Dạng legendre và ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN VŨ THỊ NGỌC MAI DANG LEGENDRE VÀ NG DUNG LUắN VN THAC S KHOA HOC H Nđi - Năm 2018 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN VŨ TH± NGOC MAI DANG LEGENDRE VÀ ÚNG DUNG Chuyên ngành: Toán Éng dnng Mã so: 8460112 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS TS Nguyen Năng Tâm Mnc lnc Lài cam ơn Danh sách ký hi¾u Ma đau Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Gia thiet kien thúc chuan b% 1.2 M®t so ví du 11 1.2.1 Minh HQA I 11 1.2.2 Minh HQA II 14 1.2.3 Minh HQA III 17 1.3 Tính chat J-transversality .18 1.4 Tính nua liên tuc dưói yeu cna dang toàn phương 21 1.5 Dang tồn phương có chi so so khuyet huu han .23 1.6 Dang toàn phương xác đ%nh dương khơng kỳ d% 25 Ket lu¾n 27 Chương Dang Legendre 28 2.1 Dang Legendre .28 2.2 Dang tồn phương tna khơng kỳ d% .32 2.3 C¾p Legendre 37 Ket lu¾n 41 Chương Úng dnng cua dang Legendre 42 3.1 Sơ lưoc ve giai tích bien phân .42 3.2 Úng dung cna dang Legendre giai tích bien phân 45 3.2.1 Quy tac nhân tu Lagrange 45 3.2.2 Dang tna Legendre 49 3.2.3 Lý thuyet tiêu điem 52 3.2.4 M®t úng dung cna lý thuyet tiêu điem 56 3.3 Sn ton tai nghi¾m cna tốn quy hoach tồn phương khơng loi khơng gian Hilbert 58 Ket lu¾n 61 Ket lu¾n 62 Tài li¾u tham khao 63 Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưịng Đai HQ c Khoa HQ c Tn nhiên, Đai HQ c Quoc gia Hà N®i vói sn hưóng dan chi bao t¾n tình cna PGS TS Nguyen Năng Tâm Em xin đưoc bày to lòng biet ơn sâu sac đoi vói sn quan tâm, đ®ng viên sn chi bao hưóng dan cna thay Qua đây, em xin gui lịi cam ơn sâu sac tói q thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQ c Quoc gia Hà N®i, thay tham gia giang day khóa cao HQ c 2015 - 2017, có cơng lao day em suot q trình HQ c t¾p tai Nhà trưịng Em xin cam ơn gia đình, ban bè ban đong nghi¾p thân men quan tâm, tao đieu ki¾n cő v, đng viờn em e em hon thnh tot nhiắm vu cna Hà N®i, ngày 23 tháng năm 2018 HQc viên Vũ Th% NGQC Mai Danh sách ký hi¾u A B B0 (x, y) |x| |x − y| xq → x0 xq ⇒ x0 x0 L(x) B(x, y) Q(x) K(x, y) J(x) L2 S (a) mq Sq i Q(x) n Ajk(s, t) S Rjk(t) Pjk(t) Qjk(t) H T Khơng gian tuyen tính Lóp cna A T¾p véctơ Q-tranversal cna B Tích cna x y Chuan cna x Khoang cách tù x tói y Dãy véctơ {xq} h®i tu yeu tói x0 Dãy véctơ {xq} h®i tu manh tói Dang tuyen tính Dang song tuyen tính Dang tồn phương Dang song tuyen tính liên tuc Dang Legendre Khơng gian hàm bình phương kha tích Đoan aj ≤ tj ≤ bj, j = 1, , p khơng gian p chieu T¾p so a1, , ar Căn b¾c dương cna đ® đo cna Chi so cna dang toàn phương So khuyet cna dang toàn phương Q(x) Hàm bình phương kha tích Lebesgue S × Hàm kha tích b% ch¾n cot yeu S Hàm kha tích Hàm bình phương kha tích Khơng gian Hilbert Tốn tu tuyen tính tn liên hop Ma đau Giai tích bien phân m®t lĩnh vnc cna tốn giai tích mà su dung bien phân, mà sn thay đői nho cna hàm phiem hàm, đe tìm cnc đai cnc tieu cna phiem hàm Các phiem hàm thưòng đưoc bieu dien bang tích phân xác đ%nh cna hàm so đao hàm cna chúng M®t nhung chương thú v% cna giai tích bien phân lý thuyet chi so Nó có hai khía canh, lý thuyet ton cuc v lý thuyet bđ phắn nho Mđt phan quan TRQNG cna lý thuyet bđ phắn nho lý thuyet chi so cna bien phân cap hai Lý thuyet ve bien phân cap hai có the đưoc tiep c¾n tù nhieu quan điem Hestenes [5] ngưịi nghiên cúu sn liên h¾ giua dang tồn phương khơng gian Hilbert vói lý thuyet bien phân cap hai M®t dang tồn phương J(x) đưoc GQI thoa mãn đieu ki¾n làm manh Legendre neu có the đưoc bieu dien dưói dang J(x) = D(x) − K(x), D(x) xác đ%nh dương K(x) liên tuc đoi vói tơpơ yeu Ve ban chat, đieu ki¾n đưoc thoa mãn chi sn h®i tu yeu sn h®i tu cna giá tr% tương úng cna J(x) kéo theo sn h®i tu manh Dang J(x) mà thoa mãn đieu ki¾n thú hai đưoc GQI dang Legendre Trong Chương ta se thay rang dang Legendre có chi so (âm) huu han so khuyet huu han Các so ban giai tích bien phân Ví du so khuyet đưoc dùng e miờu ta so nghiắm đc lắp tuyen tớnh cna mđt phng trỡnh vi phõn nhat %nh hoắc phng trỡnh vi tích phân thoa mãn đieu ki¾n biên cho trưóc Chi so có the đưoc dùng đe miêu ta so dao đng cna nghiắm cna cỏc phng trỡnh vi phõn Ket qua h¾ qua cna lý thuyet tiêu điem Sn ton tai nghi¾m cna tốn quy hoach tồn phương m®t câu hoi quan TRQNG thú v% lý thuyet toi ưu Trong tốn quy hoach tồn phương loi ho¾c khơng loi, tính chat Legendre cna dang toàn phương trong hàm muc tiêu không the bo qua đe đam bao tốn ln có nghi¾m Các dan chúng bên chi l mđt phan rat nho sn liờn hắ a dang cna dang Legendre vói lý thuyet giai tích bien phân minh HQA m®t cách úng dung cna dang Legendre tốn quy hoach tồn phương Trong lu¾n văn này, dưói sn hưóng dan cna PGS TS Nguyen Năng Tâm, chúng tơi trình bày đe tài “Dang Legendre úng dnng” dna theo báo “Applications of the thoery of quadratic forms in Hilbert space to the calculus of variations” cna Hestenes [5] báo “On the Solution Existence of Nonconvex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces” cna V.V Dong N.N Tam [3] Muc đích cna luắn l hắ thong lai mđt so kien thỳc ban ve dang tồn phương khơng gian Hilbert, m®t so tính chat ban cna dang tồn phương, khái ni¾m chi so so khuyet cna dang tồn phương, khái ni¾m dang Legendre, c¾p Legendre, dang tna Legendre m®t so úng dung cna chúng Ngồi phan Mo đau, Ket lu¾n, Tài li¾u tham khao, lu¾n văn gom chương Chương Kien thúc chuan b % Chương Dang Legendre Chương Úng dung cna dang Legendre Chương Kien thÉc chuan b% Trưóc tiên, chúng tơi xin trình bày khái ni¾m so nen tang tích trong, tính trnc giao, tính Q-trnc giao, hàm liên tuc, hàm liên tuc yeu, hàm nua liên tuc dưói yeu, dang tuyen tính, dang song tuyen tính, dang tồn phương, tính chat J-transversality, tính nua liên tuc dưói yeu, khái ni¾m chi so so khuyet cna dang tồn phương, khái ni¾m xác đ%nh dương khơng kỳ d% cna dang toàn phương 1.1 Gia thiet kien thÉc chuan b% Cho A m®t khơng gian tuyen tính trưịng so thnc Các phan tu cna A, đưoc GQI véctơ, đưoc ký hi¾u bang x, y, z, So thnc, đưoc GQI so vơ hưóng, đưoc ký hi¾u bang a, b, c, Tőng cna hai véctơ x y đưoc ký hi¾u bang x + y, tích cna x vói so vơ hưóng b đưoc ký hi¾u bang bx ho¾c xb Lóp B cna A mà đóng kín đoi phép c®ng phép nhân vơ hưóng đưoc GQI láp tuyen tính cna A So chieu cna B l so vộct đc lắp tuyen tớnh B lún nhat gom cỏc vộct đc lắp tuyen tớnh T¾p véctơ x1 , , xn đưoc gQI sinh lóp tuyen tính B cna A gom tat ca