nhi¾t ∆u − ∂u = phương trình đao hàm ∂t riêng parabolic cap hai cő đien, khoi nguon cna lý thuyet đao hàm riêng hi¾n đai Đã tù lâu, nhieu ket qua đ%nh tính cna phương trình đưoc biet đen như: nguyên lý cnc đai, bat thúc Harnack, đ%nh lý Liouville Fragmen-Lindelof đoi vói nghi¾m cő đien Ngày nay, ket qua đoi vói phương trình truyen nhiắt c ien trờn ó oc mo rđng cho phương trình parabolic cap hai tuyen tính tőng qt đưoc xét o hai dang khác nhau: dang không bao toàn dang bao toàn Dna chn yeu vào chương II cna tài li¾u [3], lu¾n văn trình bày tőng quan lý thuyet đ%nh tính cna phương trình parabolic cap hai dang tőng quát o ca hai dang khơng bao tồn bao tồn Lu¾n văn gom hai chương Chương I nghiên cúu phương trình dang khơng bao tồn Phương trình loai có loai nghi¾m manh, nghi¾m nghi¾m dưói Các ngun lý cnc đai đoi vói loai nghi¾m đưoc phát bieu Bat thúc Harnack Đ%nh lý Fragmen-Lindelof đưoc mo r®ng đoi vói loai phương trình tőng qt Do phương trình truyen nhi¾t có the viet ca dưói dang bao tồn nên chương II cna lu¾n se trỡnh by mđt so tớnh chat nghiắm suy r®ng cna phương trình parabolic dang bao tồn mà có the xem tương tn tính chat cna nghi¾m phương trình truyen nhi¾t cő đien Các van đe cna chương I lai đưoc xét chương II, song vói sn thay đői nhat đ %nh cho phù hop vói lóp phương parabolic trình dang bao tồn Do tái hi¾n [3] o dang bách khoa tồn thư, nên chn yeu dành cho vi¾c phát bieu h¾ thong ket qua ban cna lý thuyet mà thieu chúng minh chi tiet Lu¾n văn tìm cách bő sung chúng minh chi tiet cna m®t so đ%nh lý Chương PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CAP HAI DANG KHƠNG BAO TỒN 1.1 Dang cua phương trình Nghi¾m manh 1.1.1 Các ký hi¾u Cho n L= Σ (x, t) ∂ ia k (x, t) ∂xi∂x n ∂ + Σ k i b + c(x, t) ∂x (1.1) i = i= toán tu elliptic đeu i,k đưoc xác đ%nh mien G ⊂ Rn+1 = Rn × R1 x t Xét toán tu parabolic ∂ L− t Mđt nghiắm cna phng trỡnh: Lu u ∂t =0 (1.2) hàm u ∈ C 2,1 (G) thoa mãn (1.2) đưoc GQI nghi¾m manh Trong C 2,1 (G) t¾p hop hàm kha vi cap hai theo bien x kha vi cap mđt theo bien t G Ta GQI hàm u ∈ C 2,1 (G) cho Lu(x, t) − ∂u(x, t) ≥ (≤ 0) ∂t nghi¾m dưói (nghi¾m trên) ,t Kí hi¾u Zt0 (x0 ∈ Rn, r > 0, t1 > 0) hình tru : x0, Z t0,t1r n+1 = : |x − x0| < r, t0 < t < t1} x0, {(x, t) ∈ R r Cho G m®t mien Rn+1 Ta GQI t¾p γ(G) ⊂ ∂G biên cna t¾p G neu moi điem (x0, t0) ∈ γ(G) ton tai ε > cho: 0 Z tx0 −ε,t ⊂ G; Z tx0 +ε,t ∩ G = ∅ 0, 0, r ε T¾p Γ(G) = ∂G \ γ(G) đưoc gQI biên parabolic cna t¾p G Xét trưịng hop G = Ω × [0, T ], Ω mien b% ch¾n Rn vói biờn G0 = ì {t = 0} , GT = Ω × {t = T}, ST = ∂Ω × [0, T ] Khi γ(G) = GT , Γ(G) = G0 ∪ ST 1.1.2 Bài toán biên ban đau thÉ nhat Xét phương trình Lu − ∂u = f (x, t), (x, t) ∈ G = Ω × (0, T ) (1.3) ∂t Ta can tìm nghi¾m u(x, t) ∈ C2,1(G) thoa mãn đieu ki¾n sau: u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω (1.4) Cho (x, t) ∈ Rn+1, r > Ta su dung kí hi¾u: t,t+r2 Z1 = Z x,r Z2 = Z t+ 43 r2,t+r2 , x, r t+ r2,t+ Z3 = Z x0,2r r2 , kí hi¾u o ve phai đưoc giai thớch 1.1.1 %nh