Bài toán cân bằng đa trị

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN HỒNG TH± KIM HUE BÀI TỐN CÂN BANG ĐA TR± LU¼N VĂN THAC SY KHOA HOC Chuyên ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60.46.01.02 Ngưài hưáng dan khoa HQC PGS TSKH NGUYEN BÁ MINH HÀ N®I- 2013 Mnc lnc Ma đau M®t so tính chat cua ánh xa đa tr% theo nón 1.1 Khái ni¾m nón 1.2 Khái ni¾m điem huu hi¾u 1.3 Tính liên tuc theo nón cna ánh xa đa tr% 1.4 Tính loi theo nón cna ánh xa đa tr% 18 1.5 Tính Lipschitz theo nón cna ánh xa đa tr% 25 Bài toán cân bang vectơ đa tr% 37 2.1 Bài toán cân bang vơ hưóng tốn liên quan 37 2.1.1 Bài tốn cân bang vơ hưóng 37 2.1.2 M®t so toán liên quan .38 2.1.3 Sn ton tai nghi¾m cna tốn cân bang vơ hưóng .40 2.2 Bài tốn điem cân bang véctơ đa tr% 47 2.2.1 Bài toán điem cân bang véctơ đa tr% 47 2.2.2 Sn ton tai nghi¾m cna toán điem cân bang véctơ đa tr% 50 2.3 Úng dung cna toán cân bang đa tr% vào m®t so tốn 59 2.3.1 Sn ton tai điem huu hi¾u cna t¾p hop 59 2.3.2 Sn ton tai nghi¾m cna tốn toi ưu véctơ 60 2.3.3 Sn ton tai nghi¾m cna tốn điem n ngna 62 2.3.4 Sn ton tai điem cân bang Nash .65 Ket lu¾n 68 Tài li¾u tham khao 69 Ma đau Ánh xa đa tr% xuat hi¾n so cna nhung tốn thnc te kinh te, ky thu¾t nhung yêu cau phát trien n®i tai cna nhieu lĩnh vnc Toán HQc Lý thuyet toán cân bang đa tr%, phát trien manh me nhieu th¾p ky gan Nhieu nhà tốn HQc ngồi nưóc có nhung đóng góp quan TRQNG lĩnh vnc Đoi vói tốn HQ c, tốn điem cân bang đưoc biet đen tù lâu boi cơng trình cna Arrow - Debreu([8]), Nash([7]), Sau tốn đưoc phát bieu ngan GQN sau: Tìm x ∈ K đe f (x, y) > vói MQI y ∈ K K t¾p cho trúc cna mđt khụng gian, f : K ì K −→ R hàm so vói f (x, x) = vói MQI x ∈ K Bài tốn bao gom toán : toi ưu, cân bang Nash, toán điem yên ngna, toán bù, Blum Oettli ([6]) nghiên cúu f có dang f = g + h g thoa mãn đieu ki¾n cna đ%nh lý Browder - Minty ([9]) h thoa mãn đieu ki¾n cna Đ%nh lý Ky Fan ([10]) Năm 1991, Blum Oettli([6]) phát bieu tốn cân bang tőng qt tìm cách liên ket toán cna Ky Fan Browder - Minty vói thành dang chung cho ca hai Sau N.X.Tan P.N.Tĩnh mo r®ng ket qua cna Blum Oettli cho trưòng hop f hàm véctơ Lu¾n văn trình bày"Bài tốn cân bang đa tr%" dna hai báo : "On the continuity of vector convex multivalued functions Acta Math Vietnam 27 (2002), no, 1, 13-25" "Some sufficient conditions for the existence of equilibrium points concering multivalued mappings, Vietnam J Math.28:4(2000), 295 - 310" cna tác gia Nguyen Bá Minh Nguyen Xuân Tan Lu¾n văn gom phan mo đau , phan ket lu¾n, danh muc tài li¾u tham khao hai chương vói n®i dung sau Chương 1:" M®t so tính chat cna ánh xa đa tr% theo nón " trình bày khái ni¾m, tính chat cna nón, điem huu hi¾u khơng gian tơpơ tuyen tính, khái ni¾m ve tính liên tuc, tính loi, tính Lipschitz theo nón cna ánh xa đa tr % Đong thịi t¾p hop ket qua nghiên cúu ve đieu ki¾n can đn đe ánh xa đa tr% C- liên tuc trên, C- liên tuc dưói, moi liên h¾ giua tính liên tuc, tính loi cna ánh xa đa tr% vói tính liên tuc, tính loi cna hàm vơ hưóng moi liên h¾ giua tính liên tuc, tính loi vói tính Lipschitz đ%a phương Chương 2:" Bài tốn cân bang véctơ đa tr% " trình bày tốn cân bang đa tr% m®t so úng dung cna Phan đau chương trình bày tốn cân bang vơ hưóng cna Blum-Oettli, tốn đưa ve tốn cân bang vơ hưóng đieu ki¾n đn đe tốn cân bang vơ hưóng ton tai iem cõn bang Nđi dung chớnh cna luắn l trình bày tốn cân bang đa tr% dang F = G + H G ánh xa đa tr%, H ánh xa đơn tr% vói tính chat khác đieu ki¾n đn đe tốn cân bang đa tr% có điem cân bang (cân bang yeu) Cuoi chương úng dung cna tốn cân bang đa tr% vói tốn liên quan tốn điem huu hi¾u cna t¾p hop, toán toi ưu véctơ, toán điem yên ngna véctơ tốn cân bang Nash véctơ Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên - Đai HQc Quoc Gia Hà N®i , dưói sn hưóng dan cna PGS.TSKH Nguyen Bá Minh Tác gia chân thành cam ơn thay Minh t¾n tình hưóng dan, chi bao giúp đõ tác gia thnc hi¾n nghiên cúu theo đe tài cna lu¾n văn Tác gia xin bày to lòng biet ơn thay giáo, giáo Ban Giám Hi¾u, Ban Chn Nhi¾m Khoa Tốn - Tin trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên ban bè đong nghi¾p quan tâm, giúp đõ tao đieu ki¾n tot nhat cho tác gia HQc v nghiờn cỳu Do trỡnh đ v thịi gian cịn nhieu han che nên lu¾n văn khơng tránh đưoc nhung thieu xót Vì v¾y tác gia mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna thay giáo, cô giáo ban bè đe tác gia hồn thi¾n tot lu¾n văn Tác gia chân thành cam ơn! Chương M®t so tính chat cua ánh xa đa tr% theo nón Chương trình bày m®t so khái ni¾m, tính chat cna nón, điem huu hi¾u khơng gian tơpơ tuyen tính, tính liên tuc, tính loi, tính Lipschitz theo nón cna ánh xa đa tr% Phan đau cna chương, nghiên cúu khái ni¾m, tính chat cna nón khái ni¾m điem huu hi¾u Tiep theo sn mo r®ng đ%nh lý Banach- Steihaus cho m®t HQ hàm loi, lõm khơng gian thùng dna vào đe xây dnng đưoc đieu ki¾n can đn ve tính C- liên tuc ho¾c dưói cna ánh xa đa tr% Tính Cliên tuc yeu cna ánh xa đa tr% đưoc xét tói ta thay đưoc đieu ki¾n đe ánh xa đa tr% C- liên tuc (dưói) yeu, sn mo r®ng cna trưịng hop vơ hưóng: m®t hàm loi nua liên tuc dưói tù khơng gian tơpơ tuyen tính loi đ%a phương Hausdorff vào khơng gian so thnc nua liên tuc dưói theo tơpơ yeu M®t so đieu ki¾n liên h¾ giua tính C- liên tuc C- liên tuc dưói cna ánh xa đa tr% loi (lõm) theo nón C đưoc trình bày chương Phan cuoi chương, ta trình bày m®t so đieu ki¾n đe ánh xa đa tr% Lipschitz đ%a phương theo nón, moi liên h¾ giua tính Lipschitz đ%a phương vói tính loi, tính liên tuc Chương đưoc viet dna cuon sách ([1]) báo ([4]) 1.1 Khái ni¾m nón Trong toi ưu hóa khái niắm ve nún cú mđt vai trũ quan TRQNG Tự khái ni¾m, nón ta t¾p hop nghiên cúu ve iem huu hiắu cna mđt hop, tớnh loi, tớnh liên tuc tính Lipchitz cna ánh xa đa tr% theo nón Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho Y khơng gian tuyen tính C ⊆ Y C nón có đsnh tai goc Y neu tc ∈ C, vái MQI c ∈ C, t “ Nón có đinh tai goc GQI ngan GQN nón Nón C đưoc GQI nón loi neu C t¾p loi Nón C đưoc GQI nón đóng neu C t¾p đóng Gia su C nón khơng gian tơpơ tuyen tính Y Ta có kí hi¾u sau: clC : bao đóng cna nón C , intC: phan cna nón C , convC : bao loi cna C , l(C) = C ∩ (−C) Nón C đưoc GQI nón NHQN neu l(C) = {0} Nón C đưoc GQI nón sac neu cl(C) nón NHQN Nón C đưoc gQI nón neu cl(C) + C\cl(C) ⊆ C Ta xây dnng quan h¾ thú tn tùng phan Y vói nón C sau: Vói x, y ∈ Y x ≥ y neu x − y ∈ C x > y neu x − y ∈ C\l(C) x y neu x − y ∈ intC Quan h¾ thú tn có tính chat phan xa, phan đoi xúng bac cau Neu C nón loi quan h¾ thú tn tuyen tính nên quan h¾ thú tn tùng phan Y Neu C nón NHQN quan h¾ có tính chat phan đoi xúng túc x ≥ y, y ≥ x x = y Tiep theo ta se minh HQA m®t so ví du m®t so khơng gian Ví dn 1.1.1 1, [0], Y đeu nón Y GQI nón tam thưịng 2, T¾p nghi¾m cna h¾ bat phương trình tuyen tính có dang: C := {x|Ax ≥ 0}(Vói A mđt ma trắn thnc cap huu han (so dũng v so cđt l huu han)) l nún loi a diắn Σ Σp p 3, Cho Y = Lp = (x1 , x2 , )|i= |xi | < ∞ vói ≤ p < ∞ Lay C = {x ∈ Lp |xi ≥ 0, i =11, } C nón loi, NHQN Th¾t v¾y: C nón ∀c ∈ C ⇒ c = (c1, c2, ) , ci ≥ 0, i = 1, 2, Do đó: vói ∀t ≥ ta có: tc = (tc1, tc2, ) , tci ≥ ⇒ tc ∈ C, ∀c ∈ C, t ≥ 0; C loi vói x = (x1, x2, ) ∈ Lp, xi ≥ 0, y = (y1, y2, ) ∈ Lp, yi ≥ 0, i = 1, 2, ⇒ ∀α ∈ (0, 1) αxi + (1 − α)yi ≥ ⇒ αx + (1 − α)y ≥ 0; C nón NHQN (−C) = {x ∈ Lp |xi ≤ 0, i = 1, } ⇒ l(C) = C ∩ (−C) = {0} 4, Cho Y = Rn = {x = (x1, x2, , xn)|xj ∈ R, j = 1, , n} n Lay C = R += {y = (y1, y2, , yn)|yj ≥ 0, j = 1, , n} C nón loi, đóng, NHQN GQI nón Othor dương Quan h¾ thú tn C đưoc xác đ%nh sau: Cho x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn, y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn x ≥ y neu xj ≥ yj vói ∀j = 1, , n; Neu nón C = {x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn|x1 ≥ 0} C nón loi, đóng khơng NHQN Vì (l(C) = {x = (0, x2 , , xn ) ∈ Rn } = {0}) 5, Cho Y = Rn = {x = (x1, x2, , xn)|xj ∈ R, j = 1, , n} Gia su t¾p loi C đưoc cho boi C := x Rn < aj, x >b , j = 1, , m Σ t¾p chi so tích cnc tai x Vói x C , đ¾t J (x) =Σ j < aj , x >= b GQI ∈n | ∈ | Khi TC (x) = y ∈ R |< aj , y >≤ 0, j ∈ J (x) nón đưoc GQI ≤j nón tiep xúc; Σ Σ j NC (x) = cone(aj, j ∈ J (x)) = y 7ja : 7j ≥ nón loi, đóng; = j∈J(x) NC (x) đưoc gQI nón pháp tuyen Tiep theo ta nhac lai khái ni¾m t¾p sinh, so cna nón Cho Y khơng gian tuyen tính, B ⊆ Y , C nón Y T¾p B đưoc GQI t¾p sinh cna nón C neu C = {tb | b ∈ B, t ≥ 0} Kí hi¾u: C = cone(B) Neu B khơng chúa goc O vói moi c ∈ C, c ƒ= 0, ton tai nhat b ∈ B, t > cho: c = tb Khi B đưoc gQI so cna nón C Tính chat cna m®t nón có so loi, đóng, giói n®i khơng gian tơpơ tuyen tính Hausdorff đưoc nêu m¾nh đe sau: M¾nh đe 1.1.1.([2, Ch.1.M¾nh đe 1.8]).Neu C nón có loi, đóng, giái n®i vái MQI lân c¾n W cua điem goc Y đeu ton tai lân c¾n V cho (V + C) ∩ (V − C) ⊆ W Khái ni¾m nón cnc đưoc nhac lai sau: Cho nón C khơng gian tuyen tính Y GQI Y ∗ khơng gian tơpơ đoi ngau cna Y Nón cnc C j cna C đưoc đ%nh nghĩa sau: C j := {ξ ∈ Y ∗ |< ξ, c >≥ 0, vói MQI c ∈ C} Nh¾n thay C j nón loi, đóng Y ∗ vói tơpơ yeu* σ(Y, Y ∗ ) Cho nón nHQN C , kí hi¾u (C j )+ := {ξ ∈ Y ∗ |< ξ, c >> 0, c ∈ C\{0}} M¾nh đe sau cho ta đieu ki¾n can đn đe t¾p loi B so cna nón C M¾nh đe 1.1.2.([2, Ch1.M¾nh đe 1.10]) Trong khơng gian tơpơ tuyen tính Hausdorff Y m®t t¾p loi B so cna nón C chi ton tai ξ ∈ (C j )+ cho B = {ξ ∈ C |< ξ, c >= 1} 1.2 Khái ni¾m điem hEu hi¾u Khái ni¾m huu hi¾u khái ni¾m quan TRQNG cna lí thuyet toi ưu Trong muc nhac lai khái ni¾m ve điem huu hi¾u Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho Y khơng gian tơpơ tuyen tính vói thú tn đưoc sinh boi nón loi C A t¾p khác rong cna Y Ta nói rang i, Điem x ∈ A điem huu hi¾u lý tưong cna t¾p A đoi vói nón C neu (y − x) ∈ C, ∀y ∈ A T¾p điem huu hi¾u lý tưong cna A đoi vói nón C đưoc kí hi¾u là: IMin(A\C) ho¾c IMinA ii, Điem x ∈ A điem huu hi¾u Pareto(cnc tieu Pareto) cna A đoi vói nón C neu khơng ton tai y ∈ A đe (x − y) ∈ C\l(C).T¾p điem huu hi¾u Pareto cna A đoi vói nón C đưoc kí hi¾u là: PMin(A\C) ho¾c Min(A\C) ho¾c MinA iii, Điem x ∈ A điem huu hi¾u yeu ( intC ƒ= ∅ C ƒ= Y ) cna A đoi vói nón C neu x ∈ Min( A\{0} ∪intC) túc x điem huu hi¾u theo thú tn sinh boi nón C0 = {0} ∪intC Kí hi¾u: WMin(A\C) ho¾c WMinA t¾p điem huu hi¾u yeu cna A iv, Điem x ∈ A đưoc GQI điem huu hi¾u thnc sn cna A đoi vói nón C neu ton tai nón ˜loi C khác Y chúa C\l(C) phan cna đe x˜∈ P M in(A\C) Kí hi¾u: P rM in(A\C) ho¾c P rM inA t¾p điem huu hi¾u thnc sn cna A Ví dn 1.2.1 Trong R2 lay hai t¾p A B sau: A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 | x ≤ 0, y ∈ [0, 1]} B = A ∪ {(2, 2)} , lay thú tn sinh boi nón = {(x1, x2) ∈ R2 | x1, x2 ≤ 0} C = R2 − Khi , , MinB = WMinB = {(2, 2)} MinA = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1, x > 0, y > 0} ∪ {(0, 1), (1, 0)} WMinA = MinA ∪ {(x, y) ∈ R2 | y = 1, x ≤ 0} Ta nh¾n thay khang đ%nh sau a) x ∈ MinA neu chi neu A ∩ (x − C) ⊂ x + l(C) b) x ∈ WMinA chi A ∩ (x − intC) = ∅ c) IMinA ⊂ PrMinA ⊆ MinA ⊆ WMinA 1.3 Tính liên tnc theo nón cua ánh xa đa tr% Cho X, Y hai khơng gian tơpơ Hausdorff M®t ánh xa đa tr% F tù X vào Y mà úng vói moi phan tu x X cho mđt cna Y đưoc kí hi¾u: F : X −→ 2Y Mien đ%nh nghĩa (mien huu dung ) đo th% cna F đưoc xác đ%nh sau domF = {x ∈ X | F (x) ƒ= ∅} , graphF = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x), x ∈ domF} Khi Y không gian tôpô tuyen tính Hausdorff vói nón C, đo th% cna F đưoc đ%nh nghĩa epiF := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x) + C, x ∈ domF} F đưoc GQI compac neu F (D) t¾p compac Y F đưoc GQI đóng theo nón C (C- đóng) neu epiF úng X ì Y Cho nún C Y Khi mien đ%nh nghĩa domF cna ánh xa đa tr% F đưoc xác đ%nh sau: x ∈ domF neu chi neu vói MQI lân cắn giúi nđi V cna Y eu ton tai so ρ > cho F (x) ∩ (ρV − C) ƒ= ∅ Th¾t v¾y gia su x ∈ domF Khi F (x) ƒ= ∅ Do v¾y ton tai y ∈ F (x) Vì V lõn cắn giúi nđi cna Y nờn ton tai ρ > cho y ∈ ρV Như v¾y F (x) ∩ρV ƒ= ∅ Do F (x) ∩ (ρV − C) ƒ= ∅ Ngưoc lai gia su F (x) ∩ (ρV − C) ƒ= ∅ vói ρ > Khi F (x) ƒ= ∅ Túc x ∈ domF Khi f : X −→ Y ánh xa đơn tr% domf t¾p tat ca x ∈ X cho vói bat kỳ lõn cắn giúi nđi V cna Y ton tai ρ > đe f (x) ∈ ρV − C Trưòng hop f : X −→ R hàm vơ hưóng, C = R+ nón khơng gian tơpơ tuyen tính Hausdorff Y ta có: domf = {x ∈ X | f (x) ƒ= +∞} Xét ánh xa đơn tr% f : X −→ Y , f đưoc GQI liên tuc tai xo ∈ X neu vói MQI t¾p mo V chúa f (xo ) ton tai t¾p mo U chúa xo cho f (U ) ⊂ V Tiep theo ta se trình bày khái ni¾m liên tuc theo nón cna ánh xa đa tr% F , Cho X, Y hai không gian tơpơ tuyen tính loi đ%a phương, D ⊂ X, D ƒ= ∅ C nón Y F : D −→ 2Y ánh xa đa tr% Đ%nh nghĩa 1.3.1 a) F C- liên tuc ( ho¾c C- liên tuc dưói) tai xo ∈ D neu vói bat kỳ lân c¾n V cna Y đeu ton tai lân c¾n U cna xo X cho: F (x) ⊂ F (xo) + V + C ( ho¾c F (xo ) ⊂ F (x) + V − C) vói MQI x ∈ U ∩ domF b) F C - liên tuc tai xo neu F vùa C - liên tuc vùa C-liên tuc dưói tai xo F C-liên tuc trên, C-liên tuc dưói ho¾c C - liên tuc D neu C - liên tuc trên, C - liên tuc dưói ho¾c C - liên tuc tai MQI x ∈ D c) F C - liên tuc yeu ( C - liên tuc dưói yeu ) tai xo neu lân c¾n U cna xo đ%nh nghĩa o lân c¾n tơpơ yeu cna X M¾nh đe sau cho ta đieu k¾n can đn ve tính liên tuc theo nón cna ánh xa đa tr% ; M¾nh đe 1.3.1.([4, tr.15]) a) Cho F (xo) t¾p compac Y Khi đó: F C - liên tuc tai xo neu chi neu vói MQI t¾p mo G thoa mãn F (xo) ⊂ G + C đeu ton tai lân c¾n U cna xo cho F (x) ⊂ G + C vói ∀x ∈ U∩ domF b) Cho F (xo) t¾p compac Y Khi đieu ki¾n can đn đe F C - liên tuc dưói tai xo vói MQI lân c¾n V cna đeu ton tai lân c¾n U cna xo cho: F (x) ∩ (y + V + C) ƒ= ∅ vói MQI x ∈ U ∩ domF Đieu ki¾n tương đương vói đieu ki¾n: Vói MQI t¾p G mo, F (xo ) ∩ (G + C) ∅ đeu ton tai lân c¾n U cna xo cho: F (x) ∩ (G + C) ƒ= ∅, vói MQI x ∈ U ∩ domF ChÉng minh a) Đieu ki¾n can: Gia su F C - liên tuc tai xo Ta se chúng minh ton tai lân c¾n U cna xo cho F (x) ⊂ G + C vói ∀x ∈ U ∩ domF vói MQI G t¾p mo cho F (xo ) ⊂ G + C Do F (xo) compac Y nên ton tai lân c¾n Vo cna O Y cho F (xo) + Vo ⊂ G + C Gia su V l mđt lõn cắn cna O Y Suy V ∩ Vo lân c¾n cna O Y Vì F C - liên tuc tai xo nên ton tai m®t lân c¾n U cna xo X cho F (x) ⊂ F (xo ) + V ∩ Vo + C , vói MQI x ∈ U ∩ domF Do F (xo) + V ∩ Vo + C ⊂ F (xo) + Vo + C ⊂ G + C + C = G + C nên F (x) ⊂ G + C vói ∀x ∈ U∩ domF Đieu ki¾n đu : Gia su vói MQI t¾p G mo thoa mãn F (xo ) ⊂ G + C , nên ton tai lân c¾n U cna xo cho F (x) ⊂ G + C vói ∀x ∈ U ∩ domF Lay V lân c¾n tùy ý cna O Y Gia su V mo Đ¾t G = F (xo) + V G mo F (xo) ⊂ G + C Neu x ∈ coreDK , ta lay xo = x φ(xo) = G(x, x) ⊂ −C Do MQI trưịng hop ta ln tìm đưoc xo ∈ coreD K đe φ(xo ) ⊂ −C Áp dung bő đe (2.2.3.) ta có φ(y) ¢ −intC vói MQI y ∈ D Như v¾y ton tai x ∈ D cho G(x, y) + H(x, y) ¢ −intC vói MQI y ∈ D ˜ C loi , đóng, Hơn nua, neu nón C thoa mãn đieu ki¾n (*) túc ton tai nón ˜ boi C NHQN cho C\{0} ⊂ intC Tù nh¾n xét (2.2.1.) ta thay neu thay C gia thiet cna đ%nh lý (2.2.1.) van thoa mãn Do theo đ%nh lý ton tai x ∈ K cho G(x, y) + H(x, y)) ¢ −intC˜ vói MQI y D Nh vắy G(x, y) + H(x, y))  −(C\{0}) vói MQI y ∈ D V¾y đ%nh lý đưoc chúng minh Tù đ%nh lý (2.2.1.) ba bő đe ta có nh¾n xét sau: Nh¾n xét 2.2.2 i) Trong gia thiet A8) neu D t¾p compac K = D Suy K\coreDK = ∅ Khi gia thiet A8) đưoc thoa mãn ii) Trong bő đe (2.2.1.) ta chúng minh ton tai x ∈ K cho (G(y, x) − H(x, y)) ∩ intC = ∅ vói MQI y ∈ D Đe có đieu ta su dung tính C- liên tuc dưói cna ánh xa G(x,.), x ∈ D gia thiet ve tính −C- liên tuc cna H(., y), y ∈ D Do neu thay hai gia thiet bang gia thiet t¾p S(y) = {x ∈ K | (G(y, x) − H(x, y)) ∩ intC = ∅} vói MQI y ∈ D t¾p đóng X Các gia thiet cịn lai van giu ngun Khi ket lu¾n cna đ%nh lý (2.2.1.) van iii) Đ%nh lý ve sn ton tai điem cân bang cna toán cân bang vơ hưóng cna Blum Oettli trưịng hop riêng cna đ%nh lý (2.2.1.) vói Y = R, C = R+, G, H : D×D −→ R hàm đơn tr% iv) Neu G, H ánh xa đơn tr%, ta thu đưoc đieu ki¾n đn ve sn ton tai nghi¾m cna tốn cân bang đơn tr% dang F = G + H Tương tn tốn cân bang vơ hưóng ta thay yêu cau ve tính búc gia thiet A8) cna đ%nh lý (2.2.1.) tương đoi n¾ng Dna vào tính compac đ %a phương cna t¾p D tơpơ yeu không gian Banach phan xa X, giam nhe tính búc thay the bang gia thiet nhe Trong muc này, kí hi¾u ǁ ǁ chuan X Đ%nh lý 2.2.2.([1, Đ%nh lý 3.2.9, tr.136]) Cho X không gian đ%nh chuan Y không gian tơpơ Hausdorff loi đ%a phương, D t¾p compac loi đ%a phương, C ⊂ Y nón điem loi, đóng Y Lay G : D × D −→ 2Y H : D × D −→ Y ánh xa thoa mãn đieu ki¾n tù A1) đen A7) đ%nh lý (2.2.1) Đieu ki¾n A8) đưoc thay the boi đieu ki¾n A8’) Ton tai a ∈ D cho vói MQI dãy {xn } ⊂ D mà lim ǁ xn ǁ= +∞ m®t đieu ki¾n sau thoa mãn n →+ ∞ H1) Ton tai no > đe G(xno , a) + H(xno , a) ⊆ (−C) H2) Ton tai no > y ∈ D vói ǁ y − a ǁ y ∈ D đe G(y, xn ) − H(xn , y) ⊆ C vói MQI n ≥ no Khi ton tai x ∈ D đe G(x, y) + H(x, y) ¢ −intC vói MQI y ∈ D ChÉng minh Đ¾t Dn = {x ∈ D |ǁ x − a ǁ≤ n}, n = 1, 2, Khi Dn nhung t¾p loi, compac, khác rong X Áp dung đ%nh lý (2.2.1.) vói D = Dn su dung tơpơ yeu X ta ket lu¾n ton tai xn ∈ Dn, n = 1, 2, cho G(xn , y) + H(xn , y) ¢ −intC vói MQI y ∈ Dn (2.18) Neu ton tai n cho ǁ xn − a ǁ< n xn ∈ coreDDn Xét ánh xa F : D −→ 2Y xác đ%nh sau F (x) = G(xn, x) + H(xn, x), x ∈ D (2.19) Khi F C-loi dưói F (xn) = G(xn, x) + H(xn, x) ⊂ −C Theo (2.18) ta có F (x) ¢ −intC vói MQI x ∈ Dn Áp dung bő đe (2.2.3.) ta đưoc F (x) ¢ −intC vói MQI x ∈ D Suy xn nghi¾m cna tốn (WEP,C) V¾y ta chi can xét trưịng hop ǁ xn − a ǁ= n.Ta lan lưot xét đieu ki¾n H1) - H3) Gia su H1) Ta chúng to xno nghi¾m cna tốn (WEP,C) Th¾t v¾y: Gia su x ∈ D\Dn bat kỳ , ton tai m®t so dương t ∈ (0, 1] cho z = ta + (1 − t)x ∈ Dno Do G(xno , ta+(1−t)x)+H(xno , ta+(1−t)x) ⊆ t[G(xno , a)+H(xno , a)]+(1−t)[Gxno , x) +H(xno , x)]−C Theo gia thiet G(xno , a) + H(xno , a) ⊆ −C nên G(xno , ta + (1 − t)x) + H(xno , ta + (1 − t)x) ⊆ (1 − t)[G(xno , x) + H(xno , x)] −C Gia su G(xno , x) + H(xno , x) ⊆ −intC Khi G(xno , ta + (1 − t)x) + H(xno , ta + (1 − t)x) ⊆ −intC Đieu mâu thuan vói gia thiet xno nghi¾m cna tốn (WEP,C) Dno V¾y G(xno , x) + H(xno , x) ¢ −intC vói MQI x ∈ D\Dno De thay xno nghi¾m cna tốn Dno Do G(xno , x) + H(xno , x) ¢ −intC vói MQI x ∈ D Như v¾y xno nghi¾m cna toán (WEP, C) Tiep theo gia su đieu ki¾n H2) ton tai no > y ∈ D vói ǁ y − a ǁ cho xno ∈ a + C ii) Ton tai no > y ∈ D vói ǁ y − a ǁ y ∈ D cho xno ∈ y + C vói MQI n ≥ no Khi W M in(D/C) ƒ= ∅ Hơn nua, neu C thoa mãn đieu ki¾n (*) M in(D/C) ƒ= ∅ ChÉng minh Lay Y = X , G(x, y) = y − x H(x, y) = Khi G, H thoa mãn gia thiet cna h¾ qua (2.2.2.) Như v¾y ton tai x ∈ D cho G(x, y) + H(x, y) ¢ −intC vói MQI y ∈ D Hay y − x ∈/ −intC vói MQI y ∈ D hay x − y ∈/ intC vói MQI y ∈ D Do x ∈ W M in(D/C) V¾y W M in(D/C) ƒ= ∅ Hơn nua neu C thoa mãn đieu ki¾n (*) ton tai x ∈ D đe y − x ∈/ −(C\{0}) vói MQI y ∈ D Suy x − y ∈/ (C\{0}) vói MQI y ∈ D V¾y M in(D/C) ƒ= ∅ M¾nh đe đưoc chúng minh M¾nh đe 2.3.2.([1, M¾nh đe 3.3.2, tr.142]) Cho X không gian đ%nh chuan, D ⊂ X t¾p loi, đóng, compac đ%a phương, C nón loi, đóng, NHQN m®t gia thiet (i) , (ii) , (iii) cna m¾nh đe (2.3.1.) đưoc thoa mãn Khi W M in(D/C) ƒ= ∅ Hơn nua, neu C thoa mãn đieu ki¾n (*), M in(D/C) ƒ= ∅ ChÉng minh Áp dung h¾ qua (2.2.1.) vói X = Y , G(x, y) = y − x , H(x, y) = ta se chúng minh đưoc m¾nh đe Tiep theo ta se trình bày sn ton tai nghi¾m cna tốn toi ưu vectơ 2.3.2 SE ton tai nghi¾m cua tốn toi ưu véctơ Cho f : D −→ Y Xét toán toi ưu vectơ f (x) x∈D Các m¾nh đe sau cho ta đieu ki¾n đn ve sn ton tai nghi¾m cna tốn M¾nh đe 2.3.3([5, tr.308]) Cho X khơng gian tơpơ tuyen tính loi đ%a phương Hausdorff, D ⊂ X t¾p loi, đóng, khác rong Y khơng gian Banach , C ⊂ Y nón nhQN, loi, đóng vói nón cnc C j nón đa di¾n, NHQN Cho f : D −→ Y ánh xa đơn tr%, C- loi, C- liên tuc Gia su rang ton tai mđt loi, khỏc rong, compac yeu K, K ⊂ D, cho vói MQI x ∈ K\coreD K ta có the tìm đưoc a ∈ coreD K đe f (x) ∈ f (a) + C Khi ton tai điem x ∈ D cho f (x) ∈ W M in(f (D)/C) Hơn nua, neu C thoa mãn đieu ki¾n (*), ton tai x ∈ D cho f (x) ∈ M in(f (D)/C) ChÉng minh Xét ánh xa G : D × D −→ Y cho boi G(x, y) = f (y) − f (x) vói MQI x, y ∈ D Theo gia thiet f C- loi C- liên tuc nên vói x co đ%nh, x ∈ D G(x, ) C- loi C- liên tuc M¾t khác G(x, y) + C loi vói MQI y ∈ D Áp dung đ%nh lý (1.4.3.) G(x, ) C-liên tuc yeu Lay H(x, y) = vói MQi x, y ∈ D Do xem xét tơpơ yeu X G, H thoa mãn gia thiet cna đ %nh lý (2.2.1.) Theo đ%nh lý (2.2.1.) ton tai x ∈ D cho G(x, y) + H(x, y) ¢ −intC vói MQI y ∈ D Thay H(x, y) = ta đưoc f (y) − f (x) ¢ −intC vói MQI y ∈ D Túc f (x) ∈ W M in(f (D)/C) Hơn nua, neu C thoa mãn đieu ki¾n (*), áp dung đ%nh lý (2.2.1.) ton tai x ∈ D cho hay f (y) − f (x) ¢ −(C\{0}) vói MQI y ∈D f (x) ∈ M in(f (D)/C) M¾nh đe 2.3.4([5, tr.309]) Cho X, Y khơng gian đ%nh chuan, D t¾p loi, khác rong, compac đ%a phương X , C ⊂ Y nón NHQN, loi, đóng Cho f : D −→ Y ánh xa đơn tr%, C- loi, C- liên tuc Gia su rang ton tai điem a∈D cho vói MQI dãy {xn } ⊂ D mà lim xn = + mđt cỏc ieu kiắn sau n> ∞ thoa mãn 1) Ton tai no > cho f (xno ) ∈ f (a) + C 2) Ton tai no > y ∈ D vói ǁ y − a ǁ y ∈ D cho f (xno ) ∈ f (y) + C vói MQI n ≥ no Khi ton tai điem x ∈ D đe f (x) ∈ W M in(f (D)/C) ChÉng minh Xét ánh xa G : D × D −→ Y cho boi G(x, y) = f (y) − f (x) vói MQI x, y ∈ D Áp dung đ%nh lý (2.2.2) vói G xác đ%nh H(x, y) = vói MQI x, y ∈ D ta thay ton tai x ∈ D cho G(x, y) + H(x, y) ¢ −intC vói MQI y ∈ D Túc f (y) − f (x) ¢ −intC vói MQI y ∈ D Hay f (x) ∈ WMin(f (D)) ChÉng minh Đ%nh nghĩa ánh xa G : D × D −→ Y cho boi G(x, y) = f (y) − f (x) vói MQI x, y ∈ D Theo gia thiet f C - loi C- liên tuc nên vói x co đ%nh, x ∈ D G(x, ) C- loi C- liên tuc M¾t khác G(x, y) + C loi vói MQI y ∈ D Áp dung đ%nh lý (1.4.3.) G(x, ) C-liên tuc yeu Lay H(x, y) = vói MQI x, y ∈ D Do vói X đưoc trang b% boi tơpơ yeu G, H thoa mãn gia thiet cna đ%nh lý (2.2.2.) Theo đ%nh lý (2.2.2.) ton tai x ∈ D cho G(x, y) + H(x, y) ¢ −intC vói MQI y ∈ D Túc f (y) − f (x) ¢ −intC vói MQI y ∈ D V¾y W M in(f (D)/C) ƒ= ∅ Neu C thoa mãn đieu ki¾n (*), áp dung đ%nh lý (2.2.1.) ta đưoc M in(f (D)/C) ƒ= ∅ 2.3.3 SE ton tai nghi¾m cua toán điem yên ngEa Trong phan này, ta xét tốn điem n ngna liên quan tói hàm vectơ Trưóc het ta nhac lai đ%nh nghĩa điem yên ngna cna hàm vectơ Cho X1, X2 Y không gian Hausdorff loi đ%a phương, Di ∈ Xi, i = 1, T : D1 × D2 −→ Y Điem x = (x1 , x2 ) đưoc gQI điem yên ngna yeu cna T đoi vói nón C neu T (y1 , x2 ) − T (x1 , y2 ) ∈/ −intC vói MQI (y1 , y2 ) ∈ D1 × D2 Điem x = (x1 , x2 ) đưoc gQI điem yên ngna Pareto cna T đoi vói nón C neu T (y1 , x2 ) − T (x1 , y2 ) ∈/ (C\ {0}) vói MQI (y1 , y2 ) ∈ D1 × D2 Các m¾nh đe sau cho ta đieu ki¾n ton tai điem yên ngna yeu, điem yên ngna Pareto cna hàm vectơ khơng gian khác M¾nh đe 2.3.6([1, M¾nh đe 3.3.6]) Cho X1, X2 hai không gian Hausdorff loi đ%a phương , Di ⊂ Xi , i = 1, t¾p loi, đóng, khác rong, Y không gian Banach, C ⊂ Y nón NHQN, loi, đóng vói nón cnc C j nón đa di¾n NHQN Gia su T : D1 × D2 −→ Y thoa mãn tính chat: 1) T C- loi C- liên tuc theo bien thú nhat 2) T C- lõm (-C)- liên tuc theo bien thú hai 3) Ton tai t¾p loi, khác rong compac yeu Ki ⊆ Di, i = 1, cho vói mQI điem (x1, x2) ∈ K\coreDK(K := K1 × K2, D := D1 × D2) ta có the tìm đưoc m®t điem (a1, a2) ∈ coreDK cho T (x1, a2) − T (a1, x2) ∈ C Khi ton tai (x1, x2) ∈ D1 × D2 đe T (y1 , x2 ) − T (x1 , y2 ) ∈/ −intC vói MQI (y1 , y2 ) ∈ D1 × D2 Hơn nua, neu C thoa mãn đieu ki¾n (*), ton tai (x1, x2) ∈ D1 × D2 cho T (y1 , x2 ) − T (x1 , y2 ) ∈/ −(C\{0}) Chẫng minh X = X1 ì X2 Ta %nh nghĩa hàm G, H : D × D −→ Y xác đ%nh sau: G(x, y) = T (y1, x2) − T (x1, y2) H(x, y) = vói MQI x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ D Do T C- loi C- liên tuc theo bien thú nhat nên G(x,.) C- loi C- liên tuc yeu Ta thay G, H thoa mãn gia thiet cna đ%nh lý (2.2.1.) vói X đưoc trang b% boi tơpơ yeu Theo đ%nh lý (2.2.1.) ton tai (x1, x2) ∈ D1 × D2 cho G(x, y) + H(x, y) ¢ −intC vói MQI (y1 , y2 ) ∈ D1 × D2 Do T (y1 , x2 ) − T (x1 , y2 ) ∈/ −intC vói MQI (y1 , y2 ) D1 ì D2 Vắy (x1, x2) l iem yên ngna yeu cna T đoi vói C Áp dung đ%nh lý (2.2.1.) vói C thoa mãn đieu ki¾n (*), (x1, x2) điem yên ngna Pareto cna T đoi vói C M¾nh đe 2.3.7([1, M¾nh đe 3.3.7]) Cho X1, X2, Y không gian đ%nh chuan, Di ⊂ Xi, i = 1, t¾p loi, khác rong, compac đ%a phương C nón loi, đóng, NHQN Y Gia su T : D1 × D2 −→ Y có tính chat sau: 1) T C - loi, C- liên tuc theo bien thú nhat 2) T C - lõm, (-C)- liên tuc theo bien thú hai Σ 3) Gia su ton tai a = (a1 , a2 ) ∈ D = D1 × D2 đe vói MQI dãy xn = n(x1n , x2 ) mà lim ǁ xn = + mđt cỏc ieu kiắn sau ỳng: D n>∞ i) Ton tai no > cho T (x1 n , a2) − T (a1, x2 n )∈C o o ii) Ton tai no > y = (y1, y2) ∈ D vói ǁ y − a ǁ y = (y , y ) ∈ D cho T (x1 n o , y2) − T (y1, x2 n ) ∈ C vói MQI n ≥ no o Khi ton tai điem yên ngna yeu cna T đoi vói nón C Đ¾c bi¾t neu C thoa mãn đieu ki¾n (*) ton tai điem n ngna Pareto cna T đoi vói nón C ChÉng minh Lay X = X1 × X2 Đ%nh nghĩa hàm G, H : D× D −→ Y xác đ%nh sau G(x, y) = T (y1, x2) − T (x1, y2) H(x, y) = vói MQI x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ D Tù gia thiet ta thay G, H thoa mãn đieu ki¾n cna đ%nh lý (2.2.2) Khi áp dung đ%nh lý (2.2.2) ta có đieu phai chúng minh M¾nh đe 2.3.8.([1]) Cho X1 , X2 khơng gian Banach phan xa , Di t¾p loi, đóng, khác rong Xi vói i = 1, 2, Y khơng gian Banach, C ⊂ Y nón NHQN, loi, đóng vói nón cnc C j nón loi a diắn, NHQN Lay T : D1 ì D2 −→ Y thoa mãn gia thiet (1) , (2) m®t gia thiet (i) , (ii) ,(iii) cna m¾nh đe (2.3.7.) Khi ton tai điem n ngna yeu cna T đoi vói nón C Đ¾c bi¾t neu C thoa mãn đieu ki¾n (*) ton tai điem yên ngna Pareto cna T đoi vói nón C ChÉng minh Lay X, G, H m¾nh đe (2.3.7) áp dung h¾ qua (2.2.2) ta se thu đưoc đieu can phai chúng minh 2.3.4 SE ton tai điem cân bang Nash Tiep theo ta xét toán cân bang Nash cho trưòng hop hàm vectơ Cho I t¾p chi so huu han ( cịn GQI t¾p ngưịi chơi) Xi , i ∈ I, Y không gian Hausdorff loi đ%a phương thnc, C ⊂ Y nón loi Y Di ⊂ Xi t¾p loi, đóng, khác rong vói moi i ∈ I (Di GQI t¾p chien lưoc cna ngưịi chơi thú i) Đ¾t D =Y D i i∈I Cho hàm vectơ fi : D −→ Y GQI hàm mat cna ngưịi chơi thú i vói moi i ∈ I Hàm fi phu thu®c vào chien lưoc cna tat ca ngưịi chơi Vói x = (xi)i∈I ∈ D ta kí hi¾u xi = (xj )j∈I\{i} Điem x = (xi )i∈I đưoc GQI điem cân bang Nash neu vói MQI i ∈ I ta có fi (xi , yi ) − fi (x) ∈/ −(C\ {0}) vói MQI (yi )i∈I ∈ D Điem x = (xi )i∈I đưoc GQI điem cân bang Nash yeu neu vói MQI i fi (xi , yi ) − fi (x) ∈/ −intC vói MQI (yi )i∈I ∈ D Đe xét sn ton tai điem cân bang Nash điem cân bang Nash yeu cna toán cân bang Nash ta su dung m¾nh đe sau M¾nh đe 2.3.9([1, M¾nh đe 3.3.9]) Cho Y khơng gian Banach, C ⊂ Y nón NHQN, loi, đóng vói nón cnc C j nón đa di¾n NHQN đieu ki¾n sau thoa mãn vói MQI i ∈ I : 1) fi C- liên tuc (-C)- liên tuc 2) Hàm fi(xi, ) C- loi, fi(., yi) C- lõm hàm fi(.) C- loi 3) Ton tai t¾p loi, khác rong, compac yeu Ki ∈ Di vói i ∈ I cho vói MQI Q x ∈ K\core DK vói K := Ki i∈I ta có the tìm đưoc diem a ∈ coreDK đe Σ (fi(xi, ai) − fi(x)) ∈ C i∈I Khi ton tai diem cân bang Nash yeu Hơn nua neu C thoa mãn đieu ki¾n (*) ton tai điem cân bang Nash Q ChÉng minh Đ¾t X := i∈ I Xi Cho hàm G, H : D × D −→ Y xác đ%nh sau G(x, y) = Σ H(x, y) = (fi(xi, yi) − fi(x)) i∈I vói MQI x = (xi )i∈I , y = yi )i∈I ∈ D Tù gia thiet (1) , (2) ta có H(., y) (- C)- liên tuc C- lõm Áp dung đ%nh lý (1.4.2) H( , y) (-C)- liên tuc yeu D Vì v¾y X đưoc trang b% boi tơpơ yeu G, H thoa mãn gia thiet cna đ%nh lý(2.2.1.) Do ton tai x = (xi)i∈I cho G(x, y) + H(x, y) ∈/ −intC vói MQI y ∈ D hay Σ (fi (xi , yi ) − fi (x)) ∈/ −intC vói MQI y = (yi )i∈I ∈ D i∈I vói moi i ∈ I yi ∈ Di tùy ý Thay y = (xi, yi) vào h¾ thúc ta đưoc fi (xi , yi ) − fi (x) ∈/ −intC V¾y x điem cân bang Nash yeu Tương tn bang cách áp dung đ%nh lý (2.2.1.) nón C thoa mãn đieu ki¾n (*) ta thu đưoc điem cân bang Nash M¾nh đe 2.3.10.([1, M¾nh đe 3.3.10]) Cho Xi , i ∈ I , Y không gian đ %nh chuan, Di ⊆ Xi , i ∈ I t¾p loi, khác rong, compac đ%a phương, C nón loi, đóng, NHQN Y Vói moi i ∈ I , fi : D −→ Y thoa mãn đieu ki¾n sau: i) fi C - liên tuc (-C)- liên tuc ii) Các hàm fi(xi, ) C- loi iii)Gia su ton tai điem a = (ai)i∈I ∈ D cho vói MQI dãy Σ xn = (x(j,n))j∈I ⊂ D mà lim ǁ xn ǁ= +∞ n> ∞ m®t đieu ki¾n sau đúng: 1) Ton tai no > cho Σ , ai) − fi(xno )) ∈ −C (f i (j,no) (xi i∈I 2) Ton tai no > y = (yi)i∈I ∈ D vói ǁ y − a ǁ y = (yi)i∈I ∈ D cho Σ (fi (xi(j,n), yi ) − fi (xn )) ∈ −C i∈I Khi ton tai điem cân bang Nash yeu Hơn nua neu C thõa mãn đieu ki¾n (*) ton tai điem cân bang Nash Q ChÉng minh Đ¾t X := i∈ I Xi Cho hàm G, H : D × D −→ Y xác đ%nh sau G(x, y) = Σ i H(x, y) = (fi(x , yi) − fi(x)) i∈I vói MQI x = (xi )i∈I , y = yi )i∈I ∈ D Áp đung đ%nh lý (2.2.2.) ta se có ket qua can tìm M¾nh đe 2.3.11.([1, M¾nh đe 3.3.11]) Cho Xi, i ∈ I, Y không gian Banach phan xa, Di ⊆ Xi , i ∈ I t¾p loi, đóng, khác rong, Y khơng gian Banach C ⊂ Y nón NHQN, loi, đóng vói nón cnc C j nón đa di¾n NHQN Gia su vói MQI i ∈ I , ánh xa fi : D −→ Y thoa mãn gia thiet (i), (ii) cna mắnh e (2.3.10) v mđt cỏc ieu kiắn (1), (2), (3) cna m¾nh đe (2.3.10) Khi ton tai điem cân bang Nash Hơn nua neu C thoa mãn đieu ki¾n (*) ton tai điem cân bang Nash Q ChÉng minh Đ¾t X = Xi đ%nh nghĩa hàm G, H m¾nh đe i∈I (2.3.9.) Tù gia thiet (i) , (ii) ta suy H(., y) (-C)- liên tuc C- lõm Theo đ %nh lý (1.4.2.) chương I H(., y) (-C)- liên tuc yeu D Áp dung h¾ qua (2.2.2.) ta se thu dưoc ket qua can chúng minh Ket lu¾n Lu¾n văn "Bài tốn cân bang đa tr%" đat đưoc m®t so ket qua sau: i) Trỡnh by mđt so khỏi niắm ve nún, tớnh liên tuc, tính loi, tính Lipschitz cna ánh xa đa tr% theo nón ii) Trình bày tốn cân bang vơ hưóng cna Blum-Oettli, tốn đưa ve tốn cân bang vơ hưóng, đieu ki¾n đn đe tốn cân bang vơ hưóng có nghi¾m iii)Trình bày tốn điem cân bang véctơ đa tr%, m®t so đieu ki¾n ton tai nghi¾m cna tốn cân bang liên quan tói ánh xa đa tr% m®t so úng dung cna toán cân bang đa tr% tốn liên quan Tài li¾u tham khao [1] Guyana Xuân Tan- Nguyen Bá Minh, M®t so van đe lý thuyet toi ưu vectơ đa tr%, NXB Giáo duc, 2006 [2] Luc D.T.,Theory of vector optimization, Lecture notes in economics and math- ematical systems, 319 , Springer Verlag , Berlin - Heidelberg 1989 [3] Berge C.,Espaces topologiques fonction multivoques, Dunod , Paris,1959 [4] Minh N.B and N.X.Tan, On the continuity of vector convex multivalued func- tions Acta Math Vietnam.27(2002),no,1,13-25 [5] Minh N.B and N.X.Tan, Some sufficient conditions for the existence of equi- librium points concering multivalued mappings, Vietnam J Math.28:4(2000), 295 - 310 [6] Blum E and Oettli W., Variational principles for equilibrium problems, parametric optimization and related topies [7] Luc D.T., On Nash equilibrium I, Acta Math Acad Sci Hungar 40(3- 4) (1982),267-272 [8] Debreu G., Valuation equilibrium and Pareto optimum, Proc Nat Acad Sci U.S.A 40(1954), 588-592 [9] Minty G-J., on variational inequalities for monotone operators, I.Avances in Math 30(1978), 1-7 [10] K.Fan, A minimax inequality and application, in Inequalities III, O Shisha (Ed), Academic Press, New-York, 1972, pp, 33 [11] Banach S., Theorie des operations lineaire , Monographie mathematy czne , PWN , Warszawa, 1932 ... nón cna ánh xa đa tr% 18 1.5 Tính Lipschitz theo nón cna ánh xa đa tr% 25 Bài toán cân bang vectơ đa tr% 37 2.1 Bài toán cân bang vơ hưóng tốn liên quan 37 2.1.1 Bài tốn cân bang vơ... đưoc GQI toán cân bang cő đien hay toán cân bang vơ hưóng Bài tốn cân bang vơ hưóng có m®t vai trị quan TRQNG lí thuyet toi ưu Tù tốn có the rút nhieu toán liên quan như: Bài toán toi ưu, toán điem... điem cân bang (cân bang yeu) Cuoi chương úng dung cho m®t so tốn liên quan 2.1 2.1.1 Bài tốn cân bang vơ hưáng toán liên quan Bài toán cân bang vô hưáng Năm 1991, Blum Oettli phát bieu toán cân