véctơ có dang a1 x1 + · · · + an xn Neu vộct x1 , , xn đc lắp tuyen tính, chúng tao thành m®t so cna lóp B mà chúng sinh M®t lóp tuyen tính B cna A đưoc GQI tőng trnc tiep cna lóp tuyen tính B1 , , Bn neu MQI véctơ x B bieu dien nhat thành tőng x = x1 + · · · xn vói xi Bi (i = 1, , n) neu MQI véctơ tőng thu®c B Gia su ta có m®t hàm đoi xúng (x, y) ánh xa A × A vào t¾p so thnc, đưoc gQI tích cna x y neu có tính chat sau: (a) (x, x) ≥ 0, dau bang xay chi x = 0, (b) (x, ay + bz) = a(x, y) + b(x, z), (c) tat ca dãy Cauchy có giói han, túc cho m®t dãy {xq} thoa mãn lim |xp − xq| = 0, p,q→∞ |x| = (x, x)1/2 , ton tai m®t véctơ x0 A cho lim | xq − x0 = (1.1) | đưoc GQI chuan hay đ® dài cna x thoa mãn q→∞ Đai lưong |x| ≡ (x, x)1/2 h¾ thúc |x| ≥ 0, |ax| = |a||x|, |(x, y)| ≤ |x||y|, |x + y| ≤ |x| + |y| Đai lưong |x − y| ký hi¾u khoang cách tù x tói y Hai véctơ x y GQI trnc giao neu (x, y) = Véctơ x GQI trnc giao vói lóp B cna A neu trnc giao vói MQI véctơ y B Hai lóp B C GQI trnc giao neu MQI véctơ x B trnc giao vói MQI véctơ y C T¾p tat ca véctơ trnc giao vói lóp B đưoc gQI phan bù trnc giao cna B Đ%nh nghĩa 1.1.1 ([5]) Dãy véctơ {xq } đưoc GQi h®i tn manh tói véctơ x0, ký hi¾u xq ⇒ x0, neu lim | xq − x0 = q→∞ | Nó đưoc GQI h®i tn yeu tói x0 , ký hi¾u xq → x0 , neu lim (xq, y) = (x0, y) q→∞ (1.2) vói MQI véctơ y A Nó b% ch¾n neu dãy chuan cna {|xq |} b% ch¾n Ký hi¾u aq → a0 thưịng đưoc dùng đe bieu th% rang dãy so {aq} h®i tu túi a0 Mđt úng cna A oc hieu l úng vúi phộp hđi tu manh p so chieu cua láp cnc đai P gom Q-transversal cua A khơng có x ƒ= chung vái A1 Chúng minh Đe chúng minh ket qua này, GQI B1 B2 lóp tuyen tính cnc đai cna A1 A2 ma Q(x) âm So chieu cna chúng lan lưot i1 i2 GQI B tőng trnc tiep cna lóp B1 , B2 C So chieu cna k = i1 + i2 + c Rõ ràng Q(x) ≤ B Ngồi ra, khơng có véctơ x ƒ= thu®c B nam A0 Xét véctơ x Q-transversal vói B Véctơ x Q-trnc giao vói C trnc giao vói lóp Q-transversal cna A1 Theo Đ%nh lý 2.2.4, ton tai véctơ x1 ∈ A1 x2 ∈ A2 cho x = x1 + x2 Vì x x1 Q-trnc giao vói B2 , nên x2 v¾y Do Q(x2 ) ≥ 0, theo Bő đe 1.5.3 dau bang chi xay trưòng hop x2 Q-transversal cna A2 Tương tn, ta có Q(x1 ) ≥ 0, dau bang chi xay trưòng hop x1 Q-transversal cna A1 Q-transversal cna A2 Suy Q(x) = Q(x1 ) + Q(x2 ) ≥ 0, dau bang xay chi x Q-transversal cna A2 Tù ket qua ta thay rang B lóp cnc đai mà Q(x) ≤ không chúa Q-transversal cna A Do v¾y, theo Đ%nh lý 1.5.4 so chieu cna B bang so chieu i cna Q(x) A Phát bieu cuoi đ%nh lý đưoc suy tù đ%nh nghĩa cna C Ket qua thu đưoc Đ%nh lý 3.2.7 có the đưoc phát bieu lai theo cách sau: Đ%nh lý 3.2.8 ([5]) Cho Q(x) dang tna Legendre A ký hi¾u A1 khơng gian tuyen tính đóng cua A Cho i, i tương úng chs so cua Q(x) A, A1 Hi¾u i − i1 bang so chieu cua láp tuyen tính cnc đai D cua A cho (a) D Q-trnc giao vái A1 (b) Q(x) ≤ D (c) D không chúa Q-transversal khác không cua A Neu n, n1 tương úng so khuyet cua Q(x) A, A1 m = i+n, m1 = i1+n1, m = m1 + e, e so chieu cua láp tuyen tính cnc đai E cua A cho (a) láp E Q-trnc giao vái A1 (b) láp E không chúa phan tu x ƒ= chung vái A1 (c) ta có Q(x) ≤ E Ket qua đưoc suy tù chúng minh cna Đ%nh lý 3.2.7 Đ%nh lý có nhieu úng dung giai tích bien phân