lý 2.1 Cho mđt nghiắm dương u(x, t) cua phương trình (2.1) đưac xác đ%nh Z1 Khi đó: sup < c, u Z3 c > hang so phn thu®c λ inf u Z2 Hai ket qua sau thu đưoc tù bat thúc trên: Ton tai m®t hang so phu thuđc vo cho nghiắm u cna phương trình (2.1) xác đ%nh Z1 ta có: osc u > (1 + ξ) osc u Z1 Z2 (2.4) Cho G mien b% ch¾n R cho ρ so dương, ta đ¾t: G = ,(x, t) ∈ G ∪ γ(G) : Z t−ρ2,t ⊂ G} ρ x, ρ Gia su γ(G) biên cna G, đưoc đ%nh nghĩa muc 1.1 Cho mđt nghiắm u cna phng trỡnh (10) xỏc %nh G ∪ γ(G) Khi đó: ton tai α, < α < cho ǁuǁCα(Gρ) ≤ cǁuǁC0(G), o α phu thu®c vào λ c, phu thu®c vào ρ ǁuǁC0(G) = sup |u| , G ǁuǁ Cα(Gρ) = ǁuǁ C0(Gρ) + sup |u(x,t)−u(y,α)| |x−y| α α (x,t)∈G +|t−α| (y,s)∈G 2.3 Hàm Green Cho phương trình (2.1) đưoc xác đ%nh Rn+1 M®t hm G(x, t) m l nghiắm suy rđng cna phng trình (2.1) khap nơi trù goc TQA đ® GQI hàm Green neu có đ¾c tính dưói đây: a) G(x, t) −→ t → 0; x ƒ= b) G(x, t) = vói t < c) G(x, t) tao nên lóp hàm h®i tu tói δ-hàm δ(x) theo bien x ∈ Rn t → 0+ Đ%nh lý 2.2 Rn+1 Cho phương trình (2.1) xác đ%nh khap MQI nơi + Khi hàm Green ton tai có đánh giá: C en−k1( t2 |x|2 t ) C ≤ G(x, t) ≤ e −k ( |x| 2) t n t (2.5) k1, k2, C1, C2 hang so dương phn thu®c vào λ , 2.4 Ngun lý cEc đai Đoi vói phương trình dang bao tồn (2.1) ta có ngun lý cnc đai yeu sau Đ%nh lý 2.3 (Nguyên lý cnc đai yeu) Cho G ⊂ Rn+1 mien b% ch¾n cho Γ biên parabolic cua Neu u(x, t) nghi¾m suy r®ng cua phương trình (2.1) G, thì: sup u ≤ lim u(x, t) (x,t)∈G G (x,t)→Γ inf u ≥ lim u(x, t) G (x,t)∈G (x,t)→Γ 2.5 Tính dÈng cua nghi¾m t → ∞ Nghiên cúu đau tiên cna nghi¾m őn đ%nh cna phương trình nhi¾t đnơc thnc hi¾n boi Tikhonov [1950] Tikhonov xét phương trình: ∂u ∂t = ∂2u ∂x2 , vói < x < ∞, t > 0, vói đieu ki¾n biên: m Σ k α ∂ u(0, t) = f (t) k k=0 ∂xk Ơng chúng minh đ%nh lý dưói đây: Đ%nh lý 2.4 Đe nghi¾m cua tốn giá tr% biên có giái han t → ∞ vái mői hàm f (t), đieu ki¾n can đu tat ca nghi¾m cua phương trình: m Σ αkqk = k=0 nam mien Hơn nua 3π 3π − < arg q < 4 lim u(x, t) = lim t→∞ t→∞ f (t) 2.6 Tính nhat nghi¾m cua tốn biên ban đau thÉ hai mien khơng b% ch¾n 2.6.1 Phát trien toán biên ban đau thÉ hai Cho Ω ⊂ Rn l mien khụng b% chắn, G = ì [0, T ], cho ∂Ω kha vi liên tuc tùng khúc, ∂Ω × [0, T ] = Γ Xét G phương trình: Σ ∂ (a ∂x i n ∂u )+ i (x) ∂x k ∂u (x)k Σ i ∂u b + c(x)u− = 0, ∂ ∂x t i (2.6) i,k= i= aik(x) = aki(x) kha vi liên tuc thoa mãn đieu ki¾n dưói đây: ∃λ ≥ M ≥ cho: λ |ξ| ≤ −1 n Σ aik(x)ξiξk ≤ λ|ξ| , ∀ξ ∈ Rn; ∀x ∈ G, |bi(x)| ≤ M, |c(x)| ≤ M i,k=1 (2.7) Ta xét: ∂u = 0, Γ ( ∂∂ )− đao hàm theo hưóng đoi pháp tuyen ∂G), ϑ (2.8) Σn ∂u ∂u = a ik iγ , ∂ ∂x k i,k= ϑ γi thành phan cna vectơ pháp tuyen γ ∂Ω 2.6.2 Láp nhat nghi¾m cua toán (2.6)-(2.8) Gia su F (r) hàm nh¾n giá tr% dương hàm tăng Xét lóp nghi¾m sau cna tốn: |u(x, t)| ≤ F (|x|) (2.9) Trong phan ta nghiên cúu sn phu thu®c nhat lóp cna tốn (2.6), (2.8) vào dang hình HQc cna mien Ta xét lóp nghi¾m u ∈ C 2,1 cna phương trình (2.6) Cho mien tùy ý G ⊂ Rn khơng b% ch¾n Ta ký hi¾u boi Gk t¾p cna G