Ebook 500 Bài toán cơ bản và mở rộng lớp 10 được chia làm 2 phần: đại số và hình học. Với bố cục khoa học, bám sát kiến thức sách giáo khoa giúp các em dễ dàng ôn tập hơn. Mời các em cùng tham khảo tiếp nội dung phần 2 cuốn sách.
Trang 1PHAN HINH HOC VECTO Chiang / KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1 Định nghĩa —_ Vectơ là một đoạn thẳng định hướng:
—_ Một uectơ được xúc định bởi :
+ Phuong : Hai vecto cung phuong khi chung cting nam tren HIỘI đường thẳng hoặc nằm trên hat đường thẳng song song,
+ Hướng : Hai uectơ cùng phương thì cĩ thê cùng huớng hoạc nạ‡ưữớc
hướng Tu chỉ xét đến hướng của hú: occtơ Phí chướng cùng phương
+ Độ dài của vectu la dé dai doan thẳng vác định boi diem daw va
điểm cuối của 0ectơ
- Vecto-khéng O la vecta, c6 phương ồ hướng túy ý va co dé dai bang ©
2 Vecto bang nhau
Hai uectơ bằng nhau khi va chi khí chủng cùng hướng cà cĩ độ dài bằng nhau ~~ > B va CD cung huonyg; — - | AB=CD œ 4“ _ IABI= LCD | II VECTO VÀ CÁC PHÉP TỐN
1 Tổng của hai uectơ
a) Quy tắc tam giác (quy tắc 3 điểm) Với ba điểm A, B, C ta cĩ : AB + BC = AC
Trang 2
ec Tinh chat: Tony vecto co cac tinh chat :
+ Giao hoan as bh bea
+ Ket hop fas dra ¢ a+tb+se)
+ Tinh chat cua vecto khong œ + f) = + qa = dq
Hiéu cua hai vecto
a) Vecto doéi : Hal vecty doi nhau la hat vecto nguvoc huong va co cung do dai
Vecto dot cua vecto a hil
Tong cua hat vecty doi la tectd œ2) = @ E) Quy tắc tam giác đối với hiệu vectơ
>
Voi ba diem A, B.C bat ki, ta ludn co : AB = CB -CA
Tích cua mét sé voi mot vecto > > a) Dinh nghĩa : Cho mot so thuc k =0 va mét vecto a z 0 > > > Tích ba là một vectoco:ka cung hướng cới a nếu È >0 , › ha ngược hướng voi a nếu <0 Ipœl=l#|.lal ) Tích của một số với một vectơ cĩ các tính chất : › > , > hta+b)=bha+bkb › > tkh+hia =ka +ha > > kthai=thkhia > > > , > › ›
l.a=a; (-l).a =-a; 0.a = 0; k.0 = 0
0 Diéu kién dé hai vectơ cùng phương
Diéu kien can va dui dé hai vecto a, b (b z 0) cùng phương là cĩ
mot sok dé a =k b
Trang 3
Trung điểm đoạn thẳng uà trọng tam của tam giác a) Trung điểm của đoạn thăng
I là trung điểm của AB © IA + IB -0
I là trung điểm của AB ồ M là điểm bất kì <> 2 MI = MA + MB
b) Trong tâm của tam giác
G là trọng tâm của 1ABC = GA + GB + GC “0
G la trong tam cia AABC va M la diém bat ki © 3 MG = MA +M B+ MC
MOT SO PHUGNG PHAP CHUNG MINH
Chứng mình hơi uectơ cùng phương
>
Dé chitng minh hai vectu a, 6 cting phuong, ta chiing minh hé thiic : a-=k.b
Ching minh ba diém A, B, C thang hang
Dé chitng minh ba điểm A, B, C thang hang, ta chitng minh hai vecta AB, AC cung phuong
— AB =k AC
Chứng mình hai đường thẳng song song
Để chứng ninh hai đường thẳng AB cà CD song song, ta chứng nừnh
_— >
hai vects AB, CD cung phuong
Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Đế chứng mình hai đoạn thẳng bằng nhau, AB = CD, ta chứng nữnh
AB = CD
Chứng mình trung điểm của đoạn thẳng
Trang 4
—
Chứng minh trong tam cua tam giac
Để chứng mình điểm G la trong tam ctia AABC, ta chứng mình một trong các hệ thức :
>
+ GA+GB+GC =0
>
+ Voi diém Ila trung điểm của cạnh BC thi: 2 AG = ặ AI ›
+_ Với Q là điểm bất ki trong mat phdng thi : 30G = Ộ + OB + OC Chứng mình ba điểm khơng thẳng hang
Đế chứng ninh ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng hay A, B, C là ba đình của một tam giác, ta chứng mình hút cecty AB, AC khơng cùng phương Chứng mình hình bình hành Để chứng mình tứ giác ABCD là hình bình hành, tạ chứng mình hệ thức AB = DC —— > — AB = DC ABCD là hình bình hành Chứng mình hệ thức uectơ
Đế chứng mình một hệ thúc ccctơ, tạ thường xuất phát từ một cế (thường là xuất phát từ uẽế phức tạp hơn) Sử dụng các phép tốn cà các tính chát (giao hốn, hết hợp .) vd các quy tắc (quy tắc tam giác, quy tắc hình bình hành .) dé di dén vé kia Đơi khỉ ta cũng xuất phát từ cả hai tế hoặc xuất phát từ một hệ thức đã biết
- Để xác dịnh điểm M thỏa mãn một hệ thức 0ectơ, tư tìm một điển: cố định O đã biết uà tìn cách biếu diễn 0ectơ OM theo các 0ectơ cĩ mặ£ | :
trong giá thiết CÁC CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 251 Các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai ?
a) Hai vectơ đối nhau thì cùng phương "b) Hai vecto bang nhau thi cung phuong
c) Ƒlai vectơ cùng phương thì đối nhau
d) Hai vecto cung phuong thi bang nhau e) Hai vectơ bằng nhau thì cĩ cùng độ dài f) Hai vectơ cĩ cùng độ dài thì bằng nhau
Trang 5Hướng dẫn a,b,e: đúng - c, d,: sai 252 J Cho hình bình hành ACDB Mệnh đẻ nào trong các mệnh đề sau là dúng : a) AB- DC b) AD - BC e) CA - DB Hướng dẫn c) đúng 253] Tu giac ABCD voi AD = BC Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai : a) ABCD là hình bình hành b) BCDA là hình bình hành c) AC = DB Hướng dẫn c) Sai 254 Cho hình vẽ bên với EF // AB // DC Hay tim :
a) Hai vecto bang nhau b) Hai vectơ đối nhau
e) Hai vectơ cùng phương khơng bằng nhau và cũng khơng đối nhau
đ) Hai vectơ khơng cùng phương
Hướng dẫn
Bạn đọc căn cứ vào SGK để trả lời
Trang 6b) 257 a)) b))
| cho tam giác ABC
4a) Xác định các điểm D và E sao cho các hệ thức sau được thoa màn AD = AB+ AC: BE - BA - BC b) Chung minh điểm € là trung điểm của đoạn thắng ED Hướng dẫn Jung hinh bink kanh ABDC Theo quy tặc hình bình hành ta cĩ : AD = AB+ AC 2ựng hình bình hành ABCPE, tương tự, ta cĩ B® BE - BA + BC fu giác ABDC là hình bình hành, cho ta BD+AC 5 J BD-AB:BC BD + BE = BA+ BC+ AB+ BC = BD + BE = (BA+AB+ AB)+2BC => 2BC - BD + BE Đăng thức này chứng tỏ € là trung điểm của DE Cho hình bình hành ABCD
a) Xác định các điểm M, P sao cho AM = DB: MP - AB
Trang 7258 a) b) 259 a) 142 Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh AB = CD ~ AD va BC #6 cùng trung điêm Hướng dẫn
Ta cling much hai nệnh TẢ :
Nếu AB = CD thi hai doen “há, y AD, BC cĩ cùng trung điển | Gia su I la trung điểm cuu đduạn thầu, AI Theo hệ thức Chasles, ta cĩ : IB as 7" AK Vi I la trung diém cua AD nén IA = DI Mặt khác AB = CD Suyra IB lI g + Gœ!" Oy li œ®;: Oo By DI = CI > > > IB=CIl = IB+IC =0 hệ thức này chứng tỏ I là trung điểm của đoạn thắng BC Taco: Al = ID
Cl=IB => Al+IB=CIl+ID—> AB=CD
Cho O, A, B, € la bốn điểm bất kì trong mặt phẳng
._
Đặt OA =u; OB=v; OC=w
a) Dựng các điểm D; E; F sao cho :
OD=u+v-w: OE=u-v+w: OF =-u+v:w
b) Chứng minh rang A là trung điểm của đoạn thăng DE và C lì trung điểm của đoạn thẳng FD
—
e) Chứng minh hệ thức: OD+OE + OF =OA+OB+OC
Hướngdẫn
»
Trước hết dựng hình bình hành OAMB ta được OM = OA 4 OB -ut y
Trang 8b) c) 260 a) b)
OD-OM-.O0C = OD=OM -OC hay OD =u+v-w
Cac diém E, F dựng tương tự Ta cĩ OD = U4 v - w
OE =U=V+W
©CD+©E:2u = 20A-0D+0E
Đăng thức này chứng tỏ A là trung điểm của doan thang DE Trường hop diém C cũng chứng mình tương tự
Dé thay OD+ OE+OF =u +v+w Suy ra đpem Cho hai điểm A, B
rrr an ng + 332
a) Dung cac diém E, F sao cho: AE = = AB; AF = 5 AB b) Chứng mình hai đoạn thắng AB va EF co cing trung diém Hướng dan E và F thuộc đoạn thắng AB và cĩ độ dai AE = or} bo AB, AF = = AB Ta goi I la trung điểm của đoạn thang AB, ta cé : — AI = AE+ EL II AI = AF+ FI i 2 Al = AE+ AF+ El + FI 2 Al -2AB+2AB+ E+ FI 5 5 a)
Vi I la trung diém cua AB nén 2 AI - AB
Trang 9261 a) _b) 262 a) b) 144
Cho tam giác ABC
a) Chứng minh rằng với mọi điểm M trong mặt phẳng, ta cĩ : - MA +2MB-3MC- CA+2CB b) Dung diém D sao cho : DA +2DB-3DC = CA +2 CB Hướng dẫn Thế MA = MC + CA và MB = MC + CB vào vẽ trai, ta suy ra dpem Trước hết, dựng vectơ CC" - 2CB D A Dung hinh binh hanh ACC’D Taco: CD = CA + 2CB D là điểm cần dựng Cc B C
Cho tam giác ABC
a) Dựng điểm P thỏa mãn hệ thức: 3 PA - 2PBy PC = 0
b) Chứng minh rằng, vectơ v = 3MA-5MB+2 MC khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M trong mặt phẳng
Hướng dẫn
Thế PB = PA + AB; PC = PA+AC vào vế trái và rút gọn, ta dược :
Trang 10263 a) b) c) 264 Cho bén diém A, B, C, D a) Chứng minh hệ thức : AB + CD = AD + CB
b) M, N theo thu tu la trung diém cua các đoạn thẳng AB, CD Chung minh hệ thức : AD+ BD + AC + BC =4 MN c) AB = CD = AC = BD Hướng dẫn Tacĩ AB = AD+DB CD = CB+BD ch
.Cộng vế với vế và chú ý DB + BD = 0, suy ra đpem
Áp dụng cơng thức trung điểm để cĩ 2DM = DA + DB (1) 2CM = CA+CB (2) va 2MN=MD+MC (3) Từ (1), (2), (3) suy ra đpem - TừAB=CD = AC+CB=CB+BD = AC=BD -_ Ngược lại, từ > _——*®
AC=BD = AB+BC=BC+CD ‘= AB=CD
Trang 11265 | Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy các điểm D, E, F sao cho BD = DE ="EF = FC Chứng minh hệ thức :AB + AD+ AE+ AF + AC =5AE Hướng dẫn Áp dụng cơng thức trung điểm : 2 AE = AB+ AC > ` 9AE= AD + AF, 266Ì Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh hệ thức : a — AD+ BE + CF = AE + BF + CD = AF + BD+ CE Hướng dẫn —> AD+ BE + CF = AE + ED + BF + FE + CD + DF Kết hợp với DF + FE + ED = _—”
Suy ra AD+ BE+ CF - AE + BF + CD Phần cịn lại chứng minh tương tự
267] Cho tứ giác ABCD, cĩ AB khơng song song với CD; M,N,P, Q theo
Trang 12b) c) 269 a) b) Từ MQ= 5 AB: MP - 5 De va PQ-=MQ-MP Suy ra PQ = 5 (AB - DC) Dé thay MQ = PN Taco 2IM=IA+1D:2IN = IB+ IC; IM+ IN = 0 = IA + IB + IC + ID = 0 (*) Ta lại cĩ :
PA - PÏ+IA; PB=PI+IB; PC=PI+IC; PD= PI+ID
Két hop voi két qua (“) suy ra dpem
Cho tạm giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP
Hãy biểu thị các vectơ AB BC, CA theo các vectơ BN, CP Hướng dẫn : 2 BC - -2cP+2BN: 3 3 cA -2BN+4 3 3 cP AB = ®*BN+2CP | 3.3
Cho tam giác ABC, trọng tâm G và các đường trung tuyến AM, BP Gọi GŒ' là điểm đối xứng với điểm G qua điểm P
Trang 13270 271 272 a)
Cho hình bình hành ABCD; M và N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC? CD Hãy biểu diễn các vectơ BC, CD theo các vectơ AM AN Hướng dẫn D N Cc BC - -2aM+4AN 3 3 h › 4 -~> 2 > CD = -2AM+2AN 3 3 ˆ B
Cho tứ giác ABCD; M và N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AD, BC Hãy biểu diễn vectơ MN theo vectơ AB, DC va AC, DB -Hướng dẫn Sư dụng cơng thức trung điểm và hệ thức Chasles, ta được 1JAB: LDC; MN 2 2 MN SAC +2 DB
Cho AABC và D là điểm thưa mãn hệ thức 3 DB-2D6 = ở
Trang 142EM = EA+ EB Màt khác EB-EC - CB B M c EA Hệ thức đã cho trở thành 2EM+2CB = 0 = ME = CB ˆE nằm trên đường thắng BC và cĩ EM = CB 273 Cho hình bình hành ABCD, tam O; M, N theo thứ tự là trung điêm của
AB CD và P là điểm thơa mãn hệ thức OP = = 0A
a) Chung minh hệ thức : 3AP- 2 AC = 0
b) Chứng mình ba điểm B, P, N thang hang
Trang 16
A
Hướng dẫn
a) Dẻ thấy D là trung điểm của AB; G là Z| trong tam cua AABC; C la trimg diém /)
B | —\ Cc
cua doan thang AE Ta co: BE = BA+ AE
Tu AE -2CE taduse AC+CE =2CE E
= AC = CE => C là trung điểm của AE và ta cĩ AE = 2AC, do dé BE = BA+2AC (1) —> 1 > ——> —-> 1 —> MM Abie San = Be + CR = 3 ab & CD = BA - AC = 2 (BA + 2AC) (2) Từ (1 và (2) suyra BE =-2CD = BE/CD > b) Tw 2GD+GC - 0 => 2(GA + AD) +(GA + AC) = 0 + 3GA+2AD+AC = 0
Vi 2AD = AB nên tacĩ 3GA+ AB+ AC = 0
= 3GA = -(AB+ AC)
M la trung diém cua BC nén 2AM = AB + AC , do dé 2
3GA=-2AM => GA= 5 MA
——>
Hai vectơ GA và MA cùng phương, suy ra ba điểm A, M, G thẳng hàng
7@Ï Cho hình bình hành ABCD và hai điểm E, F thỏa mãn các hệ thức CE:ÌEB = 0: 2 DE+ JBD = 0 3
a) Chứng minh ba điểm A, E,F thẳng hàng
b) Xác định vị trí điểm M để hệ thức sau đây được thỏa mãn c¬— >
2AM-3AF = 0
Trang 17a) ‘b) 277 a) b) 152 Ta tinh được : AE = AF = oy AE = suy ra đpcm —>
Ta cĩ : AM = ^AE => AM = = (AM + ME) = AM=ME=0
M là trung điểm của CD
Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của cạnh BC và P, Qlà hai
điểm được xác định bởi các hệ thức: BP =BC-2AB ( CQ = k AC- BC (2) trong đĩ k là một số thực a) Biểu diễn các vectơ AP, AQ theo các vectơ AB, AC b) Xác định giá trị k để ba điểm A, P, Q thẳng hàng c) Xác định giá trị k để đường thang PQ di qua điểm M Hướng dẫn Ta cĩ, theo (1) thì : ` — BA + AP = BA+ AC-2AB > AP = -2AB+ AC Theo (2) thi: _
CA + AQ =k AC-(BA+ AC) => AQ =kAC+ AB
Trang 18c) 278 a) b) 1279 b)
Để đường thăng PQ đi qua M, ta tìm điều kiện để hai veetơ MP và MQ cùng phương (ba điểm M, P, Q thăng hàng) — _> Tir AP=-2AB+AC = AM+MP=-2AM+MB): AM+MC + AP=2MA-2MB+MC Vì M là trung điên của BC nên - MB`- MC ,„ do đĩ ta cĩ : MP = 2MA + 3MC Tương tự, ta tính được MQ =-k MA +(k-1) MC Đề MP và MQ cùng phương thì : = = = => k= = Cho tam giác ABC
a) Dựng các điểm PE, F, G thỏa mãn các đẳng thức:
— cá
BE=-3AB; BF=3AC, BG=BE+BF
b) Chứng minh điểm G nằm trên đường thẳng BC Hướng dẫn là Xem hình vẽ Ta cĩ : BG = BE + BF A — — = B G BG = 3BA+3AC C BG = 3BC => ba điểm B, C, G thẳng hàng £ ° Cho tam giác ABC a) Dựng các điểm E, F, M, N thỏa mãn các đắng thức
AE = = AB, BF = AB; EM=2BC; FN=4BC
b) Cac diém A, M, N cĩ thẳng hàng khơng ? Tại sao ? Hướng dẫn
Trang 19280 Cho tam giác ABC và hai điểm I, F xác định bởi các hệ thức : IA+31C = 0 q) FA+2FB+3FC = 0 (2) Chứng minh ba điểm I, F, B thang hang.- Hướng dẫn sigs > Tu (2) => FI+IA+2FB+3FI+ IC) = 0 281 b) 282 b) 154 > 2FB+4FI+IA+3IC = 0 vì theo (1) => IA+3IC = 0 nén 2FB+4 FI = 0 = FB +FT 2 FB, FI cùng phương = F,B,I thắng hàng
Cho tam giác ABC:
a) Dựng các điểm E và D sao cho : BE =2AB+2AC; 5AD=3AB+2AC b) Chứng minh các điểm A, D, E thắng hang Hướng dẫn Ta cĩ : 5AD = 2(AB + AC) + AB => 5 AD = BE+ AB ma BE = BA + AE => 5 AD = BA + AE + AB => 5 AD = AE = đpen Cho tam giác EDE
a) Dựng điểm H sao cho : EH = 4ED- 3 EF b) Chứng minh diém H nam trén DF
Hướng dẫn
Ta cĩ: ED+DH=4ED-3EF => DH =3(ED- EF)
=> DH =3 FD = suy re dpcen
Trang 20283 a) b) 284 a) c) 285
Cho tam giác ABC cĩ I la trung diém của trung tuyến AM và D là
điểm thỏa mân hệ thức AD = ; AC
a) Biéu dién cac vecto BD, BI theo cac vecto AB, AC
b) Chtmg minh ba diém B, I, D thang hang Huong dan Ta co: BD - AD- AB - LẠC AB (1) '9BÏ-BA:lBC => 2 BỈ- | BA: AC LJẠR) 2\ 3 2 | + pretac-2aB 4 4 (2) ` › 5 2E E2, ‘ Tu (1) va (2) suy ra: BI = ; BD => suy ra dpem Cho hình bình hành ABCD
Trang 21286 a) b) 287 a) b) 156 = TA + AE= l(IA+AD) Ạ 1 3 3 => AE=-21A++aD 3 8 | oD 2 — 1 oe D ‹ => AE = — AI] +—AD (1) 3 3
I la trung diém cua AB nén Al = = AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AE = (AB + AD)
ABCD la hinh binh hanh nén AB+ AD = AC
=> AE = ặ AC => suy ra đpem Cho tam giác ABC
a) Dựng các điểm I, E, F sao cho : AL = IC; 3CE = CB; AF = BA
b) Chứng minh ba điểm F, I, E thang hang Hướng dẫn
Độc giả dựng
Từ các hệ thức đã cho ta tính được :
IF = BA-~ AC, 1 =~g (BÀ - 2 AC)
=> IF = -3 IE => hai vectd IF, IE cùng phương => ba điểm F,I, E thẳng hàng Cho tam giác ABC
Trang 23291 292 a) 158
Trang 24b) 293 294 295 a) b) Vì M là trung điểm của AD nên AM + DM = 0, tương tự, NB+NC - 0 Vậy AB + DC = 2MN (dpem) Vi AB// DC = AB =k.DC Kết hợp với câu a ta cĩ Q2MN=kDC+DC = 2MN=(k+D)DC = MN=<DC Vay MN 1 DC Cho tam giác ABC, trọng tâm G; M là trung điểm của cạnh BC va I là điểm thỏa màn hệ thức : 4 CI + AC = 0 Ching minh MP // BG Hướng dẫn Hay ching minh MI = “BG
Cho tứ giác ABCD; E va F là trọng tâm của các tam giác ABD và BCD Chứng mình EF / AC Hướng dẫn Gọi I là trung điểm của đường chéo BD Ta cĩ : _> 1 —> _— IE =—IA ; 3 IF = _— lic 3 = IF - IE = SIC - 1A) =_ EF=.CA oo | Suy ra EF // AC Cho tam giác ABC; M là trung điểm của cạnh BC a ed a) Dựng các điểm D, E sao cho BD = 4BA va AE =3AC
Trang 25b) “> Mặt khác DA =DB+BA = -4BA+BA = -3BA =3AB _— Theo giả thiết AE = 3AC
> DE=3AB+3AC =3(AB+ AC) 1)
6AM = 6.2 (AB + AC) = 3LAB + AC) 2)
_—+
Từ (1) và (2) suy ra DE = 6.AM
Hai vectơ DE; AM cùng phương = DE // AM Cho tam giác ABC
Trang 26298 a) b) a)
Cho hinh binh hanh ABCD: I va J là các trung điểm cua AB, CD
a) Dựng các điểm E, F thỏa mãn :DE = ï DI: BF = : BJ
b) Chung minh AF // CE Huong dan Biểm FE thudc doan thang Df va thea man hé thtte Sĩ = 7 : sah - -, , BF 1 F thuộc đoạn thắng BJ va thoa man hé thitec — = — BJ 4 Ta cĩ: DI =DA+ Al -DA+= AB 4) BJ = BC+CJ =BC++CD 2 (2) 5 Nhờ : = i DR= BC; AB =O NA — ——> ———_ nên từ (1) và (2) suy ra DI = - B.J A I B và do đĩ DE =— BF (3) AF = AB+BF Ta lại cĩ : SỐ s CE = CD+ BE
Kết hợp với (3) suy ra : AF = -CE => AF/CE
Cho tam giác ABC với trọng tâm G và tam giác A'BC' với trọng tâm là điểm GŒ'
a) Chứng minh hệ thức : NẠ?¿ BB’ + cơ = aGŒ
Trang 27b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên : > GA+GB+GC = 0 = AG+BG+€G =% (2) Vi G' 1a trong tam cua tam gidc A’B'C’ nén : _— —— > > G'A+G'B+G'C 9 Tử (1, (2), (3) suyia — AA'+BR+CC =3GŒ", + _— Khi G = G' > GŒ - 0, Suy ra AA'+ BB’ + CC’ _— -Ngược lại, nếu AA's BB’ +CC' = 0 thi 3GG' hay GG’ = 0, suy ra G =Œ It O¢ (3) os Vậy : "Điều kiện cân và đủ để hai tam giác ABC và ABC c cùng => trọng tâm là AA'+ BB'+ CC = 0"
Cho hai tam giác ABC và A'BC' cĩ cùng trọng tâm là điểm G Gọi G¡, G¿, Gạ theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác BCA'; CAB, ABC’ Chứng minh G cũng là trọng tâm của AG:G;G:
Hướng dẫn
G; là trọng tâm: của ABCA' : GA’ + GB + GC = 3GG, G; là trọng tâm cua ACAB' : GB’ + GA + GC = 3GG;
— "¬
G; là trọng tâm của AABC': GC'+ GA + GB = 3GG;
— ——
ng -
G la trong tam cba AABC: GA+GB+GC = 0
Trang 28302 303 304 305
Cho hình bình hành ABCD và một điểm E Chứng minh hai tam giác ACE va BDE cung trong tam Hướng dẫn Gọi G là trọng tâm của tam giác ACE > Taco: GA+GC+GE = 0 ot a GB+BA+GD+DC+GE = 0 —> — — = GB+GD+GE+(BA+DC) = 0 Vì ABCD là hình bình hành nên:
AB=DC = DŒ-AB=0 = DC:BA=0
Vậy GB+GD+GE = 0 Đẳng thức cuối cùng này chứng to G la
trọng tâm của tam giác BDE
Cho tam giác ABC A' là điểm đối xứng của A qua B, B' là điểm đối xứng của C qua A, C' là điểm đối xứng của C qua A
Chứng minh hai tam giác ABC và A'BC' cĩ cùng trọng tâm
Hướng dẫn
~
Chung minh AA'+ BB’ + CC" = 0
Cho tam giác ABC, các đường cao AA’ BB’, CC’
Chứng minh nếu AA'+BB'+ Cc" = 0 thì tam giác ABC là tam giác đều
Hướng dẫn
AA’, BB’, CC’ giao nhau tại trực tâm H Đảng thức đã cho cũng cĩ
nghĩa là H cũng là trọng tâm của AABC Tam giác ABC cĩ trọng tâm và trực tâm trùng nhau
Cho tam giác ABC và D là một điểm bất kì; DA, DB, DC theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại A', B, C
Chứng minh rằng nếu ta cĩ BA’ -A'C+ CB’ ~ BA + AC - CB = 0 thi D là trọng tâm của tam giác ABC
Trang 29306 a) b) 164 Hướng dẫn seems Thay BA: = DA’ — DB; AC = DC 7 DA’: „ rút gọn ta đi đến AA'+ BB + CŒ = 0, suy ra dpcm
Cho tứ giác ABCD |
a) Xác định điểm G thỏa mãn hệ thức: GA+GB+GC+GD = 0 (*)
Điểm G thỏa mãn hệ thức (*) cũng được gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD
b) Goi G,, Ge, G3, G4, theo thứ tự là các trọng tâm của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB Chứng minh điểm G cũng là trọng tâm của
tứ giác Gi; Go, G3, Gy Hướng dẫn Ta cĩ : GA+GB+GC+GD = 0 | C 2 (GA + GB) + (GC + GD) = 0 D N Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, ta cĩ : M GA + GB =2 GP A P B G€ +GD- 2GQ = 2GP+2GQ=0 = GP+GQ=0
Đẳng thức này chứng tỏ G là trung điểm của đoạn thang PQ
Chú ý : Nếu gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC thì chứng minh tương tự, ta thấy G cũng là trung điểm của đoạn thẳng MN
G là giao điểm của PQ, MN Dễ thấy G là điểm duy nhất thỏa mãn hệ thức (*)
Người ta cũng chứng minh được G là trung điểm của đoạn thẳng nối hai trung điểm của các đường chéo AC, BD (Theo định lí Gergonne) G, 1a trong tam cua AABC : GA+GA+GC = 3GGì (1)
— men
Trang 30G, la trong tam cua AABC : GA+GC+GD = 3GG3 (3) G, la trong tam cua AABC : GA+ GB+ GD = 3GG (4) G là trọng tâm của tứ giác ABCD : GA+GB+GC+GD = 0 (5) Tu (1), (2), (3), (4), (5) suy ra dpem
307] Cho tam giác ABC, các trung tuyến AM, BP, trọng tâm G và Œ' là điểm đối xứng với điểm G qua P —+ oo) a) “lay biéu dién cdc vecto AG’; CG’ theo các vectơ AB, AC b) Chứng minh đẳng thức : AC -5 AB =6 MG’ Hướng dẫn ia) G là trung điểm của BG' : 2AG = AG'+ AB () AG = 2 AM va 2AM oo = AB+ AC Suy ra: AG = | (AB + AC) (2) ‘ Š , 2 KC 1 AB Từ (1) và (2) ta cĩ : AG' = 5 AC - Tá
Tương tự, ta tính được CG’ = -5 AB- "3 AC
Ib) Ta co: MG = MA+AG’
low —>
> MG'=- - (AB + AO) +2 AC 2 AB
5v An
=> MG’ = -> AB+= AC > 6 MG’ = AC - 5 AB
308 Cho tứ giác ABCD Qua đỉnh A kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, đường này cắt đường chéo BD tại điển E Đường thẳng qua B song song với cạnh AD, cắt đường chéo AC tại điểm F
Chung minh EF // CD
Trang 32
b) 310 311 a) Suy ra : AF = 5 AE => suy ra đpcm > 2 ——+ 9 —> —:+ _—> > AM =< AP > AM eae > AM+ME = 0
=> M1atrung diém cia AE
AD = CE = ADEC là hình bình hành Do đĩ M cũng là trung điểm
của đường chéo CD
Cho đoạn thắng AB xà một điểm C bất kì thuộc đoạn thẳng AB sao CA m cho as: Gọi S là một điểm bất kì trong mặt phẳng n „ ˆ „ — n —— m > Chứng minh hệ thức: SC = SA + SB m+n m+n i Hướng dẫn ‹ ⁄ 5 AC m : ie nư Ap dụng tính chất tỉ lệ thức, ta được —— = Hai vectơ AB, AC AB m+n ‘ cùng phương cho ta AC 2 ands m+n — _— — m — — AC = SC-SA = (SB - SA) m+n => sơ — SA+ ˆ ‘SB m+n m+n Cho tam giác ABC và hai điểm D, E thỏa mãn các hệ thức : (1: DB =kDC; (2): EB = + EC với kie-1
a) Biểu diễn các vectơ AD, AE, DE theo các vectơ AB, AC b) Chứng minh hai tam giác ABC và ADE cĩ cùng trọng tâm
Trang 33b) c) 312 168 AD = poe AO = AB k-1 k- ,1ú = k “sẻ Tương tự ta được AE = —— AC + AB k-1 k-1 Kết hợp hai đẳng thức này với DE = AE - AD ta được : DE - E+!(AB- AC) k-1 Từ (1) ta biến đổi và được pb - „nở Từ (2) ta được : Ee === oe Suy ra EC+DB = 0 ‘Tacé: GB = GD+ DB; GC = GE+EC — -+ GA+GB+GC = GA+GD+GE+EC+ DB _—
Vi GA+GB+GC = 0 va EC+DB = 0 suy ra 'GA+GD¿ GE = ( => G là trọng tâm của tam giác ADE
Tr Al=kIA => AI = -— AC
— — ~-1 => -
BI =BA+ Al suyra Bi = AC- AB
Từ giả thiết FA-=kFB = AF =TTTAB
và ta tính ra CF = _= AB- AC cho ta :
— — —> k "— -1 _—* _— + k —> =] —_ ——>
AD + BI + CF = 7 AC+ AC - AC + AB + AB - AB
k- k-1 k-1 k-1
=> AD BI +CF =
Cho tam giác ABC, trọng tâm G; D, E, F theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh BC CA, AB
Trang 34a) b) c) 313 a) b)
a) Chung minh AB + AB =BC+BC =CA+CA' = 0 b) Cĩ thể nĩi gì về ba đoạn thắng AA’, BB’ CC' ?
c) Goi M là giao điểm của AA' và BB' Chứng minh ba diém P, G, M thang hang Hướng dẫn Ta cĩ: AB = 2ED; A'B' = 2.DE _> ng AB + AB = 0
Chứng mình tương tự cho các hệ thức tiếp theo AA’, BB, CC' đồng quy tại 1 điểm Chứng minh hệ thức PM = = 5 3G ‘ Cho hình bình hành ABCD, tâm O và E, F là hai điểm được xác định bơi các hệ thức : AE = = AB: CF == CD, k #0 ed
a) Chứng minh OE và OF là hai vectơ đối nhau
Trang 35314] Cho tam giác ABC
a) Dựng các điểm D, E, F thỏa mãn các đẳng thức :
_—
AD=2AB-AC; BE=BD+2AC, CF -=FE
b) Chứng minh tứ giác ABEF là hình bình hành
Hướng dẫn a) Dựng điểm D :
Từ AD = 2AB - AC
_ Suy ra 2AB = AD+ AC hay AB là trung tuyến của AADC = B là trung điểm của DC Dụng điểm E : BE = BD+2AC = BD + DE = BD+2AC SN DE =2AC Từ D ta kẻ đường thẳng song song với AC và vẽ vectơ DE = 2AC Ta được điểm E _ Dựng điểm F :
Trang 36HII TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ! Trục tọa độ - Trục tọa độ là một đường thẳng trên đĩ đã xác định một điểm gốc O sys | va mét vecto don vi 1
- Trên trục tọa độ (O; ¿) thì :
+ u=ai = ala toa dé cua vecto u + OM = ik = m là tọa độ của điểm M
+ AB = ABi => AB la dé dai dai sé ctia Uectơ AB | 2 Hệ trục tọa độ
>
- Trong hé toa dé (O; i ; J) thi u(x, y) © > =xi+yJ
- Các kiến thức quan trọng uê tọa độ :
ø) Tọa độ của uectơ
A(xa, ya); B(xp,yn) => — AB = (xp ~ Xa; YB - YA)
~>* > > ~ 4 2 2
u=xe;t+ty.e2 & u=(x; y); lul=yx°+y
b) Cac phép toadn: u =(x; y); v =(x'; y')
> —>
e utvu=(x+x',y+y) Ỉ ® u-v =(x -x;y-y)
° hu = (kx; ky)
e_ Tích uơ hướng : u.0 = xx’ + yy’
~_ Điều biện hai uectơ cùng phương : xy -xy=0 ` —_ Điều kiện hai uectơ uuơng gĩc :' xx' + yy' = 0
c) Trung diém va trong tâm
e Cho A(xa, ya) va B(xp; yp)
1 là trung điểm của AB: x) = ng: vị = 2428
Trang 37
315 a) b) 316 317 172 e_ Cho tam giác ABC, G là trọng tâm : 1 1
XG = sữa + Xp + %C); Ya = sửa + yn + Yo)
s_ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k i — — ` XA-kx ýA — ky MA=kMB_ thi: xm = 4——48; MS Tok | OM = “AUB ok #1 Tk jj BAI TAP Cho ba điểm A(2; -1); B(3; 4); C(-5; 2) * _—> —> ——> a) Xác định tọa độ các vectơ OA; OB; OC —— b) Xác định điểm M thỏa mãn hệ thức : MA +2MB+3MC = 0 Hướng dẫn Ta cĩ : OA = (2; —1); OB = (3; 4); OC = (-5; 2) Từ hệ thức đã cho ta cĩ: 6OM=OA+2OB+3OC = MÌ~§: | \ Cho hai điểm A(3; 0), B(-3; 0) Xác định các điểm C, D thỏa: mãn các hệ thức: CA+3CB =0; DA-8DB =0 Hướng dẫn ` 3 C| ; 0); (-3 D(-6; 0) (-6; 0) Cho bốn điểm A(1; 0); B(-2; 1); C(-2; 0); D(-1; 3) _—=>
a) Tính các vectơ: AB; CD; AC: DB: AD; BC
b) Nghiệm lại hệ thức : AB+3CD +10 BC =0 Hướng dẫn
AB = (-3; 1); CD=(1; 3); AC =(-3; 0);
aa
Trang 38318 a) b) 319 a) b) 320 ` ⁄ \ ` Ì: œ4; -b; DỊ 3; 3 l5
Cho bốn điểm A(-1; 5): BÍ2: |
a) Chứng minh điểm D nằm trên đường thắng AB b) Chứng minh điểm B thuộc đoạn thẳng AC Hướng dẫn ma cé AB = {3-2]-a(2;-3] (1) > \ ap -{4 -2)-4{1, -3) (2) (3 / 3\ 27 Từ (1) và (2) suy ra : AD = = AB
đăng thức này chứng tỏ hai vectơ AD, AB cùng phương Vậy ba điểm
A,B D thẳng hàng, hay điểm D nằm trên đường thẳng AB
Ta cĩ BA - | -3; 5): BC =(1; - 3)
2 27
Từ đây ta cĩ BA = -3 BC
— we
đắng thức này chứng tỏ BA và BC là hai vectơ ngược hướng Vậy điểm B nằm giữa hai điểm A, C hay điểm B thuộc đoạn thắng AC
Cho bốn điểm AL-2; 4); B(2; 0); C(3; -1), D(1; 1)
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm trên một đường thẳng b) Xác định _ trí tương đối giữa bốn điểm ấy
Hướng dẫn
— Tê
Xét các vectơ AB, AC và BD, BC
Điểm B nằm giữa hai điểm D, C D nằm giữa hai điểm A B Thứ tự sắp xếp như sau : A, D, B, C Cho 3 điểm A(-6; 2); B(2; 6); C(7; -£)
a) Chứng minh ba điểm A, B, C là các đỉnh của một tam giác
b) Tìm điểm D trong mặt phẳng sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành
Trang 39174
Hướng dẫn
a) Tacé: AB =(8:4), AC =(13;-10)
Trang 40¢, hung 2 4
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
§1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC BẤT KÌ (TỪ 0° DEN 180°) KIEN THÚC CƠ BẢN 1 Giá trị lượng giác của các gĩc phụ nhau (a ouà 90°- a) sina = cos(907 - ø); tana = cot(907 - ø); 2 Giá trị lượng giác của các gĩc bù nhau sina = sin(1800 - ø); cosa = sin(90° — @ cota = tan(90° - ø) cosa = -cos(180° — @ tana = -tan(180° ~ a); cota = -cot(180° - @)