Ta se miêu ta m®t vài so o Các ket qua lóp A đưoc thay bang lóp A∗ Đ%nh lý 3.2.2 Các ket qua tương tn vói tốn tích phân b®i Trong ví du sau, A lóp đưoc miêu ta Ví du 1.2.5, J(x) dang Legendre A Ví dn 3.2.9 ([5]) Cho A1 lóp lóp tat ca cung A có x(a) = x(b) = Lóp E gom cung J-trnc giao vói A1 lóp cung đưịng cnc tr% GQI A∗ lóp tuyen tính cna A chúa A1 Áp dung Đ%nh lý 3.2.7 vói A∗ đóng vai trị cna A, ta thay rang chi so i∗ cna J(x) A∗ xác đ%nh boi tőng i∗ = i1 + i2 + c, i1 chi so cna A1, i2 so chieu cna lóp cnc đai gom đưịng cnc tr% A∗ mà J(x) âm, c so chieu cna lóp đưịng cnc tr% thu®c A1 A2 Trưóc tien hành ví du tiep theo ta can bő đe sau Bo đe 3.2.10 ([5]) Ton tai hang so δ > cho J(x) > vái MQI cung x ƒ= A b% tri¾t tiêu tai m®t so điem MQI đoan cua a ≤ t ≤ b có đ® dài δ Chúng minh Boi neu ngưoc lai t¾p véctơ xq, x0 thoa mãn đieu ki¾n J(x q) ≤ 0, |xq| = 1, xq → x0, cho xq b% tri¾t tiêu MQI đoan cna a ≤ t ≤ b có đ® dài 1/q Véctơ x0 hien nhiên véctơ Vì J(x) nua liên tuc dưói yeu, ta có J(xq ) → J(x0 ) = 0, xq ⇒ x0 = 0, mâu thuan vói cách cHQN xq véctơ đơn v% Ví dn 3.2.11 ([5]) Cho t1 < · · · < tr điem a < t < b mà chia a ≤ t ≤ b thành đoan có đ® dài ≤ δ, δ có tính chat miêu ta Bő đe 3.2.10 GQI A1 lóp cung A mà b% tri¾t tiêu tai t0 = a, t1 , , tr , tr+1 = b Khi J(x) xác đ%nh dương A, theo Bő đe 3.2.14 Lóp cung E J-trnc giao vói A1 lóp đưịng cnc tr% gap khúc vói góc tai t1 , , tr GQI A∗ lóp tuyen tính đóng cna A chúa A1 , GQI A2 lóp đưịng cnc tr% gap khúc A∗ Áp dung Đ%nh lý 3.2.7 vói A đưoc thay bang A∗ , ta thay rang chi so i∗ cna J(x) A∗ bang vói chi so i2 cna J(x) lóp A2 gom đưịng cnc tr% gap khúc A∗ Ví dn 3.2.12 ([5]) Cho A∗ lóp cung A b% tri¾t tiêu tai t = b, ký hi¾u A1 lóp cung A∗ b% tri¾t tiêu đoan t0 ≤ t ≤ b, t0 > a GQI A2 lóp cung A∗ J-trnc giao vói A1 Neu J(x) có dang (1.27) cung x A∗ thu®c A2 chi đoan a ≤ n ≤ t0 nghi¾m cna phương trình Euler thoa mãn đieu ki¾n transversality tai t = a Suy trưịng hop cung x ƒ= thu®c A1 A2 ton tai va chi ton tai đưịng cnc tr% thoa mãn đieu ki¾n transversality tai t = a b% tri¾t tiêu tai t = t0 So ũng cnc tr% đc lắp tuyen tớnh kieu này, mà khơng có tő hop tuyen tính cna chúng đong nhat không t0 ≤ t ≤ b, bang so c Đ%nh lý 3.2.20 Như ta se thay c l bắc cna t0 nh mđt tiờu iem cna toán Theo Bő đe 3.2.14, ta có c = i1 = t0 ≤ a + δ 3.2.3 Lý thuyet tiêu điem Lý thuyet tiêu điem điem liên hop giai tích bien phân có the đưoc mo r®ng đe áp dung đưoc dang tna Legendre J(x) không gian Hilbert A Sn liên h¾ giua ket qua đưoc phát trien o ket qua giai tích bien phân se đưoc trình bày phan tiep theo Gia thiet 3.2.13 ([5]) Gia su ton tai HQ lóp tuyen tính đóng m®t tham so A(λ) (λJ ≤ λ ≤ λJJ ) cna A thoa mãn (a) A(λJ) lóp khơng A(λJJ) = A, (b) A(λ1) lóp cna A(λ2) neu λ1 < λ2, (c) neu λJ ≤ λ0 < λJJ lóp A(λ0) giao cna tat ca lóp A(λ) vói λ0 < λ ≤ λJJ Bo đe 3.2.14 ([5]) Neu λJ < λ < λJJ giái han trái i(λ − 0) bang vái chs so cua J(x) láp A(λ − 0) miêu ta bên Nói riêng neu A(λ − 0) = A(λ) i(λ − 0) = i(λ) Chúng minh Xét giá tr% λ0 λJ < λ ≤ λJJ , gQI h chi so cna J(x) A(λ0 − 0) Rõ ràng i(λ) ≤ h neu λ < λ0 Ta se chi rang ton tai giá tr% λ1 < λ0 cho i(λ1 ) = h0 Đieu hien nhiên neu h = Do ta gia su h > 0, GQI x1 , , xh so cna lóp tuyen tính cnc đai B cna A(λ0 − 0) mà J(x) < Vói moi so nguyên p ≤ h cHQN dãy {xpr } hop lóp A(λ) (λJ ≤ λ < λ0 ) h®i tu manh tói xp Khi ta có lim J(xpr, xqr)apaq = J(xp, xq)apaq < r=∞ (p, q = 1, , h) vói MQI t¾p a1 , , ah khơng đong thịi bang khơng Do ton tai so ngun r cho J(xpr, xqr)apaq < trù tat ca a đeu bang không CHQN λ1 < λ0 cho x1r , , xhr đeu thu®c A(λ1 ) Theo Đ%nh lý 1.5.4, ta có i(λ1 ) ≥ h i(λ1 ) = h, đieu phai chúng minh Bo đe 3.2.15 ([5]) Cho B(λ) (λJ < λ ≤ λJJ ) khơng gian tuyen tính cnc đai cua A(λ) cho (a) B(λ) J-trnc giao vái A(λ1) neu λ1 < λ, (b) J(x) ≤ B(λ), (c) khơng có x ƒ= B(λ) J-trnc giao vái A(λ) Khi ta có i(λ) = i(λ − 0) + b(λ), b(λ) so chieu cua B(λ) Neu A(λ − 0) = A(λ) (λJ < λ < λJJ ), b(λ) = (λJ < λ < λJJ ) Ket qua đưoc suy tù Bő đe 3.2.14 Đ%nh lý 3.2.8 B(λ) Jtrnc giao vói lóp A(λ − 0) Bo đe 3.2.16 ([5]) Trên đoan λJ < λ < λJJ , giái han bên phai i(λ + 0) đưac xác đ%nh bái công thúc i(λ + 0) = i(λ) + c(λ), c(λ) so chieu cua láp tuyen tính đóng cnc đai C(λ) gom J-transversal cua A(λ) vái tính chat rang khơng có x ƒ= C(λ) J-trnc giao vái láp A(λ1 ) vái λ1 > λ Nói riêng, ta có i(λJ + 0) = Chúng minh De thay hai lóp có tính chat rang C(λ) có so chieu Ngồi ra, theo Đ%nh lý 1.5.4, ta có i(λ) + c(λ) ≤ i(λ1 ) neu λ < λ1 Do có nhieu nhat huu han so điem tai c(λ) ƒ= Do đó, cho giá tr% λ0 λJ ≤ λ < λJJ, ta có the cHQN λ1 cho c(λ) = λ0 < λ ≤ λ1 GQI D(λ0 ) lóp J-transversal cna λ0 mà J-transversal cna A(λ) vói λ > λ0 Theo cách cHQN λ1 , véctơ D(λ0 ) J-transversal cna A(λ) (λ0 ≤ λ ≤ λ1 ) Ta có the gia su rang C(λ0 ) trnc giao vói D(λ0 ) GQI B lóp tuyen tính cnc đai cna A(λ0 ) mà J(x) âm So chieu cna i(λ0 ) GQI P(λ) (λ0 ≤ λ ≤ λ1 ) lóp véctơ A(λ) mà J-trnc giao vói B trnc giao vói C(λ0 ) D(λ0 ) Ton tai giá tr% λ2 λ0 < λ ≤ λ1 cho J(x) dương P(λ) Neu khơng phai v¾y, vói MQi so ngun r ta có the tìm m®t véctơ P(λ0 + 1/r) cho |xr | = 1, J(xr ) ≤ Dãy {xr } có the đưoc cHQN cho h®i tu yeu tói véctơ x0 Rõ ràng tù tính chat (c) cna lóp A(λ), x0 ∈ A(λ) thu®c P(λ0 ) Cho nên J(x) ≥ 0, dau bang chi xay trưòng hop x0 = J(x) nua liên tuc yeu dưói, ta có ≥ lim sup J(xr) ≥ lim inf J(xr) ≥ J(x0) ≥ r=∞ r=∞ Suy J(x0) = 0, x0 = Ta đưoc xr → 0, J(xr) → Vì J(x) dang Legendre P(λ1), ket qua chi trưịng hop xr ⇒ 0, mau thuan vói |xr| = Bő đe 3.2.16 đưoc chúng minh H¾ qua 3.2.17 ([5]) Neu không ton tai véctơ x ƒ= 0, mà đong thài Jtransversal cua A(λ1) cua A(λ2) vái giá tr% phân bi¾t λ1 λ2 λJ ≤ λ ≤ λJJ , i(λ + 0) = i(λ) + n(λ) (λJ ≤ λ ≤ λJJ ), n(λ) so khuyet cua J(x) A(λ) Điem λ mà i(λ) ròi rac đưoc GQI tiêu điem cna J(x) liên h¾ vói A(λ) (λJ ≤ λ ≤ λJJ ), hi¾u f (λ) = i(λ + 0) − i(λ − 0) đưoc GQI b¾c cna tiêu điem λ Đ¾t i(λJJ + 0) = i(λJJ ) i(λJ − 0) = i(λJ ) Theo Bő đe 3.2.16, f (λJ ) = Ket hop ket qua ba bő đe bên ta thu đưoc: Đ%nh lý 3.2.18 ([5]) B¾c f (λ) cua tiêu điem λ cua J(x) liên h¾ vái A(λ) (λJ ≤ λ ≤ λJJ ) đưac xác đ%nh bái công thúc f (λ) = b(λ) + c(λ), b(λ) xác đ%nh Bő đe 3.2.15 vái b(λJ ) = 0, c(λ) xác đ%nh Bő đe 3.2.16 vái c(λJJ ) = Ta có f (λJ ) = Neu λJ < λ ≤ λJJ , f (λ) so chieu cua láp tuyen tính cnc đai J (λ) cua A(λ) cho (a) J (λ) J-trnc giao vái A(λ1) neu λ1 < λ, (b) J(x) ≤ J (λ), (c) không ton tai x ƒ= thu®c J (x) J-trnc giao vái láp A(λ2) vái λ2 > λ neu λ < λJJ vái λ2 = λJJ neu λ = λJJ H¾ qua 3.2.19 ([5]) Neu A(λ − 0) = A(λ) (λJ < λ < λJJ ) neu khơng có véctơ x ƒ= J-trnc giao vái A(λ1 ) A(λ2 ) λ1 ƒ= λ2 f (λJ ) = f (λJJ ) = 0, f (λ) so khuyet cua J(x) A(λ) (λJ < λ < λJJ ) Ta cú the thiet lắp %nh lý dao đng cho phng trình vi phân cap hai sau: Đ%nh lý 3.2.20 ([5]) Cho A∗ khơng gian tuyen tính cua A Ký hi¾u A∗ (λ) (λJ ≤ λ ≤ λJJ ) l cỏc vộct A thuđc A() Cỏc láp A∗ (λ) có tính chat (a), (b), (c) Gia thiet 3.2.13 vái A đưac thay bang A∗ GQI λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λm tiêu điem cua J(x) liên h¾ vái A(λ) (λJ ≤ λ ≤ λJJ ), GQI λ∗1 ≤ λ∗2 ≤ · · · ≤ λ∗m tiêu điem cua J(x) liên h¾ vái A∗ (λ) (λJ ≤ λ ≤ λJJ ), mői điem đưac l¾p lai so lan bang so b¾c cua Khi h¾ thúc λr ≤ λ∗r (r = 1, , m∗) (3.13) Neu A∗ phan bù trnc giao cua láp tuyen tính D có so chieu k, λ∗r ≤ λr+k (3.14) mien r + k ≤ m Chúng minh Bat thúc (3.13) đưoc suy tù ket qua rang chi so i(λ) i∗(λ) cna J(x) A(λ) A∗(λ) thoa mãn h¾ thúc i(λ) ≥ i ∗ (λ) Neu A∗ phan bù trnc giao cna lóp tuyen tính D có so chieu k, theo Đ%nh lý 1.5.10 i(λ) ≤ i∗(λ) + k Do (3.14) Đ%nh lý so sánh cna phương trình vi phân b¾c hai có the thu đưoc tù đ %nh lý sau: Đ%nh lý 3.2.21 ([5]) Cho J ∗ (x) dang toàn phương thú hai A cho J∗(x) ≥ J(x) A GQI λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λm λ∗1 ≤ λ∗2 ≤ · · · ≤ λ∗m∗ tương úng tiêu điem cua J(x) J ∗ (x) liên h¾ vái A(λ) (λJ ≤ λ ≤ λJJ ), mői điem l¾p lai so lan bang so b¾c cua chúng Khi bat thúc λr ≤ λ∗r (r = 1, , m∗) (3.15) Neu J(x) = J∗(x) chs trưàng hap x = A(λ − 0) = A(λ), λr < λ∗r (r = 1, , m∗) (3.16) Ket qua đưoc suy tù Đ%nh lý 1.5.9 3.2.4 M®t Éng dnng cua lý thuyet tiêu điem Xét lóp B gom tat ca cung x : xj(t) (j = 1, , q, a ≤ t ≤ b) lóp A Ví du 1.2.5 b% tri¾t tiêu tai t = b thoa mãn phương trình ahjxj(a) = (h = 1, , p ≤ q), gia su chỳng đc lắp tuyen tớnh GQI J(x) cú dang b j k J(x) = Ajkx (a)x (a) 2ω(t, x, x˙ )dt, + a Ajk = Akj , 2ω có dang (1.29) Gia su đieu ki¾n làm manh cna Legendre (1.23) Khi J(x) dang Legendre A B GQI B(λ) (a ≤ λ ≤ b) t¾p cung x B có xj (t) = (λ ≤ t ≤ b) De kiem tra đưoc rang HQ có tính chat Muc 3.2.3 neu A đưoc thay bang B Ngồi ra, h¾ thúc B(λ − 0) = B(λ) (a < λ ≤ b) Bang l¾p lu¾n tương tn ví du o Muc 1.3, ta có the chúng minh đưoc: Bo đe 3.2.22 ([5]) Cho x l mđt cung A v t j(t) ωxj [s, x(s), x˙ (s)]ds + cj (3.17) = a Khi cung x J-trnc giao vái láp B(λ) (a < λ ≤ b) chs hang so cj (3.17) hang so eh đưac CHQN cho ξj (t) = ωx˙ j [t, x(t), x˙ (t)] (3.18) hau khap nơi a ≤ t ≤ λ, cho đieu ki¾n transversality Ajk xk(a) + ehahj = ξj(a) (3.19) tai t = a Neu xj(t) = ξj(t) = tai m®t điem cua a ≤ t ≤ λ, xj(t) ≡ a ≤ t ≤ λ Phát bieu cuoi đưoc suy tù lý thuyet phương trình vi phân Theo ket qua ta có H¾ qua 3.2.23 ([5]) Không ton tai J-transversal cua B(λ1) J-transversal cua B(λ2) neu λ1 ƒ= λ2 Đ%nh nghĩa 3.2.24 ([5]) Cung x J-trnc giao vói B đưoc GQI cung tiêu iem Mđt cung nh vắy l mđt ũng cnc tr% a ≤ t ≤ b thoa mãn đieu ki¾n transversality (3.19) Ta có ket qua sau: Đ%nh lý 3.2.25 ([5]) Giá tr% λ a < λ < b l mđt tiờu iem cua J(x) liờn hắ vỏi B(λ) (a ≤ λ ≤ b) chs ton tai m®t cung tiêu điem x ƒ= mà b% tri¾t tiêu tai t = λ B¾c cua tiêu iem bang vỏi so cung tiờu iem đc lắp tuyen tính t¾p cnc đai Ket qua đưoc suy tù h¾ qua sau Đ%nh lý 3.2.18 3.2.25 Neu B ∗ lóp cung B có xj (a) = 0, B ∗ (λ) lóp cung B∗ b% tri¾t tiêu λ ≤ t ≤ b, tiêu điem J liên h¾ vói B∗ (λ) (a ≤ λ ≤ b) đưoc GQI điem liên hap De thay rang neu p = tiêu điem điem liên hop không the trùng Theo Đ%nh lý 3.2.20 ta có Đ%nh lý 3.2.26 ([5]) Tiêu điem thú k cua J(x) liên h¾ vái B(λ) (a ≤ λ ≤ b) trưác (ho¾c trùng) vái điem liên hap thú k cua J(x), neu điem liên hap ton tai Ngoài ra, điem liên hap thú k phai trưác (ho¾c trùng) vái tiêu điem thú (k + q − p), neu tieu điem ton tai 3.3 SE ton tai nghi¾m cua tốn quy hoach tồn phương khơng loi không gian Hilbert Trong phan này, trình bày mà khơng chúng minh m®t úng dung khác cna dang Legendre dna theo báo [3] cna V.V Dong N.N Tam đăng tap chí Acta Math Vietnam Bài tốn quy hoach tồn phương có dang sau min f (x) := (x, T x) + (c, x) v.đ.k x ∈ H : gi(x) := (x, Tix) + (ci, x) + αi (QP) ≤ 0,  i = 1, 2, , m, H khơng gian Hilbert, T : H → H tốn tu tuyen tính liên tuc tn liên hop, Ti tốn tu tuyen tính liên tuc tn liên hop nua xác đ%nh dương H, c, ci ∈ H, α, αi so thnc, i = 1, 2, , m Neu Ti tốn tu khơng vói MQI i = 1, , m ta nói rang (QP) tốn quy hoach tốn phương dúi rng buđc tuyen tớnh v ký hiắu nú bang (QPL) min f (x) := (x, Tx) + (c, x)  v.đ.k x ∈ H : gi(x) := (ci, x) + αi ≤  (QPL) 0,  i = 1, 2, , m Neu T Ti đeu tốn tu khơng vói MQI i = 1, , m, (QP) tro thành tốn quy hoach tuyen tính ký hi¾u boi (LP) min f (x) :=  (c, x)v.đ.k x ∈ H : gi (x) := (ci , x) +  αi ≤ 0,  i = 1, 2, (LP) , m.rng buđc cna bi toỏn (QP) bang F Ta thưịng ký hi¾u F = {x ∈ H | gi(x) := (ci, x) + αi ≤ 0, i = 1, , m} Đ%nh nghĩa 3.3.1 ([2]) Nón lùi cna t¾p loi đóng khác rong X ⊂ H đưoc đ%nh nghĩa boi 0+X = {v ∈ H | x + tv ∈ X ∀x ∈ X ∀t ≥ 0} Bo đe 3.3.2 Neu F khác rőng, 0+F = {v ∈ H | Tiv = 0, (ci, v) ≤ ∀i = 1, , m} Ký hi¾u I = {1, , m}, I0 = {i ∈ I | Ti = 0}, I1 = I\I0 = {i ∈ I | Ti ƒ= 0} Đe thu đưoc ket qua chính, ta can su dung gia thiet sau: Gia thiet 3.3.3 ([3]) Neu I1 ƒ= ∅ v ∈ 0+F, (v, Tv) = ⇒ (ci, v) = ∀i ∈ I1 (3.20) Trong trưịngΣhop huu han chieu, đieu ki¾n (3.20) tương đương vói gia thiet rang véctơ hưóng lùi khác không v cna F thoa mãn (v, Tv) = hưóng co cna F (retractive direction, [1]) Trong trưịng hop vơ han chieu, đieu ki¾n (3.20) đưoc thoa neu mđt cỏc ieu kiắn sau ỳng: F b% ch¾n; Dang tồn phương (v, Tv) ƒ= vói MQI v ∈ 0+F\{0}, túc {v ∈ 0+F | (v, Tv) = 0} ≡ {0}; F t¾p đa di¾n ([2, Đ%nh nghĩa 2.195]), túc là, Ti = vói MQI i = 1, , m; ci = vói MQI i ∈ I1 Bây giị trình bày ket qua cna muc ve sn ton tai nghi¾m bang cách su dung tính chat Legendre cna dang tồn phương hàm muc tiêu đieu ki¾n (3.20) Đ%nh lý 3.3.4 ([3]) Xét tốn (QP), (x, Tx) m®t dang Legendre Gia su rang f b% ch¾n dưái t¾p F khác rőng đieu ki¾n (3.20) đưac thóa mãn Khi đó, tốn (QP) có nghi¾m H¾ qua 3.3.5 ([2]) Xét tốn quy hoach tồn phương ràng bu®c tuyen tính (QPL), (x, Tx) l mđt dang Legendre Gia su f b% chắn dưái t¾p F khác rőng Khi đó, tốn (QPL) có nghi¾m H¾ qua 3.3.6 ([3]) Xét tốn (QP), (x, T x) dang Legendre Gia su ci = vái MQI i ∈ I1 hàm mnc tiêu f b% ch¾n dưái t¾p F khác rőng Khi đó, tốn (QP) có nghi¾m H¾ qua 3.3.7 ([3]) Xét tốn (QP), (x, Tx) dang Legendre Gia su {v ∈ 0+F | (v, Tv) = 0} ≡ {0} hàm mnc tiêu f b% ch¾n dưái t¾p F khác rőng Khi đó, tốn (QP) có nghi¾m H¾ qua 3.3.8 ([3]) Cho (x, Tx) m®t dang Legendre H Gia su rang hàm toàn phương f (x) = (x, Tx) + (c, x) b% ch¾n dưái khơng gian Hilbert H Khi đó, ton tai x∗ ∈ H cho f (x∗ ) ≤ f (x) vái MQI x ∈ H Ket lu¾n chương Như v¾y, chương cna lu¾n văn trình bày úng dung cna dang Legendre giai tích bien phân, lý thuyet tiêu điem sn ton tai nghi¾m cna tốn quy hoach tồn phương khơng loi khơng gian Hilbert Chương xét tốn cu the: tìm cnc tieu cna m®t phiem hàm giai tích bien phân, tìm cung tiêu điem lý thuyet tiêu điem phan cuoi m®t so ket lu¾n ve sn ton tai nghi¾m cna tốn quy hoach tồn phương khơng loi khơng gian Hilbert Ket lu¾n Lu¾n văn vói đe tài “Dang Legendre úng dung” giai quyet đưoc nhung van đe sau: H¾ thong lai khái ni¾m tích trong, chuan, tính trnc giao, sn h®i manh, h®i tu yeu trong, liên tuc yeu, nua liên tuc dưói yeu khơng gian tuyen tính Trình bày khái ni¾m dang song tuyen tính, dang tồn phương, dang Legendre khơng gian tuyen tính lay ví du dang tồn phương liên tuc yeu, dang toàn phương nua liên tuc dưói yeu Trình bày tính chat Q-trnc giao cna dang tồn phương, véctơ Qtranversal, t¾p Q-tranversal, khái ni¾m chi so so khuyet cna dang toàn phương, dang tồn phương xác đ%nh dương khơng kỳ d%, dang tồn phương khơng suy bien Trình bày đieu ki¾n đe dang tồn phương dang Legendre Trình bày sơ lưoc ve lý thuyet bien phân cap hai úng dung cna dang Legendre lý thuyet giai tích bien phân Trình bày úng dung cna dang Legendre cho sn ton tai nghi¾m cna tốn quy hoach tồn phương khơng loi Tài li¾u tham khao [1]D.P Bertsekas and P Tseng (2007), “Set intersection theorems and exis- tence of optimal solutions”, Math Program, Vol 110, pp 287–314 [2]J.F Bonnans and A Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimiza- tion Problems, Springer [3]V.V Dong and N.N Tam (2017), “On the Solution Existence of Nonconvex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces”, Acta Math Vietnam, https://doi.org/10.1007/s40306-017-0237-9 [4]H.H Goldstine (2012), A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century, Springer Science & Business Media [5]M R Hestenes (1951), “Applications of the thoery of quadratic forms in Hilbert space to the calculus of variations”, Pacific J Math., Vol 1, pp 525–581 [6]W Karush (1942), Isoperimectric problems and index theorems in the calculus of variations, Dissertation, The University of Chicago, 1942 ... lu¾n 27 Chương Dang Legendre 28 2.1 Dang Legendre .28 2.2 Dang toàn phương tna không kỳ d% .32 2.3 C¾p Legendre 37 Ket lu¾n 41 Chương Úng dnng cua dang Legendre 42 3.1 Sơ... dang Legendre, cắp Legendre, dang tna Legendre cựng mđt so ỳng dung cna chúng Ngồi phan Mo đau, Ket lu¾n, Tài li¾u tham khao, lu¾n văn gom chương Chương Kien thúc chuan b % Chương Dang Legendre. .. khuyet cna dang Legendre huu han Ngồi ra, chúng tơi trình bày đieu ki¾n đe dang tồn phương dang Legendre 2.1 Dang Legendre Đ%nh nghĩa 2.1.1 ([5]) Dang toàn phương J(x) đưoc GQI dang Legendre neu