Dạng legendre và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ NGỌC MAI DẠNG LEGENDRE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ NGỌC MAI DẠNG LEGENDRE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội - Năm 2018 Mục lục Lời cảm ơn Danh sách ký hiệu Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giả thiết kiến thức chuẩn bị 1.2 Một số ví dụ 11 1.2.1 Minh họa I 11 1.2.2 Minh họa II 14 1.2.3 Minh họa III 17 1.3 Tính chất J-transversality 18 1.4 Tính nửa liên tục yếu dạng toàn phương 21 1.5 Dạng tồn phương có số số khuyết hữu hạn 23 1.6 Dạng toàn phương xác định dương không kỳ dị 25 Kết luận 27 Chương Dạng Legendre 28 2.1 Dạng Legendre 28 2.2 Dạng tồn phương tựa khơng kỳ dị 32 2.3 Cặp Legendre 37 Kết luận 41 Chương Ứng dụng dạng Legendre 42 3.1 Sơ lược giải tích biến phân 42 3.2 Ứng dụng dạng Legendre giải tích biến phân 45 3.3 3.2.1 Quy tắc nhân tử Lagrange 45 3.2.2 Dạng tựa Legendre 49 3.2.3 Lý thuyết tiêu điểm 52 3.2.4 Một ứng dụng lý thuyết tiêu điểm 56 Sự tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương khơng lồi khơng gian Hilbert 58 Kết luận 61 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội với hướng dẫn bảo tận tình PGS TS Nguyễn Năng Tâm Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn thầy Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy Khoa Tốn - Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2015 - 2017, có cơng lao dạy dỗ em suốt trình học tập Nhà trường Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên em để em hồn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, ngày 23 tháng năm 2018 Học viên Vũ Thị Ngọc Mai Danh sách ký hiệu A B B0 (x, y) |x| |x − y| xq → x0 xq ⇒ x0 L(x) B(x, y) Q(x) K(x, y) J(x) L2 S (a) mq i n Ajk (s, t) Rjk (t) Pjk (t) Qjk (t) H T Khơng gian tuyến tính Lớp A Tập véctơ Q-tranversal B Tích x y Chuẩn x Khoảng cách từ x tới y Dãy véctơ {xq } hội tụ yếu tới x0 Dãy véctơ {xq } hội tụ mạnh tới x0 Dạng tuyến tính Dạng song tuyến tính Dạng tồn phương Dạng song tuyến tính liên tục Dạng Legendre Khơng gian hàm bình phương khả tích Đoạn aj ≤ tj ≤ bj , j = 1, , p không gian p chiều Tập số a1 , , ar Căn bậc dương độ đo Sq Chỉ số dạng toàn phương Q(x) Số khuyết dạng toàn phương Q(x) Hàm bình phương khả tích Lebesgue S × S Hàm khả tích bị chặn cốt yếu S Hàm khả tích Hàm bình phương khả tích Khơng gian Hilbert Tốn tử tuyến tính tự liên hợp Mở đầu Giải tích biến phân lĩnh vực tốn giải tích mà sử dụng biến phân, mà thay đổi nhỏ hàm phiếm hàm, để tìm cực đại cực tiểu phiếm hàm Các phiếm hàm thường biểu diễn tích phân xác định hàm số đạo hàm chúng Một chương thú vị giải tích biến phân lý thuyết số Nó có hai khía cạnh, lý thuyết toàn cục lý thuyết phận nhỏ Một phần quan trọng lý thuyết phận nhỏ lý thuyết số biến phân cấp hai Lý thuyết biến phân cấp hai tiếp cận từ nhiều quan điểm Hestenes [5] người nghiên cứu liên hệ dạng tồn phương khơng gian Hilbert với lý thuyết biến phân cấp hai Một dạng toàn phương J(x) gọi thỏa mãn điều kiện làm mạnh Legendre biểu diễn dạng J(x) = D(x) − K(x), D(x) xác