(Luận văn thạc sĩ) lý thuyết định tính của phương trình parabolic cấp hai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————— PHAN THỊ QUYÊN LÝ THUYẾT ĐỊNH TÍNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————— PHAN THỊ QUYÊN LÝ THUYẾT ĐỊNH TÍNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN HÀ NỘI - 2014 Lời cám ơn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người tận tình giúp đỡ bảo tơi suốt q trình hồn thành luận văn tốt nghiệp Qua xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, giáo tổ Tốn giải tích trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu trường Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian thực nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, năm 2014 Mục lục Mở đầu Phương trình truyền nhiệt ∆u − ∂u ∂t = phương trình đạo hàm riêng parabolic cấp hai cổ điển, khởi nguồn lý thuyết đạo hàm riêng đại Đã từ lâu, nhiều kết định tính phương trình biết đến như: nguyên lý cực đại, bất đẳng thức Harnack, định lý Liouville Fragmen-Lindelof nghiệm cổ điển Ngày nay, kết phương trình truyền nhiệt cổ điển mở rộng cho phương trình parabolic cấp hai tuyến tính tổng quát xét hai dạng khác nhau: dạng khơng bảo tồn dạng bảo tồn Dựa chủ yếu vào chương II tài liệu [3], luận văn trình bày tổng quan lý thuyết định tính phương trình parabolic cấp hai dạng tổng quát hai dạng khơng bảo tồn bảo tồn Luận văn gồm hai chương Chương I nghiên cứu phương trình dạng khơng bảo tồn Phương trình loại có loại nghiệm mạnh, nghiệm nghiệm Các nguyên lý cực đại loại nghiệm phát biểu Bất đẳng thức Harnack Định lý Fragmen-Lindelof mở rộng loại phương trình tổng qt Do phương trình truyền nhiệt viết dạng bảo toàn nên chương II luận văn trình bày số tính chất nghiệm suy rộng phương trình parabolic dạng bảo tồn mà xem tương tự tính chất nghiệm phương trình truyền nhiệt cổ điển Các vấn đề chương I lại xét chương II, song với thay đổi định cho phù hợp với lớp phương parabolic trình dạng bảo tồn Do tái [3] dạng bách khoa toàn thư, nên chủ yếu dành cho việc phát biểu hệ thống kết lý thuyết mà thiếu chứng minh chi tiết Luận văn tìm cách bổ sung chứng minh chi tiết số định lý Chương PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI DẠNG KHƠNG BẢO TỒN 1.1 Dạng phương trình Nghiệm mạnh 1.1.1 Các ký hiệu Cho n L= i,k=1 ∂2 + aik (x, t) ∂xi ∂xk n bi (x, t) i=1 ∂ + c(x, t) ∂xi (1.1) toán tử elliptic xác định miền G ⊂ Rn+1 = Rnx × R1t Xét tốn tử parabolic L− ∂ ∂t Một nghiệm phương trình: Lu − ∂u =0 ∂t (1.2) hàm u ∈ C 2,1 (G) thỏa mãn (1.2) gọi nghiệm mạnh Trong C 2,1 (G) tập hợp hàm khả vi cấp hai theo biến x khả vi cấp theo biến t tập G Ta gọi hàm u ∈ C 2,1 (G) cho Lu(x, t) − ∂u(x, t) ≥ (≤ 0) ∂t nghiệm (nghiệm trên) Kí hiệu Zxt00,t,r1 (x0 ∈ Rn , r > 0, t1 > 0) hình trụ : Zxt00,t,r1 = {(x, t) ∈ Rn+1 : |x − x0 | < r, t0 < t < t1 } Cho G miền Rn+1 Ta gọi tập γ(G) ⊂ ∂G biên tập G điểm (x0 , t0 ) ∈ γ(G) tồn ε > cho: ⊂ G; Zxt00−ε,t ,r ∩ G = ∅ Zxt00+ε,t ,ε Tập Γ(G) = ∂G \ γ(G) gọi biên parabolic tập G Xét trường hợp G = Ω × [0, T ], Ω miền bị chặn Rn với biên ∂Ω Đặt G0 = Ω × {t = 0} , GT = Ω × {t = T }, ST = ∂Ω × [0, T ] Khi γ(G) = GT , Γ(G) = G0 ∪ ST 1.1.2 Bài toán biên ban đầu thứ Xét phương trình Lu − ∂u = f (x, t), (x, t) ∈ G = Ω × (0, T ) ∂t (1.3) Ta cần tìm nghiệm u(x, t) ∈ C 2,1 (G) thỏa mãn điều kiện sau: u(x, 0) = u0 (x), x∈Ω (1.4) u(x, t) = ϕ(x, t), (x, t) ∈ ST (1.5) 1.1.3 Bài tốn Cauchy Xét phương trình Lu − ∂u = f (x, t), (x, t) ∈ Rn × R+ ∂t (1.6) u(x, t) ∈ C 2,1 (G) thỏa mãn điều kiện u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Rn 1.2 1.2.1 (1.7) Nguyên lý cực đại yếu Nguyên lý cực đại cho nghiệm nghiệm Định lý 1.1 Cho G miền bị chặn cho toán tử dạng (1.1) xác định G với c(x, t) ≤ 0, cho u(x, t) nghiệm (nghiệm trên) Giả sử sup u > (inf u < 0) G G Khi sup u = sup u, G Γ(G) (inf u = inf u) G Γ(G) Chứng minh Giả sử u nghiệm dưới, tức Lu − ut ≥ Ta chứng minh sup u = sup u ¯ G Γ(G) Ta ln có sup u ≥ sup u ¯ G Γ(G) Giả sử không xảy dấu Khi M ≡ sup u > sup u ≡ m G Γ(G) Do M > nên tồn a > cho: M − a > max(m, 0) Giả sử miền G nằm t = t t = t , t < t Đặt v(x, t) = u(x, t) − ε(t − t ), ε = a t −t Ta có sup v ≥ sup u − sup(ε(t − t )) = M − a > max(m, 0) ≥ m G G G = sup u ≥ sup v Γ(G) Γ(G) Do đó: sup v = sup v G Γ(G) Đặt sup v = v(x1 , t1 ), G Trong (x1 , t1 ) ∈ / Γ(G) Xét hàm số: h (x) = v (x, t1 ) 10 t > t2 , x ∈ Rn ; u(x, t) > −ε 1.7 Bất đẳng thức Harnack Xét phương trình (1.13): Lu − ut = 0, hệ số thỏa mãn điều kiện (1.8) điều kiện thỏa mãn: |bi (x, t)| ≤ K1 ; −K2 < c(x, t) < (1.14) Cho số r, < r < 1, điểm (x0 , t0 ) ∈ Rn+1 Ta xét ba hình trụ đây: Z1 = Zxt00,t,r0 +r , t0 + 34 r2 ,t0 +r2 , 0, r Z2 = Zx t0 + 14 r2 ,t0 + 12 r2 0, r Z3 = Zx Ta có định lý sau độ tăng nghiệm Định lý 1.10 Cho D tập mở Rn+1 chứa Z1 có phần giao khác rỗng với Z2 E ⊂ Z2 \ D cho meas(E) > Ta kí hiệu: Γ(D) ∩ Z1 = Γ1 Ta xét D nghiệm u(x, t) phương trình (1.13) với điều kiên: lim u(x, t) ≤ ; sup u > (x,t)→Γ (x,t)∈D D∩Z2 24 Khi sup u > (1 + ξ) sup u, D D∩Z2 ξ > 0, ξ số phụ thuộc vào K1 , K2 , α2 , M1 , M2 (đó số bất đẳng thức (1.10) phụ thuộc vào tỷ số: meas(Z3 ) meas(E) Từ Đinh lý 1.9 suy định lý bất đẳng thức Harnack Định lý 1.11 (Bất đẳng thức Harnack) Cho < r < cho u nghiệm dương phương trình (1.13) Z1 Khi sup u Z3 inf u < c, Z2 c số dương mà phụ thuộc vào α1 , M1 , K1 , n, Z1 , Z2 , Z3 Định lý 1.10 1.8 Định lý kiểu Phragmen-Lindelof Trong phần ta giả sử phương trình (1.13) bi ≡ 0; i = 1, , n; c(x, t) ≡ Ta có định lý sau độ giảm nghiệm theo biến thời gian Định lý 1.12 Cho G ⊂ Rn+1 miền bị chặn dải < t < T , có điểm biên hai