Đề tài “Góp phần giúp học sinh học tốt hình học không gian qua khai thác một số bài toán cơ bản” nhằm nêu ra kinh nghiệm của bản thân về việc giảng dạy cho học sinh học tập môn toán THPT, giúp học sinh được tiếp thu các kiến thức toán một cách chủ động, tích cực, tạo sự hứng thú trong học toán qua đó góp phần phát triển một số thành tố năng lực cho người học. Đề tài có thể áp dụng để giảng dạy tất cả các đối tượng học sinh THPT sau khi học xong kiến thức góc, khoảng cách, thể tích khối đa diện. Đề tài cũng giúp học sinh 12 ôn tập một số kiến thức quan trọng phục vụ cho kì thi THPTQG.
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Trong cơng cuộc đổi mới căn bản và tồn diện nền giáo dục nước nhà, đổi mới nội dung, chương trình dạy học và đi kèm theo đó là đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu. Chương trình dạy học mới được xây dựng theo quan điểm tiếp cận năng lực người học, kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển tồn diện cả về phẩm chất và năng lực, hài hồ đức, trí, thể, mĩ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh. Để giải được một bài tốn thì điều quan trọng nhất là chúng ta phải lựa chọn được phương pháp phù hợp để giải bài tốn đó. Các bài tốn, đặc biệt là các bài tốn về liên quan đến góc, khoảng cách…rất đa dạng và phong phú vì thế địi hỏi người dạy cần luyện cho học sinh khả năng suy luận có lí, biết quy lạ về quen đển giải quyết các bài tốn. Đối với học sinh THPT rất nhiều học sinh ngại khi gặp các bài tốn liên quan đến góc và khoảng cách. Đối với việc hướng dẫn giải một số bài tốn liên quan đến góc, khoảng cách trong sách giáo khoa một lớp có nhiều đối tượng học sinh, một mặt làm giảm đi việc "sợ" hình khơng gian ở nhiều học sinh, mặt khác khơng làm nhàm chán học sinh khá giỏi khi giải dạng tốn này, người giáo viên nên hướng dẫn học sinh tìm ra các cách giải khác nhau, xây dựng thành các chuỗi bài tập có hệ thống. Trong q trình giảng dạy tốn cần thường xun rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng đạo đức trong cuộc sống của học sinh. Đối với học sinh yếu kém cần tạo nên cho các em có hứng thứ học tập mơn Tốn, cịn đối với các học sinh khá giỏi cần rèn luyện cho các em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần thiết trong việc học tốn. Chính vì vậy việc dạy học Tốn khơng đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số vốn kiến thức thơng qua việc làm bài tập càng nhiều càng tốt, càng khó càng hay mà phải cần thiết rèn luyện khả năng tư duy, suy luận có lí để giải bài tốn Để có một bài giảng thu hút được học trị, giúp học trị phát triển tư duy mơn tốn và dẫn dắt học trị tới niềm say mê tìm tịi sáng tạo, tơi cũng như bao giáo viên u nghề và u tốn khác thường trăn trở với những khó khăn của học trị trong q trình tiếp cận từng bài tốn. Nếu dạy tốn chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh các kiến thức có sẵn ở sách giáo khoa thì chắc chắn mơn tốn là mơn học nhàm chán, khó khơi dậy học sinh sự tìm tịi, tự học, tự sáng tạo. Xuất phát từ những lí do đó tơi chọn đề tài “Góp phần giúp học sinh học tốt hình học khơng gian qua khai thác một số bài tốn cơ bản” 2. Đối tượng nghiên cứu Trang 1 Các bài tốn hình học khơng gian liên quan đến góc, khoảng cách, thể tích Khó khăn thường gặp của học sinh trong q trình học tập nói chung và học tốn nói riêng 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các nội dung trong sách giáo khoa, sách giáo viên tốn THPT; các tài liệu liên quan đến việc dạy học theo chương trình mới 2018; các tài liệu tham khảo; các đề thi tuyển sinh đại học, đề thi THPT Quốc gia; thực tiễn giảng dạy của giáo viên và học sinh; thực tiễn giảng dạy của bản thân để hệ thống hóa, phân dạng và đưa ra cách phân tích bài tốn cùng với các kỹ thuật tương ứng để giải quyết tốt các bài tốn liên quan đến góc và khoảng cách. 4. Mục đích nghiên cứu Đề tài “Góp phần giúp học sinh học tốt hình học khơng gian qua khai thác một số bài tốn cơ bản” nhằm nêu ra kinh nghiệm của bản thân về việc giảng dạy cho học sinh học tập mơn tốn THPT, giúp học sinh được tiếp thu các kiến thức tốn một cách chủ động, tích cực, tạo sự hứng thú trong học tốn qua đó góp phần phát triển một số thành tố năng lực cho người học. Đề tài có thể áp dụng để giảng dạy tất cả các đối tượng học sinh THPT sau khi học xong kiến thức góc, khoảng cách, thể tích khối đa diện. Đề tài cũng giúp học sinh 12 ơn tập một số kiến thức quan trọng phục vụ cho kì thi THPTQG 5. Phương pháp nghiên cứu 5.1. Phương pháp chính Phương pháp nghiên cứu lí luận: tham khảo tài liệu, sách giáo khoa. Phương pháp điều tra thực tiễn: quan sát, khảo sát để tìm hiểu sự hứng thú trong học tốn của học sinh cũng như trong việc giải các bài tốn hình học khơng gian Phương pháp thực nghiệm sư phạm: thực hành thơng qua q trình giảng dạy 5.2. Phương pháp bổ trợ Phương pháp thống kê: Kiểm tra kết quả học tập của học sinh, điểm số của học sinh qua các kì kiểm tra thực nghiệm, kì thi THPT quốc gia, từ đó thấy được mức độ và hiệu quả đạt được của việc áp dụng đề tài. *** Trang 2 II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1. Khái niệm năng lực Trong chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực, khái niệm năng lực được hiểu theo nhiều cách khác nhau, theo (W.Westera, 2001), năng lực thường được liên tưởng với tay nghề cao và có mối liên hệ trực tiếp trong lĩnh vực giáo dục giữa năng lực nghề nghiệp của giáo viên và thực hiện của học sinh. Có hai nghĩa khác biệt của từ “năng lực” trong giáo dục Theo quan điểm lí thuyết, năng lực được hiểu là một cấu trúc nhận thức mà làm cho dễ dàng các hành vi được định rõ. Theo quan điểm hoạt động, năng lực dường như bao hàm một hàm vi rộng lớn các kĩ năng và hành vi bậc cao mà chúng tiêu biểu cho khả năng giải quyết các tình huống phức tạp, khơng thể đốn trước. Định nghĩa về mặt thực hành này bao gồm kiến thức, kĩ năng, thái độ, siêu nhận thức và tư duy chiến lược, và phỏng đốn việc ra quyết định một cách có ý thức và chủ tâm. Hiện nay, quan điểm thứ hai về năng lực ở trên được dùng phổ biến trong giáo dục. Trong bài viết này tơi quan tâm sử dụng nội hàm này dưới góc độ: Năng lực là sự kết nối tri thức, hiểu biết, khả năng và mong muốn Giáo dục định hướng phát triển năng lực (NL) nhằm mục tiêu phát triển NL người học, đảm bảo chất lượng đầu ra của việc dạy học, thực hiện mục tiêu phát triển tồn diện các phẩm chất nhân cách, chú trọng NL vận dụng tri thức trong những tình huống thực tiễn nhằm chuẩn bị cho con người năng lực giải quyết các tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp. Như vậy, ngay trong q trình học tập nhà trường phổ thơng, HS cần được hình thành và phát triển năng lực vận dụng kiến thức Như vậy, có thể nhìn nhận một cách tổng qt, NL ln gắn với khả năng thực hiện, nghĩa là phải biết làm chứ khơng dừng lại ở hiểu. Hành động “làm” đây lại gắn với những yêu cầu cụ thể về kiến thức, kĩ năng, thái độ để đạt được kết quả 1.1 Các loại năng lực Hiện nay, người ta thường chia năng lực thành năng lực chung, cốt lõi và năng lực chun biệt, trong đó năng lực chung, cốt lõi là năng lực cơ bản cần thiết làm nền tảng để phát triển năng lực chun biệt 1.1.1 Năng lực chung Năng lực chung NL chung là những NL cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi làm nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề nghiệp như: NL trí tuệ, NL về ngơn ngữ và tính tốn, NL giao tiếp, NL Trang 3 vận động. Các NL này được hình thành và phát triển dựa trên bản năng di truyền của con người, q trình giáo dục và trải nghiệm trong cuộc sống; đáp ứng u cầu của nhiều loại hình hoạt động khác nhau. Tùy thuộc vào phương pháp thiết kế chương trình, các nhà nghiên cứu có 2 cách tiếp cận phát triển chương trình giáo dục phổ thơng, đó là: Tiếp cận dựa vào nội dung nghĩa là tập trung chủ yếu vào các chi tiết của mơn học, có tính chỉ đạo cao, cố định cả về cấu trúc và phân bổ thời gian Việc học tập của HS nhấn mạnh vào ghi nhớ và tái tạo kiến thức đã có Tiếp cận dựa vào kết quả đầu ra nghĩa là xác định học sinh cần đạt đƣợc hệ thống những nhóm NL chung từng mơn học vào cuối giai đoạn cụ thể. Chương trình tiếp cận NL thực chất vẫn là cách tiếp cận kết quả đầu ra Tuy nhiên đầu ra ở đây tập trung vào hệ thống NL của