đưoc chúa giua m¾t cau |x| = rkJ |x| = rkJJ Đ%nh lý 2.5 Cho F (r); r > m®t hàm dương, đơn đi¾u tăng, cho mien G thóa mãn đieu ki¾n: meas(Gk )F2 (rk JJ ) (rk JJ − rk J ) →0 k → ∞ Cho u(x, t) l mđt nghiắm cua bi toỏn (2.6), (2.8) G = Ω × [0, T ] Gia su vái |x| đu lán ta có bat thúc: |u(x, t)| ≤ F (| x|) Khi u ≡ Chúng minh Ta chi can xét trưòng hop T đn nho Cho t0, < t0 < T tùy ý Ta đăt: ∫ u (x, t) dt V (x) = t0 |x| = rkJJ Gk , Ton tai m¾t trơn tùng khúc Σk tách m¾t cau |x| = rkJ cho: ∫ ∂ ds ≤ c ν meas Σ k (G V ).osc k k k (2.10) (r − r ) ∂v Ta kí hi¾u Dk m®t phan cna G mà chúa hình cau |x| < krjj khơng JJ b% tách khoi m¾t cau |x| = r k jj boi be m¾t vói Σ k J Nhân phương trình (2.6) u lay tích phân qua Dk × [0; t0], có su dung cơng thúc Green (2.7), (2.8) ta có: D∫k t ∫ u2(x, t0)dx −1 ∫0 | 2dx.dt +r t Dk gradxu| t0 ∫ t0 ∫ |gradxu| u.dx.dt ∫ −M −M ≤ ∫ u2dx.dt Dk ∂ V ds ≤ c.meas(Gk ).F2 (rk (rk − rk )2 ∂ J Σ k JJ J v Lay tích phân vói c¾n tù t tù tói T vói T đn nho, ta thay rang: ∫T ∫ 2 JJ ≤ Dk u2(x, t)dx.dt TC.meas.(Gk)F (rkJJ − rkJ )2 (rk) k → 0, nghĩa u ≡ 2.6.3 → 0, M®t so ví dn Bây giị ta xột mđt dang ắc biắt cna mien G Cho f (r) ∈ C1(0; +∞); f (r) > f (r) \ 0; f J (r) \ r −→ ∞ ta su dung ký hi¾u: G = {r ∈ Rn : x1 > 0, |xi| < f (x1), i = 2, , n} Cho h(r), < r < ∞ hàm đơn đi¾u giam , dương cho F (r), r > đơn đi¾u tăng cho F (r) = o(h(r) n −1 (f (r − h(r))) n −1 ) r → ∞ Vói G F v¾y ta có đ%nh lý: Đ%nh lý 2.6 Cho u(x, t) nghi¾m cua tốn (2.6)-(2.8) Ω cho u(x, t) < F (|x|) Khi u ≡ Rừ rng %nh lý ny l mđt trũng hop ắc biắt cna trũng hop trúc ú ắc biắt, vúi mđt mien G xác đ%nh boi F (r) = o(r n) exp( n−1 rk), vói mien G xác đ%nh boi f (r) = exp(− exp), F (r) = o(exp(−r) exp(− exp r)) Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày lóp phương trình parabolic tuyen tính cap hai tőng qt o ca hai dang: khơng bao tồn bao tồn Nhieu tính chat nghi¾m cna phương trình parabolic cap hai dang khơng bao tồn dang bao tồn đưoc khái quát Đó nguyên lý cnc đai, bat thúc Harnack, đ %nh lý Liouville Fragmen- Lindelof Tài li¾u tham khao [1] Nguyen Thùa Hop, (2004), Lý thuyet phương trình đao hàm riêng, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i [2] Tran Đúc Vân, (2005), Phương trình đao hàm riêng, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i [3] Kondrat’ev V.A., Landis E.M., (1995), Partial Differential Equations III, Springer-Verlag ... đau Phương trình truyen nhi¾t ∆u − ∂u = phương trình đao hàm ∂t riêng parabolic cap hai cő đien, khoi nguon cna lý thuyet đao hàm riêng hi¾n đai Đã tù lâu, nhieu ket qua đ%nh tính cna phương trình. .. tính cna phương trình parabolic cap hai dang tőng quát o ca hai dang khơng bao tồn bao tồn Lu¾n văn gom hai chương Chương I nghiên cúu phương trình dang khơng bao tồn Phương trình loai có loai... cap hai tuyen tính tőng quát đưoc xét o hai dang khác nhau: dang khơng bao tồn dang bao tồn Dna chn yeu vào chương II cna tài li¾u [3], lu¾n văn trình bày tőng quan lý thuyet đ%nh tính cna phương