biên dải Cho u(x, t) nghiệm phương trình (1.13), liên tục G phần biên G mà nằm bên dải Cho 25 meas(G) = σ Ta sử dụng kí hiệu: M = max |u(x, 0)| , (x,0)∈G m = max |u(x, T )| (x,T )∈G Khi m < M exp(− CT n−2 2 ), σn C > số phụ thuộc vào M1 α1 Định lý sau nói độ giảm nghiệm phụ thuộc vào thiết diện G Định lý 1.13 Cho ϕ(t), < t < ∞ hàm khả vi liên tục cho |ϕ | < k, k số Cho G ⊂ Rn+1 miền nằm nửa không gian t > cho thiết diện Gτ G siêu phẳng t = τ, bị chặn Hơn meas (Gτ ) < ϕ(τ ) ; < τ < ∞ Giả sử u nghiệm phương trình (1.13) G, liên tục G không phần biên nằm nửa không gian t > Ta sử dụng ký hiệu: M (t) = max |u(x, t)| , ≤ t < ∞ x Khi đó: t M (t) ≤ M (0)e −C ϕ(τ )− n dτ , C > số mà phụ thuộc vào α, M, n, k Định lý chứng minh lần Cheremnykh [1959] trường hợp hệ số trơn trường hợp biến không gian 26 1.9 Định lý kiểu Liouville Trong phần ta giả thiết phương trình (1.13) có bi ≡ 0; i = 1, , n; c(x, t) ≡ Từ Định lý 1.4 ta có hai định lý kiểu Liouville đây: Định lý 1.14 Cho (x0 , t0 ) ∈ Rn+1 điểm tùy ý, cho Z1 Z2 mục 1.7 Cho nghiệm u(x, t) phương trình (1.13) xác định Zi Khi đó: osc u > p osc u, Z1 Z2 p > phụ thuộc vào M1 , α1 , n osc u = sup u − inf u Z Z Z Định lý 1.15 Cho u(x, t) nghiệm phương trình Lu − ut = nửa không gian t ≤ |u| ≤ M Khi u hàm 27 Chương PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI DẠNG BẢO TỒN 2.1 Dạng nghiệm phương trình Nghiệm suy rộng Cho G miền Rn+1 = Rnx × R1t Ta xét phương trình parabolic dạng bảo toàn đơn giản nhất: ∂u :≡ Lu − ∂t n i,k=1 ∂u ∂u ∂ (aik (x, t) )− = 0, ∂xi ∂xk ∂t (2.1) aik (x, t) hàm đo được, bị chặn thỏa mãn điều kiện sau: aik (x, t) = aki (x, t); ∀(x, t) ∈ G; ∀ξ ∈ Rn n −1 λ aik (x, t)ξi ξk ≤ λ|ξ|2 |ξ| ≤ (2.2) i,k Ta kí hiệu nghiệm suy rộng phương trình (2.1) G hàm u ∈ V21,0 (G) cho ∀ϕ ∈ C0∞ (G) n ( Ω i,k=1 ∂u ∂ϕ ∂ϕ − u )dx dt = ∂xi ∂xk ∂t (2.3) Để dẫn dắt công thức (2.3) trước tiên ta nhắc lại cơng thức tích phân phần: 28 fxj g dx = − G f gxj dx + G f gγj dσ, ∂G γ = (γ1 , γ2 , , γj , , γn ) pháp tuyến đơn vị điểm ∂G Từ Lu − ∂u ∂t = 0, ta nhân hai với ϕ được: (Lu)ϕ − tức n i,k=1 ∂u ϕ = 0, ∂t ∂ ∂u ∂u (aik (x, t) )ϕ− ϕ = ∂xi ∂xk ∂t Lấy tích phân hai vế: n ( i,k=1 G ∂u ∂u ∂ (aik (x, t) )ϕ− ϕ)dxdt = ∂xi ∂xk ∂t Từ cơng thức tích phân phần suy n − i,k=1 G ∂u ∂ϕ aij ∂x dxdt + k ∂xi ∂ϕ ∂t udxdt + n ∂G i,k=1 ∂u aik ∂x ϕγi dσ k = 0, G γ = (γ1 , γ2 , , γj , , γn ) pháp tuyến ngồi đơn vị Tích phân biên ϕ(x, t) ∈ C0∞ (G), nên ta có: n ⇒ ( G 2.2 i,k=1 ∂ϕ ∂u ∂ϕ − u )dx dt = ∂xi ∂xk ∂t Bất đẳng thức Harnack Tính liên tục Holder nghiệm suy rộng Trong phần ta xét trường hợp aik ∈ C ∞ u(x, t) nghiệm phương trình (2.1) Định lý chứng minh Moser [1964] 29 Cho (x, t) ∈ Rn+1 , r > Ta sử dụng kí hiệu: t,t+r Z1 = Zx,r , t+ r2 ,t+r2 Z2 = Zx, r4 , t+ r2 ,t+ 21 r2 Z3 = Zx0 , 4r , kí hiệu vế phải giải