định dương K(x) liên tục tôpô yếu Về chất, điều kiện thỏa mãn hội tụ yếu hội tụ giá trị tương ứng J(x) kéo theo hội tụ mạnh Dạng J(x) mà thỏa mãn điều kiện thứ hai gọi dạng Legendre Trong Chương ta thấy dạng Legendre có số (âm) hữu hạn số khuyết hữu hạn Các số giải tích biến phân Ví dụ số khuyết dùng để miêu tả số nghiệm độc lập tuyến tính phương trình vi phân định phương trình vi tích phân thỏa mãn điều kiện biên cho trước Chỉ số dùng để miêu tả số dao động nghiệm phương trình vi phân Kết hệ lý thuyết tiêu điểm Sự tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương câu hỏi quan trọng thú vị lý thuyết tối ưu Trong tốn quy hoạch tồn phương lồi khơng lồi, tính chất Legendre dạng tồn phương trong hàm mục tiêu bỏ qua để đảm bảo tốn ln có nghiệm Các dẫn chứng bên phần nhỏ liên hệ đa dạng dạng Legendre với lý thuyết giải tích biến phân minh họa cách ứng dụng dạng Legendre toán quy hoạch toàn phương Trong luận văn này, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Năng Tâm, chúng tơi trình bày đề tài “Dạng Legendre ứng dụng” dựa theo báo “Applications of the thoery of quadratic forms in Hilbert space to the calculus of variations” Hestenes [5] báo “On the Solution Existence of Nonconvex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces” V.V Dong N.N Tam [3] Mục đích luận văn hệ thống lại số kiến thức dạng toàn phương khơng gian Hilbert, số tính chất dạng toàn phương, khái niệm số số khuyết dạng toàn phương, khái niệm dạng Legendre, cặp Legendre, dạng tựa Legendre số ứng dụng chúng Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Dạng Legendre Chương Ứng dụng dạng Legendre Chương Kiến thức chuẩn bị Trước tiên, chúng tơi xin trình bày khái niệm sở tảng tích trong, tính trực giao, tính Q-trực giao, hàm liên tục, hàm liên tục yếu, hàm nửa liên tục yếu, dạng tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng tồn phương, tính chất J-transversality, tính nửa liên tục yếu, khái niệm số số khuyết dạng toàn phương, khái niệm xác định dương khơng kỳ dị dạng tồn phương 1.1 Giả thiết kiến thức chuẩn bị Cho A khơng gian tuyến tính trường số thực Các phần tử A, gọi véctơ, ký hiệu x, y, z, Số thực, gọi số vô hướng, ký hiệu a, b, c, Tổng hai véctơ x y ký hiệu x + y, tích x với số vơ hướng b ký hiệu bx xb Lớp B A mà đóng kín đối phép cộng phép nhân vơ hướng gọi lớp tuyến tính A Số chiều B số véctơ độc lập tuyến tính B tập lớn gồm véctơ độc lập tuyến tính Tập véctơ x1 , , xn gọi sinh lớp tuyến tính B A gồm tất véctơ có dạng a1 x1 + · · · + an xn Nếu véctơ x1 , , xn độc lập tuyến tính, chúng tạo thành sở lớp B mà chúng sinh Một lớp tuyến tính B A gọi tổng trực tiếp lớp tuyến tính B1 , , Bn véctơ x B biểu diễn thành tổng x = x1 + · · · xn với xi Bi (i = 1, , n) véctơ tổng thuộc B Giả sử ta có hàm đối xứng (x, y) ánh xạ A × A vào tập số thực, gọi tích x y có tính chất sau: (a) (x, x) ≥ 0, dấu xảy x = 0, (b) (x, ay + bz) = a(x, y) + b(x, z), (c) tất dãy Cauchy có giới hạn, tức cho dãy {xq } thỏa mãn lim |xp − xq | = 0, p,q→∞ |x| = (x, x)1/2 , tồn véctơ x0 A cho lim |xq − x0 | = q→∞ (1.1) Đại lượng |x| ≡ (x, x)1/2 gọi chuẩn hay độ dài x thỏa mãn hệ thức |x| ≥ 0, |ax| = |a||x|, |(x, y)| ≤ |x||y|, |x + y| ≤ |x| + |y| Đại lượng |x − y| ký hiệu khoảng cách từ x tới y Hai véctơ x y gọi trực giao (x, y) = Véctơ x gọi trực giao với lớp B A trực giao với véctơ y B Hai lớp B C gọi trực giao véctơ x B trực giao với véctơ y C Tập tất véctơ trực giao với lớp B gọi phần bù trực giao B Định nghĩa 1.1.1 ([5]) Dãy véctơ {xq } gọi hội tụ mạnh tới véctơ x0 , ký hiệu xq ⇒ x0 , lim |xq − x0 | = q→∞ Nó gọi hội tụ yếu tới x0 , ký hiệu xq → x0 , lim (xq , y) = (x0 , y) q→∞ (1.2) với véctơ y A Nó bị chặn dãy chuẩn {|xq |} bị chặn Ký hiệu aq → a0 thường dùng để biểu thị dãy số {aq } hội tụ tới a0 Một tập đóng A hiểu tập đóng với phép hội tụ mạnh 3.2.2 Dạng tựa Legendre Như thấy trước phần 2.1, dạng toàn phương nảy sinh nghiên cứu tốn khơng tham số thỏa mãn điều kiện làm mạnh Legendre chúng dạng Legendre Điều khơng với dạng tồn phương J(x) mà nảy sinh nghiên cứu tốn có tham số Điều khó khăn nằm chỗ trường hợp lớp A0 gồm J-transversal A có số chiều vô hạn, mà dạng Legendre Ta chứng minh trường hợp J(x) dạng Legendre phần bù trực giao A0 điều kiện làm mạnh Legendre Dạng gọi dạng tựa Legendre Định nghĩa sau: Định nghĩa 3.2.5 ([5]) Dạng tồn phương Q(x) gọi dạng tựa Legendre A nửa liên tục yếu tựa khơng kỳ dị Theo Định lý 2.2.9, ta có Định lý 3.2.6 ([5]) Dạng toàn phương Q(x) dạng tựa Legendre A dạng Legendre phần bù trực giao Q-transversal A Ngoài ra, Q(x) dạng tựa Legendre tựa khơng kỳ dị có số hữu hạn A Một ứng dụng tính tựa không kỳ dị cho lý thuyết số sau: Định lý 3.2.7 ([5]) Cho Q(x) dạng tựa Legendre A ký hiệu A0 tập Q-transversal A Gọi A1 khơng gian tuyến tính đóng A ký hiệu A2 phần bù Q-trực giao A1 Cuối cùng, gọi C lớp tuyến tính cực đại gồm véctơ chung A1 A2 , khơng có véctơ khác khơng chung với A0 Khi số i Q(x) A xác định i = i1 + i2 + c, (3.11) i1 , i2 tương ứng số Q(x) A1 , A2 c số chiều C Nếu Q(x) có số khuyết hữu hạn n A, n1 , n2 tương ứng số khuyết Q(x) A1 , A2 , n2 = n + c = n1 + p, 49 (3.12) p số chiều lớp cực đại P gồm Q-transversal A khơng có x = chung với A1 Chứng minh Để chứng minh kết này, gọi B1 B2 lớp tuyến tính cực đại A1 A2 ma Q(x) âm Số chiều chúng i1 i2 Gọi B tổng trực tiếp lớp B1 , B2 C Số chiều k = i1 + i2 + c Rõ ràng Q(x) ≤ B Ngồi ra, khơng có véctơ x = thuộc B nằm A0 Xét véctơ x Q-transversal với B Véctơ x Q-trực giao với C trực giao với lớp Q-transversal A1 Theo Định lý 2.2.4, tồn véctơ x1 ∈ A1 x2 ∈ A2 cho x = x1 + x2 Vì x x1 Q-trực giao với B2 , nên x2 Do Q(x2 ) ≥ 0, theo Bổ đề 1.5.3 dấu xảy trường hợp x2 Q-transversal A2 Tương tự, ta có Q(x1 ) ≥ 0, dấu xảy trường hợp x1 Q-transversal A1 Q-transversal A2 Suy Q(x) = Q(x1 ) + Q(x2 ) ≥ 0, dấu xảy x Q-transversal A2 Từ kết ta thấy B lớp cực đại mà Q(x) ≤ không chứa Q-transversal A Do vậy, theo Định lý 1.5.4 số chiều B số chiều i Q(x) A Phát biểu cuối định lý suy từ định nghĩa C Kết thu Định lý 3.2.7 phát biểu lại theo cách sau: Định lý 3.2.8 ([5]) Cho Q(x) dạng tựa Legendre A ký