ngƣời học, chú ý đầu ra cần đạt, các NL cần cho cuộc sống, học tập và tham gia có hiệu quả trong xã hội Cụ thể là những nhóm NL sau: + Nhóm NL làm chủ và phát triển bản thân: NL tự học, NL giải quyết vấn đề, NL tư duy, NL quản lí + Nhóm NL về quan hệ xã hội: NL giao tiếp, NL hợp tác + Nhóm NL cơng cụ: NL sử dụng cơng nghệ thơng tin và truyền thơng (ICT), NL sử dụng ngơn ngữ, NL tính tốn. Cách tiếp cận đầu ra trả lời cho câu hỏi: chúng ta muốn học sinh biết những gì và có thể làm được những gì 1.1.2 Năng lực chun biệt Năng lực chun biệt là những NL được hình thành và phát triển trên cơ sở các NL chung theo định hướng chun sâu, riêng biệt trong các loại hình hoạt động, cơng việc hoặc tình huống, mơi trƣờng đặc thù, cần thiết cho những hoạt động chun biệt, đáp ứng u cầu hẹp hơn của một hoạt động như tốn học, âm nhạc, mĩ thuật, thể thao… Như vậy, NL chun biệt là sản phẩm của một mơn học cụ thể, được hình thành và phát triển do một lĩnh vực hoặc một mơn học nào đó Trong (Trần Kiều, 2015) cho rằng: một số năng lực chủ yếu cần được hình thành và phát triển cho học sinh phổ thơng nước ta khi học tốn trong mối quan hệ chặt chẽ với những năng lực chung và phản ánh đặc thù của mơn Tốn, những năng lực đó là: Năng lực tư duy với các thao tác chủ yếu như: phân tích và tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái qt hóa…; đặc biệt lưu ý đến năng lực tư duy logic trong suy diễn, lập luận đồng thời coi trọng tư duy phê phán, sáng tạo, cũng như các yếu tố dự đốn, tìm tịi, trực giác tốn học, tưởng tượng khơng gian Trang 4 Năng lực giải quyết vấn đề đây là mọt trong những năng lực mà mơn Tốn có nhiều thuận lợi để phát triển cho người học qua việc tiếp nhận khái niệm, chứng minh các mệnh đề tốn học và đặc biệt là qua giải tốn Năng lực mơ hình hóa tốn học từ các tình huống thực tiễn giả định hoặc tình huống thực trong cuộc sống. Đây là năng lực cần phải được quan tâmnhiều hơn nữa trong các trường phổ thơng ở nước ta Năng lực giao tiếp (qua nói và viết) liên quan tới việc sử dụng có hiệu ngơn ngữ tốn học (chữ, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic, ) kết hợp với ngơn ngữ thơng thường. Năng lực này được thể hiện qua việc hiểu các văn bản tốn học, đặt câu hỏi, trả lời câu hỏi, lập luận khi chứng minh sự đúng đắn của các mệnh đề, khi giải tốn Năng lực sử dụng các cơng cụ, phương tiện học tốn: bao gồm các phương tiện thơng thường, đặc biệt là phương tiện gắn chặt với việc sử dụng cơng nghệ thơng tin Năng lực tự học tốn: với phương pháp phù hợp, đồng thời hợp tác được với người khác một cách hiệu quả trong q trình học tập tốn 2. Đổi mới phương pháp dạy học với việc phát năng lực của học sinh Tổng qt về đổi mới phương pháp dạy học các mơn học thuộc chương trình giáo dục định hướng phát triển năng lực là: Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học , hình thành và phát triển năng lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thơng tin), trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy. Có thể chọn lựa một cách linh hoạt các phương pháp chung và phương pháp đặc thù của mơn học để thực hiện. Tuy nhiên dù sử dụng bất kỳ phương pháp nào cũng phải đảm bảo được ngun tắc “Học sinh tự mình hồn thành nhiệm vụ nhận thức với sự tổ chức, hướng dẫn của giao viên” ́ Việc sử dụng phương pháp dạy học gắn chặt với các hình thức tổ chức dạy học. Tuy theo m ̀ ục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà có những hình thức tổ chức thích hợp như học cá nhân, học nhóm; học trong lớp, học ở ngồi lớp. Sử dụng các phương pháp dạy học tích cực, chú ý cho học sinh thực hành, vận dụng kiến thức vào tình huống có tính phức hợp, tìm tịi, khám phá, nghiên cứu, thực hiện các dự án học tập, thảo luận, thuyết minh, nâng cao hứng thú cho người học 3. Một số kiến thức cơ bản được sử dụng trong đề tài 3.1. Góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian Định nghĩa 1 Góc giữa hai đường thẳng và trong khơng gian là góc giữa hai đường thẳng và cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với và Trang 5 Nhận xét: Góc giữa hai đường thẳng và ln khơng tù nên 3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Định nghĩa 2 Cho đường thẳng và mặt phẳng Trường hợp đường thẳng vng góc với mặt phẳng thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Trường hợp đường thẳng khơng vng góc với mặt phẳng thì góc giữa và hình chiếu của nó trên gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nhận xét: 3.3. Góc giữa hai mặt phẳng Định nghĩa 3 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai mặt phẳng đó. 3.4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho điểm và đường thẳng . Trong mặt phẳng gọi là hình chiếu vng góc của trên . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm và được gọi là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và được kí hiệu là 3.5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cho điểm và mặt phẳng . Gọi là hình chiếu vng góc của lên mặt phẳng . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm và được gọi là khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và được kí hiệu 4. Một số tính chất bổ trợ được sử để giải quyết các bài tốn trong đề tài Trang 6 4.1. Tính chất 1: Cho hình chóp có , đáy là tam giác vng tại . Gọi lần lượt là hình chiếu vng góc của lên các cạnh . Ta có các kết quả sau i. ii. iii. Chứng minh i. Từ giả thiết ta có ii. Từ kết chứng minh trên ta có mà , kết hợp với giả thiết ta suy ra iii. Do , kết hợp giả thiết suy ra 4.2. Tính chất 2: Thể tích tứ diện được tính theo cơng thức Chứng minh: Gọi là hình chiếu vng góc của lên mặt phẳng , ta có Đây là kết quả cần chứng minh 5. Một số kí hiệu được sử dụng trong đề tài TT KÍ HIỆU NỘI DUNG KÍ HIỆU Góc giữa hai đường thẳng và Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng và Diện tích tam giác Thể tích khối chóp Trang 7 Chương II: THỰC TRẠNG TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC CỦA ĐỀ TÀI 1. Về cấu trúc SGK và cấu trúc đề thi THPTQG 1.1 Về chương trình và sách giáo khoa Các kiến thức hình học khơng gian liên quan đến thể tích, góc, khoảng cách sách giáo khoa trình bày chương cuối sách Hình học 11 Chương đầu sách Hình học 12 Các hệ thống các bài tập được đưa ra sách giáo khoa nhiều nhưng chưa đủ đáp ứng cho học sinh luyện tập thi THPTQG 1.2. Về đề thi THPTQG trong những năm qua Đề thi THPT quốc gia trong mấy năm qua bài tốn hình học liên quan đến thể tích, góc, khoảng cách thường xun xuất hiện trong đề thi THPTQG ở đầy đủ các mức độ NB, TH, VD, VDC 2. Thực trạng của học sinh. Đa số học sinh chưa có thói quen tư duy khi gặp các bài tốn hình học mà thường chỉ biết lặp lại những kiến thức của giáo viên truyền thụ nên khơng giải được. Trong thực tế, nhiều học sinh chưa hứng thú với mơn hình học khơng gian, học sinh thường ngại khi gặp các bài tốn liên quan đến góc, khoảng cách bởi các lí do: Học sinh khơng nắm vững lí thuyết cơ bản, chưa chịu khó khai thác sâu hơn các bài tốn cơ bản để thấy được mối liên hệ lơgic giữa các bài tốn, xâu chuỗi các kiến thức với nhau Trong q trình giảng dạy giáo viên chưa thực sự đầu tư để luyện tập cho học sinh biết suy luận có lí * Bảng số liệu khảo sát 3 lớp học sinh khối 12 năm học 2020 2021 của trường tơi với câu hỏi: Em có hứng thú khi gặp các bài tốn hình học khơng gian khơng? Tổng số HS khảo sát Số HS hứng thú Số HS ít hứng thú Số HS khơng hứng thú Số HS khơng có ý kiến 115 37 68 Bảng khảo sát cho thấy thực trạng các em khơng hứng thú khi gặp các bài hình học khơng gian cho thấy việc dạy học và luyện giải các bài tốn hình học khơng gian chưa thực sự được chú trọng hoặc chưa tìm ra cách dạy học phù hợp 3. Thực trạng của giáo viên Trang 8 Lâu nay, nhiều giáo viên dạy học làm các bài tốn thuần túy mà chưa chú trọng hướng dẫn học sinh cách suy luận có lí. Việc giảng dạy chỉ thuần túy truyền thụ kiến thức một chiều mà chưa cho học sinh tìm tịi, mở rộng, phát triển bài tốn Mặt khác, do áp lực khối lượng kiến thức mơn học q nhiều, thời lượng ngắn nên việc rèn luyện kĩ năng giải tốn cho học sinh là khơng nhiều Chưa chú trọng việc dạy cho học sinh cách tư duy mà mới chỉ dạy học truyền thụ một chiều Một số giáo viên chưa chịu khó đầu tư về chun mơn, mới chỉ dừng lại ở việc góp nhặt các bài tốn để ra cho học sinh giải chứ chưa có định hướng để giúp học sinh tìm tịi, mở rộng 4. Tổng quan về đề tài và một số kết quả đạt được Hiện nay theo cá nhân tơi được biết có rất nhiều đề tài SKKN đề cập đến chủ đề góc, khoảng cách. Các đề tài mà tơi được tìm hiểu chưa đề cập đến q trình thiết kế các hoạt động dạy học xây dựng cho học sinh tìm tịi, mở rộng các bài tốn một cách hồn tồn tự nhiên để tạo sự hứng thú, gây kích thích tìm tịi học tập cho học sinh; Trong đề tài này tơi xin được đề cập đến những vấn đề sau: + Đề tài đã xây dựng mới được hệ thống các bài tập xuất phát từ những bài tập cơ bản + Đề tài đã định hướng cho học sinh khai thác hiệu quả một số các tính chất được xây dựng sau khi giải các bài tốn cơ bản và vận dụng các tính chất đó giải các bài tốn khó + Đề tài đã xây dựng được một số kỹ thuật giải các bài tốn liên quan đến thể tích, góc, khoảng cách + Đề tài cũng đưa ra một số hướng dẫn giúp giáo viên định hướng q trình tìm tịi sáng tạo cho học sinh thơng qua xây dựng các bài tốn mới từ những bài tốn cơ bản *** Trang 9 Chương III. KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TỐN CƠ BẢN NHẰM PHÁT TRIỂN CHO NGƯỜI HỌC KHẢ NĂNG SUY LUẬN CĨ LÍ 1. Khai thác bài tốn tìm góc giữa hai mặt phẳng bằng phương pháp sử dụng định nghĩa Xuất phát từ bài tốn sau Bài tốn 1. Cho hình chóp có , . Đáy là tam giác vng cân tại , . Gọi lần lượt là hình chiếu vng góc của lên các cạnh . Tính góc giữa hai mặt phẳng và Giải Dễ chứng minh được suy ra do đó Theo giả thiết nên (1) Lại có nên kết hợp với (1) ta suy ra góc giữa hai mặt phẳng và là góc giữa hai đường thẳng và Từ giả thiết ta có nên tam giác vng cân, suy ra Vậy góc giữa hai mặt phẳng và bằng Nhận xét: Đây là bài tốn khơng q khó, nhưng với rất nhiều học sinh sẽ gặp khó khăn do lựa chọn phương pháp giải khơng phù hợp Ở bài tốn trên ta đã sử dụng định nghĩa để tìm góc giữa hai mặt phẳng. Từ cách giải quyết bài tốn trên ta có kết quả sau: Tính chất 3: Cho hình chóp có , đáy là tam giác vng tại . Gọi lần lượt là hình chiếu vng góc của lên các cạnh . Lúc đó Trang 10 Giải: Gọi là trung điểm cạnh , từ giả thiết suy ra Dễ dàng tìm được , diện tích tam giác là Từ giả thiết suy ra thể tích khối chóp là Mặt khác (1). Ta có , (sử dụng cơng thức Hêrơng), thay vào cơng thức (1) ta có do đó * Qua các ví dụ trên ta thấy khai thác Tính chất 2 giúp giải quyết nhanh gọn một số các bài tốn liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng Trang 24 3. Khai thác bài tốn tính thể tích khi chưa có yếu tố chân đường cao Xuất phát từ bài tốn đơn giản sau Bài tốn 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh bằng Giải: Gọi là trọng tâm tam giác ( cũng là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ) thì theo tính chất chóp đều ta có và từ đó tìm được thể tích tứ diện đều là Nhận xét: Dĩ nhiên đây là bài tốn cơ bản, nếu học sinh nắm kiến thức cơ bản sẽ làm được, nhưng nếu chỉ dừng lại ở đây thì chỉ giúp học sinh nắm được cơng thức tính thể tích và củng cố 1 tính chất của chóp đều là chân đường cao trùng với tâm đáy Trong bài tốn trên, nhờ yếu tố đặc biệt của hình chóp đều nêu giúp ta tìm được chân đường cao hình chóp, đó là mấu chốt để giải bài tốn này. Vấn đề đặt ra là nếu ta chưa biết tính chất đó thì làm thế nào để tìm ra chân đường cao? Khi đặt ra câu hỏi này, nhiều học sinh đã biết giả định xác định được chân đường cao và chứng minh được dẫn đến là tâm đường trịn ngoại tiếp đáy, đây là suy luận có lí và suy luận đó sẽ giúp ta tiếp tục khai tác sâu hơn về bài tốn này. (Từ đây, phương pháp xác định chân đường cao như trên tơi tạm gọi là Phương pháp giả định chân đường cao Từ Bài tốn 1 tơi thay đổi giả thiết với ý tưởng tạo ra một hình chóp mới có đỉnh là điểm đối xứng với qua điểm và đề xuất bài tốn sau Bài tốn 2: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng , , . Tính theo thể tích khối chóp Phân tích: Rõ ràng đây là bài tốn chưa nhìn ra ngay chân đường cao, tuy nhiên phân tích bài tốn ta thấy trung điểm cạnh của Sài tốn 2 chính là đỉnh Bài tốn 1, do đó ta có cách giải quyết như sau Trang 25 Giải: Gọi là trung điểm cạnh , theo giả thiết , suy ra do đó, theo kết quả Bài tốn 1 ta có Suy ra Nhận xét: Với Bài tốn 2, việc tìm ra trung điẻm có vẻ thiếu tự nhiên. Vấn đề đặt ra là nếu học sinh khơng nhận tính chất đường trung tuyến trong tam giác vng để đưa về Bài tốn 1 thì có cách nào để tìm chân đường cao hình chóp khơng? Bằng tư duy của phương pháp giả định chân đường cao đã nói ở trên, giáo viên sẽ định hướng cho học sinh cách suy luận có lí để tìm ra chân đường cao Giả sử là chân đường cao hình chóp ta có (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra cách xác định điểm như sau: Trang 26 Trong mặt phẳng lần lượt kẻ hai đường thẳng vng góc với tại , đường thẳng vng góc với tại . Lúc đó . Với cách xác định chân đường cao theo cách này vẫn giúp ta giải quyết bài tốn, tuy khơng nhanh bằng cách giải đã nêu nhưng quan trọng là đã giúp học sinh biết suy luận có lí để giải quyết các bài tốn “khơng đặc biệt” như Bài tốn Tiếp tục suy luận đó, tơi xây dựng Bài tốn 3 sau đây Bài tốn 3: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng , , . Tính theo thể tích khối chóp Nhận xét: Rõ ràng bài tốn này khi lấy điểm là trung điểm ta sẽ khơng tìm thấy sự “may mắn” như cách đã trình bày ở Bài tốn 2. Nhưng với cách suy luận đã nêu thì ta hồn tồn tìm được chân đường cao của hình chóp. Giải Trong mặt phẳng lần lượt kẻ hai đường thẳng vng góc với tại , đường thẳng vng góc với tại . Gọi . Kết hợp giả thiết và cách dựng điểm ta có (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra , dễ thấy Trong tam giác vng có Thể tích khối chóp cần tìm là * Tương tự ta xây dựng bài tốn sau Bài tốn 4. Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác đều cạnh và . Biết góc giữa đường thẳng và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Giải: Với phương pháp trên ta hồn tồn tìm được chân đường cao của hình chóp và từ đó tìm được Trang 27 Đáp số: * Tiếp tục lồng ghép “ý tưởng” trên vào các hình chóp tứ giác, hình lăng trụ…ta sẽ có các bài tốn hay khác Bài tốn 5. Cho hình chóp có đáy là hình thang , , . Biết rằng và . Cạnh bên hợp với đáy một góc . Tính tan góc giữa mặt phẳng và Phân tích bài tốn Ở bài tốn này ta cũng chưa xác định được ngay chân đường cao của hình chóp (việc xác định được chân đường cao giúp ta tìm được góc giữa hai mặt phẳng và Ta sử dụng phương pháp giả định chân đường cao dựa vào giả thiết và Giả sử là chân đường cao của hình chóp , do dẫn tới chân đường cao phải nằm trên đường trung trực của cạnh (trong mặt phẳng ) (1) Do nên nằm trên đường thẳng qua điểm và vng góc với (2) Từ (1) và (2) ta tìm được . Dễ thấy nên là hình bình hành do đó đối xứng qua suy ra . Từ đó ta có cách giải như sau Giải Trang 28 S C B O H E M D A Gọi là đỉnh thứ tư của hình vng , khi đó là trung điểm , gọi trung điểm , là trung điểm ta có là điểm đối xứng với qua suy ra . Theo cách xác định điểm kết hợp với giả thiết suy ra Ta có Vì nên góc giữa và là góc nên . Lại có và nên góc giữa hai mặt phẳng và là Suy ra . Đáp số: * Tiếp theo ta tạo ra bài tốn vừa che dấu chân đường cao, vừa dấu đi một đỉnh của hình chóp cần tính thể tích, bài tốn này sẽ giúp học sinh củng cố khả năng vận dụng phương pháp giả định chân đường cao Bài tốn 5. Cho hình chóp có đáy là hình vng cạnh , mặt bên là tam giác đều, mặt bên là tam giác vng cân tại . Gọi là điểm thuộc đường thẳng sao cho . Tính theo thể tích khối chóp Nhận xét: Rõ ràng bài tốn này chữa dễ thấy ngay chân đường cao và do đó chưa thể xác định điểm một cách chính xác. Thực tế dạy học các lớp chưa được luyện tập nhiều về các phương pháp giải tốn thì nhiều em học sinh thậm chí khơng thể vẽ được hình Phân tích Trang 29 Gọi là chân đường cao của hình chóp , từ giả thiết mặt bên là tam giác đều, mặt bên là tam giác vng cân tại ta suy ra nằm trên đường trung trực cạnh Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh . Xét tam giác có , , suy ra tam giác vng tại suy ra Bây giờ ta phân tích để tìm điểm bằng giả định: Giả sử thỏa mãn suy ra do đó tìm được Từ đó ta tìm được thể tích khối chóp là ( ta tìm được Trang 30 Đáp số : * Để củng cố, luyện tập cho học sinh nắm vững các kiến thức liên quan đến góc, khoảng cách, đồng thời kiểm chứng hiệu quả của việc khai thác các tính chất cơ bản đã nêu, tơi đưa ra ví dụ sau đây và u cầu học sinh giải theo nhiều cách khác nhau Bài tập củng cố: Cho hình chóp đáy là hình vng cạnh bằng , là trung điểm cạnh , và . Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng và Nhận xét: Với bài tốn này học sinh đã đưa ra được một số cách giải quyết như sau Cách 1: (đa số học sinh đều nhanh chóng đưa ra cách giải quyết này) Hai mặt phẳng và chứa hai mặt bên của tứ diện có đầy đủ các yếu tố để sử dụng Tính chất 2 Trang 31 Ta có (*) Mà , , suy ra . Thay vào (*) ta tìm được * Học sinh cũng nhanh chóng tìm ra cách 2 và đề xuất các cách khác Cách 2 Gọi là tâm đáy, là trung điểm đoạn thì , gọi là hình chiếu vng góc của lên cạnh ta có (1) Gọi là hình chiếu của lên cạnh ta cũng có (2) Từ (1) và (2) ta suy ra Tính tốn tương tự ta cũng có kết quả Cách 3: Sử dụng phương pháp cơ bản bằng cách xác định hình chiếu của lên mặt phẳng Cách 4: Sử dụng cơng thức hình chiếu Cách 5: Học sinh 12 sau khi học xong phương pháp tọa độ trong khơng gian thì đề xuất thêm cách dùng phương pháp tọa độ Do các cách 3, 4, 5 khơng nằm trong phạm vi đề tài nên tơi xin phép khơng trình bày ở đây * Giáo viên có thể lấy thêm các bài tập sau đây để học sinh luyện tập kỹ năng xác định chân đường cao Bài tập 1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vng tại , , gọi là trung điểm đoạn , là điểm thỏa mãn . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng biết Bài tập 2. Cho hình chóp có đáy là tam giác cân tại , , , tam giác cân tại , . Biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính của góc giữa hai mặt phẳng và Qua khảo sát đối chứng giữa hai lớp thực nghiệm 12A1 và 12A2 tại trường THPT XXX, giữa một lớp có sự tác động của đề tài và một lớp khơng có Trang 32 tác động của đề tài này (kiểm tra trước tác động và sau tác động) sau đó xử lý thống kê tốn học bằng phần mềm MSEXCEL tơi có kết quả sau: Trang 33 TT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Giá trị trung bình (average) Độ lệch chuẩn (stdev) Mức độ ảnh hưởng (SE) Nhóm thực nghiệm KT học kỳ 2 6 5 6 6 6 7 7 Nhóm đối chứng KT trước tác động 7 6 7 7 7 8 7 KT sau tác động 7 8 7 8 8 8 7 8 KT học kỳ 2 6 7 5 6 7 7 7 KT trước tác động 6 5 5 7 8 KT sau tác động 7 7 7 8 7 8 6.00 6.68 7.78 5.68 5.95 6.88 0.97 0.96 0.76 1.04 1.34 1.00 0.90 So sánh kết quả SMD với bảng tiêu chí Cohen: Giá trị mức độ ảnh hưởng (SE) Ảnh hưởng Trên 1.00 Rất lớn 0.80 đến 1.00 Lớn 0.50 đến 0.79 Trung bình Trang 34 0.20 đến 0.49 Nhỏ Dưới 0.20 Khơng đáng kể Từ bảng trên tơi rút ra kết luận mức độ ảnh hưởng là lớn. Vậy đề tài “Góp phần giúp học sinh học tốt hình học khơng gian qua khai thác một số bài tốn cơ bản” có tác dụng thực tiễn rất lớn trong giảng dạy của giáo viên và q trình học tập của học sinh Trang 35 III. KẾT LUẬN 1. Q trình nghiên cứu Qua nhiều năm cơng tác giảng dạy cùng với nghiên cứu về phương pháp dạy học theo hướng tiếp cận năng lực cho học sinh ; nghiên cứu lý luận về các phương pháp dạy học tích cực; nghiên cứu các tài liệu về nghiên cứu tâm lí học lứa tuổi học sinh, tơi quyết định nghiên cứu đề tài nhằm góp phần phát triển năng lực cho người học. Quá trình nghiên cứu và viết đề tài này tiến hành qua các giai đoạn Từ tháng 6 năm 2020 đến tháng 7 năm 2020: Thu thập tài liệu Từ tháng 8 năm 2020 đến tháng 9 năm 2020: Tiến hành viết đề cương SKKN, soạn các giáo án dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh, liên hệ kiến thức tốn với thực tiễn đồng thời biên soạn các bài tốn thực tế Từ tháng 10 năm 2020 đến hết tháng 2 năm 2021: Kết hợp dạy học theo phương pháp đã hình thành theo ý tưởng SKKN; chia sẻ, trao đổi kinh nghiệp với đồng nghiệp trong và ngồi trường (thơng qua các diễn đàn, nhóm fb…) đồng thời hồn thiện sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2021 đến đầu tháng 3 năm 2021: Kiểm định đối chứng giữa các nhóm học sinh, hồn thiện sáng kiến kinh nghiệm 2. Ý nghĩa của đề tài a. Đối với bản thân: Nhờ quá trình nghiên cứu tài liệu một cách nghiêm túc tơi đã tích luỹ cho mình thêm nhiều kiến thức chun mơn và bồi dưỡng thêm được nghiệp vụ sư phạm, phương pháp giảng dạy tích cực. Qua thực tế áp dụng đề tài tơi thấy học sinh thực sự tích cực trong học tập, giờ học tốn thực sự sơi nổi và có hiệu quả b. Đối với nhà trường, đồng nghiệp: Qua trao đổi nội dung đề tài với đồng nghiệp, tất cả đồng nghiệp đều ủng hộ và đánh giá rất cao đề tài đồng thời đã vận dụng đề tài vào giảng dạy. Tại tổ tốn ở đơn vị tơi cơng tác, sau khi nghe báo cáo đề tài, các giáo viên đã trực tiếp áp dụng vào các tiết dạy và đều cho tác động rất tích cực với các em, các em thấy u thích và hứng thú hơn với giờ học hình học đặc biệt học sinh giải các câu liên quan có trong đề thi một các nhanh hơn. Trước đây, nhiều giáo viên khi dạy những lớp có học sinh yếu thường tỏ ra chán nản, khơng có động lực dạy học nhưng sau khi nghe cá nhân tơi báo cáo về hướng dạy học theo hướng tiếp cận năng lực cho học sinh, biết phát hiện và khơi dậy những khả năng tiềm ẩn mỗi học sinh thì nhiều giáo Trang 36 viên đã chia sẻ sự tích cực trong q trình dạy học, nhờ vậy mà phong trào dạy học trong tổ tốn ở đơn vị tơi đang từng bước được đẩy mạnh c. Phạm vi ứng dụng: Đề tài có thể áp dụng cho tất cả các giáo viên ở các trường THPT, hệ thống bài tập nêu trong đề tài cũng là nguồn tài liệu cho cả học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán và luyện thi THPTQG d. Hướng phát triển của đề tài Mặc dù qua thực tế áp dụng cho thấy hiệu quả thiết thực của đề tài nhưng đề tài vẫn được bổ sung để hồn thiện hơn trong q trình vận dụng để thực hiện giảng dạy. Nếu có thời gian, đề tài cần được bổ sung thêm hệ thống bài tập khai thác việc thay đổi các giả thiết về góc ở bài tốn cơ bản 3, bổ sung thêm các bài tốn thực sự có vấn đề trong thực tiễn. Nghiên cứu sâu hơn nữa về các phương pháp dạy học tích cực, tâm lí học lứa tuổi của học sinh THPT e. Đề xuất, kiến nghị. Để tạo điều kiện tốt nhất cho học sinh được học tập trong hoạt động, trước hết đội ngũ BGH nhà trường phải thực sự vào cuộc, thực sự chia sẻ và tháo gỡ những khó khăn đối với giáo viên và học sinh, tạo điều kiện để giáo viên và học sinh có các đồ dùng phục vụ cho q trình dạy học. Trong q trình sử dụng đề tài, giáo viên có thể linh hoạt để đưa ra nhiều liên hệ thực tiễn phù hợp với từng đơn vị kiến thức, từng chủ đề mà mình giảng dạy. Do khn khổ của đề tài khơng thể bổ sung hết tất cả các dạng tốn mà chỉ nêu lên ý tưởng nên giáo viên cần tham khảo thêm các nguồn tài liệu để bổ sung thêm các bài tập cho từng chủ đề dạy học Mặc dù đã có sự nỗ lực trong việc hồn thành đề tài nhưng chắc chắn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được đón nhận những ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để đề tài được hồn thiện hơn. Tơi xin chân thành cảm ơn sự ủng hộ từ phía nhà trường và đồng nghiệp để tơi hồn thiện đề tài này Trang 37 VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Sách giáo khoa Hình học 11, Hình học 12 cơ bản và nâng cao, NXB Giáo dục 2006 [2]. Sách giáo viên Hình học 11, Hình học 12 cơ bản và nâng cao, NXB Giáo dục 2006 [3] Tài liệu chun tốn THPT Đồn Quỳnh (chủ biên) NXB Giáo dục 2012 [4]. Tốn học và những suy luận có lý G. Polya, NXB Giáo dục 1992 [5]. Các đề thi và tài liệu trên các diễn đàn tốn [6]. Tài liệu tìm hiểu chương trình mơn tốn (trong Chương trình giáo dục phổ thông 2018) Trang 38 ... Đề tài ? ?Góp? ?phần? ?giúp? ?học? ?sinh? ?học? ?tốt? ?hình? ?học? ?khơng? ?gian? ?qua? ?khai thác? ?một? ?số? ?bài? ?tốn? ?cơ? ?bản? ?? nhằm nêu ra? ?kinh? ?nghiệm? ?của? ?bản? ?thân về việc giảng dạy cho? ?học? ?sinh? ?học? ?tập mơn tốn THPT,? ?giúp? ?học? ?sinh? ?được tiếp thu các ... Khơng đáng kể Từ bảng trên tơi rút ra kết luận mức độ ảnh hưởng là lớn. Vậy đề tài ? ?Góp? ? phần? ?giúp? ?học? ?sinh? ?học? ?tốt? ?hình? ?học? ?khơng? ?gian? ?qua? ?khai? ?thác? ?một? ?số ? ?bài? ? tốn? ?cơ? ?bản? ?? có tác dụng thực tiễn rất lớn trong giảng dạy của giáo viên và q ... trình tìm tịi? ?sáng? ?tạo cho? ?học? ?sinh? ?thơng? ?qua? ?xây dựng các? ?bài? ?tốn mới từ những bài? ?tốn? ?cơ? ?bản *** Trang 9 Chương III.? ?KHAI? ?THÁC MỘT SỐ BÀI TỐN CƠ BẢN NHẰM PHÁT TRIỂN CHO NGƯỜI HỌC KHẢ NĂNG SUY LUẬN CĨ LÍ