thích 1.1.1 Định lý 2.1 Cho nghiệm dương u(x, t) phương trình (2.1) xác định Z1 Khi đó: sup u Z3 inf u < c, Z2 c > số phụ thuộc λ Hai kết sau thu từ bất đẳng thức trên: Tồn số ξ phụ thuộc vào λ cho nghiệm u phương trình (2.1) xác định Z1 ta có: (2.4) osc u > (1 + ξ) osc u Z1 Z2 Cho G miền bị chặn R cho ρ số dương, ta đặt: t−ρ Gρ = (x, t) ∈ G ∪ γ(G) : Zx,ρ ,t ⊂ G} Giả sử γ(G) biên G, định nghĩa mục 1.1 Cho nghiệm u phương trình (10) xác định G ∪ γ(G) Khi đó: tồn α, < α < cho u C α (Gρ ) ≤c u 30 C (G) , α phụ thuộc vào λ c, phụ thuộc vào ρ u C (G) = sup |u| , G u C α (Gρ ) = u C (Gρ ) |u(x,t)−u(y,α)| α α (x,t)∈G |x−y| +|t−α| + sup (y,s)∈G 2.3 Hàm Green Cho phương trình (2.1) xác định Rn+1 Một hàm G(x, t) mà nghiệm suy rộng phương trình (2.1) khắp nơi trừ gốc tọa độ gọi hàm Green có đặc tính đây: a) G(x, t) −→ t → 0; x = b) G(x, t) = với t < c) G(x, t) tạo nên lớp hàm hội tụ tới δ -hàm δ(x) theo biến x ∈ Rn t → 0+ Định lý 2.2 n+1 Cho phương trình (2.1) xác định khắp nơi R+ Khi hàm Green tồn có đánh giá: C1 −k1 ( |x|2 ) C2 −k2 ( |x|t ) t ≤ G(x, t) ≤ n e , n e t2 t2 (2.5) k1 , k2 , C1 , C2 số dương phụ thuộc vào λ 2.4 Nguyên lý cực đại Đối với phương trình dạng bảo tồn (2.1) ta có nguyên lý cực đại yếu sau Định lý 2.3 (Nguyên lý cực đại yếu) Cho G ⊂ Rn+1 miền bị chặn cho Γ biên parabolic Nếu u(x, t) 31 nghiệm suy rộng phương trình (2.1) G, thì: sup u ≤ lim u(x, t) (x,t)∈G G (x,t)→Γ inf u ≥ lim u(x, t) G (x,t)∈G (x,t)→Γ 2.5 Tính dừng nghiệm t → ∞ Nghiên cứu nghiệm ổn định phương trình nhiệt đựơc thực Tikhonov [1950] Tikhonov xét phương trình: ∂u ∂ 2u = , ∂t ∂x2 với < x < ∞, t > 0, với điều kiện biên: m αk k=0 ∂k u(0, t) = f (t) ∂xk Ông chứng minh định lý đây: Định lý 2.4 Để nghiệm toán giá trị biên có giới hạn t → ∞ với hàm f (t), điều kiện cần đủ tất nghiệm phương trình: m αk q k = k=0 nằm miền − 3π 3π < arg q < 4 Hơn lim u(x, t) = lim f (t) t→∞ t→∞ 32 2.6 Tính nghiệm toán biên ban đầu thứ hai miền không bị chặn 2.6.1 Phát triển toán biên ban đầu thứ hai Cho Ω ⊂ Rn miền khơng bị chặn, G = Ω × [0, T ], cho ∂Ω khả vi liên tục khúc, ∂Ω × [0, T ] = Γ Xét G phương trình: i,k=1 ∂ ∂u (aik (x) )+ ∂xi ∂xk n bi (x) i=1 ∂u ∂u + c(x)u− = 0, ∂xi ∂t (2.6) aik (x) = aki (x) khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện đây: ∃λ ≥ M ≥ cho: n −1 λ aik (x)ξi ξk ≤ λ|ξ|2 , ∀ξ ∈ Rn ; ∀x ∈ G, |bi (x)| ≤ M, |c(x)| ≤ M |ξ| ≤ i,k=1 (2.7) Ta xét: ∂u ∂ϑ u|t=0 = 0; = 0, (2.8) Γ ∂ )− đạo hàm theo hướng đối pháp tuyến ∂G), ( ∂ϑ ∂u = ∂ϑ n aik i,k=1 ∂u γi , ∂xk γi thành phần vectơ pháp tuyến γ ∂Ω 2.6.2 Lớp nghiệm toán (2.6)-(2.8) Giả sử F (r) hàm nhận giá trị dương hàm tăng Xét lớp nghiệm sau toán: |u(x, t)| ≤ F (|x|) 33 (2.9) Trong phần ta nghiên cứu phụ thuộc lớp tốn (2.6), (2.8) vào dạng hình học miền Ta xét lớp nghiệm u ∈ C 2,1 phương