hiệu A1 không gian tuyến tính đóng A Cho i, i1 tương ứng số Q(x) A, A1 Hiệu i − i1 số chiều lớp tuyến tính cực đại D A cho (a) D Q-trực giao với A1 (b) Q(x) ≤ D (c) D không chứa Q-transversal khác không A Nếu n, n1 tương ứng số khuyết Q(x) A, A1 m = i+n, m1 = i1 +n1 , m = m1 + e, e số chiều lớp tuyến tính cực đại E A cho 50 (a) lớp E Q-trực giao với A1 (b) lớp E không chứa phần tử x = chung với A1 (c) ta có Q(x) ≤ E Kết suy từ chứng minh Định lý 3.2.7 Định lý có nhiều ứng dụng giải tích biến phân Ta miêu tả vài số Các kết lớp A thay lớp A∗ Định lý 3.2.2 Các kết tương tự với tốn tích phân bội Trong ví dụ sau, A lớp miêu tả Ví dụ 1.2.5, J(x) dạng Legendre A Ví dụ 3.2.9 ([5]) Cho A1 lớp lớp tất cung A có x(a) = x(b) = Lớp E gồm cung J-trực giao với A1 lớp cung đường cực trị Gọi A∗ lớp tuyến tính A chứa A1 Áp dụng Định lý 3.2.7 với A∗ đóng vai trò A, ta thấy số i∗ J(x) A∗ xác định tổng i∗ = i1 + i2 + c, i1 số A1 , i2 số chiều lớp cực đại gồm đường cực trị A∗ mà J(x) âm, c số chiều lớp đường cực trị thuộc A1 A2 Trước tiến hành ví dụ ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.2.10 ([5]) Tồn số δ > cho J(x) > với cung x = A bị triệt tiêu số điểm đoạn a ≤ t ≤ b có độ dài δ Chứng minh Bởi ngược lại tập véctơ xq , x0 thỏa mãn điều kiện J(xq ) ≤ 0, |xq | = 1, xq → x0 , cho xq bị triệt tiêu đoạn a ≤ t ≤ b có độ dài 1/q Véctơ x0 hiển nhiên véctơ Vì J(x) nửa liên tục yếu, ta có J(xq ) → J(x0 ) = 0, xq ⇒ x0 = 0, mâu thuẫn với cách chọn xq véctơ đơn vị 51 Ví dụ 3.2.11 ([5]) Cho t1 < · · · < tr điểm a < t < b mà chia a ≤ t ≤ b thành đoạn có độ dài ≤ δ, δ có tính chất miêu tả Bổ đề 3.2.10 Gọi A1 lớp cung A mà bị triệt tiêu t0 = a, t1 , , tr , tr+1 = b Khi J(x) xác định dương A, theo Bổ đề 3.2.14 Lớp cung E J-trực giao với A1 lớp đường cực trị gấp khúc với góc t1 , , tr Gọi A∗ lớp tuyến tính đóng A chứa A1 , gọi A2 lớp đường cực trị gấp khúc A∗ Áp dụng Định lý 3.2.7 với A thay A∗ , ta thấy số i∗ J(x) A∗ với số i2 J(x) lớp A2 gồm đường cực trị gấp khúc A∗ Ví dụ 3.2.12 ([5]) Cho A∗ lớp cung A bị triệt tiêu t = b, ký hiệu A1 lớp cung A∗ bị triệt tiêu đoạn t0 ≤ t ≤ b, t0 > a Gọi A2 lớp cung A∗ J-trực giao với A1 Nếu J(x) có dạng (1.27) cung x A∗ thuộc A2 đoạn a ≤ n ≤ t0 nghiệm phương trình Euler thỏa mãn điều kiện transversality t = a Suy trường hợp cung x = thuộc A1 A2 tồn vả tồn đường cực trị thỏa mãn điều kiện transversality t = a bị triệt tiêu t = t0 Số đường cực trị độc lập tuyến tính kiểu này, mà khơng có tổ hợp tuyến tính chúng đồng không t0 ≤ t ≤ b, số c Định lý 3.2.20 Như ta thấy c bậc t0 tiêu điểm toán Theo Bổ đề 3.2.14, ta có c = i1 = t0 ≤ a + δ 3.2.3 Lý thuyết tiêu điểm Lý thuyết tiêu điểm điểm liên hợp giải tích biến phân mở rộng để áp dụng dạng tựa Legendre J(x) không gian Hilbert A Sự liên hệ kết phát triển kết giải tích biến phân trình bày phần Giả thiết 3.2.13 ([5]) Giả sử tồn họ lớp tuyến tính đóng tham số A(λ) (λ ≤ λ ≤ λ ) A thỏa mãn (a) A(λ ) lớp không A(λ ) = A, (b) A(λ1 ) lớp A(λ2 ) λ1 < λ2 , 52 (c) λ ≤ λ0 < λ lớp A(λ0 ) giao tất lớp A(λ) với λ0 < λ ≤ λ Bổ đề 3.2.14 ([5]) Nếu λ < λ < λ giới hạn trái i(λ − 0) với số J(x) lớp A(λ − 0) miêu tả bên Nói riêng A(λ − 0) = A(λ) i(λ − 0) = i(λ) Chứng minh Xét giá trị λ0 λ < λ ≤ λ , gọi h số J(x) A(λ0 −0) Rõ ràng i(λ) ≤ h λ < λ0 Ta tồn giá trị λ1 < λ0 cho i(λ1 ) = h0 Điều hiển nhiên h = Do ta giả sử h > 0, gọi x1 , , xh sở lớp tuyến tính cực đại B A(λ0 − 0) mà J(x) < Với số nguyên p ≤ h chọn dãy {xpr } hợp lớp A(λ) (λ ≤ λ < λ0 ) hội tụ mạnh tới xp Khi ta có lim J(xpr , xqr )ap aq = J(xp , xq )ap aq < (p, q = 1, , h) r=∞ với tập a1 , , ah không đồng thời khơng Do tồn số ngun r cho J(xpr , xqr )ap aq < trừ tất a không Chọn λ1 < λ0 cho x1r , , xhr thuộc A(λ1 ) Theo Định lý 1.5.4, ta có i(λ1 ) ≥ h i(λ1 ) = h, điều phải chứng minh Bổ đề 3.2.15 ([5]) Cho B(λ) (λ < λ ≤ λ ) không gian tuyến tính cực đại A(λ) cho (a) B(λ) J-trực giao với A(λ1 ) λ1 < λ, (b) J(x) ≤ B(λ), (c) khơng có x = B(λ) J-trực giao với A(λ) Khi ta có i(λ) = i(λ − 0) + b(λ), b(λ) số chiều B(λ) Nếu A(λ − 0) = A(λ) (λ < λ < λ ), b(λ) = (λ < λ < λ ) 53 Kết suy từ Bổ đề 3.2.14 Định lý 3.2.8 B(λ) J-trực giao với lớp A(λ − 0) Bổ đề 3.2.16 ([5]) Trên đoạn λ < λ < λ , giới hạn bên phải i(λ + 0) xác định công thức i(λ + 0) = i(λ) + c(λ), c(λ) số chiều lớp tuyến tính đóng cực đại C(λ) gồm J-transversal A(λ) với tính chất khơng có x = C(λ) J-trực giao với lớp A(λ1 ) với λ1 > λ Nói riêng, ta có i(λ + 0) = Chứng minh Dễ thấy hai lớp có tính chất C(λ) có số chiều Ngồi ra, theo Định lý 1.5.4, ta có i(λ) + c(λ) ≤ i(λ1 ) λ < λ1 Do có nhiều hữu hạn số điểm c(λ) = Do đó, cho giá trị λ0 λ ≤ λ < λ , ta chọn λ1 cho c(λ) = λ0 < λ ≤ λ1 Gọi D(λ0 ) lớp J-transversal λ0 mà J-transversal A(λ) với λ > λ0 Theo cách chọn λ1 , véctơ D(λ0 ) J-transversal A(λ) (λ0 ≤ λ ≤ λ1 ) Ta giả sử C(λ0 ) trực giao với D(λ0 ) Gọi B lớp tuyến tính cực đại A(λ0 ) mà J(x) âm Số chiều i(λ0 ) Gọi P(λ) (λ0 ≤ λ ≤ λ1 ) lớp véctơ A(λ) mà J-trực giao với B trực giao với C(λ0 ) D(λ0 ) Tồn giá trị λ2 λ0 < λ ≤ λ1 cho J(x) dương P(λ) Nếu vậy, với số nguyên r ta tìm véctơ P(λ0 + 1/r) cho |xr | = 1, J(xr ) ≤ Dãy {xr } chọn cho hội tụ yếu tới véctơ x0 Rõ ràng từ tính chất (c) lớp A(λ), x0 ∈ A(λ) thuộc P(λ0 ) Cho nên J(x) ≥ 0, dấu xảy trường hợp x0 = J(x) nửa liên tục yếu dưới, ta có ≥ lim sup J(xr ) ≥ lim inf J(xr ) ≥ J(x0 ) ≥ r=∞ r=∞ Suy J(x0 ) = 0, x0 = Ta xr → 0, J(xr ) → Vì J(x) dạng Legendre P(λ1 ), kết trường hợp xr ⇒ 0, mẫu thuẫn với |xr | = Bổ đề 3.2.16 chứng minh Hệ 3.2.17 ([5]) Nếu không tồn véctơ x = 0, mà đồng thời Jtransversal A(λ1 ) A(λ2 ) với giá trị phân biệt λ1 λ2 54 λ ≤ λ ≤ λ , i(λ + 0) = i(λ) + n(λ) (λ ≤ λ ≤ λ ), n(λ) số khuyết J(x) A(λ) Điểm λ mà i(λ) rời rạc gọi tiêu điểm J(x) liên hệ với A(λ) (λ ≤ λ ≤ λ ), hiệu f (λ) = i(λ + 0) − i(λ − 0) gọi bậc tiêu điểm λ Đặt i(λ + 0) = i(λ ) i(λ − 0) = i(λ ) Theo Bổ đề 3.2.16, f (λ ) = Kết hợp kết ba bổ đề bên ta thu được: Định lý 3.2.18 ([5]) Bậc f (λ) tiêu điểm λ J(x) liên hệ với A(λ) (λ ≤ λ ≤ λ ) xác định công thức f (λ) = b(λ) + c(λ), b(λ) xác định Bổ đề 3.2.15 với b(λ ) = 0, c(λ) xác định Bổ đề 3.2.16 với c(λ ) = Ta có f (λ ) = Nếu λ < λ ≤ λ , f (λ) số chiều lớp tuyến tính cực đại J (λ) A(λ) cho (a) J (λ) J-trực giao với A(λ1 ) λ1 < λ, (b) J(x) ≤ J (λ), (c) không tồn x = thuộc J (x) J-trực giao với lớp A(λ2 ) với λ2 > λ λ < λ với λ2 = λ λ = λ Hệ 3.2.19 ([5]) Nếu A(λ − 0) = A(λ) (λ < λ < λ ) khơng có véctơ x = J-trực giao với A(λ1 ) A(λ2 ) λ1 = λ2 f (λ ) = f (λ ) = 0, f (λ) số khuyết J(x) A(λ) (λ < λ < λ ) Ta thiết lập định lý dao động cho phương trình vi phân cấp hai sau: Định lý 3.2.20 ([5]) Cho A∗ khơng gian tuyến tính A Ký hiệu A∗ (λ) (λ ≤ λ ≤ λ ) tập véctơ A∗ thuộc A(λ) Các lớp A∗ (λ) có tính chất (a), (b), (c) Giả thiết 3.2.13 với A thay A∗ Gọi λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λm tiêu điểm J(x) liên hệ với A(λ) (λ ≤ λ ≤ λ ), gọi 55 λ∗1 ≤ λ∗2 ≤ · · · ≤ λ∗m tiêu điểm J(x) liên hệ với A∗ (λ) (λ ≤ λ ≤ λ ), điểm lặp lại số lần số bậc Khi hệ thức λr ≤ λ∗r (r = 1, , m∗ ) (3.13) Nếu A∗ phần bù trực giao lớp tuyến tính D có số chiều k, λ∗r ≤ λr+k (3.14) miễn r + k ≤ m Chứng minh Bất đẳng thức (3.13) suy từ kết số i(λ) i∗ (λ) J(x) A(λ) A∗ (λ) thỏa mãn hệ thức i(λ) ≥ i ∗ (λ) Nếu A∗ phần bù trực giao lớp tuyến tính D có số chiều k, theo Định lý 1.5.10 i(λ) ≤ i∗ (λ) + k Do (3.14) Định lý so sánh phương trình vi phân bậc hai thu từ định lý sau: Định lý 3.2.21 ([5]) Cho J ∗ (x) dạng toàn phương thứ hai A cho J ∗ (x) ≥ J(x) A Gọi λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λm λ∗1 ≤ λ∗2 ≤ · · · ≤ λ∗m∗ tương ứng tiêu điểm J(x) J ∗ (x) liên hệ với A(λ) (λ ≤ λ ≤ λ ), điểm lặp lại số lần số bậc chúng Khi bất đẳng thức λr ≤ λ∗r (r = 1, , m∗ ) (3.15) Nếu J(x) = J ∗ (x) trường hợp x = A(λ − 0) = A(λ), λr < λ∗r (r = 1, , m∗ ) (3.16) Kết suy từ Định lý 1.5.9 3.2.4 Một ứng dụng lý thuyết tiêu điểm Xét lớp B gồm tất cung x : xj (t) (j = 1, , q, a ≤ t ≤ b) lớp A Ví dụ 1.2.5 bị triệt tiêu t = b thỏa mãn phương trình ahj xj (a) = (h = 1, , p ≤ q), 56 giả sử chúng độc lập tuyến tính Gọi J(x) có dạng b J(x) = Ajk xj (a)xk (a) + 2ω(t, x, x)dt, ˙ a Ajk = Akj , 2ω có dạng (1.29) Giả sử điều kiện làm mạnh Legendre (1.23) Khi J(x) dạng Legendre A B Gọi B(λ) (a ≤ λ ≤ b) tập cung x B có xj (t) = (λ ≤ t ≤ b) Dễ kiểm tra họ có tính chất Mục 3.2.3 A thay B Ngoài ra, hệ thức B(λ − 0) = B(λ) (a < λ ≤ b) Bằng lập luận tương tự ví dụ Mục 1.3, ta chứng minh được: Bổ đề 3.2.22 ([5]) Cho x cung A đặt t ξj (t) = ωxj [s, x(s), x(s)]ds ˙ + cj (3.17) a Khi cung x J-trực giao với lớp B(λ) (a < λ ≤ b) số cj (3.17) số eh chọn cho ξj (t) = ωx˙ j [t, x(t), x(t)] ˙ (3.18) hầu khắp nơi a ≤ t ≤ λ, cho điều kiện transversality Ajk xk (a) + eh ahj = ξj (a) (3.19) t = a Nếu xj (t) = ξj (t) = điểm a ≤ t ≤ λ, xj (t) ≡ a ≤ t ≤ λ Phát biểu cuối suy từ lý thuyết phương trình vi phân Theo kết ta có Hệ 3.2.23 ([5]) Không tồn J-transversal B(λ1 ) J-transversal B(λ2 ) λ1 = λ2 Định nghĩa 3.2.24 ([5]) Cung x J-trực giao với B gọi cung tiêu điểm 57 Một cung đường cực trị a ≤ t ≤ b thỏa mãn điều kiện transversality (3.19) Ta có kết sau: Định lý 3.2.25 ([5]) Giá trị λ a < λ < b tiêu điểm J(x) liên hệ với B(λ) (a ≤ λ ≤ b) tồn cung tiêu điểm x = mà bị triệt tiêu t = λ Bậc tiêu điểm λ với số cung tiêu điểm độc lập tuyến tính tập cực đại Kết suy từ hệ sau Định lý 3.2.18 3.2.25 Nếu B ∗ lớp cung B có xj (a) = 0, B ∗ (λ) lớp cung B ∗ bị triệt tiêu λ ≤ t ≤ b, tiêu điểm J liên hệ với B ∗ (λ) (a ≤ λ ≤ b) gọi điểm liên hợp Dễ thấy p = tiêu điểm điểm liên hợp trùng Theo Định lý 3.2.20 ta có Định lý 3.2.26 ([5]) Tiêu điểm thứ k J(x) liên hệ với B(λ) (a ≤ λ ≤ b) đứng trước (hoặc trùng) với điểm liên hợp thứ k J(x), điểm liên hợp tồn Ngoài ra, điểm liên hợp thứ k phải đứng trước (hoặc trùng) với tiêu điểm thứ (k + q − p), tiểu điểm tồn 3.3 Sự tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương khơng lồi khơng gian Hilbert Trong phần này, chúng tơi trình bày mà không chứng minh ứng dụng khác dạng Legendre dựa theo báo [3] V.V Dong N.N Tam đăng tạp chí Acta Math Vietnam Bài tốn quy hoạch tồn phương có dạng sau    f (x) := 21 (x, T x) + (c, x)    v.đ.k x ∈ H : gi (x) := 12 (x, Ti x) + (ci , x) + αi ≤ 0,     i = 1, 2, , m, (QP) H khơng gian Hilbert, T : H → H tốn tử tuyến tính liên tục tự liên hợp, Ti tốn tử tuyến tính liên tục tự liên hợp nửa xác định dương H, c, ci ∈ H, α, αi số thực, i = 1, 2, , m 58 Nếu Ti tốn tử khơng với i = 1, , m ta nói (QP) toán quy hoạch toán phương ràng buộc tuyến tính ký hiệu (QPL)    f (x) := 12 (x, T x) + (c, x)    v.đ.k x ∈ H : gi (x) := (ci , x) + αi ≤ 0,     i = 1, 2, , m (QPL) Nếu T Ti tốn tử khơng với i = 1, , m, (QP) trở thành tốn quy hoạch tuyến tính ký hiệu (LP)    f (x) := (c, x)    v.đ.k x ∈ H : gi (x) := (ci , x) + αi ≤ 0,     i = 1, 2, , m (LP) Ta thường ký hiệu tập ràng buộc toán (QP) F F = {x ∈ H | gi (x) := (ci , x) + αi ≤ 0, i = 1, , m} Định nghĩa 3.3.1 ([2]) Nón lùi tập lồi đóng khác rỗng X ⊂ H định nghĩa 0+ X = {v ∈ H | x + tv ∈ X ∀x ∈ X ∀t ≥ 0} Bổ đề 3.3.2 Nếu F khác rỗng, 0+ F = {v ∈ H | Ti v = 0, (ci , v) ≤ ∀i = 1, , m} Ký hiệu I = {1, , m}, I0 = {i ∈ I | Ti = 0}, I1 = I\I0 = {i ∈ I | Ti = 0} Để thu kết chính, ta cần sử dụng giả thiết sau: Giả thiết 3.3.3 ([3]) Nếu I1 = ∅ v ∈ 0+ F, (v, T v) = ⇒ (ci , v) = ∀i ∈ I1 (3.20) Trong trường hợp hữu hạn chiều, điều kiện (3.20) tương đương với giả thiết véctơ hướng lùi khác không v F thỏa mãn (v, T v) = hướng co F (retractive direction, [1]) Trong trường hợp vô hạn chiều, điều kiện (3.20) thỏa mãn điều kiện sau đúng: 59 F bị chặn; Dạng toàn phương (v, T v) = với v ∈ 0+ F \{0}, tức {v ∈ 0+ F | (v, T v) = 0} ≡ {0}; F tập đa diện ([2, Định nghĩa 2.195]), tức là, Ti = với i = 1, , m; ci = với i ∈ I1 Bây trình bày kết mục tồn nghiệm cách sử dụng tính chất Legendre dạng toàn phương hàm mục tiêu điều kiện (3.20) Định lý 3.3.4 ([3]) Xét tốn (QP), (x, T x) dạng Legendre Giả sử f bị chặn tập F khác rỗng điều kiện (3.20) thỏa mãn Khi đó, tốn (QP) có nghiệm Hệ 3.3.5 ([2]) Xét tốn quy hoạch tồn phương ràng buộc tuyến tính (QPL), (x, T x) dạng Legendre Giả sử f bị chặn tập F khác rỗng Khi đó, tốn (QPL) có nghiệm Hệ 3.3.6 ([3]) Xét tốn (QP), (x, T x) dạng Legendre Giả sử ci = với i ∈ I1 hàm mục tiêu f bị chặn tập F khác rỗng Khi đó, tốn (QP) có nghiệm Hệ 3.3.7 ([3]) Xét tốn (QP), (x, T x) dạng Legendre Giả sử {v ∈ 0+ F | (v, T v) = 0} ≡ {0} hàm mục tiêu f bị chặn tập F khác rỗng Khi đó, tốn (QP) có nghiệm Hệ 3.3.8 ([3]) Cho (x, T x) dạng Legendre H Giả sử hàm toàn phương f (x) = 21 (x, T x) + (c, x) bị chặn khơng gian Hilbert H Khi đó, tồn x∗ ∈ H cho f (x∗ ) ≤ f (x) với x ∈ H 60 Kết luận chương Như vậy, chương luận văn trình bày ứng dụng dạng Legendre giải tích biến phân, lý thuyết tiêu điểm tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương khơng lồi khơng gian Hilbert Chương xét tốn cụ thể: tìm cực tiểu phiếm hàm giải tích biến phân, tìm cung tiêu điểm lý thuyết tiêu điểm phần cuối số kết luận tồn nghiệm toán quy hoạch tồn phương khơng lồi khơng gian Hilbert 61 Kết luận Luận văn với đề tài “Dạng Legendre ứng dụng” giải vấn đề sau: Hệ thống lại khái niệm tích trong, chuẩn, tính trực giao, hội mạnh, hội tụ yếu trong, liên tục yếu, nửa liên tục yếu khơng gian tuyến tính Trình bày khái niệm dạng song tuyến tính, dạng tồn phương, dạng Legendre khơng gian tuyến tính lấy ví dụ dạng toàn phương liên tục yếu, dạng toàn phương nửa liên tục yếu Trình bày tính chất Q-trực giao dạng toàn phương, véctơ Qtranversal, tập Q-tranversal, khái niệm số số khuyết dạng toàn phương, dạng tồn phương xác định dương khơng kỳ dị, dạng tồn phương khơng suy biến Trình bày điều kiện để dạng tồn phương dạng Legendre Trình bày sơ lược lý thuyết biến phân cấp hai ứng dụng dạng Legendre lý thuyết giải tích biến phân Trình bày ứng dụng dạng Legendre cho tồn nghiệm toán quy hoạch tồn phương khơng lồi 62 Tài liệu tham khảo [1] D.P Bertsekas and P Tseng (2007), “Set intersection theorems and existence of optimal solutions”, Math Program, Vol 110, pp 287–314 [2] J.F Bonnans and A Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer [3] V.V Dong and N.N Tam (2017), “On the Solution Existence of Nonconvex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces”, Acta Math Vietnam, https://doi.org/10.1007/s40306-017-0237-9 [4] H.H Goldstine (2012), A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century, Springer Science & Business Media [5] M R Hestenes (1951), “Applications of the thoery of quadratic forms in Hilbert space to the calculus of variations”, Pacific J Math., Vol 1, pp 525–581 [6] W Karush (1942), Isoperimectric problems and index theorems in the calculus of variations, Dissertation, The University of Chicago, 1942 63 ... x) dạng Legendre Dạng Legendre thường ký hiệu J(x) dạng song tuyến tính tương ứng ký hiệu J(x, y) Ta thấy ứng dụng vào giải tích biến phân, dạng Legendre dạng thỏa mãn điều kiện làm mạnh Legendre. .. kiến thức dạng tồn phương khơng gian Hilbert, số tính chất dạng tồn phương, khái niệm số số khuyết dạng toàn phương, khái niệm dạng Legendre, cặp Legendre, dạng tựa Legendre số ứng dụng chúng... kiện để dạng toàn phương dạng Legendre 2.1 Dạng Legendre Định nghĩa 2.1.1 ([5]) Dạng toàn phương J(x) gọi dạng Legendre (a) nửa liên tục yếu A (b) xq ⇒ x0 xq → x0 J(xq ) → J(x0 ) Ví dụ 2.1.2 Dạng