trình (2.6) Cho miền tùy ý G ⊂ Rn không bị chặn Ta ký hiệu Gk tập G chứa mặt cầu |x| = rk |x| = rk Định lý 2.5 Cho F (r); r > hàm dương, đơn điệu tăng, cho miền G thỏa mãn điều kiện: meas(Gk )F2 (rk ) (rk − rk )2 →0 k → ∞ Cho u(x, t) nghiệm toán (2.6), (2.8) G = Ω × [0, T ] Giả sử với |x| đủ lớn ta có bất đẳng thức: |u(x, t)| ≤ F (|x|) Khi u ≡ Chứng minh Ta cần xét trường hợp T đủ nhỏ Cho t0 , < t0 < T tùy ý Ta đăt: t0 u2 (x, t) dt V (x) = Tồn mặt trơn khúc k tách mặt cầu |x| = rk |x| = rk Gk , cho: ∂ν V ds ≤ c meas (Gk ).osc ∂v (rk − rk )2 (2.10) k Ta kí hiệu Dk phần G mà chứa hình cầu |x| < rk không bị tách khỏi mặt cầu |x| = rk bề mặt 34 k Nhân phương trình (2.6) với u lấy tích phân qua Dk × [0; t0 ], có sử dụng cơng thức Green (2.7), (2.8) ta có: t0 u2 (x, t0 )dx + r−1 |gradx u|2 dx.dt t Dk Dk t0 −M t0 ∂V ∂v ≤ u2 dx.dt |gradx u| u.dx.dt − M Dk ds ≤ c.meas(Gk ).F2 (rk (rk − rk )2 Σ k Lấy tích phân với cận từ t từ tới T với T đủ nhỏ, ta thấy rằng: T u2 (x, t)dx.dt ≤ Dk T C.meas.(Gk )F2 (rk ) → 0, (rk − rk )2 k → 0, nghĩa u ≡ 2.6.3 Một số ví dụ Bây ta xét dạng đặc biệt miền G Cho f (r) ∈ C (0; +∞); f (r) > f (r) 0; f (r) r −→ ∞ ta sử dụng ký hiệu: G = {r ∈ Rn : x1 > 0, |xi | < f (x1 ), i = 2, , n} Cho h(r), < r < ∞ hàm đơn điệu giảm , dương cho F (r), r > đơn điệu tăng cho 2 F (r) = o(h(r) n −1 (f (r − h(r))) n −1 ) 35 r → ∞ Với G F ta có định lý: Định lý 2.6 Cho u(x, t) nghiệm toán (2.6)-(2.8) Ω cho u(x, t) < F (|x|) Khi u ≡ Rõ ràng định lý trường hợp đặc biệt trường hợp trước Đặc biệt, với miền G xác định F (r) = o(r n ) exp( n−1 k r ), với miền G xác định f (r) = exp(− exp), F (r) = o(exp(−r) exp(− exp r)) 36 Kết luận Luận văn trình bày lớp phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát hai dạng: không bảo tồn bảo tồn Nhiều tính chất nghiệm phương trình parabolic cấp hai dạng khơng bảo tồn dạng bảo tồn khái qt Đó ngun lý cực đại, bất đẳng thức Harnack, định lý Liouville Fragmen- Lindelof 37 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp, (2004), Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Đức Vân, (2005), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Kondrat’ev V.A., Landis E.M., (1995), Partial Differential Equations III, Springer-Verlag 38 ... [3], luận văn trình bày tổng quan lý thuyết định tính phương trình parabolic cấp hai dạng tổng qt hai dạng khơng bảo tồn bảo toàn Luận văn gồm hai chương Chương I nghiên cứu phương trình dạng... hàm riêng parabolic cấp hai cổ điển, khởi nguồn lý thuyết đạo hàm riêng đại Đã từ lâu, nhiều kết định tính phương trình biết đến như: nguyên lý cực đại, bất đẳng thức Harnack, định lý Liouville... KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————— PHAN THỊ QUYÊN LÝ THUYẾT ĐỊNH TÍNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: